[数学]统计学第10讲 第10章 单样本显著性检验
几种常见的显著性检验方法
几种常见的显著性检验方法常见的显著性检验方法有单样本t检验、双样本配对t检验、双样本独立t检验、方差分析（ANOVA）、卡方检验和皮尔逊相关分析。
本文将对每种显著性检验方法进行详细介绍。
单样本t检验是一种用于检验一个样本均值是否显著不同于一些给定的总体均值的统计方法。
该方法的原理是将样本均值与总体均值进行比较，计算出一个t值。
根据t值的大小和自由度，可以查找相应的临界值，从而得出显著性检验的结果。
双样本配对t检验也称为相关样本t检验，用于比较两个相关样本或两个相关变量之间的均值差异是否显著。
该方法的原理是将两个相关样本的均值差异与零进行比较，计算出一个t值。
根据t值的大小和自由度，可以查找相应的临界值，从而得出显著性检验的结果。
双样本独立t检验用于比较两个独立样本或两个独立变量之间的均值差异是否显著。
该方法的原理是将两个独立样本的均值差异与零进行比较，计算出一个t值。
根据t值的大小和自由度，可以查找相应的临界值，从而得出显著性检验的结果。
方差分析（ANOVA）是一种用于比较两个或更多个样本或组之间均值差异是否显著的统计方法。
该方法的原理是将不同组之间的均值差异与总均值差异进行比较，计算出一个F值。
根据F值的大小和自由度，可以查找相应的临界值，从而得出显著性检验的结果。
卡方检验用于比较观察频数与期望频数之间的差异是否显著。
该方法的原理是通过计算观察频数和期望频数之间的卡方值，进而判断观察频数是否与期望频数存在显著差异。
皮尔逊相关分析用于评估两个变量之间的线性关系是否显著。
该方法的原理是通过计算两个变量之间的皮尔逊相关系数，从而判断变量之间的关系是否显著。
需要注意的是，在进行显著性检验时，首先需要确定假设，即原假设和备择假设。
原假设通常表示为没有显著差异或没有关系，备择假设则表示存在显著差异或存在关系。
根据样本数据计算出的检验统计量与临界值进行比较，如果检验统计量落在拒绝域（即临界值的范围内），则拒绝原假设，认为差异或关系是显著的。
显著性检验资料.
例4：用两种不同方法测定合金中铌的百分含量
第一法 1.26% 1.25% 1.22%
第二法 1.35% 1.31% 1.33% 1.34%
试问两种方法是否存在显著性差异（置信度 95%）？
解：
n1 3, x1 1.24%, s1 0.021%
n2 4, x2 1.33%, s2 0.017%
2020/7/5
（一） t检验法——检验准确度的显著性差异
• 1.标准样品对照试验法：选用其组成与试样相近的标准试样， 或用纯物质配成的试液按同样的方法进行分析对照。如验证新 的分析方法有无系统误差。若分析结果总是偏高或偏低，则表 示方法有系统误差。
• 2.标准方法对照试验法：选用国家规定的标准方法或公认的可 靠分析方法对同一试样进行对照试验，如结果与所用的新方法 结果比较一致，则新方法无系统误差。
2020/7/5
三、举 例
例1：采用某种新方法测定基准明矾中铝的百分含量， 得到以下九个分析结果，10.74%，10.77%， 10.77%， 10.77%，10.81%，10.82%，10.73%， 10.86%， 10.81%。已知明矾中铝的标准值为10.77%。试问采 用新方法后，是否 引起系统误差？（P=95%）
显 著 性 检
一.什么是显著性检验? 二.检验方法 三.举例
验
2020/7/5
一、显著性检验
用统计学的方法对实验数据进行处理,看分析结果 之间是否存在显著差异，如果存在显著性差异， 就认为它们之间有明显的系统误差；反之，就认 为没有系统误差，纯属偶然误差引起的，认为是 正常的。
2020/7/5
二、显著性检验方法
3 4 6.21
s
n1 n2
0.019
第10章__非参数检验
第10章非参数检验平时我们使用的统计推断方法大多为参数统计方法，它们都是在已知总体分布的条件下，对相应分布的总体参数进行估计和检验。
比如单样本u检验就是假定该样本所在总体服从正态分布，然后推断总体的均数是否和已知的总体均数相同。
本节要讨论的统计方法着眼点不是总体参数，而是总体分布情况，即研究目标总体的分布是否与已知理论分布相同，或者各样本所在的分布位置/形状是否相同。
