四川省成都外国语学校2020-2021学年高二12月月考数学(理)试题 Word版含答案
成都外国语学校2020——2021学年度上期第三次月考考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．） 1．命题“0x ∀>，11ln x x-≤”的否定是（ ） A ．0x ∀>，11ln x x-> B ．00x ∃>，0011ln x x -> C ．00x ∃>，0011ln x x -≤ D ．00x ∃≤，()0011ln x x -≤- 2．已知点(4,1,3)A ，(2,5,1)B -，若13AC AB =，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭C ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（ ）A．2B ．2 CD4.直线l ：x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则∠AOB 等于（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则 //m n B ．若 //αβ，m α⊂，n β⊂，则 //m n C ．若 m α⊥，m n ⊥，则 //n α D ．若 m α⊥，//m n ，βn//，则 αβ⊥6．过点(1,0) 与双曲线 x 24−y 2=1 仅有一个公共点的直线有 ( )A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．14-C ．3D ．38．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则面PAC 与平面ABC 所成角正切值的大小为（ ） A ．√33B ．√32C ．√3D ． 2√39．已知双曲线2213y x -=的离心率为2m ，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点()02,P y （00y >）在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为（ ） A ．52 B ．2 C ．32D ．1 10、已知⊙O ：225x y +=与⊙O 1：222()(0)x a y r a -+=>相交于A 、B 两点，若两圆在A 点处的切线互相垂直，且｜AB ｜=4，则⊙O 1的方程为（ ） A 、22(4)x y -+＝20 B 、22(4)x y -+＝50C 、22(5)x y -+＝20D 、22(5)x y -+＝5011、已知圆锥的顶点为S O ,为底面中心，A B C ,,为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA AB =，M 为SA 的中点设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）A. 31-B.43 C.55 D.1412．过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C ，D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）13．已知条件1:2p a >且12b >， :1q a b +>，则p 是q 的___________条件.（填：充分不必要、 必要不充分、 充要、既不充分又不必要）14．设1F ，2F 是椭圆C ：221123x y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且3OP =，则12PF F △的面积为__________________15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中，其中正确的命题____________（填序号）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11//B D 平面EFG ；③四面体11ACB D 的体积等于4316、已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （一2，2)为椭圆C 内一点。
若椭圆C上存在一点P ，使得｜PA ｜＋｜PF ｜＝8，则m 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它每题12分，共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．）17．设命题:p 函数()x f x m =在R 上是减函数，命题:q 不等式210x mx ++<有解. （1）若命题q 为真，求m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求m 的取值范围. 18．已知点O 为坐标原点，(6,0)A -，动点P 使得:1:2PO PA =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为Γ，过点(4,4)Q 的直线l 与Γ交于两点A 、B ，若43AB =，求直线l 的方程.19．如图，四边形ABCD 为梯形，AB CD ∥，PD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ==︒∠∠，22DC AB a ==，3DA a =，E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.20．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点.21.如图，已知DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，AC //DF ，四边形BCDE 为直角梯形，DE //BC ，BC CD ⊥，点G 为ABC ∆的重心，N 为AB 中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点.（1）求证：GM //平面DFN ；（2）若二面角M BC D --的余弦值为7，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值.22．已知直线l 与椭圆C :2213618x y +=交于,A B 两点.（1）若线段AB 的中点为()2,1,求直线l 的方程;（2）记直线l 与x 轴交于点M ,是否存在点M ,使得2211MA MB +始终为定值?若存在,求点M 的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.成都外国语学校2020——2021学年度上期第三次月考考试高二数学理科答案1~6 BBCDDD 7~12CDACAB13．充分不必要 14．3 15．① 16. 2517.（1）2m <-或2m >；（2）()()(),20,12,-∞-⋃⋃+∞. 