数列中an及Sn的关系
数学人教A版高中必修5数列中an与Sn的关系探究优秀学案
数列中n a 与n S 的关系探究1、理解数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系；对数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系能有较深刻的理性认识，会变形利用⎩⎨⎧≥-==-.2,;1,11n S S n S a n n n )(*N n ∈来解决一些与n a 及n S 有关联的一定难度的灵活性、综合性问题，形成技能。
2、通过对问题探究与变式训练，体会⎩⎨⎧≥-==-.2,;1,11n S S n S a n n n )(*N n ∈联结数列的通项n a 和前n 项和n S 的作用。
重点：由数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求n a ； 难点：（1）由1-⇒n n S S 及使用1--=n n n S S a 的前提条件”“2≥n ； （2）由数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，进行n a 与n S 的转化。
1、回顾：我们前面学过等差数列、等比数列，可以由a n →S n ，如等差数列中有2)(1n n a a n S +=；等比数列中有S n →a n ，如已知22n S n n =+，可以求a n 。
2、问题引入：如果知道a n 与S n 之间的关系式，能否求a n 或S n 呢？ 3、典型例题及类题演练：例1：2016年全国III 卷17题：已知数列}{n a 的前n 项和n n a S λ+=1，其中0≠λ。
（1）、证明}{n a 是等比数列，并求其通项公式；(2)、若32315=S ，求λ。
类题演练：2015年全国I 卷17：n S 为数列}{n a 的前n 项，已知342,02+=+>n n n n S a a a .（1）、求}{n a 的通项公式；（2）、设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和。
问题演变：变式：已知正项数列{a n }的前n 项和为n S ,a 1=3,且)2(21≥=+-n a S S n n n ，求该数列的通项a n 。
等差数列中Sn与an间的重要关系及应用
等差数列中S n 与a n 间的 重要关系及其应用“设S n、a n分别是等差数列｛a n｝的前n 和与通项，则它们之间有如下的重要关系：S n =（kn ）a n ，其中k 是非零实数，n 是正整数。
”我们知道，等差数列｛a n ｝的前n 和S n 、通项a n 分别有如下的表达式：⑴ S n =na 1- n(n-1)2 d ，其可等价变形为S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ，它是关于n 的二次函数且不含常数项，一般形式是：S n =An 2+Bn ，其中A 、B 是非零待定系数；⑵ a n = a 1 +（n-1）d ，其可等价变形为a n =dn+（a 1 -d ），它是关于n 的一次函数，一般形式是：a n =an+b ，其中a 、b 是非零待定系数；通过对等差数列｛a n ｝前n 和S n 的一般形式S n =An 2+Bn 与其通项a n 的一般形式a n =an+b 的观察分析，不难得出S n 与a n 之间有这样的重要关系式：S n =（kn ）a n 。
S n 与a n 相互关系的应用举例：［例1］在等差数列｛a n ｝中，a 4=0.8,a 11=2.2,求a 51+a 52+…+a 80.【解】 由等差数列的通项公式得⎩⎨⎧=+=+2.2108.0311d a d a ,解得a 1=0.2,d =0.2.∴a 51＋a 52+…+a 80=S 80－S 50 =80a 1+d a d 2495050279801⨯--⨯=30a 1+1935d =30×0.2+1935×0.2=393. 【点评】 本题求解分两个层次，首先由已知求出a 1和d ，再将所求转化为S 80－S 50，这是解题的关键.［例2］根据数列｛a n ｝的前n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列. (1)S n ＝2n 2－n (2)S n ＝2n 2－n ＋1【解】 (1)a 1＝S 1＝1 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－n )－［2(n －1)2－(n －1)］＝2(2n －1)－1＝4n －3∵n =1 时也成立，∴a n ＝4n －3 a n ＋1－a n ＝［4(n ＋1)－3］－［4n －3］＝4∴｛a n ｝成等差数列(2)a 1＝S 1＝2 a 2＝S 2－S 1＝5 a 3＝S 3－S 2＝9 ∵a 2－a 1≠a 3－a 2 ∴｛a n ｝不是等差数列.【点评】 已知S n ，求a n ，要注意a 1＝S 1，当n ≥2时a n ＝S n －S n －1， 因此a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2( )1(11n S S n S n n.练习: 已知等差数列{a n }的前项和S n 满足条件：S n =2n 2+3n ，求此等差数列的通项a n解: 根据等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数且不含常数项,即S n = d 2n 2+(a 1-d 2 )n,并结合已知条件等差数列{a n }的前项和S n =2n 2+3n 立有, d2 =2且a 1-d2=3, 解之得 a 1=5，d=4，于是便得所求等差数列的通项a n =4n+1. ［例3］已知等差数列｛a n ｝满足：S p ＝q ，S q ＝p ，求S p ＋q (其中p ≠q ). 【解】 由已知S p ＝q ，S q ＝p 得 pa 1＋q d p p =-2)1( ① qa 1＋p d q q =-2)1( ② ①－②整理得2)1(21dq p a -++＝－1∴d q p q p a q p S q p 2)1)(()(1-++++=+＝(p ＋q )2)1(21d q p a -++＝－(p ＋q ) 【点评】 本问题即是在a 1、d 、n 、a n 、S n 中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；也可考虑设S n ＝An 2＋Bn 去求解. 例4 有两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，其前n 和分别为S n 、 T n ，并且n n T S =7n+2n+3 ,求:⑴ 55b a 的值；⑵115b a的值分析:由等差数列可知,其前n 项和是关于n 的二次函数且不含常数项；根据已知条件,两个等差数列前n 项和的比的结果是关于n 的一次因式,说明它们在相比的过程中约去了一个共同的因式kn ，于是，我们只要将其还原，即可得到两个等差数列的前n 项和，再对照等差数列前n 项和的二次函数形式：S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ，很快便可得到其首项、公差与通项，进而由等差数列通项公式求出数列中的任意一项。
数列中an及Sn的关系
对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用S表示时，记作S= a i+ a2+・・・+禺，此时通项公S，n= 1,式a n= .Si—S T, n》2而对于不同的题目中的a n与S的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用◎= S— S-1 (n》2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n与S相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的S，求a n；角度二：客观运用a n= S—S—1 (n》2)，求与如S有关的结论；角度三：a n与S的延伸应用.方法：已知 $求a n的三个步骤(此时S为关于n的代数式)：(1) 先利用a i= S求出a i ；(2) 用n—1替换S中的n得到一个新的关系，利用a n = S—S—1 (n》2)便可求出当n》2时a n的表达式；(3) 对n= 1时的结果进行检验，看是否符合n》2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n = 1与n》2两段来写.同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S求解.女口：a+ 2a2+ 3a s+ — + na n= 2n—1，其中a+ 2比+ 3a s+^+ na n表示数列｛na n｝的前n 项和.1.已知数列｛a n｝的前n项和S= n2—2n+2,则数列｛a()n｝的通项公式为A. a n = 2n —3 B . a n= 2n+ 31, n= 11, n= 1C. a n = D . a n =2n —3, n》22n+ 3, n》2【解析】当n》2时，a n = S n —S n—1 = 2n—3 .当n = 1时，a1= S = 1,不满足上式.【答案】C2. (2015 •河北石家庄一中月考)数列｛a n｝满足：a1+ 3a2+ 5&+…+ (2 n—1) • a n= ( n—1) • 3n+1+ 3( n € M)，则数列的通项公式a n= _____________ .【解析】当n》2时，a1 + 3a2 + 5a3+-+ (2n —3) • a n—1= (n —2) • 3n+ 3；则用已知等式减去上式得(2 n—1) • a n = (2n—1) • 3,得a n= 3 ；当n = 1 时，a i = 3,满足上式；故a n = 3.【答案】a n= 3n3. ____________________________________________________________________________________ (2015 •天津一中月考)已知｛a n｝的前n项和为S,且满足log2(S+1) = n +1，贝U a n= ______________________________ .【解析】由已知得S+ 1= 2n+1,贝U S= 2n+1—1;当n》2 时，a n= S—S—1= 2n+1—1 —2n+ 1 = 2n;当n3, n= 1=1时，a1 = S1 = 3，不满足上式；故a n= n.2 , n》23, n= 1【答案】a n= n2 , n》24. (2015 •四川成都树德期中)已知｛a n｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5= 45, a2 + a6= 14.(1) 求｛a n｝的通项公式；b b2 b n(2) 若数列｛b n｝满足：空+ 尹…+ 2 = a n+ 1(n€ M)，求｛b n｝的前n项和.【解】(1)设等差数列｛a n｝的公差为d,则d>0,由a2+ a6= 14,可得a4= 7由a3a5= 45,得(7 —d)(7 + d) = 45,解得d= 2 或d=—2(舍)a n= a4+ ( n—4) d= 7+ 2( n —4)，即a n= 2n—1.b n(2) 令6=尹贝U C1+ C2+ C3+ — + C n= a n+ 1 = 2n ①当n》2 时，d+ C2+ C3+・・・+ C n-1= 2( n—1) ②由①一②得，C n= 2,当n= 1时，C1= 2，满足上式；b n n 亠 1贝U C n= 2(n€ N*)，即戸=2, . b n= 2 + ,故数列｛b n｝是首项为4，公比为2得等比数列，4(1 —2n) n+2•••数列｛b n｝的前n项和S n= = 2 +—4.1 —2此类题目中，已知条件往往是一个关于a n与S n的等式，问题则是求解与a n, S有关联的结论.那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留a n,还是S.那么，主要从两个方向利用a n= S n—S n- 1( n》2):方向一：若所求问题是与a n相关的结论，那么用S—S—1 = a n ( n》2)消去等式中所有S与S n—1，保留项数a n,在进行整理求解；1. (2015 •广州潮州月考)数列｛a n｝的前n项和记为S, ai = 1, a n+1= 2S+ 1(n》1, n€ N*)，则数列的通项公式是.【解析】当 n 》2 时，a n = 2S — i +1,两式相减得 a n +i — a n = 2( S — S —J ,即 a n +1 — a n = 2a n ,得 a n +1 = 3a n ；当n = 1时，a 2= 3，则a 2= 3a i ,满足上式；故｛a n ｝是首项为1,公比为3得等比数列，二a n = 3 I . 【答案】a n = 3n — 12.数列｛a n ｝的前 n 项和为 S,若 a n +1 = — 4S +1, a 1= 1. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 设b n = na n ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .