LTI离散时间系统在变换域中的分析.
信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
离散系统的时域分析_OK
pk[c cos k Dsin k] 或Apk cos(k )
其 中
Ae j
C
jD
Ar1k r1 k cos( k r1) Ar2k r2 k cos( k r2) ... A0 k cos( k 0)
8
2. 特解
激励 f (k)
特解 yp (k)
km
Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0 k r Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0
y
f
(1)
3y f
(0) 2 y f
(1)
f
(1)
1
14
系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解,分别求出方程
的齐次解和特解,得
yf
(k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
yp (k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
1 3
(2)k
将初始值代入上式,得
y
f
(0)
C
f
1
C
f
2
1 3
1
yf
(1)
1C f
yx
(1)
y(1)
0,
yx
2
y
2
1 2
yx (0) 3 yx (1) 2 yx 2 1
yx 1 3yx 0 2 yx 1 3
2021/9/5
求得初始值
13
1 1, 1 2
yx
(k)
Cx1
(1)k
Cx2
(2)k
yx yx
(0) (1)
Cx1 Cx2 Cx1 2Cx2
差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相互对 应的.
离散时间系统的时域分析
第七章离散时间系统的时域分析§7-1 概述一、离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k −δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=，)()()()(000k k k f k k k f −=−δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
(a) 0.9a = (d) 0.9a =−(b) 1a = (e) 1a =−(c) 1.1a = (f) 1.1a =−4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
信号与系统第5章
3）波形图表示
时间 离散
幅值 离散
5
5.1.2 基本离散信号 1．单位样值信号 又称单位样值序列
6
2．单位阶跃序列u(n) u(n) 与单位阶跃信号 u(t) 相对应，可以看成 是u(t)的抽样信号
7
3．单位斜变序列R(n) R(n)可以看成是单位斜变信号R(t)的抽样信号
4．矩形序列Gk(n) Gk(n)又称门函数序列
1 t1 1 0 t2 1
0
-1
2
-4 1 0 4
相加
-4 4 -1
-6 -4
1
0 -1 4
0
22
例2 两个离散信号相乘
不进位
23
5.2.3 信号的差分
离散信号f(n)的前向差分运算为：
当前时刻
后一时刻
离散信号f(n)的后向差分运算为：
当前时刻
之前时刻
本课主要讨论离散信号f(n)的后向差分
24
5.2.4 信号的求和 信号的求和运算是对某一离散信号进行历 史推演求和过程。f(n)的求和运算为：
k<0 左移位
k>0 右移位
27
移位前后波形或样值没有变化，即没有失真
5.2.7 信号的尺度变换 • 尺度变换： 其中a为实常数，即将原信号在时间轴上进 行压缩或扩展。 当|a|>1时，原信号被压缩。
a=2压缩
波形或样值发生变化，说明有失真
a=2
28
当0<|a|<1时，原信号被扩展。
a=0.5扩展
8
5．单边指数序列 单边指数序列一般指右边序列
（a）衰减指数序列
（b）增长指数序列
（c）单位阶跃序列
2019-09-30-第04章 LTI系统的变换域分析
幅频特性:
1. | H (e j ) | 幅度响应或增益
2. | H (e j ) |2 H (e j )H (e j ) 幅度平方函数
3.20 log10 | H (e j ) |
对数幅度，以dB计的增益
20 log10 | H (e j ) |
以dB计的幅度衰减
对应的 线性幅 度1
0.1 0.01 0.001
IIR的输出
1 z2 z4 H (z) 1 0.81z1 0.81z2 0.81z3
3.理想选频滤波器的频率响应
低通 高通
H lp
(e
j
)
1 0
, ,
| | c c | |
hlp[n]
sin(c n) n
,
n
H
hp
(e
j
)
0 1
, ,
| | c c | |
hhp[n]
[n]
4.4 广义线性相位系统的变换域分析
4.4.1 定义 4.4.2 充分条件 4.4.3 因果广义线性相位FIR系统
4.4.1 定义
线性相位系统: H (e j ) | H (e j ) | e j
arg[H (e j )] grd[H (e j )]
举例
理想延迟系统
hid [n] [n m]
n)
,
n
4.3．差分方程、系统函数和 频率响应的关系
4.3.1 差分方程与系统函数间的关系 4.3.2 有理系统函数的频率响应
4.3.1 差分方程与系统函数间的关系
N
M
ak y[n k] bk x[n k]
k0
k0
对应的系统函数
M
H(z)
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析报告
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()(3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
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• 无损有界实传输函数(LBR)
