偏最小二乘课件
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一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程 致误.
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
最小二乘法数据拟合与回归
最小二乘法数据拟合与回归简介：本文主要对PRML一书的第一章总结，结合moore关于回归的课件Predicting real-valued outputs: an introduction to regression。
什么是回归(regression)?1. 单一参数线性回归如上图考虑用一条过原点的直线去拟合采样点，y=wx,那么未知参数w取什么值可以使得拟合最好的，即整体拟合误差最小，这是一个最小二乘法拟合问题。
目标是使得(Xi-Yi)^2的总和最小。
2. 从概率的角度考虑上面的问题就是说我们假定模型是y=wx但是具体的(Xi,Yi)对应生成的时候按照高斯分布概率模型，以WXi为中心,方差未知。
具体每个采样点之间是独立的。
上面提到我们的目标是通过样本集合的实际观察值去预测参数W的值。
怎样预测W的值呢，有两个思路即上面提到的•MLE 最大似然法即参数W取什么样的值能够使得我们已经观察到的实际样本集合出现的概率最大。
ArgMax(P(Y1,Y2…Yn|X1,X2…Xn,W))，但是这样是不是有点奇怪，我们的目的其实是从观察的样本中估算最可能的W，ArgMax （W|x1,x2…xn,y1,y2…yn)可以看到优化的目标其实和最小二乘法是一样的。
•MAP 采用贝叶斯规则,后面再讲。
3.多项式曲线拟合贯穿PRML第一章的例子是多项式曲线拟合的问题（polynomial curve fitting)。
考虑order为M的多项式曲线，可以表述为下面的形式:曲线拟合的目标可以表述为优化是的下面的E(W)最小化(当然你可能会选取不同的error function这只是其中一种而已):对于取到最小值的我们表示为，最优的最小距离是。
如果我们选择不同的order值即M不同的多项式曲线去拟合，比如取M=0，1，3，9最小二乘法拟合的结果如下图:可以看到M=9的情况，曲线和采样观察点拟合的很好但是却偏离了整体，不能很好的反映,这就是传说中的over fitting过度拟合问题。
《基本回归模型》课件
01
多元线性回归模型是一种预测模型，通过多个自变 量来预测因变量的值。
02
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际 值之间的残差平方和来估计参数。
03
多元线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线 性关系，且自变量之间不存在多重共线性。
多元线性回归模平方和来估计参 数，使得预测值与实际值之间的 差距最小。
详细描述
在股票市场中，股票价格的波动受到多种因素的影响，如公司财务状况、宏观经济指标、市场情绪等 。通过收集历史股票数据，利用回归分析方法建立模型，可以预测未来股票价格的走势。这种预测可 以帮助投资者制定更合理的投资策略，提高投资收益。
预测房地产价格
总结词
利用回归模型分析房地产市场的相关因 素，如地理位置、建筑年代、周边环境 等，预测未来房地产价格走势，为购房 者和投资者提供决策依据。
调整R方值
考虑到自变量数量的拟合优度指标，用于比 较不同模型之间的优劣。
AIC准则
用于选择最优模型，AIC值越小表示模型越 优。
回归模型的扩展
04
岭回归和套索回归
岭回归（Ridge Regression）
岭回归是一种通过增加一个惩罚项来防止过拟合的线性回归方法。它通过增加一个与系数大小相关的项来调整系 数，以减少模型复杂度并提高预测的稳定性。
1
深度学习与回归模型的结合，旨在利用深度学习 的特征学习和抽象能力，提升回归模型的预测精 度和泛化能力。
2
研究重点在于设计适合回归任务的深度神经网络 结构，以及优化训练算法，以实现更高效和准确 的回归预测。
3
代表性研究包括使用卷积神经网络（CNN）处理 图像数据，循环神经网络（RNN）处理序列数据 等。
02
多元线性回归模型是一种预测模型，通过多个自变 量来预测因变量的值。
02
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际 值之间的残差平方和来估计参数。
03
多元线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线 性关系，且自变量之间不存在多重共线性。
多元线性回归模平方和来估计参 数，使得预测值与实际值之间的 差距最小。
详细描述
在股票市场中，股票价格的波动受到多种因素的影响，如公司财务状况、宏观经济指标、市场情绪等 。通过收集历史股票数据，利用回归分析方法建立模型，可以预测未来股票价格的走势。这种预测可 以帮助投资者制定更合理的投资策略，提高投资收益。
预测房地产价格
总结词
利用回归模型分析房地产市场的相关因 素，如地理位置、建筑年代、周边环境 等，预测未来房地产价格走势，为购房 者和投资者提供决策依据。
调整R方值
考虑到自变量数量的拟合优度指标，用于比 较不同模型之间的优劣。
AIC准则
用于选择最优模型，AIC值越小表示模型越 优。
回归模型的扩展
04
岭回归和套索回归
岭回归（Ridge Regression）
岭回归是一种通过增加一个惩罚项来防止过拟合的线性回归方法。它通过增加一个与系数大小相关的项来调整系 数，以减少模型复杂度并提高预测的稳定性。
1
深度学习与回归模型的结合，旨在利用深度学习 的特征学习和抽象能力，提升回归模型的预测精 度和泛化能力。
2
研究重点在于设计适合回归任务的深度神经网络 结构，以及优化训练算法，以实现更高效和准确 的回归预测。
3
代表性研究包括使用卷积神经网络（CNN）处理 图像数据，循环神经网络（RNN）处理序列数据 等。
02
高一数学必修三课件第章线性回归方程
01
02
03
变量
在某一过程中可以取不同 数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又 不受其它变量影响的变量 。
因变量
