离散数学数理逻辑
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
35
第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学中数理逻辑的教学探讨
离散数学中数理逻辑的教学探讨
离散数学中数理逻辑是一门面向计算机和信息技术学科的重要基础课程，也是目前计算机
科学中最重要和基础性的学科之一，在世界各地具有重要的地位。
数理逻辑可以帮助学生
了解和获得一定深刻的知识，在数学和计算机科学领域中获得更深度的洞察力。
同时，数
学逻辑也是一门理论性有趣而又实用的学科，可以激发学生好奇心，提高理论思维能力，
并激发他们学习以计算机及其前沿的技术的热情。
数学逻辑的教学内容包括：逻辑基础、语句逻辑、谓词逻辑、证明方法、计算机模型等等。
此外，数理逻辑还既赋予人新思想，又促进“知行合一”。
数学逻辑可以增强学生的发散思
维能力，锻炼学生在解决实际问题和社会问题时，从不同角度的逻辑层次思考的能力。
此外，数理逻辑的教学应该以实践性为主，尽可能地以更详细的应用为背景，优先介绍真实的问题解决，掌握实际的计算机算法知识和技能，让学生将理论知识运用到实践中去，体现出数理逻辑的完善性和实用性。
总之，数学逻辑是一门十分重要的基础课程，它可以帮助学生更深入地理解数学和计算机科学，在有效提高学生知识水平和思维能力的同时，也对他们有一定的节目效果。
离散数学_数理逻辑
15
1.2.6字位运算与布尔检索
计算机用位串表示信息，而位串是 0 个或多个字位的序 列。每个字位有两个可能的值，即 0 或 1，字位的这种取值 来自二进制数字，因为 0 和 1 是用在数的二进制表示中的数 字。1946 年著名的统计学家图凯（John Tukey）引入了这一 术语。因为真值只有两个取值，即真（T）和假（F） ，所以 可以用字位表示真值，即用 1 表示真（T） 表示假（F） ，0 。 计算机的字位运算对应于逻辑运算， 只要在运算符 、 和 的真值表中用 1 代替 T，用 0 代替 F，就能得到表 1.2.6 所示 的对应的字位运算表。这里，NOT 、OR 和 AND 表示 、 和 相对应的字位运算，许多程序设计语言正是这样表示的。
离散数学讲义之
数理逻辑
主讲:邱晓红
数理逻辑简介
• 数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的科学。 数学方法即符号方法，故数理逻辑又称符号 逻辑。包含命题逻辑、谓词逻辑、证明论、 模型论、递归函数、公理化集合论、归纳逻 辑、模态逻辑、多值逻辑和时态逻辑等内容， 与计算机有密切关系。
2
各知识点关联图
命题逻辑 简单命题 命题 复合命题 对偶式 命题公式 真值表 主合取范式 主析取范式 合取范式 析取范式 蕴含式 前提引入 P 规则 置换等 T 规则 推理规则 推理系统 置换 归结原理 自动推理 合一 量词引入规则 量词消去规则
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例 1.2.6
求位串 0 110 110 110 的按位 NOT 以及与位串 1 100 011 101 的按位
Hale Waihona Puke AND 和 OR 按位（这里以及本书其它地方均把位串按 3 个字位分块以便于阅读） 。
解 位串 0 110 110 110 的按位 NOT 由对应字位的 NOT 运算得到； 两个位串的按 位 AND 和按位 OR 分别由对应字位的 AND 和 OR 运算得到，其结果是
离散数学 第三-四章
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
数理逻辑和离散数学的关系
数理逻辑和离散数学的关系数理逻辑和离散数学是两个与数学紧密相关的学科，它们在逻辑推理和离散结构上有着密切的联系。
数理逻辑是研究符号逻辑、形式逻辑和数理符号系统的学科，而离散数学则是研究离散对象、离散结构和离散算法的学科。
本文将从数理逻辑和离散数学的定义、研究内容以及它们之间的关系进行探讨。
我们来了解一下数理逻辑。
数理逻辑是研究推理和证明的一门学科，它利用符号和形式系统来研究逻辑的规律和原理。
数理逻辑主要包括命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等分支。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，谓词逻辑则引入了谓词和量词的概念，用于研究量化和谓词之间的逻辑关系，而模态逻辑则研究命题的可能性和必然性等模态概念。
数理逻辑在数学、计算机科学、哲学等领域有着广泛的应用，例如在证明定理、验证计算机程序、人工智能等方面起着重要的作用。
接下来，我们来介绍一下离散数学。
离散数学是研究离散对象和离散结构的一门学科，它主要包括集合论、图论、代数结构、组合数学等分支。
离散数学研究的对象是离散的、不连续的数学结构，与连续的实数和实数运算相对应。
离散数学的研究内容包括集合的运算和关系、图的性质和算法、代数系统的结构和性质、组合数学中的排列组合等。
离散数学在计算机科学、密码学、网络优化等领域有着广泛的应用，例如在网络拓扑设计、图像处理、密码算法等方面发挥着重要作用。
数理逻辑和离散数学之间存在着密切的关系。
首先，数理逻辑为离散数学提供了严密的推理和证明方法。
数理逻辑的符号系统和形式化推理方法为离散数学的证明和推理提供了基础。
通过数理逻辑的方法，我们可以准确地表达和证明离散数学中的结论，确保其准确性和严谨性。
离散数学为数理逻辑提供了具体的应用背景和实例。
离散数学中的离散结构和离散算法为数理逻辑提供了实际的应用场景。
例如，图论中的图模型可以用于表示逻辑推理的过程，集合论中的集合运算和关系可以用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的逻辑关系。
离散数学中的算法和计算复杂性理论也为数理逻辑中的计算问题提供了解决方案。
离散数学资料库
《离散数学》资料库第一章数理逻辑1、数理逻辑的历史。
逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。
中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。
b5E2RGbCAP 根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。
plEanqFDPw从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。
德国的哲学家的数学家莱布尼兹&".10让血2＞被公认为是数理逻辑的创始人。
他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。
这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。
因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。
DXDiTa9E3d1847年，英国数学家、逻辑学家布尔（G.Boole＞发表了《逻辑的数学分析》（The mathematical Analysis of Logic＞，建立了“布尔代数”（Boolean Algebra＞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
RTCrpUDGiT十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格（G.Frege＞、意大利的皮亚诺（G.Peano ＞和英国的罗素（B.Russell＞建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。
数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.5PCzVD7HxA而德国的希尔伯特（D.Hilbert^D哥德尔（K.Godel＞的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。
数理逻辑与离散数学
数理逻辑与离散数学数理逻辑与离散数学是一门研究数学中的逻辑和离散结构的学科。
它们在数学领域中扮演着重要的角色，为数学家和计算机科学家提供了强大的工具和方法。
在这篇文章中，我们将探讨数理逻辑与离散数学的基本概念、应用和发展。
1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的数学分支，它主要关注命题、谓词和推理的形式化。
数理逻辑的基本概念包括命题逻辑、谓词逻辑和形式系统等。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的正确性，谓词逻辑则引入了个体和谓词的概念，用于描述更加复杂的逻辑结构。
形式系统则是数理逻辑的基础，它定义了逻辑推理的规则和语法。
2. 离散数学的基本概念离散数学是研究离散结构的数学分支，它主要关注离散对象和离散关系的性质。
离散数学的基本概念包括集合论、图论、代数结构等。
集合论研究的是集合的性质和运算，图论则研究的是图的性质和算法。
代数结构则是研究代数系统的抽象结构，包括群、环和域等。
3. 数理逻辑与离散数学的应用数理逻辑和离散数学在数学和计算机科学中有广泛的应用。
在数学领域，它们被用于证明和推理，帮助数学家发现新的定理和结论。
在计算机科学领域，数理逻辑和离散数学为计算机科学家提供了建模和分析的工具。
例如，图论被广泛应用于网络和路由算法的设计，离散数学的概念被用于设计和分析算法的正确性和复杂性。
4. 数理逻辑与离散数学的发展数理逻辑和离散数学作为学科的发展可以追溯到19世纪末。
随着数学和计算机科学的发展，它们变得越来越重要。
在20世纪，数理逻辑和离散数学得到了快速发展，涌现出了许多重要的理论和方法。
例如，哥德尔的不完备性定理揭示了数理逻辑的局限性，图论的四色定理解决了染色问题的一个重要难题。
总结起来，数理逻辑与离散数学是一门研究数学逻辑和离散结构的学科，它们在数学和计算机科学中有重要的应用和发展。
通过形式化和抽象化，数理逻辑和离散数学帮助数学家和计算机科学家研究和理解复杂的问题。
随着科学技术的不断进步，数理逻辑和离散数学将继续发展，为人类的认知和计算能力提供更强大的支持。
离散数学-第1章
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。
2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。
3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。
二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。
2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。
3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。
三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。
2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。
3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。
四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。
2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。
3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。
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练习