由于这一类方法不涉及总体参数，因而称为非参数统计方法。
SPSS的Nonparametric Tests菜单中一共提供了8种非参数分析方法，它们可以被分为两大类：1、分布类型检验方法：亦称拟合优度检验方法。
即检验样本所在总体是否服从已知的理论分布。
具体包括：Chi-square test：用卡方检验来检验二项/多项分类变量的几个取值所占百分比是否和我们期望的比例有没有统计学差异。
Binomial Test：用于检测所给的变量是否符合二项分布，变量可以是两分类的，也可以使连续性变量，然后按你给出的分界点一分为二。
Runs Test：用于检验样本序列随机性。
观察某变量的取值是否是围绕着某个数值随机地上下波动，该数值可以是均数、中位数、众数或人为制定。
一般来说，如果该检验P值有统计学意义，则提示有其他变量对该变量的取值有影响，或该变量存在自相关。
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test：采用柯尔莫哥诺夫-斯米尔诺夫检验来分析变量是否符合某种分布，可以检验的分布有正态分布、均匀分布、Poission 分布和指数分布。
2、分布位置检验方法：用于检验样本所在总体的分布位置/形状是否相同。
具体包括：Two-Independent-Samples Tests：即成组设计的两独立样本的秩和检验。
Tests for Several Independent Samples：成组设计的多个独立样本的秩和检验，此处不提供两两比较方法。
《单样本检验》课件
著性。
柯克伦检验
要点一
总结词
柯克伦检验是一种非参数检验方法，用于检验单个样本的 总体分布是否与已知的理论分布一致。
要点二
详细描述
柯克伦检验通过比较样本数据与理论分布曲线的拟合程度 ，计算拟合优度统计量，结合临界值表或计算机软件计算 出P值，从而判断样本数据的分布是否与理论分布一致。
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THANKS
检验效能
指在单样本检验中，拒绝原假设时所 犯第二类错误的概率，通常用β表示。 检验效能越大，说明拒绝原假设的准 确性越高。
单样本检验的假设与限制
假设
单样本检验基于一定的假设条件，如总体分布的正态性、总体参数的已知或未知等。
限制
单样本检验的应用有一定的限制，如样本量较小、数据不符合正态分布等情况下，可能会导致检验结果的偏差。
在单样本检验中，需要根据具体情况选取合适的统计方法。不同的统计方法可能适用于不同的情况，错误的选取可能 导致结果不准确。
统计方法的局限性
任何统计方法都有其局限性，单样本检验也不例外。例如，某些检验方法可能不适用于小样本数据，或者在数据存在 异常值的情况下可能失去效力。
方法的比较与选择
在单样本检验中，可以通过比较不同统计方法的优缺点来选择最合适的方法。同时，需要考虑统计方法 的计算复杂度和可解释性，以便在实际应用中能够方便快捷地得到可靠的检验结果。
U检验
适用于顺序数据或等级数据 。
收集并整理数据
确保数据来源可靠，收集方法科学。 对数据进行清洗和整理，排除异常值和缺失值。
显著性检验
显著性检验1、什么是显著性检验显著性检验就是事先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否显著地有差异。
或者说，显著性检验要判断样本与我们对总体所做的假设之间的差异是纯属机会变异，还是由我们所做的假设与总体真实情况之间不一致所引起的。
显著性检验是针对我们对总体所做的假设做检验，其原理就是“小概率事件实际不可能性原理”来接受或否定假设。
抽样实验会产生抽样误差，对实验资料进行比较分析时，不能仅凭两个结果（平均数或率）的不同就作出结论，而是要进行统计学分析，鉴别出两者差异是抽样误差引起的，还是由特定的实验处理引起的。
2、显著性检验的含义显著性检验即用于实验处理组与对照组或两种不同处理的效应之间是否有差异，以及这种差异是否显著的方法。
常把一个要检验的假设记作H0,称为原假设（或零假设）(null hypothesis) ，与H0对立的假设记作H1，称为备择假设(alternative hypothesis) 。
