数列中an及Sn的关系

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数学人教A版高中必修5数列中an与Sn的关系探究优秀学案

数学人教A版高中必修5数列中an与Sn的关系探究优秀学案

数列中n a 与n S 的关系探究1、理解数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系;对数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系能有较深刻的理性认识,会变形利用⎩⎨⎧≥-==-.2,;1,11n S S n S a n n n )(*N n ∈来解决一些与n a 及n S 有关联的一定难度的灵活性、综合性问题,形成技能。

2、通过对问题探究与变式训练,体会⎩⎨⎧≥-==-.2,;1,11n S S n S a n n n )(*N n ∈联结数列的通项n a 和前n 项和n S 的作用。

重点:由数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求n a ; 难点:(1)由1-⇒n n S S 及使用1--=n n n S S a 的前提条件”“2≥n ; (2)由数列前n 项和n S 与通项n a 的关系,进行n a 与n S 的转化。

1、回顾:我们前面学过等差数列、等比数列,可以由a n →S n ,如等差数列中有2)(1n n a a n S +=;等比数列中有S n →a n ,如已知22n S n n =+,可以求a n 。

2、问题引入:如果知道a n 与S n 之间的关系式,能否求a n 或S n 呢? 3、典型例题及类题演练:例1:2016年全国III 卷17题:已知数列}{n a 的前n 项和n n a S λ+=1,其中0≠λ。

(1)、证明}{n a 是等比数列,并求其通项公式;(2)、若32315=S ,求λ。

类题演练:2015年全国I 卷17:n S 为数列}{n a 的前n 项,已知342,02+=+>n n n n S a a a .(1)、求}{n a 的通项公式;(2)、设11+=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和。

问题演变:变式:已知正项数列{a n }的前n 项和为n S ,a 1=3,且)2(21≥=+-n a S S n n n ,求该数列的通项a n 。

等差数列中Sn与an间的重要关系及应用

等差数列中Sn与an间的重要关系及应用

等差数列中S n 与a n 间的 重要关系及其应用“设S n、a n分别是等差数列{a n}的前n 和与通项,则它们之间有如下的重要关系:S n =(kn )a n ,其中k 是非零实数,n 是正整数。

”我们知道,等差数列{a n }的前n 和S n 、通项a n 分别有如下的表达式:⑴ S n =na 1- n(n-1)2 d ,其可等价变形为S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ,它是关于n 的二次函数且不含常数项,一般形式是:S n =An 2+Bn ,其中A 、B 是非零待定系数;⑵ a n = a 1 +(n-1)d ,其可等价变形为a n =dn+(a 1 -d ),它是关于n 的一次函数,一般形式是:a n =an+b ,其中a 、b 是非零待定系数;通过对等差数列{a n }前n 和S n 的一般形式S n =An 2+Bn 与其通项a n 的一般形式a n =an+b 的观察分析,不难得出S n 与a n 之间有这样的重要关系式:S n =(kn )a n 。

S n 与a n 相互关系的应用举例:[例1]在等差数列{a n }中,a 4=0.8,a 11=2.2,求a 51+a 52+…+a 80.【解】 由等差数列的通项公式得⎩⎨⎧=+=+2.2108.0311d a d a ,解得a 1=0.2,d =0.2.∴a 51+a 52+…+a 80=S 80-S 50 =80a 1+d a d 2495050279801⨯--⨯=30a 1+1935d =30×0.2+1935×0.2=393. 【点评】 本题求解分两个层次,首先由已知求出a 1和d ,再将所求转化为S 80-S 50,这是解题的关键.[例2]根据数列{a n }的前n 项和公式,判断下列数列是否是等差数列. (1)S n =2n 2-n (2)S n =2n 2-n +1【解】 (1)a 1=S 1=1 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2-n )-[2(n -1)2-(n -1)]=2(2n -1)-1=4n -3∵n =1 时也成立,∴a n =4n -3 a n +1-a n =[4(n +1)-3]-[4n -3]=4∴{a n }成等差数列(2)a 1=S 1=2 a 2=S 2-S 1=5 a 3=S 3-S 2=9 ∵a 2-a 1≠a 3-a 2 ∴{a n }不是等差数列.【点评】 已知S n ,求a n ,要注意a 1=S 1,当n ≥2时a n =S n -S n -1, 因此a n =⎩⎨⎧≥-=-)2( )1(11n S S n S n n.练习: 已知等差数列{a n }的前项和S n 满足条件:S n =2n 2+3n ,求此等差数列的通项a n解: 根据等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数且不含常数项,即S n = d 2n 2+(a 1-d 2 )n,并结合已知条件等差数列{a n }的前项和S n =2n 2+3n 立有, d2 =2且a 1-d2=3, 解之得 a 1=5,d=4,于是便得所求等差数列的通项a n =4n+1. [例3]已知等差数列{a n }满足:S p =q ,S q =p ,求S p +q (其中p ≠q ). 【解】 由已知S p =q ,S q =p 得 pa 1+q d p p =-2)1( ① qa 1+p d q q =-2)1( ② ①-②整理得2)1(21dq p a -++=-1∴d q p q p a q p S q p 2)1)(()(1-++++=+=(p +q )2)1(21d q p a -++=-(p +q ) 【点评】 本问题即是在a 1、d 、n 、a n 、S n 中知三求二问题,但在解方程的过程中体现出了较高的技巧;也可考虑设S n =An 2+Bn 去求解. 例4 有两个等差数列{a n }、{b n },其前n 和分别为S n 、 T n ,并且n n T S =7n+2n+3 ,求:⑴ 55b a 的值;⑵115b a的值分析:由等差数列可知,其前n 项和是关于n 的二次函数且不含常数项;根据已知条件,两个等差数列前n 项和的比的结果是关于n 的一次因式,说明它们在相比的过程中约去了一个共同的因式kn ,于是,我们只要将其还原,即可得到两个等差数列的前n 项和,再对照等差数列前n 项和的二次函数形式:S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ,很快便可得到其首项、公差与通项,进而由等差数列通项公式求出数列中的任意一项。