对于命题p ：函数()x f x m =在R 上是减函数，则01m <<，对于命题q ：不等式210x mx ++<有解，则240m ∆=->，解得2m <-或2m >， （1）若命题q 为真，则2m <-或2m >；（2）因为“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，所以p q ，一真一假.若p 真q 假，则0122m m <<⎧⎨-≤≤⎩，解得01m <<；若p 假q 真，则0122m m m m ≤≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得2m <-或2m >，综上，m 的取值范围是()()(),20,12,-∞-⋃⋃+∞.18.【答案】（1）22(2)16x y -+=；（2）4x =或3440x y -+=.（1）设点(,)P x y ，则22PO x y =+22(6)PA x y =++2222(6)2x y x y ++=+整理得：22(2)16x y -+=，即点P 的轨迹方程为22(2)16x y -+=，（2）由（1）得，Γ为以(2,0)C 为圆心，以4r =为半径的圆，设AB 的中点为M ，连结CM ，CA .由垂径定理，CM AB ⊥.则222431622CM r AM ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭即点(2,0)C 到直线l 的距离为2.（i ）当直线l 的斜率不存在时，l ：4x =，经检验符合题意；（ii ）当直线l 的斜率存在时，设l ：4(4)y k x -=-，即440kx y k -+-=所以224421k k k +-=+，解得：34k =；所以，l ：3104x y -+=，即3440x y -+=.综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=.19．解：（1）证明：连结BD ，90BAD ADC ==︒∠∠，AB a =，3DA a =，所以2BD DC a == E 为BC 中点，所以BC DE ⊥ 又因为PD ⊥平面ABCD .所以BC PD ⊥因为DEPD D =所以BC ⊥平面PDE ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE（2）当点F 位于PC 三分之一分点（靠近P 点）时，PA ∥平面BDF 连结AC ，BD 交于O 点，AB CD ∥，所以AOB △相似于COD △ 又因为12AB DC =，所以12AO OC =， 从而在CPA △中，13AO AC =，而13PF PC = 所以OF PA ∥，而OF ⊂平面BDF ，PA ⊄平面BDF 所以PA ∥平面BDF 20．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.（1）因为椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±，依题意，12p =，2p =，所以C ：24y x =（2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得2440y my n --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则211244y y y y m n ==-+，，由PM PN ⊥，则0PM PN ⋅=，即()()11221,21,20x y x y --⋅--=， 所以()()()()121211+220x x y y ----=即()()()()121211+220my n my n y y +-+---=，整理得到()()()()22121212+140m y y mn m y y n ++--+-+=，所以()()()224142+140n m m mn m n -++---+=，化简得2264850n n m m ---+=即()()22341n m -=-， 解得25n m =+或21n m =-+.当25n m =+时，直线MN 的方程为25x my m =++，即为()52x m y -=+，即直线过定点()5,2-；当21n m =-+时，直线MN 的方程为21xmy m ，即为()12x m y -=-，即直线过定点()1,2，此时与点P 重合，故应舍去，所以直线MN 过定点()5,2-.21.解：（Ⅰ）连AG 延长交BC 于P ，因为点G 为ABC ∆的重心，所以23AG AP = 又23AM AF =，所以23AG AM AP AF ==，所以GM //PF ； 因为AC //DF ，DE //BC ，所以平面ABC //平面DEF ， 又DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，N 为AB 中点，P 为BC 中点, NP //AC ,又AC //DF ，所以NP //DF ，得,,,P D F N 四点共面GM ∴//平面DFN（Ⅱ）由题意，以P 为原点，PC 为x 轴，PE 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系， 设CD m =，则C (1,0,0)，D (1,m,0),A(0,0,√3）F (12,m,√32)，B (−1,0,0),N(−12,0,√32）， 2,3AM AF =M (13,2m 3,2√33)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2,0,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (43,2m 3,2√33)设平面MBC 的法向量(,,)n a b c =，则0n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n ⃗ =(0,√3,−m ），平面BCD 的法向量(0,0,1)v =，所以二面角M BC D --的余弦值，cosθ=|n ⃗ ∙v ⃗ ||n⃗ |∙|v ⃗ |=√3+m 2=√74m =√213，又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−56,−2m3,−√36)，(0,,0)CD m =cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m√+74=2√77,直线MN 与CD 所成角的余弦值为2√77. 22．【答案】（1）30x y +-= （2）存在，(M ±,定值为16. 【解析】（1）设()(,),,A x y B x y '',代入椭圆得()()22221361813618x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+='⎩'⎪，两式相减得:()()()()03618x x x x y y y y ''''+-+-+=,∴12y y y y x x x x ''-+=-⋅''-+,线段AB 的中点为()2,1，∴22x x '+=,12y y '+=,∴直线l 的斜率为:14122-⋅=-，∴直线l 的方程为:1(2)y x -=--,即:30x y +-=.