第10章_结构动力计算基础教材
第10章 结构动力计算基础
m
1
k
k
k
根据功的互等定理，有：
11 k
1 k
二、自由振动微分方程的解
2 y 单自由度体系自由振动微分方程写为： y 0
（10－2）
二阶齐次线性常微分方程 式中： 其通解为： 当初始条件
2
k 1 m m
y(t ) C1 sin t C 2 cost
t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
t
（2）非周期荷载 冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、 打桩机的锤头对桩柱的冲击等。
突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的 卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。
P(t) P
P(t)
P(t)
P tr t
四、自由振动和强迫振动
自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。 强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。
五、动力计算中体系的自由度
1.动力自由度的定义 动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力 与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以， 动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系运动过程中任一时刻全部质量位臵所需的独立几何参数 数目，称为体系的动力自由度。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类 1.动力荷载与静力荷载 是指大小、方向和作用位臵不随时间变化或变化 很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小 因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都 是确定的。
结构动力学基础
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
0
1
2
3
4
5
l/5
0
l/5
1y = 1 1 φ1(x) 2
l/5
3
l/5
4
l/5
5
0
2 θ1 = 1 1 φ (x) 2
3
4
5
如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角θ）作为 广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、θ1，y2、θ2，y3、 θ3，y4、θ4 作广义坐标。
T
sin t
(10 3)
(10 4)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A
0
t
v
sin t
T t
0
A sin t
-A
3、结构的自振周期
由式
A
y (t ) A sin(t ) 及图，可见位移方程是一个周期函数。 2 y T 周 期： T
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期 为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒
结构力学专题七(单自由度体系的动力计算)
设： 2
k11 m
1
m11
运动方程： y(t) 2 y(t) 0
1、运动方程的解
y(t) c1sin t c2 cos t
(a)
或 y(t) csin( t )(ຫໍສະໝຸດ )当 y0、y0 为已知时
y(t)
y 0
sin
t
y
0
cos
t
(c)
方程（a）、（b）、（c）称为位移方程。
2、位移方程的几何意义
A1 5cm2
W 0.1kN
3m
（1）求竖向振动时的频率和周期，
(2)设： y0 10cm(向下），y0 0;
求： t
4
90
时质体的绝对位移。
A2 10cm2
4m
补2（选作）：求图示体系的自振频率：
m
EI
m
k
l
l
l EI
FP (t)
EI
l/2 l/2
三、举例与讨论
例1： 建立图示体系运动微分方程 FP (t)
m EI
l/2 l/2
方程：
L3 48EI
(my(t)
cy(t))
y(t)
L3 48EI
FP (t)
my(t) cy(t)
48EI L3
y(t)
FP (t)
例2： 建立图示体系运动微分方程
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
方程：
my(t) cy(t)
m
EI FP (t)
l/2 l/2
例3： 求图示体系的自振频率。
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
第10章 结构动力学基础1
（1）重力 W 为静力荷载
（2）弹性恢复力 S(t) k[ y jw y(t)] 与位移成正比，方向与位移指向相
反的。在k质为点刚上度R所(系t加)数的，c力其y• (意t) 义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需
（3）阻尼力
•• 与质点的速度成正比，方向与速度相反。c为
粘滞阻尼系I (数t) 。 m y(t)
my(t) cy(t) ky(t) 0
当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力。
（二）柔度法：取振动体系为研究对象。
I (t) R(t)
FP 1
m y(t)
δ（柔度 系数）
按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作 用所引起的可得方程：
y(t) [I(t) R(t)]
10.1 一般概念
一、结构的动力荷载及分类
动力荷载：是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的 荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明 显的振动，即在平衡位置附近往返运动。
静力荷载：是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷 载；同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢， 使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载
T
T
T
（二）自振周期与频率
自振频率（圆频率）
自振周期
T 2
k 1 g g m m W st
T 2π m 2π mδ 2π Wδ 2π Δst
动静法 根据达朗贝尔（d’Alembert)原理，设想将惯性力I(t)加
于振动体系的质点上，则任一瞬时体系中的实际各力与惯 性力处于平衡状态。
三、 动力计算简图和动力自由度
动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的 分布。