【解】(1)当 n 》2 时，a n = — 4S —1 + 1,又 a n +1 = — 4S + 1,又 a 2 = — 4a 1 + 1 = — 3, a 1 = 1,•••数列｛a n ｝是首项为a 1= 1,公比为q =— 3的等比数列,⑵由(1)可得b n = n • ( — 3)T n = 1 • ( — 3)0+ 2 • ( — 3)1 + 3 • ( — 3)2 +•••+ (n — 1) • ( — 3)n —2 + n • ( — 3)n —1,—3T n = 1 • ( — 3)1 + 2 • ( — 3)2+…+ (n — 2) • ( — 3)n —2 + (n — 1) • ( — 3)n —1+ n ( — 3)n ,1 2 n — 1n.•4 T n = 1 + ( — 3) + ( — 3) +…+ ( — 3)— n ，( — 3),16方向二：若所求问题是与 S 相关的结论，那么用 &= S — S —1 (n 》2)消去等式中所有项数 a n ,保留S 与$-1，在进行整理求解.11. 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S 且满足a n + 2S • S-1 = 0( n 》2) , a 1=玄1(1) 求证：—是等差数列； (2) 求a n 的表达式.【解】(1)证明：••• a n = S — S-1( n 》2)，又 a n =— 2S • S-1,• S n - 1 — Si = 2S n • Si - 1 , S n M 0 .11因此疋―W= 2( n 》2).S 1 S 1— 111 1故由等差数列的定义知$是以&=一=2为首项，2为公差的等差数列.Si S 1 a 11 1 1(2)由(1)知S = S + (n — 1)d = 2 + (n — 1) x 2= 2n ,即 S =亦.1当 n 》2 时，a n =— 2S • Si —1 =—2n (n — 1)I又T a 1 = ，不适合上式.a n= ( — 3)n — 11 — (4n + 1)( — 3)所以, T n =--a n +1 — a n = —4a即—3(n 》2),12， n = 1,2. (2015 •江西名校联盟调考)已知正项数列｛a n ｝的前n 项和为S ,且a 2— 2S a n + 1 = 0. (1) 求数列｛S ｝的通项公式；1 1 1 一 1 2(2) 求证：$+疋+…+Q >2(S+I — 1).(提示： 一 > ------------------------ )o ! S2 Sn寸 n 寸 n +1+寸 n【解】(1) T a n = S1— Si -1 (n 》2)，由 a n — 2S n a n +1 = 0,得(S — S —1)2— 2S n (S n — S —1) + 1= 0,整理得 S 2— S 2— 1= 1 . 当 n = 1 时，a 1 — 2Sa 1 + 1 = 0,且 a 1 >0，解得 a = 1, 故由等差数列的定义知｛S n ｝是以1为首项，1为公差的等差数列. • S n = n ,则 S n = n . 亠 & 1 1 22 ,—— 厂⑵由⑴知十=丽>$+讦=2("—回，• S + S +…+ S >2( .2 — 1) + 2( 3 — 2) +…+ 2( n + 1— , n) = 2( n + 1 — 1) 即 1 + 2+…+ 1 > 2(S n + 1— 1)【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握.S , n = 1, 解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义，还需要对a n =关S n — S n - 1 , n系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换.当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向. 方向一：关于双重前n 项和此类题目中一般出现“数列 ｛a n ｝的前n 项和为S,数列｛S ｝的前n 项和为T n ”的条件，在解答时需要 确定清楚求的是与 a n , S n , T n 中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向.但一般是求解最底层的/ .1. (2015 •湖北武汉质检)设数列｛a n ｝的前n 现和为S ，数列｛S ｝的前n 项和为T n ,满足T n = 2S — n 2,n € N*.(1) 求a 1的值；(2) 求数列｛a n ｝的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时，T 1= 2S — 1,且 T 1 = S = a 1,解得 a 1= 1,(2)当 n 》2 时，S n = T n — T n -1= 2S — n — [2 S -1 — (n — 1) ] = 2S — 2S n -1 — 2n + 1a n =1 2n (n — 1)n 》2.i +1 i歹(1 -尹)n + 1_3尹=2n + 3 3盯v 2--S n = 2Si -1 + 2n — 1①则 S+1 = 2S + 2n +1②由②一①，得 a n +i = 2a n + 2,••• a n + 2 = 3 - 2n -1，贝y a n = 3 • 2n -1-2(n € N*).2• (2015 •安徽滁州期末联考)设数列｛a n ｝的前n 项和为S,数列｛S n ｝的前n 项和为T n ,且2T n = 4S n -2(n + n ), n € N*.(1) 证明：数列｛a n + 1｝为等比数列；n +1(2) 设 b n =■ ~-，证明：b 1 + b 2+^+ b n v 3.a n + 1【解】(1)当 n = 1 时，2T 1 = 4S - 2，且 T 1 = S= a 1,解得 a= 1,当 n = 2 时，212= 2(a + ◎ + a ?) = 4(a+ a ?) — 6,解得 a ?= 3, 当 n >2 时，2T n -1= 4S n -1-[( n — 1) + (n - 1)]• 2S = 2T n - 2T n -1 = 4S — (n + n ) — 4S -1 + [( n — 1) + ( n — 1)] 整理得s= 2S n -1 + n ① 则 S n +1 = 2S + n + 1②由②一①，得 a n +1 = 2a n + 1 ,a n + 1 + 1• a n +1 +1= 2(a n + 1)，即——=2(n 》2),a n + 1•数列｛a n +1｝是首项为2,公比为2的等比数列,(2)由(1)知，a n + 1 = 2n ,贝 y b n =号1则 b 1+ b 2+-+ b n = |+ 22 + 壬…+2 2 2令T n = 2 +斗芬+专，① 则扣=|+1+寺…+ 7+齐，②,—+ 1 1 1 1 1 n +1由①一②，得2几=1+戸+戸+尹••+歹一I ^+Ta n +1 + 2K+I=E 2),易求得， a i + 2= 3, a 2 + 2= 6,贝U=2 ,显然a ?+ 1 a 1 + 1n + 12 ，a n + 1 + 2= 2( a n + 2), 即•••数列｛a n + 2｝是首项为3,公比为2的等比数列,1 则 T n V 3，即 b i + b 2+…+ b n v 3.方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解求数列｛a n ｝的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时，「= 2S — 1;又 T 1 = S = a 1,__22(2)当 n 》2 时，S n = T n — T n — 1 = (2 S n — n ) — [2 S n —1 — (n — 1) ] = 2S n — 2 Si — 1 — 2n + 1,整理得s= 2$-1 + 2n — 1①•- S n + 1 = 2S n + 2n + 1②由②一①，得 a n +1 = 2a n + 2又 T 2= 20— 4;得 a 2= 4a 1 + 2当 n = 1 时，a1+ 2 = 3,比+ 2= 6,则市=2,•••数列｛a n + 2｝是以3为首项，2为公比的等比数列. 则 a n + 2 = 3 ・2“ 1,所以 a n = 3 ・2“ 1 — 2. 已知数列｛ a n ｝的各项均为正数，前n 项和为$,且S= a （a J ° , n € N*.1设 b n = 2S ， T n = b + b 2+…+ b n ,求 T n .a 1 (a 1 + 1)【解】(1)由已知得，当n = 1时，a 1 = S =2 ( &> 0) , - a 1= 1.22S a n + a n ,当n 》2时，由cc 22Si —1 = a n — 1 + a n — 1得 2a n = a n + ai — a n - 1 — a n —1 . 即(a n + a n -1)( a n — a n — 1 — 1) = 0,a n + a n —1 >0, • a n — a n — 1 = 1( n 》2).所以数列｛a n ｝是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)可得 a n = n , $= n(ri+ ° , b n = 2 =1——=-—^^22S n (n + 1) nn +1此类问题大多数时候会伴随"各项均为正数的数列｛a n ｝ ”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍.（2015 •山东青岛一模）各项均为正数的数列2｛a n ｝满足 a n = 4S — 2a n —1( n € N*)，其中 S 为｛a n ｝的n 项和. (1) 求a i , a 2的值;则 a 1= 2a — 1，解得 a 1= 1 ；...a n + 1 + 2= 2( a n + 2)，即 a n + 1 + 2K =2(n > 2)(1) 求证：数列｛a n ｝是等差数列;方向三：需对已知等式变形后，再求解1. (2015 •江西五校联考)已知正项数列｛&｝中，其前n 项和为S ,且a n = 2西一1. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；1(2) 设 b n =, T n = b 1 + b 2+ b 3+…+ b n ,求 T n .a n • a n+1【解】(1)由已知得，4S = (a n + 1)2.当 n 》2 时，4S —1= (a n -1+ 1)2,2222则 4S1 — 4S n - 1 = (a n + 1) — ( a n - 1 + 1)，整理得(a n — 1) — ( a n - 1 +1) = 0 ,..(a n — a n — 1 — 2)( a n + a n — 1) = 0 又 a n > 0，贝U a n — a n — 1 = 2,2当 n = 1 时，4S = (a 1 +1)，得 a 1 = 1 ； 故数列｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列;--a n = 2n — 1.1 111 1 12 1 —3 + 3 — 5 +…+ 2n — 1 — 2n + 1 1 1 n 2 1 — 2n + 1 = 2n + 12. (2015 •浙江温州中学月考)设数列｛a n ｝的前n 项和为S,已知a 1 = 2, a 2= 8, $+1 + 4S -1= 5$(n 》2) , T n 是数列｛log 2a n ｝的前n 项和.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求 T n .【解】(1)当n 》2时，S+1+ 4S —1= 5S ,..S n + 1 — Si = 4( S n — S n — 1)，即 N n + 1 = 43n , 当 n = 1 时，a 2= 4a 1；故数列｛a n ｝是以2为首项，4为公比的等比数列.n —12n —1a n = 2 • 4 = 2.2n 一 1(2)由(1)可知 log 2a n = log 22 = 2n — 1,111 1 ...T n = b 1 + b 2+ b 3+ …+ b n = 1—石 + 石一厅+…+ - 2 2 3 n1 1 nn =1—nnn n T! •1 1 1⑵由(1)可得"=K =犷* — 1 1 2 2n —11 2n + 1，T n =+ £ + £ +…+ b 1 b 2 b 31b n•- A n =1 — q n1 — q ，4. (2015 •辽宁沈阳诊断考试)设数列｛a n ｝的前n 项和为S, a 1= 10, a n +1 = 9S + 10. (1)求证：｛lg a n ｝是等差数列；⑵设Tn 是数列(lg a n )(lg a n +!)的前n 项和，求Tn ；1 2⑶ 求使T n >4(m i — 5m )对所有的n € N*恒成立的整数 m 的取值集合.【解】(1)证明：当n 》2时，&= 9S — 1+ 10,/• T n = log 2a i + log 2a ?+ log 2a 3+・・・+ log 2a n=1 + 3+ 5+…+ 2n — 1n (1 + 2n —1) 23. (2015 •江西三县联考)已知数列｛a n ｝的各项均为正数， 记A (n ) = a i + a 2+-+ a n , B ( n )=a 2 + a 3+…+ a n +1, C ( n )= a 3 + a 4 +…+ a n +2,其中 n € N .