2020版高考数学人教版理科一轮复习第三章三角函数_解三角形课时作业19 (1)

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2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课后作业理

3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·c os 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin 20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛ π4－⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C.7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32 答案 D解析由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案－3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案π3解析因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案－142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝ 1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6 ＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )．即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤32，从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，53－24.18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x－cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲课后作业理含解析

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形：第3章三角函数、解三角形第3讲A 组基础关1．函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数答案 A解析因为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，故选A. 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 答案 B解析由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 4．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－2 答案 A解析因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.5．(2019·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2 答案 D解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )对任意x ∈R 都成立，所以函数f (x )的图象的一个对称轴是直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 6．(2018·甘肃省河西五市一模)已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增答案 B解析因为f (x )＝cos(x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ，又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又0＜|φ|<π2，所以φ＝π4，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4，f (x )先减后增，故选B.7．(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1]( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 答案 D解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x的图象(如图中实线所示)．根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2π)的情况即可．观察图象可知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 8．函数y ＝lg (sin2x )＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，所以－3≤x ＜－π2或0<x <π2.所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.9．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.10．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是________．答案 3解析函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上为减函数，所以函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cosπ，2cos π3，即[－2，1]，所以a ＝－2，b ＝1，所以b －a ＝1－(－2)＝3.B 组能力关1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )答案 C解析令f (x )＝sin2x 1－cos x ，∵f (1)＝sin21－cos1>0，f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，∴排除A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除B.故选C.2．(2018·皖江最后一卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则ω的值为( )A.23 B.23或2 C.13 D ．1或13答案 B解析因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，∴T 2≥π2，即T ≥π⇒2πω≥π⇒0<ω≤2，而|0－(－π)|＝π≤T ；若T ＝π，则ω＝2；若T >π，则x ＝－π2是f (x )的一条对称轴，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是其相邻的对称中心，所以T 4＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝3π4，∴T ＝3π⇒ω＝2πT ＝23.3．若函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝________.答案 4035解析 ∵函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3，∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，周期T ＝4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2017)＋f (2018)＝504×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2) ＝504×8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π2＋2＋(－sinπ＋2)＝4035.4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解 (1)f (x )＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.C 组素养关1．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.2．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