⑴在原假设为真时，决定放弃原假设，称为第一类错误，其出现的概率通常记作α；⑵在原假设不真时，决定接受原假设，称为第二类错误，其出现的概率通常记作β。
通常只限定犯第一类错误的最大概率α，不考虑犯第二类错误的概率β。
这样的假设检验又称为显著性检验，概率α称为显著性水平。
最常用的α值为0.01、0.05、0.10等。
一般情况下，根据研究的问题，如果放弃真错误损失大，为减少这类错误，α取值小些，反之，α取值大些。
3、显著性检验的原理一、无效假设显著性检验的基本原理是提出“无效假设”和检验“无效假设”成立的机率（P）水平的选择。
所谓“无效假设”，就是当比较实验处理组与对照组的结果时，假设两组结果间差异不显著，即实验处理对结果没有影响或无效。
经统计学分析后，如发现两组间差异系抽样引起的，则“无效假设”成立，可认为这种差异为不显著（即实验处理无效）。
关于显著性检验，你想要的都在这儿了！！（基础篇）
关于显著性检验，你想要的都在这⼉了！！（基础篇）⽆论你从事何种领域的科学研究还是统计调查，显著性检验作为判断两个乃⾄多个数据集之间是否存在差异的⽅法被⼴泛应⽤于各个科研领域。
笔者作为科研界⼀名新⼈也曾经在显著性检验⽅⾯吃过许多苦头。
后来醉⼼于统计理论半载有余才摸到显著性检验的⽪⽑，也为显著性检验理论之精妙，品种之繁多，逻辑之严谨所折服。
在此，特写下这篇博⽂，以供那些仍然挣扎在显著性检验泥潭的⾮统计专业的科研界同僚们参考。
由于笔者本⼈也并⾮统计专业毕业，所持观点粗陋浅鄙，贻笑⼤⽅之处还望诸位业界前辈，领域翘楚不吝赐教。
⼩可在此谢过诸位看官了。
本篇博⽂致⼒于解决⼀下⼏点问题，在此罗列出来：1.什么是显著性检验？ 2.为什么要做显著性检验？ 3.怎么做显著性检验？下⾯就请跟随笔者的步伐⼀步步⾛⼊显著性检验的“前世与今⽣”。
⼀：显著性检验前传：什么是显著性检验？它与统计假设检验有什么关系？为什么要做显著性检验？“显著性检验”实际上是英⽂significance test的汉语译名。
在统计学中，显著性检验是“统计假设检验”（Statistical hypothesis testing）的⼀种，显著性检验是⽤于检测科学实验中实验组与对照组之间是否有差异以及差异是否显著的办法。
实际上，了解显著性检验的“宗门背景”（统计假设检验）更有助于⼀个科研新⼿理解显著性检验。
“统计假设检验”这⼀正名实际上指出了“显著性检验”的前提条件是“统计假设”，换⾔之“⽆假设，不检验”。
任何⼈在使⽤显著性检验之前必须在⼼⾥明⽩⾃⼰的科研假设是什么，否则显著性检验就是“⽔中⽉，镜中花”，可望⽽不可即。
⽤更通俗的话来说就是要先对科研数据做⼀个假设，然后⽤检验来检查假设对不对。
⼀般⽽⾔，把要检验的假设称之为原假设，记为H0；把与H0相对应（相反）的假设称之为备择假设，记为H1。
如果原假设为真，⽽检验的结论却劝你放弃原假设。
此时，我们把这种错误称之为第⼀类错误。
显著性检验
留物含量应低于0.1%（ 0 ）。在抽检中，我
们关心的是
x
所在的总体平均数
小于
（即
0
该品种属于合格产品）。此时的无效假设仍为
要冒下错结论的风险。
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显著性检验可能出现两种类型的错误： Ⅰ型错误 与Ⅱ型错误。
Ⅰ型错误又称为 错误，就是把非真实
的差异错判为是真实的差异，即实际上H0正 确，检验结果为否定H0。犯Ⅰ类型错误的可
能性一般不会超过所选用的显著水平 ；
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Ⅱ型错误又称为 错误 ，就是把真实的 差异错判为是非真实的差异 ，即实际上HA 正确，检验结果却未能否定H0 。 犯Ⅱ类型 错误的可能性记为 ，一般是随着 0 的 减小或试验误差的增大而增大，所以 0 越小或试验误差越大，就越容易将试验的真 实差异错判为试验误差。
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若 1 . 9 6 ≤| u |＜ 2 . 5 8 ，则说明试验的
表面差异属于试验误差的概率p在0.01—