10结构的动力计算习题解答,重庆大学,文国治版教材课后答案
第10章 结构的动力计算习题解答习题10.1 是非判断题(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。
（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。
（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。
（ ）(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。
（ ）(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。
（ ） (6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。
（ ）(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。
（ ）【解】(1) 错误。
体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。
(2) 错误。
由阻尼结构的自振频率2r 1ωωξ=-可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。
(3) 正确。
(4) 错误。
由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。
(5) 正确。
(6) 正确。
(7) 正确。
习题10.2 填空题(1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为__________。
(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。
(3) 若要改变单自由度体系的自振周期， 应从改变体系的__________或__________着手。
(4) 若由式()211βθω=-求得的动力系数为负值，则表示__________。
(5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。
c k WF sin θ tP 12-2(5)习题 图习题10.2(5)图(6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI ＝常数)，其质量矩阵[M ]=__________。
mm2m12-2(6)习题 图mF sin θ tP 12-2(7)习题 图习题10.2(6)图 习题10.2(7)图(7) 习题10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI ＝常数。
《结构力学》教学大纲
《结构力学》教学大纲大纲说明课程代码：5125015总学时：80学时(讲课76学时，上机4学时)总学分：5学分课程类别：必修适用专业：土木工程专业（本科）预修要求：高等数学、理论力学、材料力学课程的性质、目的、任务：结构力学是土木工程专业的一门主要的技术基础课。
它的任务是在学习理论力学和材料力学的基础上，了解和掌握杆件结构的计算原理和方法，熟悉各类结构的受力特点和性能，培养结构分析和计算的能力，为学习有关专业课程和解决生产实践中的结构力学问题打好基础。
通过学习，使学生掌握平面杆件结构的组成分析、静定结构和超静定结构的内力和位移的计算分析方法。
课程教学的基本要求：本课程的学习中，要密切联系实际，培养学生正确的分析问题的方法，注意正确理解掌握基本概念和基本方法。
考虑到课程性质，建议采用多媒体教学手段。
计算机应用是本课程的重要组成部分，在教学中应予以充分重视。
大纲的使用说明：本大纲适用于土木工程本科专业80课时的结构力学课程使用，可根据具体的课时情况作适当的增删。
大纲正文第一章绪论学时：2学时（讲课2学时）本章讲授要点：结构力学的研究对象和任务；平面杆件结构和荷载的分类；结构计算简图概念及确定计算简图的原则。
重点：结构力学的研究对象和任务；结构计算简图概念及确定计算简图的原则。
难点：确定计算简图第一节结构力学的研究对象和任务第二节结构的计算简图第三节平面杆件结构和荷载的分类第四节结构力学的学习方法习题：3题第二章平面体系的几何组成分析学时：4学时（讲课3学时，习题1学时）本章讲授要点：几何不变体系的基本组成规律；对体系几何组成的分析和判定；静定结构和超静定结构的几何组成特征。
重点：运用无多余约束的几何不变体系的三个简单组成规则分析一般体系的几何组成。
难点：三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况。
第一节概述第二节几何不变体系组成规则及体系分析举例习题：6题第三章静定结构的内力计算学时：10学时（讲课8学时，习题2学时）本章讲授要点：梁、刚架的内力计算及内力图的绘制；多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、受弯杆件与桁架杆件组合结构的内力计算；结点法和截面法计算静定平面架内力；三铰拱的受力特点，内力图特征，合理拱轴概念及静定结构的基本特征。
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构的动力计算
结论：由振动过渡到非振动的临界状态。
第13章
2、阻尼系数的确定
实际工程中K＜＜ω，属于小阻尼衰减性振动。通 常以阻尼比作为基本参数。
（1）阻尼比的概念
阻尼比（ ） 实际阻尼系数（ ) c 临界阻尼系数cc ) (
临界状态时
由k
k
ς c c cc 2mω
cc , 可确定cc 2mk 2m 2m
c c1
c2
5、分析例题13-1、13-2（P83）
第13章
二、有阻尼的自由振动
1、振动方程及其解 m cy k11 y 0 y
令 则 特征方程 特征根
k c 2m
k11 m
2ky 2 y 0 y
r 2 2kr 2 0
r1 , r2 k k 2 2
k
11
c
m
11
m
c
恢复力简化为一弹簧， 阻尼力简化为一阻尼器
第13章
三、单自由度体系运动方程的建立
1、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。 2、列动力平衡方程 取物块为隔离体,其上共作用五个力
k11
S(t)
Y 0
W 0 y ys yd I(t) D(t) P(t)
W P(t) I(t) D(t) S(t) 0
m l M = ml
对梁和刚架 （1）略去轴向变形 分布质量，有无限自由度 （2）略去惯性力矩
∴ 只有一个自由度
第13章
（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。
2个自由度
2个自由度
4个自由度
（5）结构的自由度与是否超静定无关。
静定结构
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m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
m
结点位移个数即 为自由度个数
3. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点
y2
y1 W=2
2) W=2
