概率论例题汇总
概率论典型例题
P{ X 0} P{ X 2}
P{ X 0} P{ X 2} P{ X 5}
22 . 29
---
例2 设离散型随机变量 X 的分布函数为
0, x 1,
a,
1 x 1,
F
(
x
)
2 3
a,
1 x 2,
a b, x 2.
且 P{ X 2} 1 ,试确定常数a,b,并求 X 的分布律. 2
---
例5 设某仪器上装有三只独立工作的同型号电子 元件,其寿命(单位 : 小时)都服从同一指数分布,其
中参数 1 600,试求在仪器使用的最初200小时
内,至少有一只元件损坏的概率a. [思路] 以 Ai (i 1,2,3) 分别表示三个电子元件“在 使用的最初 200 小时内损坏”的事件, 于是 a P{ A1 A2 A3 } 1 P( A1 A2 A3 )
C B AB.
---
例3 假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时 射击命中目标的概率为0.6, 试求两次独立射击至 少有一次命中目标的概率.
[思路] 引进事件 A {目标进入射程}; Bi {第i次射击命中目标}, i 1,2.
故所求概率为事件B B1 B2的概率,由于目标 不在射程之内是不可能命中目标的, 因此 , 可利 用全概率公式来求解.
---
例4 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考 生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和
5 份, 随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出 两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p;
(2)已知后抽到的一份表是男生表,求先抽到 的一份是女生表的概率 p.
[思路] 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此 题要用全概率公式来讨论.
典型例题_概率论
第一部分 随机事件及其概率例 1 设A B C 、、为三个随机事件，试用A B C 、、表示下列事件。
1）“A B 与发生，而C 不发生”（表示为A B C ）； 2）“三个事件都发生”（表示为A B C ）； 3）“三个事件至少有一个发生”（表示为A B C⋃⋃）；4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为A B C A B C A B C++）；5）“三个事件至少有两个发生”（表示为A B B C A C ⋃⋃或A B CA B C A B C A B C+++）6）“三个事件至多有两个发生”（表示为A B C 或A B C⋃⋃）。
例2 将n 只球随机地放入N （N ≥n ）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。
解： 设事件A =“N 个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件B=“指定其中一个盒子装一只球”。
1）一个球放入N 个盒子中的放法有N 种，n 个球放入N 个盒子中的放法有nN 种。
假设固定前n 个盒子各装一球，其分配方法有!n 种，从N 个盒子中任取n 个盒子各装一球，取法有nN C 种，所以，事件A 的样本点数为nNC !n ，即事件A 的概率为nn NNn CA P !)(=2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有1nC 种，其次，剩余的1N-个盒子中，1n -只球的放法有1(1)n N --种，所以事件B 的样本点数为1n C 1(1)n N --，即事件B 的概率为11(1)()n n nC N P B N--=注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“n 个人中至少有两人的生日相同”的概率。
设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，n 个人好比‘n 只球’，考虑事件A 的对立事件A =“n 个人在一年中生日全不相同”，它等价于“n 个球装入365个盒子中各装一球”，由前面的计算知：nnn C A P 365!)(365=，所以nnn C A P 365!1)(365-=。
概率论考试题以及解析汇总
.试题一一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ ）。
A. A,B 互不相容B. A,B 相互独立C.A ⊂BD. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ ）A. 1/2B. 1/12C. 1/18D. 1/93、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ ）A.919910098.02.0CB.i i i i C-=∑100100910098.02.0C.ii i i C-=∑1001001010098.02.0 D.i i i i C-=∑-100910098.02.014、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()31253(321=++X X X EA. 0B. 25.5C. 26.5D. 95、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25242321XX X X X c +++⋅服从t 分布。
（ ）A. 0B. 1C. 26D. -16、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ ）A.6)14(261--x e πB.32)14(261--x eπC.6)14(2321--x eπD.23)14(261--x eπ7、321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（）A.3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X ++ D. 321613131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为X123.PC 1/4 1/8则常数C 为（ ）（A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/89 、设随机变量X ～N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X近似的服从（ ）（A ） N （4，25） （B ）N （4，25/n ） （C ） N （0,1） （D ）N （0，25/n ） 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01下，（ ）A. 必接受0HB. 可能接受，也可能拒绝0HC. 必拒绝0HD. 不接受，也不拒绝0H 二、填空题（每空1.5分，共15分）1、A, B, C 为任意三个事件，则A ，B ，C 至少有一个事件发生表示为：_________；2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8，0.6，则密码能被破译的概率为_________；3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A ＝＿＿＿，B ＝＿＿＿＿；4、随机变量X 的分布律为k C k XP )31()(==，k =1,2,3, 则C=_______;5、设X ～b （n,p ）。