数列中an及Sn的关系

数列中an及Sn的关系

对于任意一个数列,当定义数列的前n项和通常用S表示时,记作S= a i+ a2+・・・+禺,此时通项公S,n= 1,式a n= .Si—S T, n》2而对于不同的题目中的a n与S的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用◎= S— S-1 (n》2)去解决不同类型的问题呢?我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n与S相关的问题:归纳起来常见的角度有:角度一:直观运用已知的S,求a n;角度二:客观运用a n= S—S—1 (n》2),求与如S有关的结论;角度三:a n与S的延伸应用.方法:已知 $求a n的三个步骤(此时S为关于n的代数式):(1) 先利用a i= S求出a i ;(2) 用n—1替换S中的n得到一个新的关系,利用a n = S—S—1 (n》2)便可求出当n》2时a n的表达式;(3) 对n= 1时的结果进行检验,看是否符合n》2时a n的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n = 1与n》2两段来写.同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S求解.女口:a+ 2a2+ 3a s+ — + na n= 2n—1,其中a+ 2比+ 3a s+^+ na n表示数列{na n}的前n 项和.1.已知数列{a n}的前n项和S= n2—2n+2,则数列{a()n}的通项公式为A. a n = 2n —3 B . a n= 2n+ 31, n= 11, n= 1C. a n = D . a n =2n —3, n》22n+ 3, n》2【解析】当n》2时,a n = S n —S n—1 = 2n—3 .当n = 1时,a1= S = 1,不满足上式.【答案】C2. (2015 •河北石家庄一中月考)数列{a n}满足:a1+ 3a2+ 5&+…+ (2 n—1) • a n= ( n—1) • 3n+1+ 3( n € M),则数列的通项公式a n= _____________ .【解析】当n》2时,a1 + 3a2 + 5a3+-+ (2n —3) • a n—1= (n —2) • 3n+ 3;则用已知等式减去上式得(2 n—1) • a n = (2n—1) • 3,得a n= 3 ;当n = 1 时,a i = 3,满足上式;故a n = 3.【答案】a n= 3n3. ____________________________________________________________________________________ (2015 •天津一中月考)已知{a n}的前n项和为S,且满足log2(S+1) = n +1,贝U a n= ______________________________ .【解析】由已知得S+ 1= 2n+1,贝U S= 2n+1—1;当n》2 时,a n= S—S—1= 2n+1—1 —2n+ 1 = 2n;当n3, n= 1=1时,a1 = S1 = 3,不满足上式;故a n= n.2 , n》23, n= 1【答案】a n= n2 , n》24. (2015 •四川成都树德期中)已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5= 45, a2 + a6= 14.(1) 求{a n}的通项公式;b b2 b n(2) 若数列{b n}满足:空+ 尹…+ 2 = a n+ 1(n€ M),求{b n}的前n项和.【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则d>0,由a2+ a6= 14,可得a4= 7由a3a5= 45,得(7 —d)(7 + d) = 45,解得d= 2 或d=—2(舍)a n= a4+ ( n—4) d= 7+ 2( n —4),即a n= 2n—1.b n(2) 令6=尹贝U C1+ C2+ C3+ — + C n= a n+ 1 = 2n ①当n》2 时,d+ C2+ C3+・・・+ C n-1= 2( n—1) ②由①一②得,C n= 2,当n= 1时,C1= 2,满足上式;b n n 亠 1贝U C n= 2(n€ N*),即戸=2, . b n= 2 + ,故数列{b n}是首项为4,公比为2得等比数列,4(1 —2n) n+2•••数列{b n}的前n项和S n= = 2 +—4.1 —2此类题目中,已知条件往往是一个关于a n与S n的等式,问题则是求解与a n, S有关联的结论.那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后,判定最后的结果中是保留a n,还是S.那么,主要从两个方向利用a n= S n—S n- 1( n》2):方向一:若所求问题是与a n相关的结论,那么用S—S—1 = a n ( n》2)消去等式中所有S与S n—1,保留项数a n,在进行整理求解;1. (2015 •广州潮州月考)数列{a n}的前n项和记为S, ai = 1, a n+1= 2S+ 1(n》1, n€ N*),则数列的通项公式是.【解析】当 n 》2 时,a n = 2S — i +1,两式相减得 a n +i — a n = 2( S — S —J ,即 a n +1 — a n = 2a n ,得 a n +1 = 3a n ;当n = 1时,a 2= 3,则a 2= 3a i ,满足上式;故{a n }是首项为1,公比为3得等比数列,二a n = 3 I . 【答案】a n = 3n — 12.数列{a n }的前 n 项和为 S,若 a n +1 = — 4S +1, a 1= 1. (1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 设b n = na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)当 n 》2 时,a n = — 4S —1 + 1,又 a n +1 = — 4S + 1,又 a 2 = — 4a 1 + 1 = — 3, a 1 = 1,•••数列{a n }是首项为a 1= 1,公比为q =— 3的等比数列,⑵由(1)可得b n = n • ( — 3)T n = 1 • ( — 3)0+ 2 • ( — 3)1 + 3 • ( — 3)2 +•••+ (n — 1) • ( — 3)n —2 + n • ( — 3)n —1,—3T n = 1 • ( — 3)1 + 2 • ( — 3)2+…+ (n — 2) • ( — 3)n —2 + (n — 1) • ( — 3)n —1+ n ( — 3)n ,1 2 n — 1n.•4 T n = 1 + ( — 3) + ( — 3) +…+ ( — 3)— n ,( — 3),16方向二:若所求问题是与 S 相关的结论,那么用 &= S — S —1 (n 》2)消去等式中所有项数 a n ,保留S 与$-1,在进行整理求解.11. 已知数列{a n }的前n 项和为S 且满足a n + 2S • S-1 = 0( n 》2) , a 1=玄1(1) 求证:—是等差数列; (2) 求a n 的表达式.【解】(1)证明:••• a n = S — S-1( n 》2),又 a n =— 2S • S-1,• S n - 1 — Si = 2S n • Si - 1 , S n M 0 .11因此疋―W= 2( n 》2).S 1 S 1— 111 1故由等差数列的定义知$是以&=一=2为首项,2为公差的等差数列.Si S 1 a 11 1 1(2)由(1)知S = S + (n — 1)d = 2 + (n — 1) x 2= 2n ,即 S =亦.1当 n 》2 时,a n =— 2S • Si —1 =—2n (n — 1)I又T a 1 = ,不适合上式.a n= ( — 3)n — 11 — (4n + 1)( — 3)所以, T n =--a n +1 — a n = —4a即—3(n 》2),12, n = 1,2. (2015 •江西名校联盟调考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S ,且a 2— 2S a n + 1 = 0. (1) 求数列{S }的通项公式;1 1 1 一 1 2(2) 求证:$+疋+…+Q >2(S+I — 1).(提示: 一 > ------------------------ )o ! S2 Sn寸 n 寸 n +1+寸 n【解】(1) T a n = S1— Si -1 (n 》2),由 a n — 2S n a n +1 = 0,得(S — S —1)2— 2S n (S n — S —1) + 1= 0,整理得 S 2— S 2— 1= 1 . 当 n = 1 时,a 1 — 2Sa 1 + 1 = 0,且 a 1 >0,解得 a = 1, 故由等差数列的定义知{S n }是以1为首项,1为公差的等差数列. • S n = n ,则 S n = n . 亠 & 1 1 22 ,—— 厂⑵由⑴知十=丽>$+讦=2("—回,• S + S +…+ S >2( .2 — 1) + 2( 3 — 2) +…+ 2( n + 1— , n) = 2( n + 1 — 1) 即 1 + 2+…+ 1 > 2(S n + 1— 1)【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定,所以需要对数列的判定方法熟练掌握.S , n = 1, 解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义,还需要对a n =关S n — S n - 1 , n系式的形式结构很熟练的掌握,这样才能在题目中对已知等式灵活地变换.当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析,确定等式的变换方向. 方向一:关于双重前n 项和此类题目中一般出现“数列 {a n }的前n 项和为S,数列{S }的前n 项和为T n ”的条件,在解答时需要 确定清楚求的是与 a n , S n , T n 中谁相关的问题,确定已知等式的运用方向.但一般是求解最底层的/ .1. (2015 •湖北武汉质检)设数列{a n }的前n 现和为S ,数列{S }的前n 项和为T n ,满足T n = 2S — n 2,n € N*.(1) 求a 1的值;(2) 求数列{a n }的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时,T 1= 2S — 1,且 T 1 = S = a 1,解得 a 1= 1,(2)当 n 》2 时,S n = T n — T n -1= 2S — n — [2 S -1 — (n — 1) ] = 2S — 2S n -1 — 2n + 1a n =1 2n (n — 1)n 》2.i +1 i歹(1 -尹)n + 1_3尹=2n + 3 3盯v 2--S n = 2Si -1 + 2n — 1①则 S+1 = 2S + 2n +1②由②一①,得 a n +i = 2a n + 2,••• a n + 2 = 3 - 2n -1,贝y a n = 3 • 2n -1-2(n € N*).2• (2015 •安徽滁州期末联考)设数列{a n }的前n 项和为S,数列{S n }的前n 项和为T n ,且2T n = 4S n -2(n + n ), n € N*.(1) 证明:数列{a n + 1}为等比数列;n +1(2) 设 b n =■ ~-,证明:b 1 + b 2+^+ b n v 3.a n + 1【解】(1)当 n = 1 时,2T 1 = 4S - 2,且 T 1 = S= a 1,解得 a= 1,当 n = 2 时,212= 2(a + ◎ + a ?) = 4(a+ a ?) — 6,解得 a ?= 3, 当 n >2 时,2T n -1= 4S n -1-[( n — 1) + (n - 1)]• 2S = 2T n - 2T n -1 = 4S — (n + n ) — 4S -1 + [( n — 1) + ( n — 1)] 整理得s= 2S n -1 + n ① 则 S n +1 = 2S + n + 1②由②一①,得 a n +1 = 2a n + 1 ,a n + 1 + 1• a n +1 +1= 2(a n + 1),即——=2(n 》2),a n + 1•数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列,(2)由(1)知,a n + 1 = 2n ,贝 y b n =号1则 b 1+ b 2+-+ b n = |+ 22 + 壬…+2 2 2令T n = 2 +斗芬+专,① 则扣=|+1+寺…+ 7+齐,②,—+ 1 1 1 1 1 n +1由①一②,得2几=1+戸+戸+尹••+歹一I ^+Ta n +1 + 2K+I=E 2),易求得, a i + 2= 3, a 2 + 2= 6,贝U=2 ,显然a ?