依赖于其它变量，而又不 能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指 标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对 象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点 分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线 性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合 ，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平 方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程 的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自 变量值，可以计算出因变 量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以 对预测值进行区间估计， 表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间 包含真实值的概率，常用 的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量 被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间 存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出 现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性 。
案例二
应用多元统计课件 (1)
3
本课程的特点与教学方式
教学方式 : 授课与实际例题相结合. 本课程的特点是将常用的多元分析方法的 介绍与在计算机上实现这些方法的软件紧 密地结合起来，不仅介绍每种多元分析方 法 的实际背景、统计思想、统计模型、数 学原理和解题的思路，并结合实例介绍应 用编程软件(Matlab)解决问题的步骤和计算 结果的分析。
的考试成绩，可对学生进行分类，如按文、理 科成绩分类，按总成绩分类等。若准备给优秀 学生发奖，那么一等奖、二等奖的比例应该是 多少？应用多元统计分析的方法可以给出公平 合理地确定。
19
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
我在担任学生班主任期间,经常会遇到学 校下达的评选三好生,评选学习奖等任务.另 还有评选各种奖学金的工作;推荐研究生的 工作都要求班主任提出意见.
0.1025X 4 0.2852X12
Z1是12个变量的线性组合，且系数都是正数，
数值有大有小。显然数值大的变量对综合指标
（主成分）的贡献大；数值小的变量对综合指
标（主成分）的贡献小。
24
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
12个原始变量（课程）提供的信息各为多少？用什
么量来表达？最经典的方法是用变量的方差Var(Xi)为
23
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
最简单最直观地综合变量就是12门课的成绩总和
。但这个最简单的综合变量并不是最科学地代表12门
课综合成绩的指标，而用主成分分析得出的第一主成分
（原始变量的线性组合）Z1是最科学地代表12门课综合 成绩的指标。比如
Z1 0.3233X1 0.4525X 2 0.3502X 3
偏最小二乘课件
20/45
2019/3/13
算法流程
每次舍去第 i 个观测数据（ i 1,2, ，对余下 , n）
的 n 1个观测数据用偏最小二乘回归方法建模，并考 虑抽取 h （ h r ）个成分后拟合的回归式，然后把舍 去的自变量组第 i 个观测数据代入所拟合的回归方程 式，得到 y j ( j 1,2, ˆ ( h) 。 b
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2019/3/13
简介
偏最小二乘回归分析在建模过程中集成了主成分分 析、典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在 分析结果中， 除了可以提供一个更为合理的回归模型外， 还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析 的研究内容，提供一些更丰富、深入的信息。
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2019/3/13
简介
（6）
16/45
2019/3/13
算法流程
（3）用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤。 ˆ u ˆ， ˆ u ˆ1 (1)T ， B ˆ1 (1)T ，则残差阵 E1 A A 记A ˆ 。如果残差阵 B 中元素的绝对值近似为 0， B1 B B 1 则认为用第一个成分建立的回归式精度已满足需要 了， 可以停止抽取成分。 否则用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤即得
4. 否则继续对第二成分的提取，直到能达到满意的精度 为止。 5. 若最终对自变量集提取 r 个成分 u1 , u2 , 二乘回归将建立 y1 , 6. 最后表示为 y1 ,
, ur ，偏最小
, y p 与 u1 , u2 ,
, ur 的回归方程。
, y p 与原自变量的回归方程，即偏
最小二乘回归方程式。
分别为 X ,Y 的第二对成分的负荷量。这时有 (1)T ( 2)T ˆ ˆ A u u A2 , 1 2 (1)T ( 2)T ˆ ˆ B u u B2 . 1 2
【课件】偏最小二乘之smartpls使用(90页)
可以互相交換
形成型與反映型指標的差異
“Whereas reflective indicators are essentially interchangeable (and therefore the removal of an item does not change the essential nature of the underlying construct), with formative indicators ‘omitting an indicator is omitting a part of the construct’.”