2020高考数学理科大一轮复习课时作业：第三章三角函数、解三角形课时作业20

课时作业20 同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．sin1 470°＝( B ) A.32 B.12 C ．－12D ．－32解析：sin1 470°＝sin(1 440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin30°＝12，故选B.2．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( A ) A ．－35 B.35 C ．－45 D.45解析：∵α为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35，故选A.3．(2019·南宁市摸底联考)若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α＝( D )A ．－43 B.34C ．－34 D.43解析：解法1：由题意知，tan α＝－2， tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43，故选D. 解法2：由题意知，sin α＝－2cos α， tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝43，故选D. 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π8＝( A ) A ．－45 B.45 C ．－35 D.35解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π8＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π8＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π8＝－45，故选A. 5．若sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝( B ) A.25 B ．－25 C.23 D ．－23解析：由sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，得sin x ＝2cos x ，即tan x ＝2，则cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x sin x ＝－sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝－tan x 1＋tan 2x ＝－21＋4＝－25.故选B. 6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，且满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2 0172π＝35，则sin α＋cos α＝( C )A ．－75 B ．－15 C.15D.75解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2 0172π＝cos α＋1 008π＋π2 ＝－sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－35，cos α＝1－sin 2α＝45，则sin α＋cos α＝－35＋45＝15.故选C.二、填空题7．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是－334.解析：原式＝sinπ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan －π－π3＝－sin π3·－cos π6·⎝⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.8．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝2211. 解析：因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，由tan A ＝sin A cos A ＝23以及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求得sin A ＝2211.9．已知1＋tan x 1－tan x ＝3＋22，则sin x (sin x －3cos x )的值为13－ 2.解析：由1＋tan x 1－tan x ＝3＋22得tan x ＝22，∴sin x (sin x －3cos x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝sin 2x －3sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x －3tan x tan 2x ＋1＝13－ 2. 10．已知sin α＋cos α＝－15，且π2<α<π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为3512.解析：由sin α＋cos α＝－15平方得sin αcos α＝－1225，∵π2<α<π，∴sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝75，∴1sin (π－α)＋1cos (π－α)＝1sin α－1cos α＝cos α－sin αsin αcos α＝－75－1225＝3512.三、解答题11．(2019·河北衡水武邑中学调考)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α ＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，则原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，则原式＝1sin αcos α＝－52.12．(2019·山东济南二中检测)已知π2<α<π，tan α－1tan α＝－32. (1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值．解：(1)令tan α＝x ，则x －1x ＝－32，整理得2x 2＋3x －2＝0，解得x ＝12或x ＝－2，因为π2<α<π，所以tan α<0，故tan α＝－2.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＋cos αcos α＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.13．(2019·山西晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝( B )A.56B.1718C.89D.23解析：|sin θ|＋|cos θ|＝233两边平方得，1＋|sin2θ|＝43，∴|sin2θ|＝13，∴sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1718，故选B.14．(2019·安徽皖南八校第二次联考)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且12sin θ＋12cos θ＝35，则tan2θ＝±247.解析：依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t >0，则原式化为12t ＝35·t 2－12，解得t ＝75⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－57舍去，故sin θ＋cos θ＝75，则sin θcos θ＝1225，即sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1225，即tan θ1＋tan 2θ＝1225，12tan 2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝34或43，则tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝±247. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·福建毕业班适应性考试)A ＝{sin α，cos α，1}，B ＝{sin 2α，sin α＋cos α，0}，且A ＝B ，则sin 2 017α＋cos 2 018α＝( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析：当sin α＝0时，sin 2α＝0，此时集合B 中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A ＝{sin α，0,1}，B ＝{sin 2α，sin α，0}，此时sin 2α＝1，得sin α＝－1，所以sin 2 017α＋cos 2 018α＝－1.16．(2019·浙江台州调研)已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则实数θ的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，5π12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6 解析：令f (x )＝(cos θ＋sin θ＋1)x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ，由θ∈[0，π)知cos θ＋sin θ＋1>0恒成立，若f (x )>0在[－1,0]上恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12(1＋cos θ＋sin θ)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，sin θ>0，sin2θ>12，得θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，5π12.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABC S ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理理解析版

第6讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1，所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析因为c b<cos A ，所以c <b cos A ，由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )．所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ，所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解因为a cos A ＝b cos B ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解因为cos 2B 2＝a ＋c 2c，所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )，则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形；若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形；若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型三与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4，由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。

