数学期望的性质
数学期望的性质与条件期望
η
的条件期望, 的条件期望 记作
E{η ξ = xi },
有
同样可以定义给定的 η = y j 时关于 ξ 的条件期望为
E ξ η = y j = ∑ xi P{ξ = x i η = yi }
i
E { ξ = xi } = ∑ y j P{η = y j ξ = xi } η
{
}
对于二元连续型随机变量 (ξ ,η ), 定义
ξ 表示 名射手所需子弹数目， 则 ξ = ∑ ξ i , 表示9名射手所需子弹数目 名射手所需子弹数目， i =1 的分布如下： 并且 ξi 的分布如下：
9
2 3 1 P 0.8 0.16 0.04 Eξ i = 0.8 + 2 × 0.16 + 3 × 0.04 = 1.24
Eξ = E ( ∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = 9 × 1.24 = 11.16
ξ 与 η 是否独立？ 是否独立？
ξ /η
−1 1
0 .3 0.6 解 ξ⋅η − 1 0 1 0 .1 0 .2 0 .1 0.4 P 0.4 0.2 0.4 η 0.4 0.2 0.4 1 1.因为 p−1,0 = 0 ≠ P{ξ = −1} ⋅ P {η = 0} = 0.6 × 0.2 0
2. Eξ = −1 × 0.6 + 1 × 0.4 = −0.2, Eη = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0 E (ξ ⋅ η ) = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0
( 2) j
= ∑ x i p (i 1) ⋅ ∑ y j p (j2 ) = Eξ ⋅ Eη
i
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
3.3期望的性质与随机变量函数的期望
P X 1
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
Y
100
1 e 4
4
100 300
1 1 e 4
- 1 4
p
E (Y ) = 100e
- 1
- 200 (1 - e
)
33.64 (元).
发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润. 解: 设每张彩票中奖的金额为随机变量X, 则
二、 随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出
数学期望 X g(X) 数学期望 E(X)
E( X ) =
E ( X ) xk pk
k
ò
+
-
xf (x )dx
E轾 g (X ) = 臌
g(x)是连续函数, g(X) 是 随机变量, 如: aX+b, X2等 等.
2. 随机变量函数数学期望的计算 如何计算随机变量函数的数学期望?
例 设随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 X
1 求 E ( ) , E ( X 2 2). X 1 1 1 解: E ( ) 1 0.1 0.7 0.2 0.52 X 2 3
P
0.1
0.7
0.2
E ( X 2)
2
(1 2) 0.1 (2 2) 0.7 (3 2) 0.2 6.7
X 10000 p 1 105
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
第11讲 数学期望
P
Exi=1.24
0.8
0.16
0.04
Ex=Ex1+...+Ex9=91.24=11.16
再多准备10%, 则约需为他们准备13发子弹
例9
一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10
个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停 车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车 站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立). 解 引入随机变量
0.25a=0.5, 即a=2, k=3
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方 例4 式, 记使用寿命为X(以年计), 规定: X1, 一台付款1500元;
1<X2, 一台付款2000元;
2<X3, 一台付款2500元;
X>3, 一台付款3000元.
设寿命X服从指数分布, 概率密度为
第四章
数字特征
第一节 数学期望
一、随机变量的数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的 特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变 量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数.
一、随机变量的数学期望
0 0
x
mxλe λydy
x
1 1 λx (m n) (m n) e nx. λ λ
1 1 λx E(Q) (m n) (m n) e nx. λ λ d 令 E(Q) (m n)e λx n 0, dx 得 而 1 n x ln . λ mn d2 λx E(Q) λ(m n)e 0, 2 dx
数学期望及其性质
随机变量的数字特征
§1 数学期望
§1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i = 1,2,L k ，
∑n
i =1
k
i
= N ， 求平均成绩。
解：
k ni 1 k 平均成绩为: ∑ ai ni = ∑ ai N i =1 N i =1 ni 若用 X 表示成绩，则 P{X = ai } ≈ N k k ni ai ⋅ ≈ a i ⋅ P{ X = a i } N i =1 i =1
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例4
设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7
则 EXห้องสมุดไป่ตู้= 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6
若离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4
n =1 ∞
时，才能保证级数 ∑ x n pn 的和与其级数 ∑ x n pn
n =1 n =1
∞
∞
的求和顺序无关．
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例2
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数；
Y：乙击中的环数；
X P
Y P
8 0.1
8 0 .2
9 0.3
9 0 .5
到站时间 8:10,9:10 概率 1/6 8:30,9:30 8:50,9:50 3/6 2/6
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第十三章 随机变量的数字特征
4.4 数学期望的性质和应用
一、数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C ；4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y )；2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )；3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )；注意：由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X 、Y 独立推广（诸X i 相互独立）推广11[]()n n i i i i E X E X ===∑∑11[]()n n i i i i E X E X ===∏∏例1 性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立X Y p ij-1 0 1-1118181818181818180p • j 383828p i•383828()()0;E X E Y ==()0;E XY =()()()E XY E X E Y =1(1,1)8P X Y =-=-=23(1)(1)8P X P Y ⎛⎫≠=-=-= ⎪⎝⎭5.若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.推论：若X ≤Y ，则EX ≤EY .证明：设X 为连续型随机变量，密度函数为f (x )，则由X ≥0得：所以证明：∵Y −X ≥ 0，E (Y −X )≥0又∵E (Y −X )=E (Y )−E (X ) E (X ) ≤E (Y ).()0,0f x x =<0()()0EX xf x dx xf x dx +∞+∞-∞==≥⎰⎰例1.(二项分布B(n,p)) 设单次实验成功的概率是p ，问n 次独立重复试验中，成功次数X 的期望？解: 引入1,0,i i X i ⎧⎪=⎨⎪⎩第次试验成功，第次试验不成功。