（2）设00(),M x ,当直线l 与轴重合时,有202222220002721111(6)(6)(36)x MA MB x x x ++=+=-+-; 当直线与x 轴垂直时22220011243618136MA MB x x +==-⎛⎫- ⎪⎝⎭,由2022200272436(36)x x x +=--,解得0x =±∴存在点M ,则(M ±,221116MA MB +=, 根据对称性,只考虑直线l 过点M ,设()(,),,A x y B x y'',设直线l 的方程为x my =+由2213618x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消掉x ,可得:()222240m y ++-=, 根据韦达定理可得:22y y m'+=-+,2242yy m '=-+，()2222221111MA m y y m y ===++,同理()()222111MB m y ='+,∴()()()222222222211111111y y MA MB m y m y y y ⎛⎫'++=+=⋅ ⎪ ⎪++''⎝⎭ ()()()()()222222222296965762,22m y y y y yy y y m m +''''+=+-==++∴22119615766MA MB +==, 综上所述,存在点M(±,0),使得2211MA MB+为定值16.。
四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学12月月考试题理
四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学12月月考试题 理第I 卷（选择题)一、单选题1．若:||2,:p x q x a 剟，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a a …B ．{|2}a a …C ．{|2}a a -…D ．{|2}a a -…2．曲线方程2222+4)+4)10x y x y ++-=（（的化简结果为（ ）A ．2212516x y += B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位: mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为( ) A ．22.5 20B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25（第3题） （第4题）4．甲、乙两位同学在高二次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列正确的是（ ） A ． ，甲比乙成绩稳定 B ．，乙比甲成绩稳定 C ．，甲比乙成绩稳定 D ．，乙比甲成绩稳定5．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280B ．320C ．400D ．10006．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．8πC ．12D ．4π7．从1至9这9个自然数中任取两个：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数； ③至多有一个奇数和两个数都是奇数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．①B ．②④C ．③D ．①③8．已知命题:p “0x R ∃∈，使得20220x ax a +++≤”，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．()2,1-D ．(]0,29．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ） A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，2610．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POFV 的面积为 A 2B 3C ．2D ．311．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为232-点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[1,2]B ．2,3]C ．[2,4]D ．[1,4]12．已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点F 和另一个点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ） A ．5B ．35+ C ．512+ D ．51- 第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分共20分13．命题“若1a >且1b >，则2a b +>”的否命题是______.（选填“真”或“假”） 14．某同学同时掷两颗均匀正方体骰子，得到的点数分别为，，则椭圆的离心率的概率是__________．15．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(3)1M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则a 的取值范围是__________．16．已知椭圆C:14922=+y x ，若动点），（οοy x P 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程 .三、解答题17．已知命题P ： 22114x y m m +=--表示双曲线，命题q ： 22124x ym m+=-- 表示椭圆．（1）若命题P 与命题q 都为真命题，则P 是q 的什么条件？（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）（2）若P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题，求实数m 的取值范围．18．央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.19．下表是高二某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩：月份9 10 11 12 1历史(x分) 79 81 83 85 87政治(y分) 77 79 79 82 83求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量,x y的线性回归方程y bx a=+$$$.(附：1221ˆni iiniix y n x ybx nx-==-=--åå，a y bx=-$$，133230ni iix y==∑，2134485niix==∑)20．已知圆22:60C x y x y m++-+=与直线:230l x y+-=.