0.05之间，即0.01＜p≤0.05，表面差
异 属 于 试 验误差的可能性较小，应否定
H0： 0 ，接受HA： 0 。统计学上
把这一检验结果表述为：“总体平均数
否定原先所作的无效假设H0： 0 ，接受
备择假设HA： 0 ， 即认为存在真实差
异。
当表面差异是抽样误差的概率大于0.05
时，说明无效假设H0： 0 成立的可能
性大，不能被否定，因而也就不能接受备择假
设HA： 0 。
上一张 下一张 主 页 退 出
显著性检验的结果表明： 本例的样本平均数与原总体平均数之间
因而，不能仅凭统计推断就简单 地作出绝对肯定或绝对否定的结论。
数据的评价-显著性检验
02
常见显著性检验方法
t检验
用于比较两组数据是否有显著差异的 统计方法。
t检验主要用于比较两组数据的均值是 否存在显著差异。它基于假设检验原 理，通过计算t值和对应的p值来判断 两组数据的差异是否具有统计学上的 显著性。
Z检验
用于检验两组比例或比率是否有显著差异的统计方法。
Z检验基于大样本近似正态分布的原理，通过计算Z值和对应的p值来判断两组比例或比率是否存在显著差异。它常用于检验 两组比例或比率是否有显著差异，如市场调查中的样本比例比较。
如果数据不满足正态分布，可以考虑对数据进行适当的 转换或采用非参数检验方法，以获得更可靠的检验结果 。在选择适当的统计方法时，应根据数据的分布特征和 研究目的进行综合考虑。
多重比较的问题
在进行多重比较时，如多个样本间的两两比较，应谨慎处理显著性水平。由于多重比较会增加假阳性错误的风险，因此应采 用适当的统计方法控制假阳性率，如Bonferroni校正或Fisher最小显著差异法等。
03
显著性检验的目的是确定观察到的数据变化是否可 以归因于因素的作用，而不是随机误差。
显著性检验的目的
验证假设
通过显著性检验，可以验证某一 假设是否成立，即观测到的数据 是否支持该假设。
决策依据
显著性检验的结果可以为决策提 供依据，例如在实验或调查中判 断某处理或因素是否有效。
控制误差
显著性检验有助于控制误差，排 除随机因素对观测结果的影响， 从而更准确地解释数据。
市场细分
02
通过显著性检验对市场进行细分，识别不同细分市场的特征和
需求，为营销策略提供依据。
产品测试与评估
03
显著性检验用于评估新产品或服务的市场接受度、竞争力和潜
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X X X X X X
1 X X 1 X
X
10.2.1 样本平均数落在特定区间的概率 如前述，任一正态变量都可转化为标准正态分布 ，可根据 z 分数与正态曲线下的面积关系求概率 换言之，任给一个原始分数，只要知道该分数之 外的面积比例，就可以知道与此相应的 z 值。 同理，任给一个样本平均数，只要知道该平均数 之外的面积比例，就可以知道与此相应的 z 值
Z 面积 尾部 1.960 0.4750 0.0250
Z 1.64
面积 尾部 0.4495 0.0505
Z 面积 尾部 2.580 0.4951 0.0049
Z 2.33
面积 尾部 0.4901 0.0099
例3 ：一所学校对四个班的教学进行为期一年的计算机 阅读教学。已知测验的常模为μ=250，σ=50，一年后进 行测验，从四个班随机抽查100人， X =263，试问传统 教学与计算机教学有无差异？
第10章 单样本显著性检验
10.1 导论：平均数的抽样分布 1. 如何比较抽样分布的均数与样本来自的总体均数？ 2. 当增加抽样分布的样本量时，样本平均数如何变化？ 例1：大学生艾滋病知识问卷测试。设总体μ=50， σ=10。有多少大学生在40分到60分之间呢？
有68%的大学生 测试分数在40-60 分之间
2 ˆ S SS 2 ˆ SX n n( n 1)
X
2
10-6
平均数抽样分布的标准误：
X SX
或者
SX
ˆ2 ˆ S S n n
S n1
10-7
S2 n1
如果选择有偏S2 而非无偏估计，常常采用：
SS X SX n(n 1)
10-8
行为科学常常采用公式10-8 ，我们遵循这一公式
X 50 10 SX 2.58 15
SX
大样本
X 50 2 SX 0.52 15