小提醒:一個mail地址可以申請 一個帳號,建議申請兩個方便使用
按這邊可以下載 SmartPLS軟體
按這邊就會看到 您專屬的軟體序號
形成型指標Formative vs. 反映型指標Reflective
Formative
Reflective
Formative vs. Reflective
無法互相交換
PLS Algorithm
• Phase I
– 將所有觀察變數的值標準化
• Phase II
– Outer model:利用迴歸方式計算出LVs的因素分數 (迭代至收斂)
– Inner model:以相近的LV作為代理計算,仍然是用 迴歸進行(迭代至收斂)
• Phase III
– 計算因素負荷量,迴歸係數及各種效度測量
(Diamantopoulos / Winklhofer, 2001, p. 271)
Reflective Construct
形成型指標重點 在互補的指標之 間重疊的最小化
反映型指標重點在指標 之間重疊的最大化
Formative Construct
误差修正模型课件
总结词
单方程误差修正模型是针对单个经济变量进行建模的方法，主要目的是检验和估计长期均衡关系及其短期调整机 制。
详细描述
单方程误差修正模型基于经济理论，通过一个经济变量对它的长期均衡关系及其短期调整机制进行建模。它通常 采用一阶差分法或协整法来处理非平稳时间序列数据，以识别和估计变量的长期均衡关系及其短期调整机制。
通常用长期均衡方程来描述。
在长期均衡方程中，变量的系数 映了其在长期均衡关系中的贡
献程度。
长期均衡关系通常是在市场机制 的作用下，通过供求关系自发调
节而形成的。
短期调整机制
短期调整机制是指当经济变量受到外 部冲击或其他因素的影响，导致其偏 离长期均衡状态时，系统会自动调整 以重新回到均衡状态的过程。
与
06
误差修正模型在经济学中的地位与作用
经济学的核心工具
误差修正模型（ECM）是现代经 济学中用于研究长期均衡关系和 短期调整机制的重要工具，尤其 在宏观和微观经济学中占据核心 地位。
揭示经济规律
通过ECM，研究者可以深入探究 经济变量之间的内在关系，揭示 其背后的经济规律和动态机制， 为政策制定提供科学依据。
外汇市场汇率调整的误差修正模型
总结词
该模型用于研究外汇市场汇率的调整机制， 通过分析汇率的短期波动和长期均衡趋势来 预测汇率变化。
详细描述
外汇市场汇率调整的误差修正模型关注汇率 的动态变化，并考虑国内外经济基本面的差 异对汇率的影响。它利用误差项来衡量短期 非均衡程度，并通过调整机制预测长期均衡 汇率的回归，有助于分析汇率的稳定性和波 动性。
短期调整机制通常是通过误差修正机 制来实现的，即系统会根据误差的大 小和方向，自动调整变量的取值，以 使其重新回到长期均衡状态。
单方程误差修正模型是针对单个经济变量进行建模的方法，主要目的是检验和估计长期均衡关系及其短期调整机 制。
详细描述
单方程误差修正模型基于经济理论，通过一个经济变量对它的长期均衡关系及其短期调整机制进行建模。它通常 采用一阶差分法或协整法来处理非平稳时间序列数据，以识别和估计变量的长期均衡关系及其短期调整机制。
通常用长期均衡方程来描述。
在长期均衡方程中，变量的系数 映了其在长期均衡关系中的贡
献程度。
长期均衡关系通常是在市场机制 的作用下，通过供求关系自发调
节而形成的。
短期调整机制
短期调整机制是指当经济变量受到外 部冲击或其他因素的影响，导致其偏 离长期均衡状态时，系统会自动调整 以重新回到均衡状态的过程。
与
06
误差修正模型在经济学中的地位与作用
经济学的核心工具
误差修正模型（ECM）是现代经 济学中用于研究长期均衡关系和 短期调整机制的重要工具，尤其 在宏观和微观经济学中占据核心 地位。
揭示经济规律
通过ECM，研究者可以深入探究 经济变量之间的内在关系，揭示 其背后的经济规律和动态机制， 为政策制定提供科学依据。
外汇市场汇率调整的误差修正模型
总结词
该模型用于研究外汇市场汇率的调整机制， 通过分析汇率的短期波动和长期均衡趋势来 预测汇率变化。
详细描述
外汇市场汇率调整的误差修正模型关注汇率 的动态变化，并考虑国内外经济基本面的差 异对汇率的影响。它利用误差项来衡量短期 非均衡程度，并通过调整机制预测长期均衡 汇率的回归，有助于分析汇率的稳定性和波 动性。
短期调整机制通常是通过误差修正机 制来实现的，即系统会根据误差的大 小和方向，自动调整变量的取值，以 使其重新回到长期均衡状态。
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a11 ˆ1 A (1) u a n1 b11 (1) ˆ1 B v bn1
a1m 11 ， anm 1m b1 p 11 . 1 p bnp
, xm 中