2020版高三文科数学人教版第一轮复习作业：第三篇三角函数、解三角形第4节课时作业

课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )(A)－32(B)－12(C)12(D)32A 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.故选A.2．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(3π8，0)，则函数f (x )的单调递减区间是( )(A)[2k π－3π8，2k π＋π8](k ∈Z ) (B)[2k π＋π8，2k π＋5π8](k ∈Z ) (C)[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )(D)[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )D 解析：由题可得sin(2×3π8＋φ)＝0，又0＜φ＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin(2x ＋π4)，由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．故选D.3．函数f (x )＝sin 23x ＋cos 23x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) (A)3π (B)43π (C)32π(D)76πC 解析：由题意得f (x )＝2sin(23x ＋π4)，则其图像中相邻的两条对称轴间的距离为半个周期T 2＝π23＝3π2.故选C.4．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )(A)π6 (B)π4 (C)π3(D)π2D 解析：易知y ＝cos 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.5．(2018广西河池市高级中学)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图像的一个对称中心是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 A 解析：2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＝k π2＋π12，k ∈Z . 故★答案★为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.6．(2018宁德质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像，将该图像向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )(A)π12 (B)π6 (C)π4(D)π3B 解析：令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图像知，T ＝56π＋π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，且0＜φ＜π2，所以－π6×2＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将该函数图像向右平移m 个单位后，所得图像的解析式是g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2m ，因为函数g (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－2m ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π6.故选B.7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位后，得y ＝sin(2x ＋π3＋φ)，则π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . 又0≤φ＜π，故φ＝π6. ★答案★：π68．若函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2，则函数f (x )的最小正周期为________；函数f (x )在区间[－π，0]上的最小值是________．解析：因为f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2＝22(sin x ＋cos x －1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以函数f (x )的最小正周期为2π；因为x ∈[]－π，0，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，函数f (x )在区间[－π，0]上取最小值－1－22；故填2π；－1－22.★答案★：2π －1－229．已知f 1(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由题知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ，故f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )★答案★：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )10．(2017华南师大附中测试)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2cos 2x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π2]上的最小值．解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2cos 2x ＝－12cos 2x －32sin 2x ＋1＋cos 2x ＝12cos2x －32sin 2x ＋1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π≤2x ＋π3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，可得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间是[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z . (2)由(1)得g (x )＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＋1 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1≤2，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为12.能力提升练(时间：15分钟)11．(2018揭阳二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则φ的值为( )(A)π3或2π3 (B)2π3 (C)4π3(D)π3或4π3D 解析：由题意可得函数的周期T ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3×23＝π，则ω＝2πT ＝2，当x ＝－2π3时，ωx ＋φ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋43π(k ∈Z )，令k ＝0可得：φ＝43π. 本题选择C 选项．12．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0，2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)的值为( )(A)2 468 (B)3 501 (C)4 032(D)5 739C 解析：f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2，∵f (x )max ＝3，∴A ＝2，令x ＝0，则cos(2φ)＝0，∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4，易知函数f (x )的最小正周期为4，∴2π2ω＝4，得ω＝π4，故f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋2，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2016＝4032.13．已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( )(A)2π，－32 (B)π，－32 (C)π，－52(D)2π，－52B 解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cos φ(2cos 2x －1)＋12sinφsin2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.14．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列命题：①f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图像向右平移π12个单位，得到一个奇函数的图像．其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：对于①，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，不是最值，所以x ＝π3不是函数f (x )的图像的对称轴，该命题错误；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数f (x )的图像的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，显然函数y ＝sin t在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上为增函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图像向右平移π12个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，是奇函数，所以该命题正确．故填③④.★答案★：③④15. (2018锦州模拟)如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0，1)是线段MD 的中点，MD →·MN →＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)由已知F (0，1)是线段MD 的中点，可知A ＝2，因为MD →·MN →＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，所以T ＝2π3，ω＝3，所以f (x )＝2sin(3x ＋φ)．设D 点的坐标为(x D ，2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)，所以x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为(－π12，0)，所以sin(π4－φ)＝0. 因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(3x ＋π4)． (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为 [2k π3－π4，2k π3＋π12](k ∈Z )．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节三角恒等变换教学案(含解析)理-人教版高三全册

