二元关系的矩阵和图表示
二元关系
1二元关系1. 有序对与笛卡尔积定义1.1 两个对象x , y 组成的满足如下性质的二元组(x , y )：(x , y )=(u,v ) 当且仅当x=u , y=v其中x 称为第一元素，y 称为第二元素。
定义1.2 集合A 和B 的笛卡尔积定义为{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈特别地，若A 或者B 是空集，则A ×B 是空集。
例：注意：笛卡尔积不满足结合律和交换律。
2. 二元关系定义2.1 若A 和B 是集合， 则A ×B 的任何子集R 称为从A 到B 的二元关系，简称关系。
若(,)x y R ∈，则称有序对(x , y )满足关系R ，一般记为xRy .定义域dom(R )=值域ran(R )=集合C 在R 下的像：R [C]=例2.2 设集合R ={(a,1),(a,2), (b,2),(b,3)}，则该集合可视为从{a,b}到{1,2,3}的二元关系，其定义域和值域为dom(R )={a,b}ran(R )={1,2,3}定义2.3（关系矩阵）M R 是由真值组成的0-1矩阵。
例2.4关系图：G R 是一个二部图（bipartite ）。
定义2.4 若R 是从集合A 到A 的二元关系，即R A A ⊆⨯，则称R 是A 上的二元关系。
定义2.5 集合A 上的三种特殊关系：（1） 空关系：∅ 其矩阵是0方阵。
（2） 全关系：E A =A ×A 其矩阵是全1方阵。
（3） 恒等关系：{(,)|}A I x x x A =∈，其矩阵是单位矩阵。
23. 二元关系的几种运算我们考虑对于二元关系的如下运算，即并、逆、复合、方幂和限制。
定理3.1 设R ，Q 是从A 到B 的二元关系，则R Q R Q M M M =+U注意：其中的加法是真值加法，即逻辑或，即0+0=0, 1+1=1，1+0=1，0+1=1证明： 证毕定义3.2（二元关系的逆）设R 是从A 到B 的二元关系。
二元关系
第四章 二元关系学习指导4.1 二元关系一、有序对有序对 设为任意两个集合，元素和b 分别取自和,A B a A B 。
和b 依一定次序组成一对，称为有序对，记为，其中称为它的第一元素，b 称为它的第二元素。
a (,)ab a 两有序对相等 (,当且仅当a )(,)a bcd =c =且b d =。
有序元组 有序元组是一个有序对，它的第一元素为有序元组，第二元素为，记为(3n n .))n (3n n .1n −121(,,,)n a a a − n a 12121(,,,)((,,,),)n n a a a a a a a −= 。
笛卡尔积 设A 和B 为任意的两个集合。
称所有由中元素作为第一元素，A B 中元素作为第二元素的有序对组成的集合为和A B 的笛卡尔积，记作A B ×，即{}(,)A B a b a A b B ×=∈∧∈二、二元关系和元关系n二元关系 设和A B 是任意的两个集合，A B ×的子集R 称为到A B 的一个二元关系。
当时，则称A B =R 为上的二元关系。
二元关系简称为关系。
对于某个关系A R ，如果，那么称和b 有关系(,)a b R ∈a R ，记为；如果aRb (,)a b R ∈，那么称a 与没有关系b R ，记为aRb 。
/空关系 如果，那么称R =∅R 为空关系； 全关系 如果R A B =×，那么称R 为全关系。
恒等关系 {}I (,)A a a a A =∀∈;整数集合上的模ｎ同余关系 设（整数集合），对于给定的正整数ｎ，Ａ上的模ｎ同余关系Ｒ为A ⊆Z {}(,)(,)a bR a b a b a b n n 为整数是的整数倍⎧−⎫==−⎨⎬⎩⎭{}(,)(mod )a b a b n =≡。
定义域和值域 设Ｒ是集合Ａ到Ｂ的二元关系，分别定义Ｒ的定义域dom R 和值域ran R 为：{}{}dom ()((,);ran ()((,))R a b b B a b R R ba a A ab R =∃∈∧∈=∃∈∧∈。
关系表达式关系矩阵关系图关系的运算定义域值域
使 x, y R 的所有y组成的集合ranR称做R 的值域，即 ranR { y (x)使 x, y R)}
R的定义域和值域一起称做R的域，记做FLDR，
即 FLDR domR ranR
例1：设X {1,2,3,4}, 求X上的关 系 及dom , ran 。
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积的定义与性质 二元关系、从A到B的关系、A上的关系 关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图 关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、
幂 关系运算的性质 A上关系的自反、反自反、对称、反对称、传递的性质 A上关系的自反、对称、传递闭包 A上的等价关系、等价类、商集与A的划分 A上的偏序关系与偏序集
利用矩阵求合成
因为关系可用矩阵表示，故复合关系亦可用矩阵表示。
已知从集合 X {x1, x2 ,, xn } 到集合