(1)若a 1= 1, a 2 = 5,且对任意n € N ，三个数A (n ),巳n ) , C (n )依次组成等差数列，求数列｛a n ｝的通项公式;⑵ a 1 = 1,对任意n € N*，三个数A (n ),耳n ) , C (n )依次组成公比为 q 的等比数列，求数列｛a n ｝的前n 项和A.【解】(1) •••任意n € N*，三个数A (n ) , B ( n ) , C (n )依次组成等差数列，••• B ( n ) — A ( n ) = C ( n ) — B ( n ),贝V a n +1 — a 1 = a n + 2— a 2，即卩 a n + 2— a n +1 = a 2— a 1 = 4, 故数列｛ a n ｝是首项为1，公差为4的等差数列；•- a n = 1 + (n — 1) x 4 = 4n — 3.(2)若对任意n € N*，三个数A (n ),B ( n ),C (n )依次组成公比为q 的等比数列,• B (n ) = qA (n ), C ( n ) = qB (n ), 则 C (n ) — Rn ) = q [Bn ) — A ( n )],得 a n + 2— a 2= q (a n +1 — a 1)，即 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa 1 , 当 n = 1 时，由 耳1) = qA (1),可得 a 2= qa ； a n +2 a 2 则 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa = 0，又 a n >0，则—==q ,a n +1 a 1故数列｛a n ｝是以1为首项，q 为公比的等比数列.a n + 1 a n + 1 — a n = 9( S n — S n _1)，贝U a ・+ 1= 10a n ,即 =10,a n当 n = 1 时，a 2= 9a 1+ 10= 100，则竺=10, a 1故数列｛a n ｝是以10为首项，10为公比的等比数列.a n = 10：贝y ig a n = n ,--lg a n +1 — Ig a n = n + 1 — n = 1,故数列｛Ig a n ｝是首项为1,公差为1的等差数列.- 3 11⑵解：由(1)知 --=——=3 -—(Ig a n ) (lg a n +1)n n +1 n1 1 1 1 1 1• Tn =31 —1+1—3+…+ n —市=31—市3n3⑶Tn =市=3—市，3•••当n = 1时，T n 取最小值2-依题意有|>治—5n ），解得一1v m< 6, 故整数m 的取值集合为｛0,1,2,3,4,5｝1. （2015 •江苏扬州外国语中学模拟 ）已知数列｛a n ｝的前n 项和S = 2n — 3,则数列｛a n ｝的通项公式为 __________ .【解析】当n 》2时，a n = Si — Si -1 = I — 3— I 1 + 3 = I 1.当n = 1时，a 1= S = — 1,不满足上式.—1, n =1【答案】a n = n — !2, n 》2a 2a n 2n2. （2015 •辽宁沈阳二中月考）已知数列｛a n ｝满足a 1 + - +…+ -= a — 1，求数列｛a n ｝的通项公式. 【解】当n 》2时，a 1 +号+…十-^7 = a 2n —2 — 12 n — 1an2n 2n — 2 2 2n —2由已知等式减去上式，得 -=a — 1 — a + 1 = （a — 1）a ,n —2…a n = n （a — 1） a ,3 （2015 •安徽江淮十校联考）已知函数f （x ）是定义在（0,+^ ）上的单调函数，且对任意的正数x .y 都有 f (x • y )= f (x ) + f (y )，若数列｛a n ｝的前 n 项和为 S,且满足 f(S + 2) — f (a n )= f (3)( n € M)，则 a n3nn +^.当n = 1时，a 1= a 2— 1,满足上式；.2八 2n—2• a n = n （a — 1） a .n — 1A. 2C. 2n—1【解析】由f(x • y)= f (x) + f(y) , f (S+ 2) —f(a n)= f (3)，得S+ 2 = 3a n, S—1+ 2= 3a n—1 (n》2),3 两式相减得2a n= 3a n—1 ；当n= 1时，S + 2= 3a1= a1 + 2，则a1= 1 .所以数列｛a n｝是首项为1,公比为q的等比数列.3 n 1 【答案】a n= 2 n—134. （2015 •辽宁鞍山二中期中）设数列｛a n｝是等差数列，数列｛b n｝的前n项和S满足S=^（b n—1），且a2 = b1, a5= b2.(1) 求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2) 设C n= a n • b n, T n 为｛C n｝的前Fl 项和，求T n .3【解】(1)当n >2 时，S n— 1 = 2(b n—1—1),3 3 亠则b n= S n—S n—1= ^( b n—1) —?(b n —1- 1)，整理得b n = 3b n—13当n= 1 时，b1 = ^（匕一1），解得b1= 3 ；故数列｛b n｝是以3为首项，3为公比的等比数列.b n= 3,设等差数列｛a n｝的公差为d,由a2= b1= 3, a5= b2= 9,a1 + d = 3,则解得d= 2, a1 = 1，—a n= 2n—1,a1 + 4d= 3,a n= 2n—1,b n= 3.(2)由(1)知C n= a n • b n= (2n —1) • 3n,• T n= 3 + 3 • 32+ 5 • 33+…+ (2 n—1) • 3n，①3T n= 3 2+ 3 • 33+ 5 • 34+…+ (2 n —3) • 3n+ (2n—1) • 3n+1,②由①一②，得—2T n= 3+ 2(3 2+ 33+…+ 3n ) —(2 n—1) • 3n+1【解析】由已知1 n》2时，a n= 2S1-1①当n》3时,①—②整理得a n1,n= 1,=3 ( n》3), • a n = n- 2a n—12X3 ,n》2.1,n= 1,【答a n =n 22X3 ,n》2.(2015 •广东桂城摸底6.a n- 1 = 2S1 -2 ②B. nD.=3+ 2X2 n —1、3 (1 —3 )—(2n—1) 3n+1(2 —2n) • 3n+1—6,)已知各项均为正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S,且a ：+ a n = 2S .(1) 求a i ；求数列｛a n ｝的通项公式; ⑶若b n=-5n € N*) , T n = b 1+ b 2+・・・+ b n ,求证：T n < -.提示:31 1n "< 2 2n — 1 2n +12【解】(1)当 n = 1 时，a i + a i = 2S ，且 a n > 0，得 a i = 1 ；(2) 当 n 》2 时，a n -1 + a n —1 = 2S -1 ①；且 ai + a n = 2S n ②;由②一①，得(a n +a n — 1)( a n — a n — 1— 1) = 0, 又 a n > 0，贝U a n — a n -1= 1,故数列｛a n ｝是首项为1，公差为1的等差数列;1 1⑶证明：由⑵知，b n = 2=「a n2,5当n = 1时，b 1= 1 <3，不等式成立; 11 41当 n 》2 时，孑< Yl = 4n 2— 1 = 2 乔 12n + 1，n —41 1 12 5• Tn =b1+b+・・+ bn =1+尹尹•••+ 冷v 1 + 2 3—才5—7^+ 冇—市 <1 +3=3, 3 555• Tn < 32 *7. (2015 •大连双基测试)已知数列｛a n ｝的前n 项和S = n +2n +1(n € N)，贝U a n= ______________________________ .4, n = 1, 【解析】当 n 》2 时，a n = Si — S n -1 = 2n + 1,当 n = 1 时，a 1 = S = 4去2x 1 + 1,因此 a n =2n +1, n 》2.4, n = 1【答案】2n + 1, n 》21& (2014 •烟台一模)已知数列｛a n ｝前n 项和为S n ,首项为a 1,且刁a n , $成等差数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；11 1【解】(1) T 2， a n , S 成等差数列，二2a n = S n + 2,t丄11 当 n = 1 时，2a 1 = S + 2，二已1= 2，t丄1 1当 n 》2 时，S n = 2a n — 2， S n - 1 = 2a n — 1 — 2，a n 两式相减得：a n = Si — S —1 = 2a n — 2 a n — 1,「. —= 2,a n — 11 1所以数列｛a n ｝是首项为2，公比为2的等比数列，即a n = 2"n —1 = 2n —2.(2) T b n = (log 2a 2n +1)x (I og 2a 2n + 3)= (log 222n +1—2) x (log 222n +3—2) = (2 n —1)(2 n +1),1 1 1 1 1 1/.——= x =— ,b n 2n — 12n + 12 2n — 1 2n + 11数列 的前n 项和b n1 11 11 111 1111 n1b 1 +b 2+b 3+ +b n 213 + 3 5 ++2n — 12n +12 12n +12n +19. __________________________________________________________________________ (2014 •山西四校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S , S= 2a n — n ,贝U a n = ____________________________________________________________ .【解析】当 n 》2 时，a n = S n — S n —1 = 2a n — n — 2an —1 + (n — 1)，即 a n = 2a n — 1 + 1, • a n +1 = 2( a n —1 + 1), •数列｛a n +1｝是首项为a 1+ 1 = 2,公比为2的等比数列，• a n +1 = 2・2 n —1= 2n ,「. a n = 2n — 1.【答案】2n — 1n 2 + n *10. (2014 •湖南卷)已知数列｛a n ｝的前n 项和S= —, n € N .(1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵ 设b n = 2a n + ( — 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和.【解】(1)当n = 1时， a 1 = S 1 = 1 ；当n 》2时， 22小 cn + n n — 1 + n — 1a n Si Si-12 2 n .又a 1= 1满足上式，故数列｛a n ｝的通项公式为a n = n .(2)由(1)知，b n = 2n + ( — 1)n n ,记数列｛b n ｝的前2n 项和为Tm ,_122n则 T 2n = (2 + 2 +…+ 2 ) + ( — 1 + 2— 3+ 4—…+ 2n ).B= ( — 1 + 2) + ( — 3+ 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n ] = n .故数列｛b n ｝的前 2n 项和 T 2n = A + B= 22n +1 + n — 2.11.已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， a 3= 4, ｛a n ｝的前3项和为7.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；记 A = 21+ 22 +…+ 22n ,B=— 1 + 2 — 3+ 4-…+ 2n ,则 A =-2n1 —2 1 — 2=22n +1n1111 ⑵ 若ab + a 2b 2 + ・・・+ a n b n = (2 n — 3)2 n + 3,设数列｛ b n ｝的前n 项和为 S,求证：+…+2—- .S 1 S 2Si na*1 q 4,a*1 1,【解】 ⑴ 设数列｛a n ｝的公比为q ,由已知得q >0,且/•a 1 + ag + 4= 7,q = 2.•••数列｛a n ｝的通项公式为a n = 2n —1.(2)【证明】当n = 1时，a1b = 1,且a 1 = 1,解得b 1 = 1.当 n 》2 时，a n b n = (2n — 3)2 n + 3 — (2 n — 2 — 3)2 n — 1 — 3 = (2n — 1)・2 n — 1. a n = 2 1 ,•当 n 》2 时，b n = 2n — 1.■/ b 1= 1 = 2x 1 — 1 满足 b n = 2n — 1,•数列｛b n ｝的通项公式为 b n = 2n —1(n € N *). •数列｛b n ｝是首项为1，公差为2的等差数列.•- S n = nl1 1 •••当 n = 1 时，S = 1 =2 — 1t」1 1 1 1 当 n 》2 时，S = n 2< n (n — 1) =n —1 1 1 1 1 1 1 1 1• ◎+S 2+…+ 亍2—1+厂 2+…+ n — - n =2—n 12.