第五节三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)t a n(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)t a n 2α＝2tan α1－tan 2α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)； (2)t a n α－t a n β＝t a n(α－β)(1＋t a n αt a n β)． 2．公式C 2α的变形： (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)；(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α；(3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α.4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中t a n α＝b a)，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π6. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式t a n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.210 B ．－210C.7210 D ．－7210A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210.故选A.] 4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.725 [由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725.]5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.33 [11－tan 15°－11＋tan 15°＝1＋tan 15°－1－tan 15°1－tan 15°1＋tan 15° ＝2tan 15°1－tan 215°＝t a n 30°＝33. ]三角函数式的化简1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α，则t a n α＝( )A ．－1B ．0C.12D ．1A [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以t a n α＝sin αcos α＝－1，故选A.]2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12B.12C.32 D ．－32B [sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( ) A.23B.43C.34D.32D [由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.－cos θ [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.][规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．三角函数式的求值►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C ．－79D ．－89(2)(2019·某某模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A.26＋16 B.3－28 C.3＋28D.23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则t a n(α－β)＝________.(1)B (2)A (3)－73 [(1)cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.故选B.(2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A. (3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcosβ－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34，因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. 所以t a n(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73.]►考法2 给角求值【例2】 (1)t a n 20°＋t a n 40°＋3t a n 20°t a n 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°)＝________.(1)3(2)1[(1)由t a n(20°＋40°)＝tan 20°＋t an 40°1－tan 20°tan 40°＝3得t a n 20°＋t a n 40°＝3(1－t a n 20°t a n 40°)∴原式＝3(1－t a n 20°t a n 40°)＋3t a n 20°t a n 40°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]►考法3 给值求角【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且t a n(α－β)＝12，t a n β＝－17，则2α－β的值为________．(1)A (2)－3π4[(1)∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4. ∵sin(β－α)＝1010＞0， ∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. ∵2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.(2)因为t a n α＝t a n[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为t a n 2α＝2tan α1－tan 2α＝＝34＞0，所以0＜2α＜π2，所以t a n(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为t a n β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.][规律方法] 三角函数求值的三种情况1“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.3“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角.(1)若0＜α＜π，－π＜β＜0，cos ⎛⎪⎫π＋α＝1，cos ⎛⎪⎫π－β＝3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.539B ．－69C.33D ．－33(2)1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________.(3)(2019·某某模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．(1)A (2)22 (3)π4 [(1)由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos π4＋αcos π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.(2)原式＝sin 210°cos 80°2sin 210°＝sin 210°2sin 210°＝22. (3)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.]三角恒等变换的综合应用【例4】 (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵－π3≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π6≤π3，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，当2x －π6＝π3，即x ＝π4时，f (x )有最大值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. [规律方法] 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin ωx ＋φ＋t 或余弦型函数y ＝A cos ωx ＋φ＋t 的形式，再利用三角函数的图象与性质求解.(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12， ∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0，则2α＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－5π6，π6， ∴f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13， ∴2α＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223， ∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226.1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1 C.35 D.15A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65. 故选A.法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )m ax ＝65，故选A.] 2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15C ．－15D ．－725 D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255 D ．1B[由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝23，所以cos α＝56，sin α＝±16，得|t a n α|＝55.由题意知|t a n α|＝a－b1－2，所以|a－b|＝55.] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知t a nα－5π4＝15，则t a n α＝________.32[法一：因为t a n α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得t a n α＝32.法二：因为t a nα－5π4＝15，所以t a n α＝t a nα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.]5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．5[f(x)＝2cos x＋sin x＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x＋55sin x，设sin α＝255，cos α＝55，则f(x)＝5sin(x＋α)，∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 5.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

