2对偶理讲义论与灵敏度分析

3 -y4 ≤ 2
上述第一类对称形式LP问题的对偶问题为：
Max Z = x1－2x2’ +x3’ －x3’’ x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤ 2
x1+x2’+x3’ －x3’’ ≤ 1 s.t. x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤－1
－2x1+x2’ －x3’+x3’’ ≤－2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
x 1 , x 2 , x 3 0
M axZ 7 y1 8 y2 y3
解: 上述LP问题的 对偶问题为：
3 y1 4 y2 y3 3
ST
:
3 y1 4 y1
y2 y2
y3 4 y3 0
y 1 , y 2 , y 3 0
7
三、非对称LP问题的对偶问题
例3 写出下列LP问题的对偶问题
2对偶理论与灵敏度分析
精品jing
第一节 对偶问题的提出
一、引例
材料 甲 乙 丙 丁 单件
产品
收益
A 3 2 1 1 2000 x1
B 4 1 3 2 4000 x2
C 2 2 3 4 3000 x3
限额 600 400 300 200
y1 y2 y3 y4
假设工厂考虑不进行生产而把 全部资源都转让，问如何定价 这些资源，既能使其获利不低 于安排生产所获得的收益，又 能使资源租让具有竞争力。
YA C
S .T .
Y
0
（2）对称LP问题的对偶问题
M axZ CX
(L )
(D )
AX b
S .T .
X
0
M in W Y b
YA C
S .T .
Y
0
4
例1 写出下列LP问题的对偶问题
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8
4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
Max Z = 2000x1+4000x2+3000x3
s.t. 3x1+4x2+2x3≤600 2x1+ x2+2x3≤400
x1+3x2+3x3≤300 x1+2x2+4x3≤200
x1, x2, x3≥0
Min W =600y1+400y2+300y3+200y4
s.t. 3y1+2y2+ y3+ y4≥2000
对偶
Min W =8y1+16y2+12y3
s.t. y1+4y2 ≥2
2y1 +4y3 ≥3
y1 ,y2,y3 ≥0
5
（3）对偶问题的对偶是原问题
推导过程
Max Z=CX
( L ) s.t. AX≤b
X≥0
变
形
变形对偶 对偶 ( D )
Min W=Yb
s.t. YA≥C
Y≥0
变
形
Min Z ’= (-C)X
解：用x2= -x2’, x3=x3’-x3’’ 代入上述LP问题，并将其 化为第一类对称形式
x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤ 2
x1+x2’+x3’ －x3’’ ≤ 1 s.t. －x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤－1
－2x1+x2’ －x3’+x3’’ ≤－2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
Min s.t.
W =2u1+u2+2u3
u1+u2+2u3 ≥1 u1 －u2+ u3 ≤2 －u1+u2+ u3 =1
-y1+y2 -y3 -y4 ≤ 1
u1≥0, u3≤0 ,u2无约束
9
Max Z = x1+2x2+x3
Min W =2u1+u2+2u3
(L)
x1+x2-x3 ≤2
s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2
称变量yi为第一个LP的第i个对偶变量， 或第一个LP的第i约束相应的对偶变量
3
二、对偶问题
（1）对称LP问题的定义
第一类对称形式
M axZ CX
AX b
S .T .
X
0
（1）变量为非负； （2）约束条件为不等式。
对于max ，约束为“” ；
对于min，约束为“”
第二类对称形式
M in W Y b
(D)
x1≥0, x2≤0 ,x3无约束
u1+u2+2u3 ≥1
s.t. u1 -u2+ u3 ≤2
-u1+u2+ u3 =1 u1≥0, u3≤0 ,u2无约束
对偶关系：一个问题第i个变量的约束情况决定另一问题 第i个约束不等式的方向，反之亦然。
正常的对正常的，不正常的对不正常的
原问题约束条件是等式对应于对偶问题决策变 量无约束，反之亦然
10
例3 直接写出LP问题的对偶问题
MaxZ x1 2 x2 x3
x1 x2 x3
ST
:
x1 2 x1
x2 x2
x3 x3
2 1 2
x1 0, x 2 0, x 3无 约 束
M in W 2 u 1u 22 u 3 u1u22u3 1
( D D ) s.t. (-A)X≥ (-b)
X≥0
Max W ’= Y(-b)
Max W ’= -Yb
s.t. -YA≤ -C
Y≥0
s.t. Y(-A)≤ (-C)
Y≥0
6
例2 写出下列LP问题的对偶问题
M inW 3 x1 4 x2
3 x1 3 x2 4 x3 7
ST
:
4 x1 x2 x3 8 x1 x2 x3 1
Min W =2y1+y2 －y3－2y4
y1+y2 －y3－2y4 ≥ 1 －y1+y2 －y3 +y4 ≥-2 s.t. －y1+y2 －y3－y4 ≥ 1
y1 －y2+y3 +y4 ≥-1 y1, y2, y3, y4 ≥0
令
u1= y1 u2=y2－y3 u3=－y4
则上述问 题变为：
Max Z = x1+2x2+x3 x1+x2-x3 ≤2
s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2 x1≥0, x2≤0 ,x3无约束
x1 -x2+x3 ≤ 1 x1 -x2+x3 ≥ 1
x1 -x2+x3 ≤ 1 -x1 +x2-x3 ≤ - 1
-2x1-x2-x3 ≤ -2 Max Z = x1－2x2’ +x3’ －x3’’
4y1+ y2+3y3+2y4≥4000 2y1+2y2+3y3+4y4≥3000
y1, y2, y3, y4≥0
2
比较上述模型，可以得出两者之间的一些关系：
1. 两个问题，一个是极大化，另一个是极小化； 2. 一个问题的变量数等于另一问题的方程数，反 之亦然； 3. 一个问题的目标函数系数是另一个问题的约束 方程右端常数，反之亦然； 4. 两个问题的约束方程系数矩阵互为转置。