+ 1 a 1 + 1n + 12 ,a n + 1 + 2= 2( a n + 2), 即•••数列{a n + 2}是首项为3,公比为2的等比数列,1 则 T n V 3,即 b i + b 2+…+ b n v 3.方向二:已知等式在整理过程中需要因式分解求数列{a n }的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时,「= 2S — 1;又 T 1 = S = a 1,__22(2)当 n 》2 时,S n = T n — T n — 1 = (2 S n — n ) — [2 S n —1 — (n — 1) ] = 2S n — 2 Si — 1 — 2n + 1,整理得s= 2$-1 + 2n — 1①•- S n + 1 = 2S n + 2n + 1②由②一①,得 a n +1 = 2a n + 2又 T 2= 20— 4;得 a 2= 4a 1 + 2当 n = 1 时,a1+ 2 = 3,比+ 2= 6,则市=2,•••数列{a n + 2}是以3为首项,2为公比的等比数列. 则 a n + 2 = 3 ・2“ 1,所以 a n = 3 ・2“ 1 — 2. 已知数列{ a n }的各项均为正数,前n 项和为$,且S= a (a J ° , n € N*.1设 b n = 2S , T n = b + b 2+…+ b n ,求 T n .a 1 (a 1 + 1)【解】(1)由已知得,当n = 1时,a 1 = S =2 ( &> 0) , - a 1= 1.22S a n + a n ,当n 》2时,由cc 22Si —1 = a n — 1 + a n — 1得 2a n = a n + ai — a n - 1 — a n —1 . 即(a n + a n -1)( a n — a n — 1 — 1) = 0,a n + a n —1 >0, • a n — a n — 1 = 1( n 》2).所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)可得 a n = n , $= n(ri+ ° , b n = 2 =1——=-—^^22S n (n + 1) nn +1此类问题大多数时候会伴随"各项均为正数的数列{a n } ”这样的条件,运用在因式分解后对因式进行符号的判定,对因式进行的取舍.(2015 •山东青岛一模)各项均为正数的数列2{a n }满足 a n = 4S — 2a n —1( n € N*),其中 S 为{a n }的n 项和. (1) 求a i , a 2的值;则 a 1= 2a — 1,解得 a 1= 1 ;...a n + 1 + 2= 2( a n + 2),即 a n + 1 + 2K =2(n > 2)(1) 求证:数列{a n }是等差数列;方向三:需对已知等式变形后,再求解1. (2015 •江西五校联考)已知正项数列{&}中,其前n 项和为S ,且a n = 2西一1. (1) 求数列{a n }的通项公式;1(2) 设 b n =, T n = b 1 + b 2+ b 3+…+ b n ,求 T n .a n • a n+1【解】(1)由已知得,4S = (a n + 1)2.当 n 》2 时,4S —1= (a n -1+ 1)2,2222则 4S1 — 4S n - 1 = (a n + 1) — ( a n - 1 + 1),整理得(a n — 1) — ( a n - 1 +1) = 0 ,..(a n — a n — 1 — 2)( a n + a n — 1) = 0 又 a n > 0,贝U a n — a n — 1 = 2,2当 n = 1 时,4S = (a 1 +1),得 a 1 = 1 ; 故数列{a n }是首项为1,公差为2的等差数列;--a n = 2n — 1.1 111 1 12 1 —3 + 3 — 5 +…+ 2n — 1 — 2n + 1 1 1 n 2 1 — 2n + 1 = 2n + 12. (2015 •浙江温州中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S,已知a 1 = 2, a 2= 8, $+1 + 4S -1= 5$(n 》2) , T n 是数列{log 2a n }的前n 项和.(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 求 T n .【解】(1)当n 》2时,S+1+ 4S —1= 5S ,..S n + 1 — Si = 4( S n — S n — 1),即 N n + 1 = 43n , 当 n = 1 时,a 2= 4a 1;故数列{a n }是以2为首项,4为公比的等比数列.n —12n —1a n = 2 • 4 = 2.2n 一 1(2)由(1)可知 log 2a n = log 22 = 2n — 1,111 1 ...T n = b 1 + b 2+ b 3+ …+ b n = 1—石 + 石一厅+…+ - 2 2 3 n1 1 nn =1—nnn n T! •1 1 1⑵由(1)可得"=K =犷* — 1 1 2 2n —11 2n + 1,T n =+ £ + £ +…+ b 1 b 2 b 31b n•- A n =1 — q n1 — q ,4. (2015 •辽宁沈阳诊断考试)设数列{a n }的前n 项和为S, a 1= 10, a n +1 = 9S + 10. (1)求证:{lg a n }是等差数列;⑵设Tn 是数列(lg a n )(lg a n +!)的前n 项和,求Tn ;1 2⑶ 求使T n >4(m i — 5m )对所有的n € N*恒成立的整数 m 的取值集合.【解】(1)证明:当n 》2时,&= 9S — 1+ 10,/• T n = log 2a i + log 2a ?+ log 2a 3+・・・+ log 2a n=1 + 3+ 5+…+ 2n — 1n (1 + 2n —1) 23. (2015 •江西三县联考)已知数列{a n }的各项均为正数, 记A (n ) = a i + a 2+-+ a n , B ( n )=a 2 + a 3+…+ a n +1, C ( n )= a 3 + a 4 +…+ a n +2,其中 n € N .(1)若a 1= 1, a 2 = 5,且对任意n € N ,三个数A (n ),巳n ) , C (n )依次组成等差数列,求数列{a n }的通项公式;⑵ a 1 = 1,对任意n € N*,三个数A (n ),耳n ) , C (n )依次组成公比为 q 的等比数列,求数列{a n }的前n 项和A.【解】(1) •••任意n € N*,三个数A (n ) , B ( n ) , C (n )依次组成等差数列,••• B ( n ) — A ( n ) = C ( n ) — B ( n ),贝V a n +1 — a 1 = a n + 2— a 2,即卩 a n + 2— a n +1 = a 2— a 1 = 4, 故数列{ a n }是首项为1,公差为4的等差数列;•- a n = 1 + (n — 1) x 4 = 4n — 3.(2)若对任意n € N*,三个数A (n ),B ( n ),C (n )依次组成公比为q 的等比数列,• B (n ) = qA (n ), C ( n ) = qB (n ), 则 C (n ) — Rn ) = q [Bn ) — A ( n )],得 a n + 2— a 2= q (a n +1 — a 1),即 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa 1 , 当 n = 1 时,由 耳1) = qA (1),可得 a 2= qa ; a n +2 a 2 则 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa = 0,又 a n >0,则—==q ,a n +1 a 1故数列{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列.a n + 1 a n + 1 — a n = 9( S n — S n _1),贝U a ・+ 1= 10a n ,即 =10,a n当 n = 1 时,a 2= 9a 1+ 10= 100,则竺=10, a 1故数列{a n }是以10为首项,10为公比的等比数列.a n = 10:贝y ig a n = n ,--lg a n +1 — Ig a n = n + 1 — n = 1,故数列{Ig a n }是首项为1,公差为1的等差数列.- 3 11⑵解:由(1)知 --=——=3 -—(Ig a n ) (lg a n +1)n n +1 n1 1 1 1 1 1• Tn =31 —1+1—3+…+ n —市=31—市3n3⑶Tn =市=3—市,3•••当n = 1时,T n 取最小值2-依题意有|>治—5n ),解得一1v m< 6, 故整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}1. (2015 •江苏扬州外国语中学模拟 )已知数列{a n }的前n 项和S = 2n — 3,则数列{a n }的通项公式为 __________ .【解析】当n 》2时,a n = Si — Si -1 = I — 3— I 1 + 3 = I 1.当n = 1时,a 1= S = — 1,不满足上式.—1, n =1【答案】a n = n — !2, n 》2a 2a n 2n2. (2015 •辽宁沈阳二中月考)已知数列{a n }满足a 1 + - +…+ -= a — 1,求数列{a n }的通项公式. 【解】当n 》2时,a 1 +号+…十-^7 = a 2n —2 — 12 n — 1an2n 2n — 2 2 2n —2由已知等式减去上式,得 -=a — 1 — a + 1 = (a — 1)a ,n —2…a n = n (a — 1) a ,3 (2015 •安徽江淮十校联考)已知函数f (x )是定义在(0,+^ )上的单调函数,且对任意的正数x .y 都有 f (x • y )= f (x ) + f (y ),若数列{a n }的前 n 项和为 S,且满足 f(S + 2) — f (a n )= f (3)( n € M),则 a n3nn +^.当n = 1时,a 1= a 2— 1,满足上式;.2八 2n—2• a n = n (a — 1) a .n — 1A. 2C. 2n—1【解析】由f(x • y)= f (x) + f(y) , f (S+ 2) —f(a n)= f (3),得S+ 2 = 3a n, S—1+ 2= 3a n—1 (n》2),3 两式相减得2a n= 3a n—1 ;当n= 1时,S + 2= 3a1= a1 + 2,则a1= 1 .所以数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.3 n 1 【答案】a n= 2 n—134. (2015 •辽宁鞍山二中期中)设数列{a n}是等差数列,数列{b n}的前n项和S满足S=^(b n—1),且a2 = b1, a5= b2.(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2) 设C n= a n • b n, T n 为{C n}的前Fl 项和,求T n .3【解】(1)当n >2 时,S n— 1 = 2(b n—1—1),3 3 亠则b n= S n—S n—1= ^( b n—1) —?(b n —1- 1),整理得b n = 3b n—13当n= 1 时,b1 = ^(匕一1),解得b1= 3 ;故数列{b n}是以3为首项,3为公比的等比数列.b n= 3,设等差数列{a n}的公差为d,由a2= b1= 3, a5= b2= 9,a1 + d = 3,则解得d= 2, a1 = 1,—a n= 2n—1,a1 + 4d= 3,a n= 2n—1,b n= 3.(2)由(1)知C n= a n • b n= (2n —1) • 3n,• T n= 3 + 3 • 32+ 5 • 33+…+ (2 n—1) • 3n,①3T n= 3 2+ 3 • 33+ 5 • 34+…+ (2 n —3) • 3n+ (2n—1) • 3n+1,②由①一②,得—2T n= 3+ 2(3 2+ 33+…+ 3n ) —(2 n—1) • 3n+1【解析】由已知1 n》2时,a n= 2S1-1①当n》3时,①—②整理得a n1,n= 1,=3 ( n》3), • a n = n- 2a n—12X3 ,n》2.1,n= 1,【答a n =n 22X3 ,n》2.(2015 •广东桂城摸底6.a n- 1 = 2S1 -2 ②B. nD.=3+ 2X2 n —1、3 (1 —3 )—(2n—1) 3n+1(2 —2n) • 3n+1—6,)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S,且a :+ a n = 2S .