2020高考数学理科大一轮复习课时作业：第三章三角函数、解三角形课时作业24

课时作业24 正弦定理、余弦定理一、选择题1．△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( A )A ．2 B.52 C ．3 D.72解析：由题意可得c ＝a ＋2，b ＝3，cos A ＝78，由余弦定理，得cos A ＝12·b 2＋c 2－a 2bc ，代入数据，得78＝9＋(a ＋2)2－a 22×3(a ＋2)，解方程可得a＝2.2．(2019·湖北黄冈质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( B )A.53B.54C.55D.56解析：由正弦定理，得sin A ＝52sin B ，又A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝54.3．(2019·成都诊断性检测)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：在锐角△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B ，知sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，而正切函数y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，所以A >B ⇔tan A >tan B .故选C.4．(2019·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( A )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：根据正弦定理得c b ＝sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ，整理得sin A cos B <0，又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π.∴△ABC 为钝角三角形．5．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( C ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.6．(2019·河南洛阳高三统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则c b sin B ＝( B )A.32B.233C.33 D. 3解析：由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sin C ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin Csin 2B＝sin C 32sin C＝233.故选B.二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝32.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.8．(2019·福州四校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C2＝5，则c ＝13.解析：∵(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C 2＝5，∴(a ＋b )2sin 2C 2＝144 ①，(a －b )2cos 2C 2＝25 ②，①＋②得，a 2＋b 2－2ab (cos 2C 2－sin 2C 2)＝169，∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＝169，∴c ＝13.9．(2019·开封高三定位考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为23，则b ＋c 的值为7.解析：由正弦定理及b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，得sin B ·sin B cos B ＋sin B ·sin A cos A ＝2sin C ·sin B cos B ，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，亦即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，故sin C ＝2sin C cos A .因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.由面积公式，知S △ABC ＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，代入可得b ＋c ＝7.三、解答题10．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0， ∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0，∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0，又0°<B <180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos120°＝a 2＋2a ＋4，又a >0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3. 11．(2019·重庆市质量调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cos B 2＝14.(1)求cos B 的值；(2)若b 2－a 2＝314ac ，求sin Csin A 的值．解：(1)将sin B 2－cos B 2＝14两边同时平方得，1－sin B ＝116，得sin B ＝1516，故cos B ＝±3116，又sin B 2－cos B 2＝14>0，所以sin B 2>cos B2，所以B 2∈(π4，π2)，所以B ∈(π2，π)，故cos B ＝－3116. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋314ac ，所以314a ＝c －2a cos B ＝c ＋318a ，所以c ＝318a ，故sin C sin A ＝318.12．(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝60°；c a 的取值范围是(2，＋∞)．解析：△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <180°，所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°，所以0<tan A <33，所以c a ＝sin Csin A ＝sin (2π3－A )sin A ＝sin 2π3cos A －cos 2π3sin Asin A ＝32tan A ＋12>2，故ca 的取值范围为(2，＋∞)．13．(2019·山西八校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＝sin(A ＋C )，由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin2A ，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ，整理得cos A sin C ＝2sin A cos A . 若cos A ＝0，则A ＝π2，由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233. 若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ，由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4，解得a ＝233，∴c ＝433，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233. 综上所述，△ABC 的面积为233.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14．(2019·南宁、柳州联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( A )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：解法1：由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A ＝－b2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝2tan C 1＋3tan 2C＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥ 21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法2：由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC的周长为2＋ 3.故选A.15．(2019·河南信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C .(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值．解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎪⎨⎪⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1讲课后作业理(含解析)

第3章三角函数、解三角形第1讲A 组基础关1.集合{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时上式表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时上式表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样.2.下列各选项中正确的是( ) A.sin300°>0B ．cos(－305°)<0 C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin10<0答案 D解析因为300°＝360°－60°，所以300°是第四象限角，故sin300°<0；因为－305°＝－360°＋55°，所以－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；因为－22π3＝－8π＋2π3所以－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0.因为3π<10<7π2，所以10是第三象限角，所以sin10<0.3.若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A.sin α<tan α<cos α B ．cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D ．tan α<sin α<cos α答案 C解析作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，如图所示．由图可知MP <OM <AT ，所以sin α<cos α<tan α.4.若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A.重合 B ．关于原点对称 C.关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称答案 C解析 θ与－θ的终边关于x 轴对称，α与θ终边相同，β与－θ终边相同，所以α与β的终边关于x 轴对称.5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错误；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错误；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错误；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错误．综上可知只有③正确.6.点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析由题意得2π3的终边与单位圆的交点是Q ，由任意角三角函数的定义可知，。

高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文

例 1 (1)[2017·衡水中学二调]cos130°－sin1170°＝(
)
A．4
B．2
C．－2
D．－4
[解析]
3－ 1 ＝
3－ 1 ＝
cos10° sin170° cos10° sin10°
3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4.
3 2