（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于,P Q两点，O为原点，是否存在实数m，满足OP OQ⊥，若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.21．已知点F 是抛物线2C :2(0)y px p =>的焦点，若点()0,4P x 在抛物线C 上，且5.2PF p =()1求抛物线C 的方程；()2动直线()l:1x my m R =+∈与抛物线C 相交于,A B 两点，问：在x 轴上是否存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得x 轴平分ADB ∠？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>离心率为22，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-， AD DP λ=u u ur u u u r ，AE EQ μ=u u u r u u u r （λμ，为非零实数），求22λμ+的值．高二上数学月考答案ADCDC BCBCB 文11-12DD 理11-12DC 二、填空题13．假 14． 15．[0,3] 16．1322=+y x 三、解答题17．【答案】（1）P 是q 的必要不充分条件（2）12m <≤ 或3m =． 【解析】（1）∵命题P 为真命题，∴()()140m m --< ，解得14m << ,又∵命题q 是真命题， ∴204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得23m << 或34m <<∵{}|14{2334}m m m m <<⊇<<<<或 ∴P 是q 的必要不充分条件, （2）∵P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题 ∴P 、q 为“一真一假”，当P 真q 假时，由（1）可知，P 为真，有14m << ，① q 为假， 2m ≤ 或3m = 或4m ≥ ②由①②解得12m <≤ 或3m =当P 假真时，由（1）可知， P 为假，有1m ≤ 或4m ≥ ，③q 为真，有23m << 或34m << ④ 由③④解得，无解综上，可得实数m 的取值范围为12m <≤ 或3m =. 18．【答案】(1)710(2)25【解析】（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是51306= ∴选中的“朗读爱好者”有11226⨯=人，记为,B C ，“非朗读爱好者”有11836⨯=人，记为1,2,3；记A ：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3共10个；满足事件A 的有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C 共7个，∴则()710P A =（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40,41，现要各抽一名，则有()41,40，()41,41，()42,40，()42,41，()44,40，()44,41，()47,40，()47,41，()51,40，()51,41共10种情况.收视时间相差5分钟以上的有()47,40，()47,41，()51,40，()51,41，共4种情况. 故收视时间相差5分钟以上的概率42105P ==. 19．【答案】(1)见解析.(2)317.754ˆyx =+. 【解析】：(1)()17981838587835x =++++= ()17779798283805y =++++=， ∴政治成绩的方差()()()()()222222177807980798082808380 4.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦.(2)∵83x =，80y =，5133230i ii x y==∑，52134485i i x ==∑，5n =，∴5115222211ˆ5355ni i i i i i ni i i i x y nxy x y xy bx nx x x ====--===--∑∑∑∑， ∴380ˆˆ8317.754ay bx =-=-⨯=， ∴变量,x y 的线性回归方程为317.754ˆyx =+. 20【答案】（1）378,4⎛⎫⎪⎝⎭； （2）3m =. 【解析】（1）将圆的方程化为标准方程得：22137(+)+(3)24x y m -=-， ∴圆心1(,3)2C -，半径23704r m =->，即374m <， ∵圆心C 到直线l 的距离254d =，直线l 与圆C 没有公共点，∴37544m -<，即8m >，则m 的范围为37(8,)4. （2）由题意，假设存在实数m 使得OP OQ ⊥，将直线l 与圆方程联立2260230x y x y m x y ⎧++-+=⎨+-=⎩ ，消去y 得到：25104270x x m ++-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122x x +=-，124275m x x -=，12121212427153393()52244m x x x x x x y y -+---++=⋅==， ∵12120x x y y +=，∴427154275054m m -+-+=，解得3m =. 21文【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP x ,,MN 0,x y y =-=u u u r u u u u r（）由NP =u u u r u u u r得000x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---=+-u u u r u u r u u u r u n u r，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---u u u r u u u r ，，（，）. 由OP PQ 1u u u r u u u rn =得-3m-2m +tn-2n =1 又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0=u u u r u u r n ，即OQ PF ⊥u u u r u u r ，.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ的直线l 过C 的左焦点F.21理22文．【答案】（1）24y x =；（ 2）存在，()1,0D -.【解析】()1抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，即有0522p p PF x =+=，即02x p =，则2164p =，解得2p =，则24y x =； ()2在x 轴上假设存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，因为x 轴平分ADB ∠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立1x my =+和24y x =，得2440y my --=，()21610m V =+>恒成立． 