奥数6简便运算(四)分数运算技巧之拆分法代数法

分数的简便运算

------特殊的运算技巧：约分法，拆分法，代数法

一、综合运用结合律、交换律以及分配律

（注意构造满足乘法分配律的条件）

20725.220344311

)2072()318431326413

(12425.04

172

342551

4二、约分法

【教材-王牌例题3】计算1994

199219931

19941993分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994）

（1）1

19891988198719891988（2）143

138058419921991584204【教材-王牌例题5】计算：)9

575()9

27729(（1）)9

475113()11673198(（2）)13

101151()131211173(（3）)25812732132()252436736396(

（4）

【补充例题1】3521710

62531211476423

21【补充例题2】991

1 (41)

131

121

1

99【补充例题3】969696

969969696696

696969三、拆分法

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。

形如1a ×(a+1)

的分数可以拆成1a －1a+1；形如1a ×（a+n ）

的分数可以拆成1n ×（1a －1a+n ）形如a+b a ×b

的分数可以拆成1a +1b 【教材-王牌例题1】计算：11×2+12×3+13×4+…..+ 199×100

（1）

14×5+15×6+16×7+…..+ 139×40（2）

12+16+112+120+ 130+142（3）1－16+142+156+172

【教材-王牌例题2】计算：11×4+14×7+17×10+…..+ 197×100

（1）13×5+15×7+17×9+…..+ 197×99

（2）11×5+15×9+19×13+…..+ 133×37

（3）14+128+170+1130+1208

（4）3029201912116

521

（5）421

6301

5201

4121

361

22

11

（6）1998

1×2+1998

2×3+1998

3×4+ 1998

4×5+1998

5×6

（7）在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

分析：这道题看上去比较复杂，要求

10个分子为1，而分母不同的数。所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。本题的解不是唯一的，例如由1/30+1/10=1/9+1/45推知，用9和45替换

答案中的10和30，仍是符合题意的解。【教材-王牌例题3】计算：113－712+920－1130+1342－1556

原式＝113－（13+14）+（14+15）－（15+16）+（16+17）－（17+18

）（1）114－920+1130－1342+1556

（2）6×712－920×6+ 1130

×6 【教材-王牌例题4】计算：

12+14+18+116+132+164＝（12+14+18+116+132+164+164）－164（1）

12+14+18+………+1256（2）

23+29+227+281+2243(3) 256

364316343

四、代数法

【教材-王牌例题5】计算：（1+12+13+14）×（12+13+14+15）－（1+12+13+14+15）×（12+13+14）分析：仔细观察可以发现题中有些分数是多次出现的，因此我们可以用代数法解这道题，即将某个复杂的算式换成含有字母的式子再进行计算。

设12+13+14＝a 原式＝(a+1)×（a+15）－（a+15+1）×a

(1)（1+11999+12000+12001）×（1

1999+12000+12001+12002）－（1+11999+12000+1

2001

+12002）×（11999+1

2000+1

2001）

（课外拓展）五.分组法

20

19

)2018

1918

(.....)203 (53)

43()202 (4232)

()201

...413121(分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n 的分数之和为

原式中分母为2～20的分数之和依次为