(1) 求a i ;求数列{a n }的通项公式; ⑶若b n=-5n € N*) , T n = b 1+ b 2+・・・+ b n ,求证:T n < -.提示:31 1n "< 2 2n — 1 2n +12【解】(1)当 n = 1 时,a i + a i = 2S ,且 a n > 0,得 a i = 1 ;(2) 当 n 》2 时,a n -1 + a n —1 = 2S -1 ①;且 ai + a n = 2S n ②;由②一①,得(a n +a n — 1)( a n — a n — 1— 1) = 0, 又 a n > 0,贝U a n — a n -1= 1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列;1 1⑶证明:由⑵知,b n = 2=「a n2,5当n = 1时,b 1= 1 <3,不等式成立; 11 41当 n 》2 时,孑< Yl = 4n 2— 1 = 2 乔 12n + 1,n —41 1 12 5• Tn =b1+b+・・+ bn =1+尹尹•••+ 冷v 1 + 2 3—才5—7^+ 冇—市 <1 +3=3, 3 555• Tn < 32 *7. (2015 •大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S = n +2n +1(n € N),贝U a n= ______________________________ .4, n = 1, 【解析】当 n 》2 时,a n = Si — S n -1 = 2n + 1,当 n = 1 时,a 1 = S = 4去2x 1 + 1,因此 a n =2n +1, n 》2.4, n = 1【答案】2n + 1, n 》21& (2014 •烟台一模)已知数列{a n }前n 项和为S n ,首项为a 1,且刁a n , $成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;11 1【解】(1) T 2, a n , S 成等差数列,二2a n = S n + 2,t丄11 当 n = 1 时,2a 1 = S + 2,二已1= 2,t丄1 1当 n 》2 时,S n = 2a n — 2, S n - 1 = 2a n — 1 — 2,a n 两式相减得:a n = Si — S —1 = 2a n — 2 a n — 1,「. —= 2,a n — 11 1所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,即a n = 2"n —1 = 2n —2.(2) T b n = (log 2a 2n +1)x (I og 2a 2n + 3)= (log 222n +1—2) x (log 222n +3—2) = (2 n —1)(2 n +1),1 1 1 1 1 1/.——= x =— ,b n 2n — 12n + 12 2n — 1 2n + 11数列 的前n 项和b n1 11 11 111 1111 n1b 1 +b 2+b 3+ +b n 213 + 3 5 ++2n — 12n +12 12n +12n +19. __________________________________________________________________________ (2014 •山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S , S= 2a n — n ,贝U a n = ____________________________________________________________ .【解析】当 n 》2 时,a n = S n — S n —1 = 2a n — n — 2an —1 + (n — 1),即 a n = 2a n — 1 + 1, • a n +1 = 2( a n —1 + 1), •数列{a n +1}是首项为a 1+ 1 = 2,公比为2的等比数列,• a n +1 = 2・2 n —1= 2n ,「. a n = 2n — 1.【答案】2n — 1n 2 + n *10. (2014 •湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S= —, n € N .(1)求数列{a n }的通项公式;⑵ 设b n = 2a n + ( — 1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.【解】(1)当n = 1时, a 1 = S 1 = 1 ;当n 》2时, 22小 cn + n n — 1 + n — 1a n Si Si-12 2 n .又a 1= 1满足上式,故数列{a n }的通项公式为a n = n .(2)由(1)知,b n = 2n + ( — 1)n n ,记数列{b n }的前2n 项和为Tm ,_122n则 T 2n = (2 + 2 +…+ 2 ) + ( — 1 + 2— 3+ 4—…+ 2n ).B= ( — 1 + 2) + ( — 3+ 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n ] = n .故数列{b n }的前 2n 项和 T 2n = A + B= 22n +1 + n — 2.11.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列, a 3= 4, {a n }的前3项和为7.(1)求数列{a n }的通项公式;记 A = 21+ 22 +…+ 22n ,B=— 1 + 2 — 3+ 4-…+ 2n ,则 A =-2n1 —2 1 — 2=22n +1n1111 ⑵ 若ab + a 2b 2 + ・・・+ a n b n = (2 n — 3)2 n + 3,设数列{ b n }的前n 项和为 S,求证:+…+2—- .S 1 S 2Si na*1 q 4,a*1 1,【解】 ⑴ 设数列{a n }的公比为q ,由已知得q >0,且/•a 1 + ag + 4= 7,q = 2.•••数列{a n }的通项公式为a n = 2n —1.(2)【证明】当n = 1时,a1b = 1,且a 1 = 1,解得b 1 = 1.当 n 》2 时,a n b n = (2n — 3)2 n + 3 — (2 n — 2 — 3)2 n — 1 — 3 = (2n — 1)・2 n — 1. a n = 2 1 ,•当 n 》2 时,b n = 2n — 1.■/ b 1= 1 = 2x 1 — 1 满足 b n = 2n — 1,•数列{b n }的通项公式为 b n = 2n —1(n € N *). •数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列.•- S n = nl1 1 •••当 n = 1 时,S = 1 =2 — 1t」1 1 1 1 当 n 》2 时,S = n 2< n (n — 1) =n —1 1 1 1 1 1 1 1 1• ◎+S 2+…+ 亍2—1+厂 2+…+ n — - n =2—n 12.设数列{a n }的前 n 项和为 S , a 1 = 1, a n = + 2 (n — 1) ( n € N). n(1)求证:数列{a n }为等差数列,并分别写出 a n 和S 关于n 的表达式;请说明理由.*【解】(1)由 a n = n + 2( n — 1),得 S = na n — 2n ( n — 1) ( n € N).当 n 》2 时,a n S n — S n — 1 na n — (n — 1) a n — 1 — 4( n — 1),艮卩 a n — a n —1 4, 故数列{a n }是以1为首项,以4为公差的等差数列.a 1 + a n n 2*a n =4n — 3, S = = 2n — n ( n € N).(2)由 S n = na n — 2n ( n — 1),得—=2n — 1 ( n € N),$ S 3 S 1 2 2 2 2又 s+ 2 + 3 +…+ n — (n — 1) = 1 + 3 + 5 + 7+-+ (2n — 1) — (n — 1) = n —(n — 1) = 2n — 1.令2n — 1 = 2 013,得n = 1 007,即存在满足条件的自然数n = 1 007 .(2)是否存在自然数n ,S ? S 3Si…使得S+ 2+ 3+…+ -—(n — 1)2= 2 013?若存在,求出n 的值;若不存在,于是,1. 已知$为正项数列{a n }的前n 项和,且满足 S = 2a n + ?a n (n € N *).⑴求a i , a 2, a 3, a 4的值;⑵求数列{a n }的通项公式.1 2 1 1 2 1【解】(1)由$=,a n + 2a n ,可得a 1 = 2^+空31,解得◎= 1 ;1 2 1S= a + a 2= 2a 2 + g a ?,解得 a 2 = 2;同理,1 2 1当 n 》2 时,S n - 1= 2 a n -1 + ^a n - 1,②①一②得(a n — a n -1 — 1)( a n + a n -1)= 0 .由于 a n + a n -1 工 0,所以 a n — a n -1 = 1, 又由(1)知a 1= 1, 故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故 a n = n .2. 在数列{a n }中,a 1=- 5, a 2=- 2,记 A (n ) = a 1 + 比+…十 a n , B (n ) = a 2 + a 3+・・・+ a n +1, qn ) =a 3+ a 4 + •••+ a n +2(n €N *),若对于任意 n € N *, A (n ) , B ( n ), q n)成等差数列.(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 求数列{| a n |}的前n 项和.【解】(1)根据题意A (n ) ,B (n ),C ( n )成等差数列,二A ( n ) + C ( n ) = 2B ( n ),整理得 a n +2— a n +1 = a 2— a 1 = — 2+ 5 = 3,•••数列{a n }是首项为—5,公差为3的等差数列,a n = — 5 + 3( n — 1) = 3n — 8.—3n + 8, n W 2,(2)| a n | =记数列{| a n |}的前n 项和为S.3n — 8, n 》3,2当 n W2 时,S n =n 5+ 2— 3n = — + 务3 2 13—尹 + 厂,n w 2,3. (2014 •广东卷)设各项均为正数的数列 {a n }的前n 项和为S ,且S 满足S n — (n 2+ n -3)S n — 3( n 2 + n ) = 0, n€ N .(1) 求a 1的值;(2) 求数列{a n }的通项公式;a 3 = 3, a 4= 4.当n 》3时,S n = 7 +n -2 1 + 3n — 8 2普-岭+ 14,2 2综上,S n =|n 2 —爭+ 14, n 》3.1(3)证明:对一切正整数亠 1 1 11n, a 1 a+1 + a 2 a ?+1 + + a n a n +1 <3'【解】(1)由题意知,U — (n 2+ n — 3)S h -3(n 2+ n ) = 0, n € N*. 令 n = 1,有 S — (1 2+ 1— 3) S — 3X (1 2+ 1) = 0,可得 S 1+ S — 6 = 0,解得 S =— 3或 2, 即卩 a 1 =— 3 或 2, 又a n 为正数,所以a 1 = 2.222* __(2)由 S>— ( n + n — 3) Si — 3( n + n ) = 0, n € N 可得,2 2(S + 3)( S — n — n ) = 0,贝U S = n +n 或 $=— 3,又数列{a n }的各项均为正数,2 2S= n + n , S -1 = (n — 1) + (n — 1),当 n 》2 时,a n = S n — S n — 1 = n + n — [( n — 1)2+ (n — 1)] = 2n . 又 a 1= 2 = 2x 1,所以 a n = 2n .1a a+ 1111 111当n ^2时, a na n + 1= 2n 2n + 1 v 2n —12n + 12 2n — 1 —2n + 1 , 1 111 1 1 111 …a 1 a 1+ 1+a 2a 2 + 1 + -••+ a na n + 1+ ■ 6 +2 3 5 + •' '• 2n — 12n + 11 1 11 1 1 1=一 + — —v —+ _ =6 2 3 2n + 1 6 6 3(3)证明:当n = 1时,11+a 2a 2 + 1+…+aT^+所以对一切正整数n,有07葛+• T n= (n—1) 3 n+1+ 3.5.在数列{a n}中,已知a1 =1, a n= 2(a n —1 + a n—2 + — + a2+ a" ( 2, n€N*),则数列的通项公式是_________ .1。