Y {y1 , y2 ,, yn } 有关系R, 则 MR [uij ]
表示R的关系矩阵，
其中
1 uij 0
当 xi , yj R 当 xi , yj R
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
笛卡儿积的性质 （1）不适合交换律 AB BA (AB, A, B) （2）不适合结合律
(AB)C A(BC) (A, B, C) （3）对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) （4）若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A = B = （5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
一、二元关系的定义 1．定义：如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 2．例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a,b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
第3篇二元关系ch8二元关系ch9特殊关系
1 rij =
当< xi, yj >∈R ∈
0 当< xi, yj >∉R ∉ (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) (i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)
有限集合上的二元关系的图形表示： 有限集合上的二元关系的图形表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。分别用 个 为从X到 的一个二元关系。分别用m个 的一个二元关系 为从 结点表示x 个结点表示y 结点表示 1, x2 ，… , xm ，用n个结点表示 1, y2 ，… , yn 。 个结点表示 做一有向弧， ∈ 如果< xi, yj >∈R，则自结点xi向结点yj做一有向弧， 箭头指向yj ；如果 之间不做有向弧。 之间不做有向弧。 x1 ● x2 ● x3 ● x4 ● x5 ●
定理8-2.1 定理
两个关 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关
系，则Z、S的并、交、补、差仍是从集合X到集合Y 的关系。
证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。 证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。
有限集合上的二元关系的矩阵表示： 有限集合上的二元关系的矩阵表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。则对应于关 为从X到 的一个二元关系。 的一个二元关系 为从 系R有一个矩阵MR=[rij]m×n,其中 有一个矩阵
｛z1 ,…, zp｝,R⊆X×Y，S⊆Y×Z，MR=[uij]m×n ⊆ × ， ⊆ × ， × 的关系矩阵， 的关系矩阵。 为R的关系矩阵，MS＝[vij]n×p 为S的关系矩阵。那么， 的关系矩阵 那么， × 合成关系R ° S的关系矩阵MR°S＝[wij]为一m×p矩阵， × 矩阵 ° 其各分量wij可如下求取
二元关系
当（xi, yj）∈R 其他 (i=1, 2,…m; j=1, 2,…n)
称MR为R的关系矩阵。
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
5
离散数学讲义稿
4.2 关系性质
5种性质： 设R是集合A上的二元关系，则
离散数学讲义稿
第二部分
集合与关系
第4章
二元关系
林 兰
2011.3
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
1
离散数学讲义稿
4.1 二元关系及其表示
1. 二元关系
例1：集合A={ 2, 3, 5, 9 }上建立小于关系R，则可表达为： R={ (2,3), (2,5), (2,9), (3,5), (3,9), (5,9) } 例2：男队A={ a, b, c, d }，女队B={ e, f, g }。如果A和B的元素间 有混双配对关系：a和g，d和e。可表达为： R={ (a, g), (d, e) } 表示所有可能的混双配对有序对集合： A×B={ (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) } 有 R ⊆ A× B
∴ (R ◦S) -1 = S-1◦R-1
R-1的性质： 设R是A上的二元关系，R-1与R有相同的性质。 （自反，反自反，对称，反对称，传递）
4.4 关系的闭包
1. 定义 设R是集合A上的二元关系。如果另有A上关系R’满足：
第3章二元关系
第3章 二元关系
有些关系既不是对称的,又不是反对称的,例如图3.1―9 所示的关系.