124y y m +=，12 4.y y =-①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ，2k ，则由ODA ODB ∠=∠得，()()()()122112121212y x t y x t y y k k x t x t x t x t -+-+=+=----()()()()()()()()1221121212121121y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----，()()1212210my y t y y ∴+-+=，② 联立①②，得()410m t -+=，故存在1t =-满足题意，综上，在x 轴上存在一点()1,0D -，使得x 轴平分ADB ∠，22理．【答案】（1）2212x y +=（2）221λμ+=【解析】（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，又离心率2c a =，所以a =， 所以()222222a c a b ==-，所以22a =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由（1），点A ()0，设()()1100P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=u u u v u u u v，所以()()010010x x x y y y λλ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩L L L L ①②，由①得，011+x x λλ=-， 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+k x k x k x λλλ⎛==- ⎝⎭，两边同时乘以k1得，211121112k x k k x xλλ⎛⎛⎫=-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112xkλ=+，1112ykλ=+，代入椭圆的方程得，221112kλ=+，同理可得，22122221121112121122kk kkμ===++⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以221λμ+=．。
四川省成都外国语学校、成都实验外国语2021届高三12月月考数学(理)试题
一诊模拟理科数学试卷 1 / 13保密★启用前 【考试时间：2020年12月14日】高 2018 级 1 2 月 月 考理 科 数 学注意事项：1． 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡。
2． 回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷 （选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ． {2,1,0,1}--B ． {1,0,1,2}-C ．{0,1}D ．{1,0}-2. 已知i 是虚数单位，设11izi，则复数2z +对应的点位于复平面 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 抛物线22y x =的焦点坐标为A ．(18,0)B ．1(4，0)C ．(0,14)D ．(0,18)一诊模拟理科数学试卷 2 / 134. 已知0.2log 2a =，b =0.32，c =20.3，则A. c a b <<B. a c b <<C. a b c <<D. b c a << 5、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβC ．若//,//,m m αβ则//αβD ．若,,m n αα⊥⊥则//m n6. 若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2α= A ．45B ．1C ． 2D ．35-7. 设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．41y x =-B ．24y x =-C ．42y x =-D ．26y x =-8. 已知函数sin()y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，且此函数的图像如图所示，则此函数的解析式可以是A ．1sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 28y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.下列命题中的真命题有A ．已知,a b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充分而不必要条件一诊模拟理科数学试卷 3 / 13B ．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃≤，使得()011xx e +≤C ．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂.“//m β”是“//αβ”的充要条件D ．“∃x 0∈R,2x 0>x 02”的否定为“2,2x x R x ∀∈≤”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为A ．162π-B ．16π+C ．16π-D ．162π+11. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A 到D 修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A ，B ，C ，D 在同一水平面内），则A ，D 间的距离为A ．651213- kmB ．65123-km C ．35123-km D ．351213-km12、已知双曲线x 24−y 25=1,O 为坐标原点，P,Q 为双曲线上两动点，且OP ⊥OQ ,则△POQ 面积的最小值为（ ）A ．20B ．15C ．30D ．25第II 卷 （非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
四川省成都外国语学校2020届高三数学12月月考试题理(含解析)
因为ln x1ln x2
ln( x1x2)
0
0
x1x2
1
D错误，
若x1x2
2，则可取x1
1, x2
3
，但ln1
1
22
2
2
2
ln3
3
，所以A错误，
22
2
因为ln 2e x3
ln
2e
x4，所以ln 2e
x3
ln 2e x4，
即ln 2e
x3
ln
2e
x4
0，
2e
x3
2e
x4
1，C错；
2e x3
基本剖析求解能力，属基础题.