数列中an与Sn的关系

数列中an与Sn的关系




在教学 中 应 对 学 生 加 强 数 学 建 模 训 练 引 导 学 生 自己 运 用 所 学 的 知 识 建 立 基 本 模 型 并 灵 活 的 运 用 举 反 三 达 到事 半 功倍 的效 果 ;这 也 是 培 养 和 提 高学 生 分析 和 解 决 实 际 问题 能力 的最有 效 途径
, ,
, ,




A














=











A


则 DE
C D
. .
=
2+ 1
'
=
3 ,C E


AB
5

=
4

i
卜.. .

. — … … …

~
C / E 0 + D E2
=
厂( z )

≯ ~/ +
1 +
/( 4


z
0 ) + 4 的最 小值
葶 } 锐a 甜
7
E


z 0

’r 一












解 :设 A P
4

=
z

则 BP
=
D
z

数列中an与sn的关系探究(课堂PPT)

数列中an与sn的关系探究(课堂PPT)

挖掘条件,得到新式(与
间的关an系
S1 Sn
n=1 Sn1 n
2
条件相邻),作差将“和” 转化为“项”之间的关系
直接代入
作差消元
10
类题演练
1、 如 果 数 列 {an}的 前 n项 和 为 Sn=3 2an-3, 则 an
【 答 案 】 an63n1
11
类题演练
2、 数 列 {an}中 , 已 知 a11 2, 其 前 n项 和 为 Sn=n2an, 则 an
南京市第九中学 易雪梅
2
典型例题 例 1: 若 数 列 {an} 的 前 n项 和 Sn3an1 , 求 该 数 列 的 通 项 an 。
3
数学解题的四个步骤: • 理解问题 • 拟定计划 • 实现计划 • 回顾与检验
——乔治·波利亚《怎样解题》
4
例 1: 若 数 列 {an} 的 前 n项 和 Sn3an1 , 求 该 数 列 的 通 项 an 。
这是一个什么类型的问题?
类型
求数列通项an
特征
已 知 条 件 为 a n 与 S n 的 关 系 式
如何实现从条件到结论的转化?
S n 转化 a n
怎样转化?
an
SS1n
n=1 Sn1 n
2
5
例 1: 若 数 列 {an} 的 前 n项 和 Sn3an1 ,
求 该 数 列 的 通 项 an 。
解:当 n 1 时 ,a 1S 1 3 a 1 1 , 得 a 1 12 ; 当 n2 时 ,a nS n S n 13an1(3an11)
7
变 式 : 已 知 正 项 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n , a 1 3 , 且 S n S n -1 = a n ( 2n 2 ) , 求 该 数 列 的 通 项 a n 。

数列Sn与an关系(含详细答案)

数列Sn与an关系(含详细答案)

数列n s 与n a 关系知识点1.等差数列前n 项和公式:n da n d d n n na a a n S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2. 等比数列前n 项和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111)1(1111q q q a a q q a q na S n n n3.数列{}n a 是等差数列⇔q p n q pn a n ,),1(≥+=为常数b a n bn an S n ,),1(2≥+=⇔为常数(没有常数项的二次函数)数列{}na 是等比数列⇔n a =m ap (a ≠0)⇔n ns ap r =+(a+r=0) 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n a n S )12(12-=-5. 数列n s 与n a关系:⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21,11n S S n S a S n n n n训练题A 组1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( A ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n32⋅3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,2211=S 则=6a ( B ) A.1 B.2 C.3 D.44.数列6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若102,a a 是方程08122=-+x x 的两个根, 那么11S 的值为 ( D )A.44B.-44C.66D.-665.若两个等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3233+-=n n B A n n , 则=66b a ( C ) A.23 B.1 C.56 D.23276.(2010辽宁文数)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =( B )A.3B.4C.5D.67.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a ( A ) A.1 B.-1 C.2 D.21 8.{}n a 的前n 项和为n S ,)1(12≥+=n n S n ,则=n a ⎩⎨⎧≥-=21211n n n9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a n )21(- 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是1)41(43--n 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S121-n12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,147=S 则=4a 2 13.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,r S n n +=3,则=r -114.数列}{n a 的前n 项和为n S ,且,1≥n 时22nn S n +=(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求992199111S S S T +⋅⋅⋅++=的值. (1))1(≥=∴n n a n(2) 22n n S n +=,)111(2)1(21+-=+=∴n n n n S n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=∴)1001991()3121()211(2111992199S S S T 5099)10011(2=-=15.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn16.数列{}n a 满足条件11131,1--⎪⎭⎫⎝⎛+==n n n a a a ),3,2( =n(1)求;n a(2)求.321n a a a a ++++解:(1)∑∑=--=+=-+=nk k k k nk n a a a a 21121)31(1)(11)31(2123311])31(1[311---=--+=n n(2)43)31(4323])31(4343[23311)31(212123.321-+=--=-⋅--=++++n n n n n n n a a a a17.(2012广东文)设数列{}n a 的前n 项和n s ,数列{}n s 的前n 项和为{}n T ,满足2*2,n n T S n n N =-∈. (1) 求1a 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式.解:(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分(2)①②…………………………6分①-②得:122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得:2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分训练题B 组1.数列}{n a 的前n 项和为n S ,当,1≥n 32-=n n a S 则n a = 123-⋅n2.等差数列{}n a 中,已知74a =,则13s= 523.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 241494.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,14n n S r -=+,则=r 14- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1114S =,则61411a =22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足log 2(1+S n )=n+1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n+1,∴1+S n =2n+1,∴S n =2n+1-1.∴1=n 时,311==S a ,2≥n 时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn8.数列{}n a 的前n 项和为)()1(*2N n n n a n S n n ∈+++= (1)求通项n a ; (2)设),1111(321nn S S S S T +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-=求证:1<n T 解:(1) n a n 2-=∴(2)nn n n n n S n n S n a n n n 111)111()1(11),1(,2-+=+--=+-=∴+-=∴-= 1111+-=-∴n n S n )11111(1321nn n S S S S S T ++⋅⋅⋅+++-=∴-n T ∴=1111)111()111()3121()211(<+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n n *N n ∈ ∴1<n T9.已知等差数列{}n a 中,11=a ,前n 项和nS 满足条件12412+-=-n n SS nn ,( n=1,2,3,┅) (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设nn S b 1=,求数列{}n b 的通项公式; (3)数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,求λ的取值范围. 解:(1) 等差数列{}n a 中11=a ,12412+-=-n n SS nn 对于任意正整数都成立, 所以,当n=2时,有21222423=+-⨯=SS ,设数列{}n a 的公差为d ,则d d a S 333313+=+=,d d a S +=+=22212,所以)2(233d d +=+,解得公差1=d ,所以n n a n=-+=)1(11(2)因为()22121nn d n n na S n +=-+=,n n b n +=∴223)由n n b n+=22=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ,得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=114313212112n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n 121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,即)1(12+<+n n n λ,∙∈N n 恒成立, 所以2)1(2+>n nλ,而212122212)1(22=+≤++=+nn n n , (当且仅当n=1时取等号) 所以,λ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21.10.已知数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,数列{}n b 的前n 项和2n S n =. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. (1)12n n a -=,21n b n =-. (2)数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-. 11.已知数列{}n a 满足21=a ,241+=-n n a S (n=2,3,4,...). (1)证明数列{}n n a a 21-+成等比数列;(2)证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n a 2成等差数列;(3)求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S .(1){}n n a a 21-+是首项为4,公比为2的等比数列, (2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为1,公差为1的等差数列. (3)n n n a 2⋅=,12)1(2+⋅-+=n n n S12.已知数列{}n a 满足, *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’+2==. ()I 令1n n n b a a +=-,证明:{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

数列Sn与an关系(含详细答案)

数列Sn与an关系(含详细答案)