构造如下推理的证明 前提：p(qr), sq, p, s 结论：rt 证明： ① p(qr) ②p ③ qr ④ sq ⑤s ⑥ q
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入 ④⑤假言推理
⑦r
⑧ rt
③⑥析取三段论
⑦附加
6
求前束范式的实例
求下述公式的前束范式: xF(x)y(G(x,y)H(y)) 解 xF(x)y(G(x,y)H(y)) zF(z)y(G(x,y)H(y)) z(F(z)y(G(x,y)H(y))) zy(F(z)(G(x,y)H(y)))
10
练习
用归谬法证明如下推理。 前提：x(F(x)G(x)), xG(x) 结论：xF(x) 证明： ① xF(x) ② xF(x) ③ F(y) ④ x(F(x)G(x)), ⑤ F(y)G(y) ⑥ G(y) ⑦ xG(x) ⑧ xG(x) ⑨ G(y) ⑩ G(y)G(y) 依归谬法,原结论为真。
否定结论引入 ①置换 ② 前提引入 ④ ③⑤析取三段论 前提引入 ⑦置换 ⑧ ⑥⑨合取
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练习
用附加前提法证明如下推理。 前提：x(F(x)G(x)), x(G(x)H(x)) 结论：xF(x)xH(x) 证明: 用附加前提法 ① xF(x) 附加前提引入 ② F(y) ① ③ x(F(x)G(x)) 前提引入 ④ F(y)G(y) ③ ⑤ G(y) ②④假言推理 ⑥ x(G(x)H(x)) 前提引入 ⑦ G(y)H(y) ⑥ ⑧ H(y) ⑤⑦假言推理 ⑨ xH(x) ⑧+
9
练习
求下述公式的前束范式: xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) 解 使用换名规则, xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) zF(z)y(G(x,y)H(x,y)) z(F(z)y(G(x,y)H(x,y)) zy(F(z)(G(x,y)H(x,y)))
14
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练习（待续 ）
在自然推理系统中，构造如下推理的证明． 人人都喜欢吃水果．但不是每个人都喜欢吃蔬菜． 所以, 存在爱吃水果而不爱吃蔬菜的人． 要求：设全总个体域为动物界（含人类）． 解：令F(x): x为人，G(x): x喜欢吃水果，H(x): x喜欢吃蔬菜． 前提：x(F(x)G(x)), x(F(x)H(x)) 结论：x(F(x)G(x)H(x)) 证明： (1) x(F(x) H(x)) 前提引入 (2) x(F(x)H(x)) (1)置换 (3) x(F(x)H(x)) (2)置换 (4) F(a)H(a) (3) (5) F(a) (4)化简
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练习(续)
(6) x(F(x)G(x)) (7) F(a)G(a) (8) G(a) (9) F(a)H(a)G(a) (10)F(a)G(a)H(a) (11)x(F(x)G(x)H(x)) 前提引入 (6) (5)(7)假言推理 (3)(8)合取 (9)置换 (10)+
2
练习题
用等值演算法求公式(pq)q的主析取范式与主合取范式， 并指出公式的类型． 解 (pq)q (pq)q pqq 0 主析取范式 M0 M1 M 2 M3 主合取范式 矛盾式
3
附加前提证明法实例
用附加前提法构造如下推理的证明 前提：pq, pr, rs 结论：sq 证明 ① pr 前提引入 ② rs 前提引入 ③ ps ①②假言三段论 ④s 附加前提引入 ⑤ p ③④拒取式 ⑥ pq 前提引入 ⑦q ⑤⑥析取三段论 依附加前提证明法，原结论sq为真
求前束范式的实例
求公式xP(x)→（Q(y)→（yR(y)→xS(x)））的前束范式。
解 原式 x P(x)→（Q(y)→（zR(z)→uS(u)））
x P(x)→（Q(y)→zu（R(z)→S(u)））
x P(x)→zu（Q(y)→（R(z)→S(u)））
xzu（P(x)→（Q(y)→（R(z)→S(u)）））．
7
求前束范式的实例
求下述公式的前束范式: y(G(x,y)H(y))xF(x) 解 y(G(x,y)H(y))xF(x) y(G(x,y)H(y))zF(z) y(G(x,y)H(y)zF(z)) yz(G(x,y)H(y)F(z))
8
判断公式类型
用等值演算法判断下列公式的类型 ((pq)(pq))r 解 ((pq)(pq))r (p(qq))r p1r pr 可满足式，111是成真解释，000是成假解释.
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主范式的应用
求公式A=(pr)(qr)((pq)(pq))的主析取范式， 并指出其成真解释与成假解释. A (pr)(qr)((pq)(pq)) ((pq)(pr)(rq)(rr))((pq)(pq)) ((pq)(pr)(rq))((pq)(pq)) ((pq)(pq))((pr)(pq))((rq)(pq)) ((pq)(pq))((pr)(pq))((rq)(pq)) 00(pqr)0(pqr)0 (pqr)(pqr) m2m5 Σ(2,5) 成真解释:010,101；成假解释:000,001,011,100,110,111.
4
归谬法实例
用构归谬法构造如下推理的证明 前提：(pq)r, rs, s, p 结论：q 证明 ① rs 前提引入 ② s 前提引入 ③ r ①②拒取式 ④ (pq)r 前提引入 ⑤ (pq) ③ ④析取三段论 ⑥ pq ⑤置换 ⑦q 结论否定引入 ⑧ p ⑥⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑩pp ⑧⑨合取 依归谬法，原结论q为真