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2019/3/13
简介
偏最小二乘回归是一种多对多线性回归建模的方法， 它具有传统的回归分析等方法所没有的优点： 1. 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行 回归建模； 2. 能够在样本点个数少于变量个数的条件下进行回 归建模； 3. 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有 自变量； 4. 在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归 系数将更容易解释。
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2019/3/13
算法流程
每次舍去第 i 个观测数据（ i 1,2, ，对余下 , n）
的 n 1个观测数据用偏最小二乘回归方法建模，并考 虑抽取 h （ h r ）个成分后拟合的回归式，然后把舍 去的自变量组第 i 个观测数据代入所拟合的回归方程 式，得到 y j ( j 1,2, ˆ ( h) 。 b
b1 p . bnp
偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下：
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2019/3/13
算法流程
（1）分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性 达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为 u1 和 v1 ， u1 是 自变量集 X [ x1 , , xm ]T 的线性组合 u1 11 x1 1m xm (1)T X ， v1 是因变量集Y [ y1 , , y p ]T 的线性组合
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2019/3/13
简介
在多元线性回归模型经典假设中， 其假定之一是回归模型的 自变量之间不存在线性关系，也就是说，自变量 x1 , x2 , 的任何一个变量都不能是其他变量的线性组合。 若线性回归模型中某一个自变量与其他自量间存在线性关 系，就称线性回归模型中存在多重相关性。例如： x4 =2x2 +x3 就 是典型的变量之间存在多重相关性。 多重相关性违背了自变量间不相关的经典假设， 将给普通最 小二乘法带来严重后果。
4. 否则继续对第二成分的提取，直到能达到满意的精度 为止。 5. 若最终对自变量集提取 r 个成分 u1 , u2 , 二乘回归将建立 y1 , 6. 最后表示为 y1 ,
, ur ，偏最小
, y p 与 u1 , u2 ,
, ur 的回归方程。
, y p 与原自变量的回归方程，即偏
最小二乘回归方程式。
以下将介绍偏最小二乘回归分析的建模方法；通 过例子从预测角度对所建立的回归模型进行比较。
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2019/3/13
算法流程
考虑 p 个因变量 y1 , y2 , 的建模问题。 偏最小二乘回归的基本做法： 1. 在自变量集中提出第一成分 u1 （ u1 是 x1 ,
, y p 与 m 个自变量 x1 , x2 ,
(1)T (1) (1) 2 1, s.t. (1)T (1) (1) 2 1.
（3）
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2019/3/13
算法流程
利用拉格朗日乘数法，问题化为求单位向量
T T
(1)
和
(1)
，使
问题的求解只须通过计算 m m 1 (1)T AT B (1)达到最大。 为 1 ， 相应的单位特征向量就是所求的解 计算得到
(i ) j
, p) 在第 i 个观测点上的预测值
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2019/3/13
算法流程
对 i 1, 2, , n重复以上的验证，即得抽取 h 个成 分时第 j 个因变量 y j ( j 1,2, , p) 的预测误差平方和 为
ˆ ( h))2 ， j 1,2, PRESS j ( h) ( bij b (i ) j
ˆ ( h))2 ， SS j ( h) (bij b ij
i 1 n
定义Y [ y1 ,
, y p ]T 的误差平方和为
SS( h) SS j ( h) .