图 3.1―9 有些关系既是对称的，又是反对称的，例如空关系.
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第3章 二元关系
(5)如果对每一x,y,z∈A, xRy,yRz蕴含着xRz, 那么 R是传递的.即A上的关系R是传递的
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第3章 二元关系
例3 平面上的几何图形是平面R2的子集,也是一种关 系.设
R1={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≤9} R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧(1≤x≤3) ∧(0≤y≤3)} R3={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≥4} 则 R1∪R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧
图 3.1―6
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第3章 二元关系
(3)如果对每一x,y∈A, xRy蕴含着yRx, 那么R是对 称的.即A上的关系R是对称的
x y (x∈A∧y∈A∧xRy→yRx)
例如, A={1,2,3}, R4={〈1,2〉,〈2,1〉,〈1,3〉, 〈3,1〉,〈1,1〉}是对称的.其关系图和关系矩阵的特 点如图3.1―7所示.
图 3.1―3
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第3章 二元关系
3.1.4 关系的特性 定义3.1―5 设R是A上的二元关系, (1) 如果对A中每一x, xRx, 那么R是自反的.即
A上的关系R是自反的 x(x∈A→xRx)
《离散数学》课件-第四章 二元关系
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
二元关系
第二章
二元关系
例：（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。 （2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。 （3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。 解 ： （1）A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}。 （2）B×A={c，d}×{a，b}={<c，a>，<c，b>，<d，a>，<d，b>}。 （3）（A×B）={a，b}×{1，2}={<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>}。 （A×B）×C ={<<a，1>，c>，<<a，2>，c>，<<b，1>，c>，<<b，2>，c>} B×C={1，2}×{c}={<1，c>，<2，c>}。 A×（B×C）={<a，<1，c>>，<a，<2，c>>，<b，<1，c>>， <b，<2，c>>}。
第二章
二元关系
例2： A={武汉，长沙，成都} B={黄石，常德，岳阳，遵义} 考虑A到B的同省关系： 则同省关系可以表示为： {武汉, 黄石， 长沙, 常德， 长沙, 岳阳}
例3： 设 A = {1, 2, 3, 4}.定义A 上的 关系.则该关系可以表示为 ： {1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.
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二元关系的矩阵和图表示
两个事物之间的关系称之为二元关系。
在数学上，二元关系指的是这样的一个集合S，它的所有元素都为二元有序对。
它反映的是有序对中第一个元素组成的集合与第二个元素组成的集合之间的关系。
举个例子，集合S={<天秤座,libra>,<狮子座,leo>}就表示了中文集合{天秤座,狮子座}与英文集合{libra,leo}之间的对应关系。