全通传输函数
• 定义：传输函数的幅度响应对任何频率都是1
A(e j ) 2 1
• M阶因果实系数全通传输函数的一般形式：
AM
(z)
dM dM 1z1 1 d1z1 dM
Hale Waihona Puke d1zM 1 1z M 1 dM
zM zM
即：
第七章 LTI离散时间系统在变换 域中的分析
概述
• 数字传输函数从其时域序列可分为:
–有限冲激响应 –无限冲激响应
• 其他分类方法：
–传输函数的幅度响应 –传输函数的相位响应
• 简单的实用FIR和IIR数字滤波器 • 数字二端口网络
7.1 基于幅度特征的传输函数分类
• 具有理想幅度响应的数字滤波器 • 有界实传输函数 • 全通传输函数
–零点存在于单位圆内和单位圆外的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25b、式7.25c
• 混合相位、最小相位和最大相位传输函数之间的 关系：P294 例7.4
线性相位FIR传输函数的类型
• 通常可以恰好设计带有线性相位的FIR传输函数， 而几乎不可能设计线性相位的IIR传输函数：
y[n] x[n n0 ]
截止频率：ωcω1ω2
滤波器的实现问题
• 理想滤波器的不可实现性
–双边无限长 –非因果 –不绝对可和
• 利用专门方法设计滤波器
–允许过渡地带 –允许通带和阻带上有一定的波动 –以几种简单的低阶FIR和IIR滤波器级联
形成各种功能的滤波器
有界实传输函数(BR)
• 定义： |H(ejω)|≤1
• P285 例7.1 BR函数的构造 • 被动结构：
B(z) bl zl z l
l0
零相位传输函数
• 实现：不可能设计出一个零相位的因果数字 滤波器
• 变通方法：在因果要求宽松的情况下
对零相位滤波方案的验证
• 不同信号之间FT的关系为：
• 可得输入输出关系为：
数字滤波器的设计
• 一般根据给定的滤波器的规格，先得到平方幅度 函数|H(ejω)|2,推导出零相位函数H(z)H(z-1): H (z)H (z 1) H (e j ) 2 |1 ln z
AM
z
z
M DM (z 1)
DM z
• 若z=rejφ是实系数全通传输函数的一个极点， 则它有一个零点在1/r*e-jφ
M阶因果实系数全通传输函数
• 全通传输函数的分子可以称为分母的镜像 多项式，反之亦然。
AM
M
i 1
*i z1 1 i z1
• 由于因果稳定传输函数的极点必须在单位 圆内，因此因果稳定全通传输函数的所有 零点必须在单位圆外，并且和与之对应的 极点成镜像对称。
• 若： y[n] x[n D]
• 可得输入输出关系为：
Y[e j ] e jD X [e j ]
• 传输函数为：
H[e j ]
Y[e j ] X [e j ]
e jD
幅度响应： H (e j ) 1
群延迟：
D
不失真传输
• 若需要在某个频率分量上使幅度和相位不失真的 通过，则传输函数在感兴趣频带内具有：
• 对称关系见图7.3
全通传输函数的特性
1. 因果稳定实系数全通传输函数是无损有界实 （LBR）传输函数，即因果稳定全通滤波器 是一个无损结构。
2. 稳定全通函数AM的幅度：
1,
| AM (z) | 1,
1,
z 1 z 1 z 1
3. 随着ω从0变化到π，M阶全通函数的相 位变化是Mπ。
简单应用
• 幅度函数和相位响应
–幅度函数完全相同 –相位响应：H2比H1相比有滞后 图7.13
最小相位和最大相位传输函数
• 最小相位传输函数：
–所有零点都在单位圆内的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25a
• 最大相位传输函数：
–所有零点都在单位圆外的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25d
• 混合相位传输函数
–单位幅度响应 –线性相位响应
• P292 图7.10 线性相位响应的理想低通滤波器 • P292 例7.3
最小相位和最大相位传输函数
• 传输函数另一种很有用的分类：
–基于其零点的位置即其对相位响应的影响进行
• 考虑两个传输函数：P7.32a和P7.32b • 零点和极点：图7.12
–相同极点：都在单位圆内，故是代表稳定系统。 –不同零点：H1在单位圆内，H2在单位圆外
具有理想幅度响应的数字滤波器
• 设计数字滤波器，为了无失真的传输某些 频率上的信号：
–让滤波器的频响在这些频率上为1——通带 –让滤波器的频响在其他频率上为0——阻带
• 四类常见的具有实冲激响应函数的理想数 字滤波器的频响：P284 图7.1
–低通滤波器：通带、阻带 –高通滤波器：通带、阻带 –带通滤波器：通带、阻带 –带阻滤波器：通带、阻带
• 群延时：各频率经LTI系统处理后具有不同的
相位延时
g
d
d
• 延时均衡器 P289
–G(z)是满足所要求幅度响应的数字滤波器的传输函数
–其相位响应是非线性的，即不均衡的
–通过级联一个全通滤波器来校正，如图7.7
–级联后，在幅度响应不变的同时，整体的群延时在感 兴趣频域上近似为常数，结果如图7.8
j
• 分配极点和零点以得到H(z):
–取一半的极点和零点，剩下的一半是镜像对称 –为使系统稳定，极点必须在单位圆内 –对于零点的分配一般没有限制
• P291 例7.2 由特定的平方-幅度函数确定传输函数
线性相位传输函数
• 对于一个具有非零相位响应的因果传输函数， 相位失真可以通过允许输出是输入的一个延时 信号来加以避免
x[n n0 ] z变换zn0 X(z)
• 根据滤波器长度为奇或为偶，冲激响应是正对称或 反对称，可以有四种线性相位FIR滤波器
简单数字滤波器
• 满足频率选择要求的滤波器主要在第 九章和第十章讨论
• 本节讨论低阶系统：
–低通FIR数字滤波器 –高通FIR数字滤波器 –低通IIR数字滤波器 –高通IIR数字滤波器
基于相位的传输函数分类
• 零相位传输函数 • 线性相位传输函数 • 最小相位与最大相位传输函数
零相位传输函数
• 在许多应用中，需要保证所设计的数字滤波器在 通带内不会使输入信号的相位发生失真
• 方法：
–使该滤波器的频率响应是实数且非负 –传输函数的分子分母多项式满足零相位多项式B(z)：
N