j 1
p
23/45
2019/3/13
算法流程
当 PRESS( h) 达到最小值时，对应的 h 即为所求的 成分个数 l 。 通常， 总有 PRESS( h) 大于SS( h) ， 而SS( h) 则小于 SS( h 1) 。因此，在提取成分时，总希望比值 PRESS( h) SS( h 1) 越小越好；一般可设定限制值为 0.05，即当 PRESS(h) SS(h 1) (1 0.05)2 0.952 时，增加成分 uh 有利于模型精度的提高。
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2019/3/13
简介
偏最小二乘回归分析在建模过程中集成了主成分分 析、典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在 分析结果中， 除了可以提供一个更为合理的回归模型外， 还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析 的研究内容，提供一些更丰富、深入的信息。
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2019/3/13
简介
2
矩阵 M A BB A 的特征值和特征向量， 且 M 的最大特征值
(1)
， 而
(1)
可由
(1)
(1)
1
1
BT A (1)
（4）
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2019/3/13
算法流程
（2） 建立 y1 ,
, y p 对 u1 的回归及 x1 ,
, xm 对 u1 的回
归。 假定回归模型为 ˆ1 (1)T A1 , A u ˆ1 (1)T B1 , B u 其中 (1) [ 11 , , 1m ]T ， (1) [ 11 ,
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2019/3/13
算法流程
或者反过来说，当 PRESS(h) SS(h 1) 0.952 时，就认为增加新的成分 uh ，对减少方程的预测误差 无明显的改善作用。
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2019/3/13
算法流程
为此，定义交叉有效性为 2 Qh 1 PRESS( h) SS( h 1)， 这样，在建模的每一步计算结束前，均进行交叉有效 2 性检验，如果在第 h 步有Qh 1 0.952 0.0985，则模 2 0.0975 ， 型达到精度要求，可停止提取成分；若Qh 表示第 h 步提取的 uh 成分的边际贡献显著，应继续第 h 1步计算。
分别为 X ,Y 的第二对成分的负荷量。这时有 (1)T ( 2)T ˆ ˆ A u u A2 , 1 2 (1)T ( 2)T ˆ ˆ B u u B2 . 1 2
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2019/3/13
算法流程
（4）设 n m 数据阵 A 的秩为 r min( n 1, m ) ，则 存在 r 个成分 u1 , u2 , , ur ，使得 ˆ1 (1)T u ˆ r ( r )T Ar , A u （7） (1)T ( r )T ˆ1 ˆ r u Br . B u 把 uk k 1 x1 km xm （ k 1,2, , r ）， 代 入 即得 p 个因变量的偏最小二乘回 Y u1 (1) ur ( r ) ， 归方程式
(2) [ 21 , , 2 m ]T ， (2) [ 21 , , 2 p ]T ，
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2019/3/13
算法流程
ˆ 2 A1 (2) ， v ˆ2 B1 (2) 为第二对成分的得分向量， 而u 2 2 T T ˆ2 u ˆ 2 ， (2) B1 ˆ2 u ˆ2 (2) A1 u u
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2019/3/13
基于MATLAB的算法实现
Matlab 偏最小二乘回归命令 plsregress： Matlab 工具箱中偏最小二乘回归命令 plsregress 的使用格式为 [XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats] = plsregress (X,Y,ncomp)
i 1 n
, p，
Y [ y1 ,
, y p ]T 的预测误差平方和为
PRESS( h) PRESS j ( h).
i 1 p
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另外， 再采用所有的样本点， 拟合含 h 个成分的回 ˆ ( h)，则 归方程。这时，记第 i 个样本点的预测值为 b ij 可以定义 y j 的误差平方和为
（5）
, 1 p ]T 分别是多对
一的回归模型中的参数向量， A1 和 B1 是残差矩阵。
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回归系数向量 (1) , (1) 的最小二乘估计为 2 (1) AT u ˆ ˆ u1 , 1 (1) 2 T ˆ ˆ B u u 1 1 , 称 (1) , (1) 为模型效应负荷量。
y j c j 1 x1
c jm xm ， j 1,2,
, p.
（8）
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（5）交叉有效性检验。 一般情况下，偏最小二乘法并不需要选用存在的 r 个成分 u1 , u2 ,
, ur 来建立回归式，而像主成分分析一
样，只选用前 l 个成分（ l r ） ，即可得到预测能力较 好的回归模型。对于建模所需提取的成分个数 l ，可以 通过交叉有效性检验来确45
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第一对成分 u1 和 v1 的协方差 Cov( u1 , v1 ) 可用第一对成分
ˆ1 和 v ˆ1 的内积来计算。故而以上两个要求可化为数 的得分向量 u 学上的条件极值问题
ˆ1 v ˆ1 ) ( A (1) B (1) ) (1)T AT B (1) max ( u