设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S , a 1 = 1, a n = + 2 (n — 1) ( n € N). n(1)求证：数列｛a n ｝为等差数列，并分别写出 a n 和S 关于n 的表达式；请说明理由.*【解】(1)由 a n = n + 2( n — 1)，得 S = na n — 2n ( n — 1) ( n € N).当 n 》2 时，a n S n — S n — 1 na n — (n — 1) a n — 1 — 4( n — 1)，艮卩 a n — a n —1 4, 故数列｛a n ｝是以1为首项，以4为公差的等差数列.a 1 + a n n 2*a n =4n — 3, S = = 2n — n ( n € N).(2)由 S n = na n — 2n ( n — 1)，得—=2n — 1 ( n € N),$ S 3 S 1 2 2 2 2又 s+ 2 + 3 +…+ n — (n — 1) = 1 + 3 + 5 + 7+-+ (2n — 1) — (n — 1) = n —(n — 1) = 2n — 1.令2n — 1 = 2 013，得n = 1 007，即存在满足条件的自然数n = 1 007 .(2)是否存在自然数n ,S ? S 3Si…使得S+ 2+ 3+…+ -—(n — 1)2= 2 013?若存在，求出n 的值；若不存在,于是,1. 已知$为正项数列｛a n ｝的前n 项和，且满足 S = 2a n + ?a n (n € N *).⑴求a i , a 2, a 3, a 4的值;⑵求数列｛a n ｝的通项公式.1 2 1 1 2 1【解】(1)由$=，a n + 2a n ,可得a 1 = 2^+空31，解得◎= 1 ；1 2 1S= a + a 2= 2a 2 + g a ?，解得 a 2 = 2；同理,1 2 1当 n 》2 时，S n - 1= 2 a n -1 + ^a n - 1,②①一②得(a n — a n -1 — 1)( a n + a n -1)= 0 .由于 a n + a n -1 工 0，所以 a n — a n -1 = 1, 又由(1)知a 1= 1, 故数列｛a n ｝是首项为1，公差为1的等差数列，故 a n = n .2. 在数列｛a n ｝中，a 1=- 5, a 2=- 2，记 A (n ) = a 1 + 比+…十 a n , B (n ) = a 2 + a 3+・・・+ a n +1, qn ) =a 3+ a 4 + •••+ a n +2(n €N *)，若对于任意 n € N *, A (n ) , B ( n ), q n)成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛| a n |｝的前n 项和.【解】(1)根据题意A (n ) ,B (n ),C ( n )成等差数列，二A ( n ) + C ( n ) = 2B ( n ),整理得 a n +2— a n +1 = a 2— a 1 = — 2+ 5 = 3,•••数列｛a n ｝是首项为—5，公差为3的等差数列，a n = — 5 + 3( n — 1) = 3n — 8.—3n + 8, n W 2,(2)| a n | =记数列｛| a n |｝的前n 项和为S.3n — 8, n 》3,2当 n W2 时，S n =n 5+ 2— 3n = — + 务3 2 13—尹 + 厂,n w 2,3. (2014 •广东卷)设各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S ，且S 满足S n — (n 2+ n -3)S n — 3( n 2 + n ) = 0, n€ N .(1) 求a 1的值；(2) 求数列｛a n ｝的通项公式；a 3 = 3, a 4= 4.当n 》3时，S n = 7 +n -2 1 + 3n — 8 2普-岭+ 14,2 2综上，S n =|n 2 —爭+ 14, n 》3.1(3)证明：对一切正整数亠 1 1 11n， a 1 a+1 + a 2 a ?+1 + + a n a n +1 <3'【解】(1)由题意知，U — (n 2+ n — 3)S h -3(n 2+ n ) = 0, n € N*. 令 n = 1，有 S — (1 2+ 1— 3) S — 3X (1 2+ 1) = 0,可得 S 1+ S — 6 = 0，解得 S =— 3或 2, 即卩 a 1 =— 3 或 2, 又a n 为正数，所以a 1 = 2.222* __(2)由 S>— ( n + n — 3) Si — 3( n + n ) = 0, n € N 可得，2 2(S + 3)( S — n — n ) = 0,贝U S = n +n 或 $=— 3,又数列｛a n ｝的各项均为正数，2 2S= n + n , S -1 = (n — 1) + (n — 1),当 n 》2 时，a n = S n — S n — 1 = n + n — [( n — 1)2+ (n — 1)] = 2n . 又 a 1= 2 = 2x 1,所以 a n = 2n .1a a+ 1111 111当n ^2时， a na n + 1= 2n 2n + 1 v 2n —12n + 12 2n — 1 —2n + 1 , 1 111 1 1 111 …a 1 a 1+ 1+a 2a 2 + 1 + -••+ a na n + 1+ ■ 6 +2 3 5 + •' '• 2n — 12n + 11 1 11 1 1 1=一 + — —v —+ _ =6 2 3 2n + 1 6 6 3(3)证明：当n = 1时,11+a 2a 2 + 1+…+aT^+所以对一切正整数n，有07葛+• T n= (n—1) 3 n+1+ 3.5.在数列｛a n｝中，已知a1 =1, a n= 2(a n —1 + a n—2 + — + a2+ a" ( 2, n€N*)，则数列的通项公式是_________ .1。
数列中an与Sn的关系
、
，
．
在教学 中 应 对 学 生 加 强 数 学 建 模 训 练 引 导 学 生 自己 运 用 所 学 的 知 识 建 立 基 本 模 型 并 灵 活 的 运 用 举 反 三 达 到事 半 功倍 的效 果 ；这 也 是 培 养 和 提 高学 生 分析 和 解 决 实 际 问题 能力 的最有 效 途径
， ，
， ，
一
，
，
．
A
，
’
’
，
．
．
、
’
一
、
’
’
’
，
=
一
一
，
．
，
障
．
，
．
，
．
A
，
，
则 DE
C D
． ．
=
2+ 1
'
=
3 ，C E
—
—
AB
5
．
=
4
，
i
卜．． ．
、
． — … … …
一
~
C ／ E 0 + D E2
=
厂( z )
、
≯ ~／ +
1 +
／( 4
．
一
z
0 ) + 4 的最 小值
葶 } 锐a 甜
7
E
．
节
z 0
曰
’r 一
。
．
。
，
。
，
，
。
，
．
。
．
解 ：设 A P
4
一
=
z
，
则 BP
=
D
z
数列中an与sn的关系探究(课堂PPT)
挖掘条件，得到新式（与
间的关an系
S1 Sn
n=1 Sn1 n
2
条件相邻），作差将“和” 转化为“项”之间的关系
直接代入
作差消元
10
类题演练
1、 如 果 数 列 {an}的 前 n项 和 为 Sn=3 2an-3， 则 an
【 答 案 】 an63n1
11
类题演练
2、 数 列 {an}中 ， 已 知 a11 2， 其 前 n项 和 为 Sn=n2an， 则 an
南京市第九中学 易雪梅
2
典型例题 例 1： 若 数 列 {an} 的 前 n项 和 Sn3an1 ， 求 该 数 列 的 通 项 an 。
3
数学解题的四个步骤： • 理解问题 • 拟定计划 • 实现计划 • 回顾与检验
——乔治·波利亚《怎样解题》
4
例 1： 若 数 列 {an} 的 前 n项 和 Sn3an1 ， 求 该 数 列 的 通 项 an 。
这是一个什么类型的问题？
类型
求数列通项an
特征
已 知 条 件 为 a n 与 S n 的 关 系 式
如何实现从条件到结论的转化？
S n 转化 a n
怎样转化？
an
SS1n
n=1 Sn1 n
2
5
例 1： 若 数 列 {an} 的 前 n项 和 Sn3an1 ，
求 该 数 列 的 通 项 an 。
解：当 n 1 时 ,a 1S 1 3 a 1 1 ， 得 a 1 12 ； 当 n2 时 ,a nS n S n 13an1(3an11)
7
变 式 ： 已 知 正 项 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n ， a 1 3 , 且 S n S n -1 = a n （ 2n 2 ） ， 求 该 数 列 的 通 项 a n 。
数列Sn与an关系(含详细答案)
数列n s 与n a 关系知识点1.等差数列前n 项和公式:n da n d d n n na a a n S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2. 等比数列前n 项和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111)1(1111q q q a a q q a q na S n n n3.数列{}n a 是等差数列⇔q p n q pn a n ,),1(≥+=为常数b a n bn an S n ,),1(2≥+=⇔为常数(没有常数项的二次函数)数列{}na 是等比数列⇔n a =m ap (a ≠0)⇔n ns ap r =+(a+r=0) 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n a n S )12(12-=-5. 数列n s 与n a关系:⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21,11n S S n S a S n n n n训练题A 组1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( A ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n32⋅3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，2211=S 则=6a ( B ) A.1 B.2 C.3 D.44.数列6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若102,a a 是方程08122=-+x x 的两个根， 那么11S 的值为 ( D )A.44B.-44C.66D.-665.若两个等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3233+-=n n B A n n , 则=66b a ( C ) A.23 B.1 C.56 D.23276.（2010辽宁文数）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( B )A.3B.4C.5D.67.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a ( A ) A.1 B.-1 C.2 D.21 8.{}n a 的前n 项和为n S ，)1(12≥+=n n S n ，则=n a ⎩⎨⎧≥-=21211n n n9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a n )21(- 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是1)41(43--n 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S121-n12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，147=S 则=4a 2 13.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,r S n n +=3,则=r -114.数列}{n a 的前n 项和为n S ,且,1≥n 时22nn S n +=(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求992199111S S S T +⋅⋅⋅++=的值. (1))1(≥=∴n n a n(2) 22n n S n +=,)111(2)1(21+-=+=∴n n n n S n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=∴)1001991()3121()211(2111992199S S S T 5099)10011(2=-=15.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn16.数列{}n a 满足条件11131,1--⎪⎭⎫⎝⎛+==n n n a a a ),3,2( =n(1)求;n a(2)求.321n a a a a ++++解:（1）∑∑=--=+=-+=nk k k k nk n a a a a 21121)31(1)(11)31(2123311])31(1[311---=--+=n n(2)43)31(4323])31(4343[23311)31(212123.321-+=--=-⋅--=++++n n n n n n n a a a a17．