概率论_习题集(含答案)
《概率论》课程习题集一、计算题1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。
2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }，已知()()5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。
（1）求随意取出的零件是合格品的概率（2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开,求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率(2) 三次内打开房门锁的概率(3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它020242x x x c x f求：（1）；常数c （2）{}．1>X P7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ；8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。
若要求,80.0)200120(≥≤<X P 允许σ最大为多少？9. 证明：指数分布有无记忆性（或称无后效性），即证：如果)(~λE X ，则有)()|(t X P s X t s X P >=>+>，0,0≥≥t s10. 对球的直径作测量，设测量值均匀地分布在],[b a 内，求球的体积的概率密度.11. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021),11(2)(2x xx f ,求X 的分布函数。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论习题试题集
第一章随机事件与概率一、填空题1.已知随机事件 A 的概率P( A)0.5 ，事件 B 的概率P( B)0.6 ，条件概率P(B A)0.8 ，则P(A B)__________ ____ 。
2. 设 A，B为随机事件，已知P( A)，，B)，则P(AB)____________。
0.3 P(B)0.4 P( A3.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6 和，现目标被击中，则它是甲命中的概率为 ___________ 。
4.某射手在 3 次射击中起码命中一次的概率为0.875 ，则该射手在一次射击中命中的概率为___________ 。
5.设随机事件 A在每次试验中出现的概率为1,则在 3次独立试验中 A 起码发生一次的概率为3___________ .6.袋中有黑白两种球 , 已知从袋中任取一个球是黑球的概率为1, 现从袋中不放回地挨次取球, 则第 k 4次获得白球的概率为___________ 。
7.三台机器互相独立运行，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率挨次为，，，则这三台机器中起码有一台发生故障的概率是___________ 。
8.电路由元件 A 与两个并联的元件 B， C 串连而成，若 A， B，C 破坏与否互相独立，且它们破坏的概率挨次为，，0.1 ，则电路断路的概率是___________ 。
9. 甲乙两个投篮，命中率分别为，，每人投 3 次，则甲比乙进球数多的概率是___________ 。
10. 3 人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是1115，，，则此密码被译出的概率是34________。
二、选择题1. 关于任意两个事件 A， B，有P( A B) 为（）（A）P( A)P( B)（B）P(A)P(B)P(AB)（C）P( A)P(AB)（D）P(A)P(B)P(AB)2. 设 A， B 为两个互斥事件，且P( A)0, P(B)0 ，则以下正确的选项是（）（A）P(A B)P(A)（B）P(B A)0（C ） P( AB) P( A)P( B) （D ） P(B A) 03. 其人独立地投了 3 次篮球， 每次投中的概率为 0.3 ，则其最可能失败 （没投中） 的次数为 （）（A ） 2 （B ）2 或 3 （C ） 3（D ）14. 袋中有 5 个球（ 3 个新， 2 个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）（A ）3（B ）354（C ）2（D ）34105. n 张奖券中含有 m 张有奖的， k 个人购置，每人一张，此中起码有一个人中奖的概率是（ ）（A ）m（B ）1C n k m C n mC n kC m 1C n k m 1k C m r（C ）（ D ）1C n kC n kr 三、计算题( 随机事件、随机事件的关系与运祘 )1.指出下边式子中事件之间的关系：⑴AB A ；⑵ABC A ； ⑶A B A 。
高等数学(概率论)习题及解答
高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。
1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。
2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。
现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。
求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。
2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。
根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。
以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。
概率论例题汇总
边缘分布为
7
若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为
X
Y
0
3 10 3 10 3 5
1
3 10 1 10 2 5
3 5 2 5
X
Y
0
9 25 6 25
3 5
1
6 25 4 25 2 5 3 5 2 5
0
1
0
1
边缘分布为
与有放回的情况比较， 两者的联合分布完全不同，
i 1
5 0.1 2 0.2 1 0.3 4 0.4 1 .
