信号与系统第5章习题和重点

k <1 0 f1 (k − 1) = k − 1 k ≥ 1 0 f 2 (k + 1) = k 2 k<0 k≥0
1
f1(k −1)
1
L
3 4 k
0
1
2
f2(k +1)
2
4
L
2
−1 0
1
3
k
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改写为： 改写为：
k<0 0 0 f1 (k − 1) = 0 k = 0 ， f 2 (k + 1) = 1 k − 1 k ≥ 1 2 k
y 代入初始条件 yzi (0) = 1， zi (1) = 2 ，yzi (2) = 0 ，有 1 4 A1 + A2 = 1 A2 = − 解得： 解得：A1 = 3 3 A1 + ( A2 + A3 )( −2) = 2 A + (A + 2A ) ⋅ 4 = 0 A3 = 0 2 3 1 4 1 k ≥0 因此 yzi ( k ) = − (−2) k 3 3
∆f (k)
1 23 2 4 2
L
2
−2
−1
−1 0
1
k
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5-6 判断以下序列是否为周期序列，如果是周期序 判断以下序列是否为周期序列， 试确定其周期。 列，试确定其周期。 3 2 （1） f1(k) = Acos( πk + π) − ∞< k < ∞ ） 7 3 k
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（2）y(k + 3) + 3y(k + 2) − 4y(k) = 0 ） ) yzi (0) =1， yzi (1 = 2， yzi (2) = 0，
解： 特征方程为 r 3 + 3r 2 − 4 = 0 ，
特征根为 r1=1，r2=-2，r3 =-2 ， - ， yzi (k ) = A1 + ( A2 + A3 k )(−2) k 所以
不是周期序列。 所以 f2 (k)不是周期序列。 不是周期序列
j( +πΒιβλιοθήκη ) 8信号与系统 · 习题解答
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5-7 序列 f(k)如图所示，把 f(k)表示为 如图所示， 表示为δ(k)的加权与 如图所示 表示为 的加权与 延迟之线性组合。 延迟之线性组合。 f(k) 3
2 −3 −4 −2 −1 0 1 2 3 −2
2 j π 3
，r2 = 2e
2 −j π 3
2 j kπ 3 2 − j kπ 3
yzi ( k ) = A1 ( r1 ) k + A2 ( r2 ) k = 2 k ( A1e 所以
k
+ A2 e
)
2 2 2 2 = 2 ( A1 cos kπ + jA1 sin kπ + A2 cos kπ − jA2 sin kπ ) 3 3 3 3 2 2 k = 2 [( A1 + A2 ) cos kπ + j( A1 − A2 ) sin kπ ] 3 3
0 = −( k +1) + 3( k + 1) 2 0 = −( k +1) + 3( k + 1) 2
k < −1 k ≥ −1 k < −2 k = −2 k ≥ −1
2
0 k < −2 0 = −1 k = −2 − 0 2 −( k +1) + 3( k + 1) k ≥ −1 2 − k + 3k 0 k < −2 = −1 k = −2 − 2 − ( k +1) + 3 k ≥ −1
y ( k + 2) + 3 y ( k + 1) + 2 y ( k ) = x ( k )
对应的冲激响应 h0(k) ：
h0 (k ) = A1( −1)k + A2 ( −2)k
k >0
由差分方程知 h0 (1) = 0 所以
− A1 − 2 A2 = 0 A1 + 4 A2 = 1
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*补充题 求下列差分方程所描述的离散时间系统的零 补充题 输入响应 y ) （1） (k + 2) + 3y(k +1) + 2y(k) = 0 yzi (0) = 2， zi (1 =1 ） y ，
解： 特征方程为 r 2 + 3r + 2 = 0
特征根为 r1 = −1 ， r2 = −2 所以
f1(k −1)
1
解：
f1 (k − 1) ⋅ f 2 (k + 1) 0 = 0 2 k (k − 1) 0 = k 2 (k − 1) k <0 k =0 k ≥1 k <1 k ≥1
L
3 4 k
0
1
2
f2(k +1)
2
1
4
L
2
−1 0
1
3
k
16
f1(k −1)⋅ f2(k +1)
f (k −2)
3 1 2 6 1 4
解： 2） f (k − 2) （ ） (k
0 k <1 = −( k − 2 ) + 3( k − 2) k ≥ 1 2
1 −1 0 1 2 −1
L
3 4 k
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解： 5） （ ）
0 − k − 2 < −1 f ( − k − 2) = − ( − k − 2 ) + 3(− k − 2) − k − 2 ≥ −1 2 0 k > −1 = k +2 2 − 3(k + 2) k ≤ −1
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5-12 试画出下列离散时间系统的模拟图。 试画出下列离散时间系统的模拟图。 (3) y(k + 3) − y(k + 2) + y(k +1 = x(k + 2) + 2x(k) )
解：引入辅助函数q(k)，使 引入辅助函数 ，
q(k + 3) − q(k + 2) + q(k + 1) = x(k )
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5-14 求解下列差分方程 ， ， ) （2）y(k +2) +2y(k+) +2y(k) = 0 yzi (0) = 0 yzi (1 =1 ）
解：特征方程为 r 2 + 2r + 2 = 0 ，
特征根为
r1, 2 = −1 ± j = 2e
k
3 ±j π 4
，
3 3 所以 yzi (k ) = ( 2 ) c1 cos kπ + c2 sin kπ k ≥ 0 4 4 代入初始条件 yzi (0) = 0 ，yzi (1) = 2 ，有 yzi (0) = c1 = 0 ∴ c1 = 0, c2 = 1 3 yzi (1) = 2c2 sin 4 π = 1 3 k yzi ( k ) = ( 2 ) sin kπ k ≥ 0 因此 4
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y （3）y(k) + 2y(k −1) + 4y(k − 2) = 0，zi (0) = 0 yzi (1 = 2 ） ， ) 。 2 解： 特征方程为 r + 2 r + 4 = 0 r2 = −1 − 3 j r1 = −1 + 3 j 特征根为
为了方便求出待定系统， 为了方便求出待定系统，将r1 、r2 写成极坐标形式 r1 = 2e
解： (1) y (k ) = 2 x (k ) + 3
非线性时不变 线性时变
π 2π (2) y (k ) = x(k ) sin k+ 6 7
(3) y (k ) = [x(k )]
2
非线性时不变 线性时不变
( 4) y ( k ) =
n = −∞
∑ x ( n)
k
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k
解： f (k ) = −2δ (k + 3) + 3δ (k − 1) + 2δ (k − 3)
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5-8 试用单位阶跃序列表示图示离散信号。 试用单位阶跃序列表示图示离散信号。 (b) f (k)
2
3
2
1 −2 −1 0
4 5
1 2 3
6
−1
k
解：f 2 (k ) = ε (k + 2) + ε (k ) + ε (k − 2) − 4ε (k − 4) + ε (k − 6)
6 1 4
3
f (−k −2)
1 2
L
1
0 −1
− 4 − 3 − 2 −1
1
k
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解： 6） ∆f (k ) = （ ）
f ( k + 1) − f ( k ) k + 1 < −1 0 − −k k + 1 ≥ −1 2 + 3k k < −2 0 − −k k ≥ −2 2 + 3k k < −1 k ≥ −1
4
L
−1 0 1
2
3
k
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