（2012广东文）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈． （1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分训练题B 组1.数列}{n a 的前n 项和为n S ,当,1≥n 32-=n n a S 则n a = 123-⋅n2.等差数列{}n a 中，已知74a =，则13s= 523.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 241494.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,14n n S r -=+,则=r 14- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1114S =，则61411a =22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1+S n )=n+1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n+1,∴1+S n =2n+1,∴S n =2n+1-1.∴1=n 时,311==S a ,2≥n 时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn8.数列{}n a 的前n 项和为)()1(*2N n n n a n S n n ∈+++= （1）求通项n a ; （2）设),1111(321nn S S S S T +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-=求证：1<n T 解:(1) n a n 2-=∴(2)nn n n n n S n n S n a n n n 111)111()1(11),1(,2-+=+--=+-=∴+-=∴-= 1111+-=-∴n n S n )11111(1321nn n S S S S S T ++⋅⋅⋅+++-=∴-n T ∴=1111)111()111()3121()211(<+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n n *N n ∈ ∴1<n T9.已知等差数列{}n a 中,11=a ,前n 项和nS 满足条件12412+-=-n n SS nn ,( n=1,2,3,┅) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设nn S b 1=，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,求λ的取值范围. 解：（1） 等差数列{}n a 中11=a ，12412+-=-n n SS nn 对于任意正整数都成立， 所以，当n=2时，有21222423=+-⨯=SS ，设数列{}n a 的公差为d ，则d d a S 333313+=+=，d d a S +=+=22212，所以)2(233d d +=+，解得公差1=d ，所以n n a n=-+=)1(11（2）因为()22121nn d n n na S n +=-+=，n n b n +=∴223）由n n b n+=22=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ，得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=114313212112n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n 121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,即)1(12+<+n n n λ，∙∈N n 恒成立， 所以2)1(2+>n nλ，而212122212)1(22=+≤++=+nn n n ， （当且仅当n=1时取等号） 所以，λ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21.10.已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． （1）12n n a -=,21n b n =-． （2）数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-． 11.已知数列{}n a 满足21=a ,241+=-n n a S (n=2,3,4,...). (1)证明数列{}n n a a 21-+成等比数列;(2)证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n a 2成等差数列;(3)求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S .（1）{}n n a a 21-+是首项为4，公比为2的等比数列， （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为1，公差为1的等差数列. （3）n n n a 2⋅=,12)1(2+⋅-+=n n n S12.已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
数列Sn与an关系(含详细答案)
数列n s 与n a 关系知识点1.等差数列前n 项和公式:n da n d d n n na a a n S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2. 等比数列前n 项和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111)1(1111q q q a a q q a q na S n n n3.数列{}n a 是等差数列⇔q p n q pn a n ,),1(≥+=为常数b a n bn an S n ,),1(2≥+=⇔为常数(没有常数项的二次函数)数列{}na 是等比数列⇔n a =m ap (a ≠0)⇔n ns ap r =+(a+r=0) 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n a n S )12(12-=-5. 数列n s 与n a关系:⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21,11n S S n S a S n n n n训练题A 组1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( A ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n32⋅3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，2211=S 则=6a ( B ) A.1 B.2 C.3 D.44.数列6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若102,a a 是方程08122=-+x x 的两个根， 那么11S 的值为 ( D )A.44B.-44C.66D.-665.若两个等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3233+-=n n B A n n , 则=66b a ( C ) A.23 B.1 C.56 D.23276.（2010辽宁文数）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( B )A.3B.4C.5D.67.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a ( A ) A.1 B.-1 C.2 D.21 8.{}n a 的前n 项和为n S ，)1(12≥+=n n S n ，则=n a ⎩⎨⎧≥-=21211n n n9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a n )21(- 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是1)41(43--n 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S121-n12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，147=S 则=4a 2 13.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,r S n n +=3,则=r -114.数列}{n a 的前n 项和为n S ,且,1≥n 时22nn S n +=(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求992199111S S S T +⋅⋅⋅++=的值. (1))1(≥=∴n n a n(2) 22n n S n +=,)111(2)1(21+-=+=∴n n n n S n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=∴)1001991()3121()211(2111992199S S S T 5099)10011(2=-=15.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn16.数列{}n a 满足条件11131,1--⎪⎭⎫⎝⎛+==n n n a a a ),3,2( =n(1)求;n a(2)求.321n a a a a ++++解:（1）∑∑=--=+=-+=nk k k k nk n a a a a 21121)31(1)(11)31(2123311])31(1[311---=--+=n n(2)43)31(4323])31(4343[23311)31(212123.321-+=--=-⋅--=++++n n n n n n n a a a a17．（2012广东文）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈． （1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分训练题B 组1.数列}{n a 的前n 项和为n S ,当,1≥n 32-=n n a S 则n a = 123-⋅n2.等差数列{}n a 中，已知74a =，则13s= 523.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 241494.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,14n n S r -=+,则=r 14- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1114S =，则61411a =22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1+S n )=n+1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n+1,∴1+S n =2n+1,∴S n =2n+1-1.∴1=n 时,311==S a ,2≥n 时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn8.数列{}n a 的前n 项和为)()1(*2N n n n a n S n n ∈+++= （1）求通项n a ; （2）设),1111(321nn S S S S T +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-=求证：1<n T 解:(1) n a n 2-=∴(2)nn n n n n S n n S n a n n n 111)111()1(11),1(,2-+=+--=+-=∴+-=∴-= 1111+-=-∴n n S n )11111(1321nn n S S S S S T ++⋅⋅⋅+++-=∴-n T ∴=1111)111()111()3121()211(<+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n n *N n ∈ ∴1<n T9.已知等差数列{}n a 中,11=a ,前n 项和nS 满足条件12412+-=-n n SS nn ,( n=1,2,3,┅) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设nn S b 1=，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,求λ的取值范围. 