数列n s 与n a 关系知识点1.等差数列前n 项和公式:n da n d d n n na a a n S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2. 等比数列前n 项和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111)1(1111q q q a a q q a q na S n n n3.数列{}n a 是等差数列⇔q p n q pn a n ,),1(≥+=为常数b a n bn an S n ,),1(2≥+=⇔为常数(没有常数项的二次函数)数列{}na 是等比数列⇔n a =m ap (a ≠0)⇔n ns ap r =+(a+r=0) 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n a n S )12(12-=-5. 数列n s 与n a关系:⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21,11n S S n S a S n n n n训练题A 组1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( A ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n32⋅3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,2211=S 则=6a ( B ) A.1 B.2 C.3 D.44.数列6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若102,a a 是方程08122=-+x x 的两个根, 那么11S 的值为 ( D )A.44B.-44C.66D.-665.若两个等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3233+-=n n B A n n , 则=66b a ( C ) A.23 B.1 C.56 D.23276.(2010辽宁文数)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =( B )A.3B.4C.5D.67.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a ( A ) A.1 B.-1 C.2 D.21 8.{}n a 的前n 项和为n S ,)1(12≥+=n n S n ,则=n a ⎩⎨⎧≥-=21211n n n9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a n )21(- 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是1)41(43--n 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S121-n12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,147=S 则=4a 2 13.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,r S n n +=3,则=r -114.数列}{n a 的前n 项和为n S ,且,1≥n 时22nn S n +=(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求992199111S S S T +⋅⋅⋅++=的值. (1))1(≥=∴n n a n(2) 22n n S n +=,)111(2)1(21+-=+=∴n n n n S n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=∴)1001991()3121()211(2111992199S S S T 5099)10011(2=-=15.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn16.数列{}n a 满足条件11131,1--⎪⎭⎫⎝⎛+==n n n a a a ),3,2( =n(1)求;n a(2)求.321n a a a a ++++解:(1)∑∑=--=+=-+=nk k k k nk n a a a a 21121)31(1)(11)31(2123311])31(1[311---=--+=n n(2)43)31(4323])31(4343[23311)31(212123.321-+=--=-⋅--=++++n n n n n n n a a a a17.(2012广东文)设数列{}n a 的前n 项和n s ,数列{}n s 的前n 项和为{}n T ,满足2*2,n n T S n n N =-∈. (1) 求1a 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式.解:(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分(2)①②…………………………6分①-②得:122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得:2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分训练题B 组1.数列}{n a 的前n 项和为n S ,当,1≥n 32-=n n a S 则n a = 123-⋅n2.等差数列{}n a 中,已知74a =,则13s= 523.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 241494.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,14n n S r -=+,则=r 14- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1114S =,则61411a =22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足log 2(1+S n )=n+1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n+1,∴1+S n =2n+1,∴S n =2n+1-1.∴1=n 时,311==S a ,2≥n 时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn8.数列{}n a 的前n 项和为)()1(*2N n n n a n S n n ∈+++= (1)求通项n a ; (2)设),1111(321nn S S S S T +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-=求证:1<n T 解:(1) n a n 2-=∴(2)nn n n n n S n n S n a n n n 111)111()1(11),1(,2-+=+--=+-=∴+-=∴-= 1111+-=-∴n n S n )11111(1321nn n S S S S S T ++⋅⋅⋅+++-=∴-n T ∴=1111)111()111()3121()211(<+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n n *N n ∈ ∴1<n T9.已知等差数列{}n a 中,11=a ,前n 项和nS 满足条件12412+-=-n n SS nn ,( n=1,2,3,┅) (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设nn S b 1=,求数列{}n b 的通项公式; (3)数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,求λ的取值范围. 解:(1) 等差数列{}n a 中11=a ,12412+-=-n n SS nn 对于任意正整数都成立, 所以,当n=2时,有21222423=+-⨯=SS ,设数列{}n a 的公差为d ,则d d a S 333313+=+=,d d a S +=+=22212,所以)2(233d d +=+,解得公差1=d ,所以n n a n=-+=)1(11(2)因为()22121nn d n n na S n +=-+=,n n b n +=∴223)由n n b n+=22=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ,得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=114313212112n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n 121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,即)1(12+<+n n n λ,∙∈N n 恒成立, 所以2)1(2+>n nλ,而212122212)1(22=+≤++=+nn n n , (当且仅当n=1时取等号) 所以,λ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21.10.已知数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,数列{}n b 的前n 项和2n S n =. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. (1)12n n a -=,21n b n =-. (2)数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-. 11.已知数列{}n a 满足21=a ,241+=-n n a S (n=2,3,4,...). (1)证明数列{}n n a a 21-+成等比数列;(2)证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n a 2成等差数列;(3)求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S .(1){}n n a a 21-+是首项为4,公比为2的等比数列, (2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为1,公差为1的等差数列. (3)n n n a 2⋅=,12)1(2+⋅-+=n n n S12.已知数列{}n a 满足, *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’+2==. ()I 令1n n n b a a +=-,证明:{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

等比数列an和sn公式

等比数列an和sn公式

等比数列an和sn公式等比数列是数学中的一种数列,指的是数列中每一项与它的前一项之比保持恒定。

等比数列的通项公式和前n项和公式是数列中的重要公式。

等比数列的通项公式是指数列中第n项的表达式,通常用an表示。

对于一个等比数列,如果已知第一项a1和公比r,则第n项可以表示为an=a1*r^(n-1)。

其中,a1是第一项,n是项数,r是公比。

等比数列的前n项和公式是指数列中前n项的和的表达式,通常用sn表示。

对于一个等比数列,如果已知第一项a1和公比r,则前n 项的和可以表示为sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。

等比数列的通项公式和前n项和公式在数学中有广泛的应用。

它们可以帮助我们计算数列中任意一项的值,以及前n项的和。

在实际问题中,等比数列的应用非常多,例如在金融领域中的复利计算、人口增长模型中的人口预测、科学实验中的数据分析等。

下面通过一些具体例子来说明等比数列的应用。

例1:某项贷款的利率为4%,每年复利计算一次。

假设贷款本金为10000元,需要计算第5年的贷款余额。

这个问题可以转化为一个等比数列的问题。

设第一年的贷款余额为a1=10000元,公比为r=1+4%=1.04,则第5年的贷款余额可以通过通项公式计算得到:a5=10000*(1.04)^(5-1)=10000*1.04^4。