S X 50
SX
10.2 统计假设检验：已知总体均数和标准差
图a, 知总体μ和σ，从中 抽取大量样本，见图b 图b,可以描述这些大量 样本的平均数和标准差 ，可用来确定正态曲线 下的概率值。 图c ,通过已知正态分布 的概率关系，可计算 任意一个样本的平均 数有关的概率
SS 2 S n
2 ( X X ) 2 2 X ( X ) /n
n
n
用方差描述样本的变异有没有问题？ 没有问题
再问：用方差估计总体方差有没有问题？ 答：有问题，一般地，样本方差估计总体方差是偏低 的。 如果用大样本估计总体方差，得到的是无偏估计： SS 2 ˆ 2 10-4 σ 的无偏估计： S n1 SS ˆ 10-5 σ的无偏估计： S n1 因此，平均数抽样分布的总体方差估计值：
X 0 263 250 z 13 / 5 2.60 / n 50 / 100
因为|z|>2.58, 所以P<0.01,拒绝H0，差异有统计学意 义。所在四个班级平均分不同于250分的总体。犯错 误的风险为0.01。
10.3 通过样本数据进行参数估计—点估计 人口普查中的资料可以获得总体信息，多数情况不能 获得总体信息，尽管如此，我们仍然可以采用样本统 计量推测总体参数。 实际工作中是抽取单一样本，利用样本统计量对总 体进行的估计称为点估计。 已知方差
n
如果总体标准差未知，则标准误：
SX
S n1
10-2
无论总体标准差已知还是未知，标准误的大小取决于 总体的变异与样本大小。 标准误=
总体的离散程度 样本大小
总体中个体分数
μ=50 σ=2
X 50 2 SX 0.89 5
X 50 小样本 10 SX 4.47 5
S X 50
图10-1a
随机抽取一个大样本，其个体分数的分布见图 10-1(a)
X
如果抽取样本量N=3的100个个样本，计算每个样本 包含68%的样本 平均数，图10-1b
X XX XX X XXXX X XX XXX XXXX
均数，每个样本 平均数会是一样 吗？
Hale Waihona Puke 如果抽取N=20的100个个样本，计算每个样本平均 数，图10-1c
X X X X XX X X XX XX
样本平均数与总 体平均数相差较 小
样本平均数与 总体平均数相 差更小
X X X X X X X
X X X X
如果抽取样本容量N=40 的100个样本，计算每个 样本平均数，图10-1d
从总体抽取一个样本的分布
样本平均数的分布
总面积的68%
2 ( X X )
表10-1 温习平均数、方差和标准差的符号
平均数的抽 样分布参数 (理论上的) 平均数抽样 分布的无偏 总体估计 (经验上的) 样本统 计量 (经验上 的)
总体参数 (理论上的)
平均数
μ ,μ0
X
X
2 ˆ S
X
S
2 X
方差 标准差
σ2 σ
σ2
S2 S
X
ˆ ˆ S S X
图10-6 样本数据可以用来估计总体方差(σ2)的无偏 ˆ 2 以及平均数的标准误 S X ，样本方差越大 估计 S ，总体方差的估计值和平均数的估计标准误也越大
例3 ：一所学校对四个班的教学进行为期一年的计算机 阅读教学。已知测验的常模为μ=250，σ=50，一年后进 行测验，从四个班随机抽查100人， X =263，试问传统 教学与计算机教学有无差异？ 1. H0:μ=μ0=250 ， 2. H1:μ≠250 3. 统计检验：因为σ已知，所以使用 z 检验 4. 显著性水平：α=0.01 双尾 5. 抽样分布：正态概率曲线 6. 拒绝H0的临界区间：| z |≥2.58
(X X ) 0
n
总面积的68% ( X ) 0
2 ( X )
=个体分数方差
方差 标准差
n
=样本均数的方差
方差 =样本均数的标准差
样本平均数的平均数的标准差，就称为均数的标准 误(standard error of mean)，如果总体标准差已知， 则标准误： X 10-1
例2：已知μ=50，σ=10，从该总体随机抽取一个N=25 X 的样本，问该 ≥52 的概率为多少？
52 50 X 0 =2/2=1 P(z≥1）=0.1587 z / N 10 / 25 P(48≤X≤52)=P(-1≤z≤1)=2×0.34=68%
10.2.2 样本平均数的假设检验