解：（1） 等差数列{}n a 中11=a ，12412+-=-n n SS nn 对于任意正整数都成立， 所以，当n=2时，有21222423=+-⨯=SS ，设数列{}n a 的公差为d ，则d d a S 333313+=+=，d d a S +=+=22212，所以)2(233d d +=+，解得公差1=d ，所以n n a n=-+=)1(11（2）因为()22121nn d n n na S n +=-+=，n n b n +=∴223）由n n b n+=22=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ，得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=114313212112n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n 121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,即)1(12+<+n n n λ，∙∈N n 恒成立， 所以2)1(2+>n nλ，而212122212)1(22=+≤++=+nn n n ， （当且仅当n=1时取等号） 所以，λ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21.10.已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． （1）12n n a -=,21n b n =-． （2）数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-． 11.已知数列{}n a 满足21=a ,241+=-n n a S (n=2,3,4,...). (1)证明数列{}n n a a 21-+成等比数列;(2)证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n a 2成等差数列;(3)求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S .（1）{}n n a a 21-+是首项为4，公比为2的等比数列， （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为1，公差为1的等差数列. （3）n n n a 2⋅=,12)1(2+⋅-+=n n n S12.已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
等比数列an和sn公式
等比数列an和sn公式等比数列是数学中的一种数列，指的是数列中每一项与它的前一项之比保持恒定。
等比数列的通项公式和前n项和公式是数列中的重要公式。
等比数列的通项公式是指数列中第n项的表达式，通常用an表示。
对于一个等比数列，如果已知第一项a1和公比r，则第n项可以表示为an=a1*r^(n-1)。
其中，a1是第一项，n是项数，r是公比。
等比数列的前n项和公式是指数列中前n项的和的表达式，通常用sn表示。
对于一个等比数列，如果已知第一项a1和公比r，则前n 项的和可以表示为sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
等比数列的通项公式和前n项和公式在数学中有广泛的应用。
它们可以帮助我们计算数列中任意一项的值，以及前n项的和。
在实际问题中，等比数列的应用非常多，例如在金融领域中的复利计算、人口增长模型中的人口预测、科学实验中的数据分析等。
下面通过一些具体例子来说明等比数列的应用。
例1：某项贷款的利率为4%，每年复利计算一次。
假设贷款本金为10000元，需要计算第5年的贷款余额。
这个问题可以转化为一个等比数列的问题。
设第一年的贷款余额为a1=10000元，公比为r=1+4%=1.04，则第5年的贷款余额可以通过通项公式计算得到：a5=10000*(1.04)^(5-1)=10000*1.04^4。
例2：某城市的人口增长模型可以用等比数列来描述。
假设该城市的人口从2000年开始，每年以2%的增长率增长。
第n年的人口可以表示为an=2000*(1.02)^(n-2000)。
我们可以利用这个公式预测未来几年该城市的人口情况。
例3：在科学实验中，一些物理量的变化规律可以用等比数列来描述。
例如，当一种物质在一定条件下进行分解反应时，反应物质的质量随着时间的推移以一定的比率递减。
这个质量变化过程可以用等比数列来描述，其中每一项表示某个时间点的质量，公比表示质量的递减比率。
通过以上例子，我们可以看到等比数列的通项公式和前n项和公式在解决实际问题中的重要性。
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对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，此时通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2．而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的S n ，求a n ；角度二：客观运用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求与a n ，S n 有关的结论； 角度三：a n 与S n 的延伸应用．方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S n 求解．如：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n －1，其中a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 表示数列{na n }的前n 项和．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝12n －3，n ≥2 D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝12n ＋3，n ≥2【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不满足上式． 【答案】C2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1) ·3n +1＋3(n ∈N *)，则数列的通项公式a n ＝ ．【解析】当n ≥2时，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2) ·3n＋3；则用已知等式减去上式得(2n －1)·a n ＝(2n －1)·3n ，得a n ＝3n ；当n ＝1时，a 1＝3，满足上式；故a n ＝3n．【答案】a n ＝3n3．(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝ ． 【解析】由已知得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n；当n＝1时，a 1＝S 1＝3，不满足上式；故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥2．【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥24．(2015·四川成都树德期中)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14． (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n2n ＝a n ＋1(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和．【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0， 由a 2＋a 6＝14，可得a 4＝7由a 3a 5＝45，得(7－d )(7＋d )＝45，解得d ＝2 或d ＝－2(舍) ∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7＋2(n －4)，即a n ＝2n －1．(2)令c n ＝b n2n ，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝a n ＋1＝2n ①当n ≥2时，c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＝2(n －1) ②由①－②得，c n ＝2，当n ＝1时，c 1＝2，满足上式；则c n ＝2(n ∈N *)，即b n2n ＝2，∴b n ＝2n ＋1，故数列{b n }是首项为4，公比为2得等比数列， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝4(1－2n)1－2＝2n ＋2－4．此类题目中，已知条件往往是一个关于a n 与S n 的等式，问题则是求解与a n ，S n 有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留a n ，还是S n ．那么，主要从两个方向利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)：方向一：若所求问题是与a n 相关的结论，那么用S n －S n －1＝a n (n ≥2)消去等式中所有S n 与S n －1，保留项数a n ，在进行整理求解；1．(2015·广州潮州月考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)，则数列的通项公式是 ．【解析】当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ；当n ＝1时，a 2＝3，则a 2＝3a 1，满足上式；故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，∴a n ＝3n －1．【答案】a n ＝3n －12．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解】(1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1，又a n ＋1＝－4S n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n＝－3(n ≥2)， 又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1．(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n，∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n，所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n16．方向二：若所求问题是与S n 相关的结论，那么用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)消去等式中所有项数a n ，保留S n与S n －1，在进行整理求解．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．【解】(1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0． 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n ．当n ≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又∵a 1＝12，不适合上式．∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.2．(2015·江西名校联盟调考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n －2S n a n ＋1＝0． (1)求数列{S n }的通项公式；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞2(S n+1－1)．(提示：1n ＞2n ＋1＋n)【解】(1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，由a 2n －2S n a n ＋1＝0，得(S n －S n －1)2－2S n (S n －S n －1)＋1＝0，整理得S 2n －S 2n －1＝1． 当n ＝1时，a 21－2S 1a 1＋1＝0，且a 1＞0，解得a 1＝1，故由等差数列的定义知{S 2n }是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴S 2n ＝n ，则S n ＝n ．(2)由(1)知1S n ＝1n ＝22n ＞2n ＋1＋n＝2(n ＋1－n )，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)即1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞2(S n ＋1－1) ．【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握．