EX 2 xi2 pi
i 1 4
4 0.1 1 0.2 0 0.3 1 0.4 1 .
24
例2 设随机变量 X ~ N (0,1), 求 E ( X 2 ) 解 E( X )
4 xy, 0 x 1, 0 y 1 (1) f1 ( x, y ) 其他 0,
8 xy, 0 x y, 0 y 1 (2) f 2 ( x, y ) 其他 0,
讨论X ,Y 是否独立？
16
4 xy, 0 x 1, 0 y 1 f1 ( x, y ) 其他 0, 1 解 (1)经计算得边缘密度为
( 3 ) 概 率 P{ X Y 1 } .
y x
解 (1)
1 0
x 0
f ( x , y ) dxdy
0 1 x
dx cy( 2 x ) dy
c 1 5 24 2 ( 2 x ) x dx c 1 ， c . 5 2 0 24
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Y X
0
1
2
0 0.1 c 0.1
1 0.2 0.1 0.2
求：(1) c；(2) X ,Y 的边缘分布；(3) P( X Y 1) . 解 (1) 0.1 c 0.1 0.2 0.1 0.2 1 c 0.3 .
9
例2 设二维随机变量(X,Y )的联合分布为
Y X
0
1
2
0 0.1 0.3 0.1 0.5
0.1 0.3 0.2 0.6 .
11
例5 设(X,Y)的概率密度是
cy (2 x), 0 x 1,0 y x
f (x, y)
0,
其他
求 (1) c的值；(2) 两个边缘密度； y
(3)概 率 P{ X Y 1} .
解 (1)
f ( x, y)dxdy
1
x
0
0 dx0 cy(2 x)dy
2 e2 xdx x e y dy
0
0
y
2 e2 x (1 e x )dx 0 O
1.
x
3
5
例1 袋中有2只白球3只
XY 0
黑球，有放回摸球两次，
9
定义X为第一次摸得的白
0 25
球数，Y为第二次摸得的 白球数，则(X,Y)的联合
6
1 25
分布律为
3
Y的边缘分布
5
所以 X,Y 的边缘分布律分别为
7
若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为
XY 0
3
0 10
1
3 10
3
5
1
33 10 5 12 10 5 2 5
XY 0 1
9
6
3
0 25
25
5
6
4
2
1 25
25
5
3
2
5
5
边缘分布为
与有放回的情况比较，两者的联合分布完全不同，
但边缘分布却完全相同。
8
例2 设二维随机变量(X,Y )的联合分布为
15
例1 已知 ( X, Y ) 的联合密度函数为
4xy, 0 x 1, 0 y 1
(1)
f1(x, y)
0,
其他
(2)
8xy,
f2(x, y)
0,
0 x y, 0 y 1 其他
讨论X ,Y 是否独立？
16
4xy, 0 x 1, 0 y 1
1 0.2 0.1 0.2 0.5 0.3 0.4 0.3
求：(1) c； (2) X ,Y 的边缘分布；(3) P( X Y 1) .