，1，f(x)∈0，1＋

23.
故

f(x)的值域为0，1＋
23.
核心规律重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2sin20°
2sin20°
(2)4cos50°－tan40°＝(
)
A． 2
B．
2＋ 2
3
C． 3 [解析]
D．2 2－1
4cos50°－
tan40°＝
4sin40°cos40°－sin40°＝ cos40°
2sin80°－sin40°
＝
cos40°
2sin100°－sin40°
＝
cos40°
2sin60°＋ cos4400°°－sin40°＝2×
23cos10°＋12sin10° cos20°
考向三角函数的条件求值
命题角度 1 给值求值问题
例 2 [2016·全国卷Ⅱ]若 cosπ4－α＝35，则 sin2α＝(

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第三章三角函数、解三角形
课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函
数
一、选择题
1．将－300°化为弧度为( B ) A ．－43π B ．－53π C ．－76π D ．－74π 解析：－300×π180＝－5
3π. 2．tan 8π
3的值为( D ) A.33 B ．－33 C. 3 D ．－ 3
解析：tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π
3＝－ 3.
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C )
A ．2
B ．sin2 C.2sin1
D ．2sin1
解析：r ＝1sin1，l ＝θ·r ＝2·1sin1＝2
sin1，故选C.
4．已知点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值
为( C )
A.5π6
B.2π3
C.11π6
D.5π3
解析：因为点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1
2
32
＝－33，又θ∈[0,2π)，可得θ＝11π
6.
5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4
5，则cos α的值为( D )
A.45 B ．－45 C.35 D ．－35
解析：因为点A 的纵坐标y A ＝4
5，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－3
5，由三角函数的定义可得cos α＝－35.
6．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5x ，则tan α＝( D )
A.43
B.34 C ．－34
D ．－43
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝1
5x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝
x
x 2
＋16
，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－4
3. 7．点P (cos α，tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若点P (cos α，tan α)在第二象限，则⎩⎨
⎧
cos α<0，tan α>0，
可得α的
终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有⎩⎨
⎧
cos α<0，
tan α>0，
即
点P (cos α，tan α)在第二象限，故选项C 正确．
8．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( C )
A ．[－2,2]
B ．[－2，2]
C ．[－1,1]
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，12 解析：设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋1
2cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．
二、填空题
9．－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角
是143°，最大负角是－217°.
解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.
10．设角α是第三象限角，且⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α
2是第四象限
角．
解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π
2(k ∈Z )，则k π
＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin α2＝－sin α
2知
sin α2<0，所以α
2只能是第四象限角．
11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的2
3，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为5
18.
解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r
3，记扇形的圆心角为α，则扇形与圆面积之比为12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32
πr 2＝527，∴α＝5π
6.∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.
12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝1
3.
解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时
sin β＝1
3；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝1
3.综合可得sin β＝1
3.
解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝1
3.
解法3：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝1
3(k ∈Z )．
13．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π
3，cos 2π3，则角α的
最小正值为( D )
A.5π6
B.2π
3 C.5π3 D.11π6
解析：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.
14．(2019·武汉模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ，3m )，则sin2α＝32.
解析：由题意得|OA |2＝m 2＋3m 2＝1，故m 2
＝1
4.
由任意角三角函数定义知cos α＝m ，sin α＝3m ，
由此sin2α＝2sin αcos α＝23m 2＝3
2.
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( D ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：由三角函数线可知选D.
16．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝2
3，则|a －b |＝( B )
A.15
B.55
C.25
5 D ．1
解析：解法1：由正切定义tan α＝y
x ，则tan α＝a 1＝b
2，即a ＝tan α，b ＝2tan α.
又cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝23，得tan 2
α＝15，tan α＝±55.
∴|b －a |＝|2tan α－tan α|＝|tan α|＝5
5. 解法2：由两点斜率公式，得：tan α＝b －a
2－1＝b －a .
又cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2
α＝23，解得tan 2
α＝1
5，
∴|b －a |＝|tan α|＝5
5.。