例2:某城市的人口增长模型可以用等比数列来描述。

假设该城市的人口从2000年开始,每年以2%的增长率增长。

第n年的人口可以表示为an=2000*(1.02)^(n-2000)。

我们可以利用这个公式预测未来几年该城市的人口情况。

例3:在科学实验中,一些物理量的变化规律可以用等比数列来描述。

例如,当一种物质在一定条件下进行分解反应时,反应物质的质量随着时间的推移以一定的比率递减。

这个质量变化过程可以用等比数列来描述,其中每一项表示某个时间点的质量,公比表示质量的递减比率。

通过以上例子,我们可以看到等比数列的通项公式和前n项和公式在解决实际问题中的重要性。

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对于任意一个数列,当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时,记作S n =a 1+a 2+…+a n ,此时通项公式a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢?我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题:归纳起来常见的角度有:角度一:直观运用已知的S n ,求a n ;角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用.方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1;(2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式; (3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写.同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和.1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3C .a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =12n -3,n ≥2 D .a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =12n +3,n ≥2【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3.当n =1时,a 1=S 1=1,不满足上式. 【答案】C2.(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -1)·a n =(n -1) ·3n +1+3(n ∈N *),则数列的通项公式a n = .【解析】当n ≥2时,a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -3)·a n -1=(n -2) ·3n+3;则用已知等式减去上式得(2n -1)·a n =(2n -1)·3n ,得a n =3n ;当n =1时,a 1=3,满足上式;故a n =3n.【答案】a n =3n3.(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n +1,则a n = . 【解析】由已知得S n +1=2n +1,则S n =2n +1-1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1-1-2n +1=2n;当n=1时,a 1=S 1=3,不满足上式;故a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =12n,n ≥2.【答案】a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =12n,n ≥24.(2015·四川成都树德期中)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 5=45,a 2+a 6=14. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b 12+b 222+…+b n2n =a n +1(n ∈N *),求{b n }的前n 项和.【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d >0, 由a 2+a 6=14,可得a 4=7由a 3a 5=45,得(7-d )(7+d )=45,解得d =2 或d =-2(舍) ∴a n =a 4+(n -4)d =7+2(n -4),即a n =2n -1.(2)令c n =b n2n ,则c 1+c 2+c 3+…+c n =a n +1=2n ①当n ≥2时,c 1+c 2+c 3+…+c n -1=2(n -1) ②由①-②得,c n =2,当n =1时,c 1=2,满足上式;则c n =2(n ∈N *),即b n2n =2,∴b n =2n +1,故数列{b n }是首项为4,公比为2得等比数列, ∴数列{b n }的前n 项和S n =4(1-2n)1-2=2n +2-4.此类题目中,已知条件往往是一个关于a n 与S n 的等式,问题则是求解与a n ,S n 有关联的结论.那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后,判定最后的结果中是保留a n ,还是S n .那么,主要从两个方向利用a n =S n -S n -1(n ≥2):方向一:若所求问题是与a n 相关的结论,那么用S n -S n -1=a n (n ≥2)消去等式中所有S n 与S n -1,保留项数a n ,在进行整理求解;1.(2015·广州潮州月考)数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1(n ≥1,n ∈N *),则数列的通项公式是 .【解析】当n ≥2时,a n =2S n -1+1,两式相减得a n +1-a n =2(S n -S n -1),即a n +1-a n =2a n ,得a n +1=3a n ;当n =1时,a 2=3,则a 2=3a 1,满足上式;故{a n }是首项为1,公比为3得等比数列,∴a n =3n -1.【答案】a n =3n -12.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n +1=-4S n +1,a 1=1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)当n ≥2时,a n =-4S n -1+1,又a n +1=-4S n +1,∴a n +1-a n =-4a n ,即a n +1a n=-3(n ≥2), 又a 2=-4a 1+1=-3,a 1=1,∴数列{a n }是首项为a 1=1,公比为q =-3的等比数列, ∴a n =(-3)n -1.(2)由(1)可得b n =n ·(-3)n -1,T n =1·(-3)0+2·(-3)1+3·(-3)2+…+(n -1)·(-3)n -2+n ·(-3)n -1,-3T n =1·(-3)1+2·(-3)2+…+(n -2)·(-3)n -2+(n -1)·(-3)n -1+n (-3)n,∴4T n =1+(-3)1+(-3)2+…+(-3)n -1-n ·(-3)n,所以,T n =1-(4n +1)(-3)n16.方向二:若所求问题是与S n 相关的结论,那么用a n =S n -S n -1(n ≥2)消去等式中所有项数a n ,保留S n与S n -1,在进行整理求解.1.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列;(2)求a n 的表达式.【解】(1)证明:∵a n =S n -S n -1(n ≥2),又a n =-2S n ·S n -1,∴S n -1-S n =2S n ·S n -1,S n ≠0. 因此1S n -1S n -1=2(n ≥2).故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1=1a 1=2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1S n =1S 1+(n -1)d =2+(n -1)×2=2n ,即S n =12n .当n ≥2时,a n =-2S n ·S n -1=-12n (n -1),又∵a 1=12,不适合上式.∴a n=⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.2.(2015·江西名校联盟调考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2n -2S n a n +1=0. (1)求数列{S n }的通项公式;(2)求证:1S 1+1S 2+…+1S n>2(S n+1-1).(提示:1n >2n +1+n)【解】(1)∵a n =S n -S n -1(n ≥2),由a 2n -2S n a n +1=0,得(S n -S n -1)2-2S n (S n -S n -1)+1=0,整理得S 2n -S 2n -1=1. 当n =1时,a 21-2S 1a 1+1=0,且a 1>0,解得a 1=1,故由等差数列的定义知{S 2n }是以1为首项,1为公差的等差数列. ∴S 2n =n ,则S n =n .(2)由(1)知1S n =1n =22n >2n +1+n=2(n +1-n ),∴1S 1+1S 2+…+1S n >2(2-1)+2(3-2)+…+2(n +1-n )=2(n +1-1)即1S 1+1S 2+…+1S n>2(S n +1-1) .【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定,所以需要对数列的判定方法熟练掌握.解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,还需要对a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2关系式的形式结构很熟练的掌握,这样才能在题目中对已知等式灵活地变换.当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析,确定等式的变换方向. 方向一:关于双重前n 项和此类题目中一般出现“数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{S n }的前n 项和为T n ”的条件,在解答时需要确定清楚求的是与a n ,S n ,T n 中谁相关的问题,确定已知等式的运用方向.但一般是求解最底层的a n .1.(2015·湖北武汉质检)设数列{a n }的前n 现和为S n ,数列{S n }的前n 项和为T n ,满足T n =2S n -n 2,n ∈N *.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式.【解】(1)当n =1时,T 1=2S 1-1,且T 1=S 1=a 1,解得a 1=1,(2)当n ≥2时,S n =T n -T n -1=2S n -n 2-[2S n -1-(n -1)2]=2S n -2S n -1-2n +1∴S n =2S n -1+2n -1 ① 则S n +1=2S n +2n +1 ② 由②-①,得a n +1=2a n +2, ∴a n +1+2=2(a n +2),即a n +1+2a n +2=2(n ≥2), 易求得,a 1+2=3,a 2+2=6,则a 2+2a 1+2=2,∴数列{a n +2}是首项为3,公比为2的等比数列,∴a n +2=3·2n -1,则a n =3·2n -1-2(n ∈N *).2.(2015·安徽滁州期末联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{S n }的前n 项和为T n ,且2T n =4S n -(n 2+n ),n ∈N *.(1)证明:数列{a n +1}为等比数列;(2)设b n =n +1a n +1,证明:b 1+b 2+…+b n <3. 【解】(1)当n =1时,2T 1=4S 1-2,且T 1=S 1=a 1,解得a 1=1,当n =2时,2T 2=2(a 1+a 1+a 2)=4(a 1+a 2)-6,解得a 2=3, 当n ≥2时,2T n -1=4S n -1-[(n -1)2+(n -1)]∴2S n =2T n -2T n -1=4S n -(n 2+n )-4S n -1+[(n -1)2+(n -1)] 整理得S n =2S n -1+n ① 则S n +1=2S n +n +1 ② 由②-①,得a n +1=2a n +1, ∴a n +1+1=2(a n +1),即a n +1+1a n +1=2(n ≥2), 显然a 2+1a 1+1=2,∴数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列,(2)由(1)知,a n +1=2n,则b n =n +12n.则b 1+b 2+…+b n =22+322+423…+n +12n ,令T n =22+322+423…+n +12n ,①则12T n = 222+323+424…+n 2n +n +12n +1,② 由①-②,得12T n =1+122+123+124…+12n -n +12n +1=1+122(1-12n -1)1-12-n +12n +1=32-n +32n +1<32则T n <3,即b 1+b 2+…+b n <3. 方向二:已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{a n }”这样的条件,运用在因式分解后对因式进行符号的判定,对因式进行的取舍.1.(2015·山东青岛一模)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n =4S n -2a n -1(n ∈N *),其中S n 为{a n }的前n 项和.(1)求a 1,a 2的值; (2)求数列{a n }的通项公式.【解】(1)当n =1时,T 1=2S 1-1;又T 1=S 1=a 1,则a 1=2a 1-1,解得a 1=1;(2)当n ≥2时,S n =T n -T n -1=(2S n -n 2)-[2S n -1-(n -1)2]=2S n -2S n -1-2n +1, 整理得S n =2S n -1+2n -1 ① ∴S n +1=2S n +2n +1 ② 由②-①,得a n +1=2a n +2 ∴a n +1+2=2(a n +2),即a n +1+2a n +2=2(n ≥2) 又T 2=2S 2-4;得a 2=4当n =1时,a 1+2=3,a 2+2=6,则a 1+2a 2+2=2, ∴数列{a n +2}是以3为首项,2为公比的等比数列. 则a n +2=3·2n -1,所以a n =3·2n -1-2.2.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且S n =a n (a n +1)2,n ∈N *.(1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)设b n =12S n,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n .【解】(1)由已知得,当n =1时,a 1=S 1=a 1(a 1+1)2(a n >0),∴a 1=1.当n ≥2时,由⎩⎪⎨⎪⎧2S n =a 2n +a n ,2S n -1=a 2n -1+a n -1得2a n =a 2n +a n -a 2n -1-a n -1. 即(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, ∵a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)可得a n =n ,S n =n (n +1)2,b n =12S n =1n (n +1)=1n -1n +1.∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1.方向三:需对已知等式变形后,再求解1.(2015·江西五校联考)已知正项数列{a n }中,其前n 项和为S n ,且a n =2S n -1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n ·a n+1,T n = b 1+b 2+b 3+…+b n ,求T n . 【解】(1)由已知得,4S n =(a n +1)2.当n ≥2时,4S n -1=(a n -1+1)2,则4S n -4S n -1=(a n +1)2-(a n -1+1)2,整理得 (a n -1)2-(a n -1+1)2=0, ∴(a n -a n -1-2)(a n +a n -1)=0 又a n >0,则a n -a n -1=2,当n =1时,4S 1=(a 1+1)2,得a 1=1; 故数列{a n }是首项为1,公差为2的等差数列; ∴a n =2n -1. (2)由(1)可得b n =1a n ·a n+1=12n -1×12n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,∴T n =1b 1+1b 2+1b 3+…+1b n=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n 2n +1. 2.(2015·浙江温州中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=2,a 2=8,S n +1+4S n -1=5S n (n ≥2),T n 是数列{log 2a n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求T n .【解】(1)当n ≥2时,S n +1+4S n -1=5S n ,∴S n +1-S n =4(S n -S n -1),即a n +1=4a n , 当n =1时,a 2=4a 1;故数列{a n }是以2为首项,4为公比的等比数列. ∴a n =2·4n -1=22n -1.(2)由(1)可知log 2a n =log 222n -1=2n -1,∴T n =log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+…+log 2a n=1+3+5+…+2n -1 =n (1+2n -1)2=n 2.3.(2015·江西三县联考)已知数列{a n }的各项均为正数,记A (n )=a 1+a 2+…+a n ,B (n )=a 2+a 3+…+a n +1,C (n )=a 3+a 4+…+a n +2,其中n ∈N *.(1)若a 1=1,a 2=5,且对任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )依次组成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2) a 1=1,对任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )依次组成公比为q 的等比数列,求数列{a n }的前n 项和A n .【解】(1)∵任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )依次组成等差数列,∴B (n )-A (n )=C (n )-B (n ),则a n +1-a 1=a n +2-a 2,即a n +2-a n +1=a 2-a 1=4, 故数列{a n }是首项为1,公差为4的等差数列; ∴a n =1+(n -1)×4=4n -3.