解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，还需要对a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2关系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换．当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向． 方向一：关于双重前n 项和此类题目中一般出现“数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与a n ，S n ，T n 中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向．但一般是求解最底层的a n ．1．(2015·湖北武汉质检)设数列{a n }的前n 现和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，且T 1＝S 1＝a 1，解得a 1＝1，(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1∴S n ＝2S n －1＋2n －1 ① 则S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)， 易求得，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，∴数列{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，∴a n ＋2＝3·2n －1，则a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *)．2．(2015·安徽滁州期末联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，且2T n ＝4S n －(n 2＋n )，n ∈N *．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)设b n ＝n ＋1a n ＋1，证明：b 1＋b 2＋…＋b n ＜3． 【解】(1)当n ＝1时，2T 1＝4S 1－2，且T 1＝S 1＝a 1，解得a 1＝1，当n ＝2时，2T 2＝2(a 1＋a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)－6，解得a 2＝3， 当n ≥2时，2T n －1＝4S n －1－[(n －1)2＋(n －1)]∴2S n ＝2T n －2T n －1＝4S n －(n 2＋n )－4S n －1＋[(n －1)2＋(n －1)] 整理得S n ＝2S n －1＋n ① 则S n ＋1＝2S n ＋n ＋1 ② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ≥2)， 显然a 2＋1a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，(2)由(1)知，a n ＋1＝2n，则b n ＝n ＋12n．则b 1＋b 2＋…＋b n ＝22＋322＋423…＋n ＋12n ，令T n ＝22＋322＋423…＋n ＋12n ，①则12T n ＝ 222＋323＋424…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② 由①－②，得12T n ＝1＋122＋123＋124…＋12n －n ＋12n ＋1＝1＋122(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1＜32则T n ＜3，即b 1＋b 2＋…＋b n ＜3． 方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{a n }”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍．1．(2015·山东青岛一模)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1；又T 1＝S 1＝a 1，则a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝(2S n －n 2)－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， 整理得S n ＝2S n －1＋2n －1 ① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2 ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2) 又T 2＝2S 2－4；得a 2＝4当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 1＋2a 2＋2＝2， ∴数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． 则a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2．2．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n ．【解】(1)由已知得，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n ＞0)，∴a 1＝1．当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1． 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1．∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1．方向三：需对已知等式变形后，再求解1．(2015·江西五校联考)已知正项数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －1． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n+1，T n = b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，求T n ． 【解】(1)由已知得，4S n ＝(a n ＋1)2．当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，则4S n －4S n －1＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，整理得 (a n －1)2－(a n －1＋1)2＝0， ∴(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0 又a n ＞0，则a n －a n －1＝2，当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2，得a 1＝1； 故数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列； ∴a n ＝2n －1． (2)由(1)可得b n ＝1a n ·a n+1＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1． 2．(2015·浙江温州中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a 2＝8，S n ＋1＋4S n －1＝5S n (n ≥2)，T n 是数列{log 2a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求T n ．【解】(1)当n ≥2时，S n ＋1＋4S n －1＝5S n ，∴S n ＋1－S n ＝4(S n －S n －1)，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，a 2＝4a 1；故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴a n ＝2·4n －1＝22n －1．(2)由(1)可知log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1，∴T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n＝1＋3＋5＋…＋2n －1 ＝n (1＋2n －1)2＝n 2．3．(2015·江西三县联考)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )=a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，其中n ∈N *．(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2) a 1＝1，对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成公比为q 的等比数列，求数列{a n }的前n 项和A n ．【解】(1)∵任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成等差数列，∴B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，则a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4， 故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列； ∴a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3．(2)若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成公比为q 的等比数列， ∴B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )， 则C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1， 当n ＝1时，由B (1)＝qA (1)，可得a 2＝qa 1； 则a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1＝0，又a n ＞0，则a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q ， 故数列{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列．∴A n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，q ＝1，1－q n1－q，q ≠1.4．(2015·辽宁沈阳诊断考试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10． (1)求证：{lg a n }是等差数列； (2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3(lg a n )(lg a n ＋1)的前n 项和，求T n ；(3)求使T n ＞14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．【解】(1)证明：当n ≥2时，a n ＝9S n －1＋10，∴a n ＋1－a n ＝9(S n －S n －1)，则a n ＋1＝10a n ，即a n ＋1a n＝10， 当n ＝1时，a 2＝9a 1＋10＝100，则a 2a 1＝10， 故数列{a n }是以10为首项，10为公比的等比数列． ∴a n ＝10n，则lg a n ＝n ， ∴lg a n ＋1－lg a n ＝n ＋1－n ＝1，故数列{lg a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知3(lg a n )(lg a n ＋1)＝3n n ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝3n n ＋1． (3)∵T n ＝3n n ＋1＝3－3n ＋1， ∴当n ＝1时，T n 取最小值32．依题意有32＞14(m 2－5m )，解得－1＜m ＜6，故整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}．1．(2015·江苏扬州外国语中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为 ．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－3－2n －1＋3＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，不满足上式．