解 (1) 0.1 c 0.1 0.2 0.1 0.2 1 c 0.3 .
(2) 边缘分布
X 01
Y
01
2
P 0.5 0.5
P
0.3
0.4
0.3 10
P{X
1, Y
1}
22 52
4 25
1
P{X
0, Y
0}
32 52
9 25
P{X
1, Y
0}
23 52
6 25
P{X
0, Y
1}
32 52
6 25
22 4
P{X 1, Y 1}
52
25
XY
0
1
9
6
0
25
25
6
1
25
4 25
2
例2 令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个值，
令随机变量 Y 表示在 1 到 X 中等可能地取一个值。求
( X , Y ) 的联合分布律及 P{X 3, Y 2}.
解 由于 Y 的取值依赖于 X 的取值,由乘法公式得( X , Y )
的联合分布律为
Y
pij P{ X i, Y j} X
P{X i)P{Y j | X i) 1
11, 1 j i 4
(2)求 概 率 P{Y X } .
解 (1) 由规范性
f ( x, y)dx dy A
e2 xdx
e ydy
0
0
1 A 1， 2
A2.
4
2e(2x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0,
其他
x
(2) P{Y X} 0
dx 0 f ( x, y) dy
X0 1
P32
55
Y0 1
P32
55
1
6
3
25 5
4
2
25 5
2
5 X的 边缘 分布
6
若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为
XY 0
3
0 10
1
3 10
3
5
边缘分布为
1
33 10 5 12 10 5 2 5
A32 A52
3 10
23 3
A52
10
3 2 A52
3 10
A22 1 A52 10
2
4i
3
P{X 3, Y 2}
111 1 1 2. 4
4 8 8 12 12 3
1234
1
40
11 88 11 12 12
11 16 16
00
00 10
12 11 16 16
3
例1 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
f
(
x,
y)
Ae(2 x
0,
y)
,
x 0, y 0
其他
(1)求系数 A ；
2y
y2 ),
2
0,
0 y1
其他
yx
1x
14
f
(x,
y)
24 5
y
(2
x),Байду номын сангаас
0 x 1,0 y x
0 ,
其他
(3) P{ X Y 1}
24
1
1 y
2 dy y(2 x)dx
50
y
24
1 2
3 (
y
3 y2
y3 )dy
5 02
x y1
y
(1 , 1) 22
yx
0
1x
24 5 3 . 5 64 8
例2 设二维随机变量(X,Y )的联合分布为
Y X
0
1
2
0 0.1 0.3 0.1 0.5
1 0.2 0.1 0.2 0.5 0.3 0.4 0.3
求：(1) c； (2) X ,Y 的边缘分布；(3) P( X Y 1) .
解 (3) P( X Y 1)
P( X 0,Y 0) P( X 0,Y 1) P( X 1,Y 0)
c
1
(2
x)
x
2
dx
5
c 1，
c 24 .
20
24
5
yx
1x
12
f
(x,
y)
24 5
y
(2
x),
0 x 1,0 y x
0 ,
其他
(2)
fX (x)
f ( x, y)dy
y
x 24
0 5 y(2 x)dy
12 x2(2 x) , 0 x 1 5
0
所以
f
X
(
x)
12 5
x2(2
x),
0 x1
0,
其他
yx
1x
13
f
(x,
y)
24 5
y
(2
x),
0 x 1,0 y x
0 ,
其他
(2)
fY ( y)
f ( x, y)dx
y
1 24 y(2 x)dx
y5
24 3
y2
y( 2 y ) , 0 y 1 0
52
2
所以
fY ( y)
24 5
y( 3 2
例1 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，每 次摸一只。定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二 次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。
解 X 的可能取值为 0,1，Y 的可能取值为 0,1，
P{X
0, Y
0}
32 52
9 25
P{X
0, Y
1}
32 52
6 25
P{X 1, Y 0} 2 3 6 52 25