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
4)
y1
W=1
弹性支座不减少动力自由度 5)
W=2
6)
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。 7)
三、自由振动和强迫振动
自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。
强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。
四、动力计算中体系的自由度
1.自由度的定义 确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数
EI
W=1
8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3 10)
m EI
W=2
11)
W=1 12)
W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
不计轴向变形: W=1
y3
y2 y1
形式上的平衡方程，实质上的运动方程。
牛顿第二定律：质点受外力作用时，将产生运动加速度，加速度的方向
与外力合力方向一致，其大小与合力的大小成正比，与质点的质量成反
比。即
F
ma
3．动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都
随时间变化，它除与动力荷载的变化规律有关外，还与结构的固 有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。
确定性 周期荷载
3.动力荷载的分类
非周期荷载
非确定性（随机荷载）
（1）周期荷载——随时间作周期性变化 简谐荷载：最简单的周期荷载，随时间按正弦或余弦规律变化，如
机器转动时转子做匀速转动时就会产生这种荷载。 非简谐荷载：按其它规律周期性变化的荷载
（2）非周期荷载 冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、
动力平衡的特点：与静力平衡不同，动力平衡只是形式上的平衡， 是在引进惯性力条件下的平衡。
（1）在所考虑的力系中要包括惯性力； （2）所谓的平衡是瞬间的平衡，荷载、内力、位移、速度、加速
度等都是时间的函数。
惯性力：当质点受力作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的
惯性产生对外界反抗的反作用力称为质点的惯性力。惯性力的方向
m
本章主要讨论集中质量法。
（2）广义坐标法 y(x) aii (x) i 1 ai ---广义坐标
i (x) ---满足位移边界条件的形状函数
n
y(x) aii (x) i 1
i (0) i (l) 0
（3）有限元法
综合了集中质量法和广义坐标法的 特点,将实际结构离散为有限个单元的集 合，以结点位移作为广义坐标，将无限 自由度问题化为有限自由度问题。
打桩机的锤头对桩柱的冲击等。 突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的
卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。 （3）随机荷载——荷载有很大的随意性，任一时刻的数值无法确定，
如地震荷载、风荷载、海浪对堤岸、码头的冲击等。
二、结构动力计算的特点
1.结构动力学的主要特征 由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，
不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在 相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动 力荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。
4．结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构
的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。
1940年美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的Tacoma 大桥，大桥中央跨距为853米，为悬索桥结构，设计可以抗60米/秒的大风， 但不幸的是大桥刚建成四个月就在19米/秒的小风吹拂下整体塌毁。其根本 原因在于风旋涡脱落的频率与悬索桥板的固有频率一致，从而产生了强烈 的共振。因此尽管桥塌毁的这天风并不是很大，但却吹垮了整座大桥。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类
1.动力荷载的概念
动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载，而 且随时间变化较快，对结构产生的影响较大。
2.与静力荷载的区别
静力荷载是指随时间不变化（如恒载）或随时间变化很慢， 对结构产生的影响较小，而且静力荷载只与作用位置有关，而动 力荷载的变化是坐标和时间的函数。
考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。
2.结构动力计算的原理和方法
达朗伯原理：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的所有的主动 力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成一平衡力系 （即主动力、约束反力和质点的惯性力的矢量和等于零）。
*动静法：根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为静力平衡问题 来求解，这种方法称为动静法。
数目，称为体系的自由度。 根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和
无限自由度体系。
2.实际结构自由度的简化方法
为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简 化为有限自由度。常用的简化方法有：
（1）集中质量法 将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点
上，使结构只在这些点上有质量，除这些点之外物体是无质量 的。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。
第10章 结构动力计算基础
基本要求：熟练掌握单自由度体系自由振动的计算(微分方程的 建立、求解、自振周期和自振频率的计算）； 了解单自由度体系强迫振动的计算； 了解两个自由度体系自由振动的计算。
教学内容：动力计算的特点和动力自由度 单自由由度体系的自由振动
与加速度方向相反，大小等于质点的质量与加速度的乘积。
即
FG ma
注意：质点的惯性力并不是质点本身受到的力，而是质点作用于施 力物体上的力。
由牛顿第二定律可得
施
m
力
物 体
P(t) P(t)
y(t)
m
P(t) my(t)
my(t) P(t) 运动方程 P(t) my(t) 惯性力 P(t) [my(t)] 0