则X ＝X 1+X 2+⋯+X n 是n 次试验中的成功次数。
因此，这里，X ～B(n,p).1()n i i EX E X ==∑1(1)ni i P X ===∑np=本题是将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.为普查某种疾病，n 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验n 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设：每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例2.二、数学期望的应用解：只需计算方案（2）所需化验次数X 的期望.设：第i 组需化验的次数为X i ，则其分布律为Xi1 k +1 P(1−p )k 1− (1−p )k ()1(1)(1)[1(1)]k k i E X p k p =⨯-++⨯--(1)(1)kk k p =+--解：为简单计，不妨设n 是k 的倍数，共分成j =n /k 组.（2）分组化验.每k 个人为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，此时k 个人的血需化验k+1次.每个人血液化验呈阳性的概率为p .若则E (X ) < n ，即方案2优于方案1方案2：需要化验的总次数为如：n =1000, p =0.001, k =10()(1)(1)k i E X k k p =+--1()()j i i E X E X ==∑12j X X X X =+++[(1)(1)]k n k k p k =+--1[1((1))]k n p k =---1(1)0,k p k-->101()1000[1(0.999)]1101000.10E X =--≈<<例3.据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98，因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元，应如何定a，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司期望总获益多少?表示保险公司从第i个投保者身上所得的收益，i=1,2, (1000)解：设Xi则其分布律为：X i100 100−aP0.98 0.02)=100×0.98+(100−a)×0.02= 100−0.02a>0易求得E(XiE (X i )=100−0.02a >0即：当100<a<5000时，公司可期望获益若1000人投保，期望总收益为1000100011()()10000020i ii i E X E X a ====-∑∑例4.市场上对某种产品每年需求量为X 吨，X ~U [2000,4000]，每出售一吨可赚3万元；售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这种商品多少吨，才能使平均利润最大？解：设每年生产y 吨，其利润为Y .则易知，2000<y <4000，且有易知，需求量X 的密度函数为1,20004000()20000,X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它3,()3()1,y y X Y g X X y X y X ≤⎧==⎨--⋅>⎩3,4,y y X X y y X≤⎧=⎨->⎩3,()4,y y X Y g X X y y X ≤⎧==⎨->⎩3,()4,y y x g x x y y x ≤⎧=⎨->⎩()()()X E Y g x f x dx +∞-∞=⎰400020001()2000g xdx =⎰261(214000810)2000y y =-+-⨯4000200011()()20002000y y g x dx g x dx =+⎰⎰4000200011(4)320002000y y x y dx y dx =-+⎰⎰即：当y=3500时，E (Y )最大，最大值为8250万元.解得：y=3500()1(414000)2000dE Y y dy =-+0=令261()(214000810)2000E Y y y =-+-⨯。
数学期望性质与应用举例
5.数学期望的基本性质利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则性质1.E(c)=c；性质2.E(aξ)=aE(ξ)；性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．例3.5.7设随机变量X的概率分布为:P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.求E(X),E(3X+2)．解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11．例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:求E(X),E(2X-1)．解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知=-1/6+1/6=0．∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2 数学期望的性质（1）设是常数，则有。
证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。
所以，。
（2）设是随机变量，是常数，则有。
证若是连续型随机变量，且其密度函数为。
当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。
（3）设都是随机变量，则有。
此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。
这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即。
（4）设是相互独立的随机变量，则。
证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。
设的概率密度分别为和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有。
由此得此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。
例4.1.2 倒扣多少分？李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。
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知识点4.2
数学期望的性质
1. 随机变量函数的数学期望
定理1设Y 是随机变量X 的函数：Y =g(X)(g 是连续函数).
(1)设离散型随机变量X 的分布律为
p k =P{X =x k },k =1,2,⋯.
若k=1+∞g x k p k <+∞,则有E Y =E g X =k=1
+∞g x k p k .
(2)设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，若
න
−∞+∞
g(x)f(x)dx <+∞,
则有
E(Y)=E g X =න
−∞+∞g(x)f(x)dx.
定理2设Z 是随机变量X,Y 的函数：Z =g(X,Y)(g 是连续函数).
(1) 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为
p ij =P(X =x i ,Y =y j ),(i,j =1,2,⋯),
若j=1+∞i=1+∞
g(x i ,y j )p ij <+∞,
则有
E(Z)=E g X,Y =j=1+∞i=1
+∞g x i ,y j p ij .
(2) 设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，
若
න
−∞+∞න−∞+∞
g(x,y)f(x,y)dxdy <+∞,
则有
E(Z)=E g X,Y =න
−∞+∞න−∞+∞
g(x,y)f(x,y)dxdy.
2. 数学期望的性质
（1）设C是常数,则有E(C)=C.
（2）设X是一个随机变量, C是常数,则有E(CX)=CE(X).（3）设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).（4）设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y).
性质3和4可以推广到有限个随机变量的和及积的情况.
例1假设n个信封内分别装有发给n个考生的录取通知书,但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X表示收到自己通知书的人数,求X的数学期望．
解记A k={第k封信的地址与内容一致},k=1,2,⋯,n.
第k个人的通知书随意装入n个信封中的一个信封,恰好装进写有其地址的信封的概率等于1
.
n
故P(A k)=1
,k=1,2,⋯,n.
n
引进随机变量
U k=൝1,若A k发生,
0,若A k不发生.
(k=1,2,⋯,n).
则X=U1+U2+⋯+U n.
于是由数学期望的性质,可得
E(X)=E(U1+U2+⋯+U n)=1.。