【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥22．(2015·辽宁沈阳二中月考)已知数列{a n }满足a 1＋a 22＋…＋a nn ＝a 2n－1，求数列{a n }的通项公式．【解】当n ≥2时，a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝a2n －2－1由已知等式减去上式，得a nn＝a 2n－1－a 2n －2＋1＝(a 2－1)a2n －2，∴a n ＝n (a 2－1)a2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 2－1，满足上式； ∴a n ＝n (a 2－1)a 2n －2．3．(2015·安徽江淮十校联考)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )= f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )= f (3)(n ∈N *)，则a n为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1【解析】由f (x ·y )= f (x )＋f (y )，f (S n ＋2)－f (a n )= f (3)，得S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)，两式相减得2a n ＝3a n －1；当n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，则a 1＝1．所以数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列．【答案】a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －14．(2015·辽宁鞍山二中期中)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足S n ＝32(b n －1)，且a 2＝b 1，a 5＝b 2．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，T n 为{c n }的前n 项和，求T n ． 【解】(1)当n ≥2时，S n －1＝32(b n －1－1)，则b n ＝S n －S n －1＝32(b n －1)－32(b n －1－1)，整理得b n ＝3b n －1，当n ＝1时，b 1＝32(b 1－1)，解得b 1＝3；故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴b n ＝3n，设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋4d ＝3，解得d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n．(2)由(1)知c n ＝a n ·b n ＝(2n －1)·3n，∴T n ＝3＋3·32＋5·33＋…＋(2n －1)·3n，①3T n ＝ 32＋3·33＋5·34＋…＋(2n －3)·3n ＋(2n －1)·3n ＋1，②由①－②，得－2T n ＝3＋2(32＋33＋ (3))－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×32(1－3 n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，∴T n ＝(n －1) 3n ＋1＋3．5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式是 ．【解析】由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1 ①；当n ≥3时，a n －1＝2S n －2 ②①－②整理得a na n －1＝3 (n ≥3)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2.【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2.6．(2015·广东桂城摸底)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋a n ＝2S n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若b n ＝1a 2n (n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：T n ＜53．⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：1n 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1【解】(1)当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1，且a n ＞0，得a 1＝1； (2)当n ≥2时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1 ①；且a 2n ＋a n ＝2S n ②； 由②－①，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又a n ＞0，则a n －a n －1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列； ∴a n ＝n ．(3)证明：由(2)知，b n ＝1a 2n ＝1n2，当n ＝1时，b 1＝1＜53，不等式成立；当n ≥2时，1n 2＜1n 2－14＝44n 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17…＋12n －1－12n ＋1＜1＋23＝53， ∴T n ＜537．(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝12n ＋1，n ≥28．(2014·烟台一模)已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】(1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得：a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2， 所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，即a n ＝12×2n －1＝2n －2．(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(l og 2a 2n ＋3)＝(log 222n ＋1－2)×(log 222n ＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)，∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1．9．(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n－1．【答案】2n－110．(2014·湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n ．又a 1＝1满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ． (2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)nn ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ．故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2．11．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3＝4，{a n }的前3项和为7． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)2n＋3，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－1n．【解】(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1＋a 1q ＋4＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．(2)【证明】当n ＝1时，a 1b 1＝1，且a 1＝1，解得b 1＝1． 当n ≥2时，a n b n ＝(2n －3)2n＋3－(2n －2－3)2n －1－3＝(2n －1)·2n －1．∵a n ＝2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝2n －1．∵b 1＝1＝2×1－1满足b n ＝2n －1， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n 2．∴当n ＝1时，1S 1＝1＝2－11．当n ≥2时，1S n ＝1n2＜1n (n －1)＝1n －1－1n．∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－11＋11－12＋…＋1n －1－1n ＝2－1n ． 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4， 故数列{a n }是以1为首项，以4为公差的等差数列． 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *)．(2)由S n ＝na n －2n (n －1)，得S nn＝2n －1 (n ∈N *)，又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1．令2n －1＝2 013，得n ＝1 007，即存在满足条件的自然数n ＝1 007．1．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n ，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4．(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0． 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n ．2．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8．(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．当n ≤2时，S n ＝n 5＋8－3n2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋n －21＋3n －82＝3n 22－132n ＋14，综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.3．(2014·广东卷)设各项均为正数的数列{a n } 的前n 项和为S n ，且 S n 满足 S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *．(1)求a 1 的值；(2)求数列{a n } 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1<13．【解】(1)由题意知，S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*．令n＝1，有S21－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，可得S21＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又a n为正数，所以a1＝2．(2)由S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*可得，(S n＋3)(S n－n2－n)＝0，则S n＝n2＋n或S n＝－3，又数列{a n}的各项均为正数，∴S n＝n2＋n，S n－1＝(n－1)2＋(n－1)，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n．又a1＝2＝2×1，所以a n＝2n．(3)证明：当n＝1时，1a1a1＋1＝12×3＝16＜13成立；当n≥2时，1a n a n＋1＝12n2n＋1＜12n－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，∴1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n＋1＜16＋16＝13．所以对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜13．。