二元关系可以用集合表示，就像我们上面提到的。
而除此之外，还可以用其他数学工具来描述它——矩阵和图。
矩阵的基本元素是数字及其所处的位置。
直觉上，我们很自然的想到用它的下标来体现两个集合中的元素，用数字体现它们是否具有关系。
这便得出了以下定义：【定义】设集合A={x1,x2,…,x m},B={y1,y2,…,y n}，R为A,B之间的二元关系。
称矩阵M(R)=(r ij)m×n为R的关系矩阵，其中
这样我们定义了一个映射，把集合R映射为一个矩阵M。
如此定义，首先保证了R的集合表达式和R的关系矩阵是一一对应的。
其次，这样的定义会带来很多好的性质。
我们可以应用矩阵的语言把整个二元关系的理论重新叙述一遍：(1)关系R的逆，记作R-1，表示的是集合{<x,y>|<y,x>εR}，我们有
M(R-1)=(M(R))T
这样，我们求关系的逆就转化为了求一个矩阵的转置矩阵。
(2)两个关系的合成(复合)，记作R2•R1,表示的是集合
为了用矩阵表示关系的合成，我们可以定义{0,1}中元素的加法为逻辑加法
(0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1)，于是便有
M(R2•R1)=M(R1)•M(R2)
这样，关系的合成这一运算就转化为了矩阵的相乘。
(3)同理，R在D上的限制就等价于找M(R)中相应行中为1的元素；D在R下的
象就等价于M(R)中相应行为1的元素的列坐标。
(4)关系R是单根的，指的是对任意的yεranB,存在唯一的xεdomR，使得<x,y>εR。
这意味着M(R)的每一列有且仅有一个1
(5)关系R是单值的，指的是对任意的xεdomR,存在唯一的yεranB，使得<x,y>εR。
这意味着M(R)的每一行有且仅有一个1
特殊的，集合A上的二元关系R指的是A×A={<x,y>|xεA,yεA}。
这样像前面第二条性质就有M(R2)=(M(R))2
(1)自反的二元关系R相应的关系矩阵主对角线元素都为1
(2)反自反的二元关系R相应的关系矩阵主对角线元素都为0
(3)对称的二元关系R相应的关系矩阵也是对称的
(4)反对称的二元关系R相应的关系矩阵也是反对称的(这里定义1的反为0)
(5)对传递的二元关系R，相应的关系矩阵R中若r ij=1,r jk=1，则r ik=1
(以上黑体字的定义有不熟悉的请查阅wiki)
等价关系R(同时具有自反，对称，传递性质的二元关系)可以确定集合A上的一个划分，那么如何从关系矩阵中找出相应的等价类？(如下图)
如何用图来表示等价关系呢？由于关系中的元素是有序对，直觉上，我们很自然的想到用有向图。
于是定义如下：
【定义】设集合A={x1,x2,…,x m},B={y1,y2,…,y n}，R为A,B之间的二元关系。
以A,B中的元素为顶点，若<x i,y j>εR，则从顶点x i向y j引有向边，称所画出的图
G(R)为R的关系图。
这样，我们就可以用图论的语言把整个二元关系的理论重新叙述一遍：
(1)R的逆：只需把图中的箭头反向
(2)两个关系的合成：通过过渡集合把两个图拼接为一个图，然后把长为2的有
向通路变为起点指向终点的长为1的有向通路
(3)R在D上的限制就等价于找G(R)中起点包含在集合D中的部分；D在R下的象就等价于G(R)中包含在集合D中的起点所指向的终点
(4)关系R是单根的，指B中顶点的入度均为1
(5)关系R是单值的，指A中顶点的出度均为1
特殊的，集合A上的二元关系R对应的关系图将为多重图(有重边和环的出现)。
(1)自反的二元关系R相应的关系图每个顶点处都有环
(2)反自反的二元关系R相应的关系图每个顶点处都无环
(3)对称的二元关系R相应的关系图中两个顶点间如果存在有向边，必有两条反向的有向边
(4)反对称的二元关系R相应的关系图中两个顶点间的有向边必是单重的
(5)对传递的二元关系R，相应的关系图中长度为2的有向通路的起点和终点间必存在由起点指向终点的有向线段
如何从关系图中找出一个等价关系所确定的划分？
对于二元关系中的其他一些理论(如闭包和序关系)，用关系矩阵和关系图描述一下试试。
我们经常把一件事物抽象为数学模型来表达。
有时换一种数学工具可能在处理某些运算时给我们带来方便。
用不同的工具思考，能更深刻的理解数学各个分支之间的联系。
参考资料：《集合论与图论》耿素云。