(2)若对任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )依次组成公比为q 的等比数列, ∴B (n )=qA (n ),C (n )=qB (n ), 则C (n )-B (n )=q [B (n )-A (n )],得a n +2-a 2=q (a n +1-a 1),即a n +2-qa n +1=a 2-qa 1, 当n =1时,由B (1)=qA (1),可得a 2=qa 1; 则a n +2-qa n +1=a 2-qa 1=0,又a n >0,则a n +2a n +1=a 2a 1=q , 故数列{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列.∴A n =⎩⎪⎨⎪⎧n ,q =1,1-q n1-q,q ≠1.4.(2015·辽宁沈阳诊断考试)设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=10,a n +1=9S n +10. (1)求证:{lg a n }是等差数列; (2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3(lg a n )(lg a n +1)的前n 项和,求T n ;(3)求使T n >14(m 2-5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合.【解】(1)证明:当n ≥2时,a n =9S n -1+10,∴a n +1-a n =9(S n -S n -1),则a n +1=10a n ,即a n +1a n=10, 当n =1时,a 2=9a 1+10=100,则a 2a 1=10, 故数列{a n }是以10为首项,10为公比的等比数列. ∴a n =10n,则lg a n =n , ∴lg a n +1-lg a n =n +1-n =1,故数列{lg a n }是首项为1,公差为1的等差数列. (2)解:由(1)知3(lg a n )(lg a n +1)=3n n +1=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1,∴T n =3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=3n n +1. (3)∵T n =3n n +1=3-3n +1, ∴当n =1时,T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2-5m ),解得-1<m <6,故整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}.1.(2015·江苏扬州外国语中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n-3,则数列{a n }的通项公式为 .【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n-3-2n -1+3=2n -1.当n =1时,a 1=S 1=-1,不满足上式.【答案】a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =12n -1,n ≥22.(2015·辽宁沈阳二中月考)已知数列{a n }满足a 1+a 22+…+a nn =a 2n-1,求数列{a n }的通项公式.【解】当n ≥2时,a 1+a 22+…+a n -1n -1=a2n -2-1由已知等式减去上式,得a nn=a 2n-1-a 2n -2+1=(a 2-1)a2n -2,∴a n =n (a 2-1)a2n -2,当n =1时,a 1=a 2-1,满足上式; ∴a n =n (a 2-1)a 2n -2.3.(2015·安徽江淮十校联考)已知函数f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x ,y 都有f (x ·y )= f (x )+f (y ),若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足f (S n +2)-f (a n )= f (3)(n ∈N *),则a n为( )A .2n -1B .nC .2n -1D .⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1【解析】由f (x ·y )= f (x )+f (y ),f (S n +2)-f (a n )= f (3),得S n +2=3a n ,S n -1+2=3a n -1(n ≥2),两式相减得2a n =3a n -1;当n =1时,S 1+2=3a 1=a 1+2,则a 1=1.所以数列{a n }是首项为1,公比为32的等比数列.【答案】a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -14.(2015·辽宁鞍山二中期中)设数列{a n }是等差数列,数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =32(b n -1),且a 2=b 1,a 5=b 2.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =a n ·b n ,T n 为{c n }的前n 项和,求T n . 【解】(1)当n ≥2时,S n -1=32(b n -1-1),则b n =S n -S n -1=32(b n -1)-32(b n -1-1),整理得b n =3b n -1,当n =1时,b 1=32(b 1-1),解得b 1=3;故数列{b n }是以3为首项,3为公比的等比数列. ∴b n =3n,设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2=b 1=3,a 5=b 2=9,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =3,a 1+4d =3,解得d =2,a 1=1,∴a n =2n -1,∴a n =2n -1,b n =3n.(2)由(1)知c n =a n ·b n =(2n -1)·3n,∴T n =3+3·32+5·33+…+(2n -1)·3n,①3T n = 32+3·33+5·34+…+(2n -3)·3n +(2n -1)·3n +1,②由①-②,得-2T n =3+2(32+33+ (3))-(2n -1)·3n +1=3+2×32(1-3 n -1)1-3-(2n -1)·3n +1=(2-2n )·3n +1-6,∴T n =(n -1) 3n +1+3.5.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n =2(a n -1+a n -2+…+a 2+a 1) (n ≥2,n ∈N *),则数列的通项公式是 .【解析】由已知n ≥2时,a n =2S n -1 ①;当n ≥3时,a n -1=2S n -2 ②①-②整理得a na n -1=3 (n ≥3),∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,2×3n -2, n ≥2.【答案】a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,2×3n -2, n ≥2.6.(2015·广东桂城摸底)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2n +a n =2S n . (1)求a 1;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若b n =1a 2n (n ∈N *),T n =b 1+b 2+…+b n ,求证:T n <53.⎝ ⎛⎭⎪⎫提示:1n 2<2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1【解】(1)当n =1时,a 21+a 1=2S 1,且a n >0,得a 1=1; (2)当n ≥2时,a 2n -1+a n -1=2S n -1 ①;且a 2n +a n =2S n ②; 由②-①,得(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, 又a n >0,则a n -a n -1=1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列; ∴a n =n .(3)证明:由(2)知,b n =1a 2n =1n2,当n =1时,b 1=1<53,不等式成立;当n ≥2时,1n 2<1n 2-14=44n 2-1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,∴T n =b 1+b 2+…+b n =1+122+132+…+1n 2<1+2⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+15-17…+12n -1-12n +1<1+23=53, ∴T n <537.(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1(n ∈N *),则a n =________.【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1,当n =1时,a 1=S 1=4≠2×1+1,因此a n =⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,2n +1,n ≥2.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧4,n =12n +1,n ≥28.(2014·烟台一模)已知数列{a n }前n 项和为S n ,首项为a 1,且12,a n ,S n 成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)数列{b n }满足b n =(log 2a 2n +1)×(log 2a 2n +3),求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和.【解】(1)∵12,a n ,S n 成等差数列,∴2a n =S n +12,当n =1时,2a 1=S 1+12,∴a 1=12,当n ≥2时,S n =2a n -12,S n -1=2a n -1-12,两式相减得:a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1,∴a na n -1=2, 所以数列{a n }是首项为12,公比为2的等比数列,即a n =12×2n -1=2n -2.(2)∵b n =(log 2a 2n +1)×(l og 2a 2n +3)=(log 222n +1-2)×(log 222n +3-2)=(2n -1)(2n +1),∴1b n =12n -1×12n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n =1b 1+1b 2+1b 3+…+1b n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n 2n +1.9.(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n =________.【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n -n -2a n -1+(n -1),即a n =2a n -1+1,∴a n +1=2(a n -1+1), ∴数列{a n +1}是首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n -1=2n ,∴a n =2n-1.【答案】2n-110.(2014·湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)na n ,求数列{b n }的前2n 项和. 【解】(1)当n =1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n2-n -12+n -12=n .又a 1=1满足上式,故数列{a n }的通项公式为a n =n . (2)由(1)知,b n =2n +(-1)nn ,记数列{b n }的前2n 项和为T 2n , 则T 2n =(21+22+ (22))+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A =21+22+ (22),B =-1+2-3+4-…+2n ,则A =21-22n1-2=22n +1-2,B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A +B =22n +1+n -2.11.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 3=4,{a n }的前3项和为7. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =(2n -3)2n+3,设数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:1S 1+1S 2+…+1S n ≤2-1n.【解】(1)设数列{a n }的公比为q ,由已知得q >0,且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=4,a 1+a 1q +4=7,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(2)【证明】当n =1时,a 1b 1=1,且a 1=1,解得b 1=1. 当n ≥2时,a n b n =(2n -3)2n+3-(2n -2-3)2n -1-3=(2n -1)·2n -1.∵a n =2n -1,∴当n ≥2时,b n =2n -1.∵b 1=1=2×1-1满足b n =2n -1, ∴数列{b n }的通项公式为b n =2n -1(n ∈N *). ∴数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. ∴S n =n 2.∴当n =1时,1S 1=1=2-11.当n ≥2时,1S n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n.∴1S 1+1S 2+…+1S n ≤2-11+11-12+…+1n -1-1n =2-1n . 12.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n =S nn+2 (n -1) (n ∈N *). (1)求证:数列{a n }为等差数列,并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式;(2)是否存在自然数n ,使得S 1+S 22+S 33+…+S nn -(n -1)2=2 013?若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由.【解】(1)由a n =S n n+2(n -1),得S n =na n -2n (n -1) (n ∈N *).当n ≥2时,a n =S n -S n -1=na n -(n -1)a n -1-4(n -1),即a n -a n -1=4, 故数列{a n }是以1为首项,以4为公差的等差数列. 于是,a n =4n -3,S n =a 1+a n n2=2n 2-n (n ∈N *).(2)由S n =na n -2n (n -1),得S nn=2n -1 (n ∈N *),又S 1+S 22+S 33+…+S nn -(n -1)2=1+3+5+7+…+(2n -1)-(n -1)2=n 2-(n -1)2=2n -1.令2n -1=2 013,得n =1 007,即存在满足条件的自然数n =1 007.1.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和,且满足S n =12a 2n +12a n (n ∈N *).(1)求a 1,a 2,a 3,a 4的值; (2)求数列{a n }的通项公式.【解】(1)由S n =12a 2n +12a n ,可得a 1=12a 21+12a 1,解得a 1=1;S 2=a 1+a 2=12a 22+12a 2,解得a 2=2;同理,a 3=3,a 4=4.(2)S n =12a 2n +12a n ,①当n ≥2时,S n -1=12a 2n -1+12a n -1,②①-②得(a n -a n -1-1)(a n +a n -1)=0. 由于a n +a n -1≠0,所以a n -a n -1=1, 又由(1)知a 1=1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故a n =n .2.在数列{a n }中,a 1=-5,a 2=-2,记A (n )=a 1+a 2+…+a n ,B (n )=a 2+a 3+…+a n +1,C (n )=a 3+a 4+…+a n +2(n ∈N *),若对于任意n ∈N *,A (n ),B (n ),C (n )成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{|a n |}的前n 项和.【解】(1)根据题意A (n ),B (n ),C (n )成等差数列,∴A (n )+C (n )=2B (n ),整理得a n +2-a n +1=a 2-a 1=-2+5=3, ∴数列{a n }是首项为-5,公差为3的等差数列, ∴a n =-5+3(n -1)=3n -8.(2)|a n |=⎩⎪⎨⎪⎧-3n +8,n ≤2,3n -8,n ≥3,记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时,S n =n 5+8-3n2=-3n 22+132n ;当n ≥3时,S n =7+n -21+3n -82=3n 22-132n +14,综上,S n=⎩⎪⎨⎪⎧-32n 2+132n ,n ≤2,32n 2-132n +14,n ≥3.3.(2014·广东卷)设各项均为正数的数列{a n } 的前n 项和为S n ,且 S n 满足 S 2n -(n 2+n -3)S n -3(n 2+n )=0,n ∈N *.(1)求a 1 的值;(2)求数列{a n } 的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1a1+1+1a2a2+1+…+1a n a n+1<13.【解】(1)由题意知,S2n-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*.令n=1,有S21-(12+1-3)S1-3×(12+1)=0,可得S21+S1-6=0,解得S1=-3或2,即a1=-3或2,又a n为正数,所以a1=2.(2)由S2n-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*可得,(S n+3)(S n-n2-n)=0,则S n=n2+n或S n=-3,又数列{a n}的各项均为正数,∴S n=n2+n,S n-1=(n-1)2+(n-1),当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.又a1=2=2×1,所以a n=2n.(3)证明:当n=1时,1a1a1+1=12×3=16<13成立;当n≥2时,1a n a n+1=12n2n+1<12n-12n+1=12⎝⎛⎭⎪⎫12n-1-12n+1,∴1a1a1+1+1a2a2+1+…+1a n a n+1<16+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎪⎫12n-1-12n+1=16+12⎝⎛⎭⎪⎫13-12n+1<16+16=13.所以对一切正整数n,有1a1a1+1+1a2a2+1+…+1a n a n+1<13.。

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