- 1 -
3.等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a33, a4a5a66，则S12
（）
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】C
【分析】
【剖析】
依据题设条件，获得
a4
a5
a6
2，从而获得
a1
a2
a3
a7
a8
a9
12, a10
a11a1224，即可求解S12的值，获得答案.
16.在平面直角坐标系xOy中，过点（0，1）的直线l与双曲线3x2y21
交于两点A，B，若OAB是直角三角形，则直线l的斜率为____.
【答案】k1
【分析】
【剖析】
先设直线方程与双曲线方程联立方程组，依据垂直条件，联合韦达定
理求直线l的斜率.
【详解】直线
l
的斜率明显存在，设直线为
y
kx
1，联立双曲线：
【答案】D
【分析】
【详解】
四川省成都外国语学校高二上学期12月月考数学(理)试题
四川省成都外国语学校【最新】高二上学期12月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若:||2,:p x q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a aB ．{|2}a aC ．{|2}a aD ．{|2}a a210=的化简结果为（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x += C ．221259x y += D ．221259y x += 3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位: mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为( )A ．22.5 20B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25 4．甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩用茎叶图表示如右图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙,则下列叙述正确的是（ ）A ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定B ．x x <甲乙; 乙比甲成绩稳定C ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙; 甲比乙成绩稳定 5．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )A ．280B ．320C ．400D ．10006．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 7．从1至9这9个自然数中任取两个：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至多有一个奇数和两个数都是奇数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③8．已知命题0:p x R ∃∈，使得200220x ax a +++”，若命题p 是假命题，则实数a的取值范围是（ ）A ．12a -B ．1a 2-<<C ．21a -<<D ．02a <9．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ）A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，26 10．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为A B C ．2 D ．311．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[1,2] B． C．4] D ．[1,4]12．已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点F 和另一个点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD二、填空题13．命题“若1a >且1b >，则2a b +>”的否命题是______.（选填“真”或“假”）14．某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆22221x y a b +=的离心率e >__________． 15．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(3)1M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则a 的取值范围是__________．16．已知椭圆C :22194x y +=，若动点()00P x y ，为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程_____________.三、解答题17．已知命题P ： 22114x y m m +=--表示双曲线，命题q ： 22124x y m m +=-- 表示椭圆．（1）若命题P 与命题q 都为真命题，则P 是q 的什么条件？（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）（2）若P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题，求实数m 的取值范围．18．央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.19．下表是高二某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩：求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量,x y 的线性回归方程y bx a =+. (附：1221ˆn iii n i i x y b xnx ===-∑∑，a y bx =-，133230n i i i x y ==∑，2134485ni i x ==∑) 20．已知圆22:60C x y x y m ++-+=与直线:230l x y +-=.（1）若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；（2）若直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，O 为原点，是否存在实数m ，满足OP OQ ⊥，若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.21．已知点F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若点P （x 0，4）在抛物线C 上，且52PF p =.（1）求抛物线C 的方程；（2）动直线l ：x ＝my +1（m ∈R ）与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点D （t ，0）（其中t ≠0），使得k AD +k BD ＝0，（k AD ，k BD 分别为直线AD ，BD 的斜率）若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）离心率为2，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==EQ μ（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．参考答案1．A【分析】先化简命题p ，再根据p 是q 的充分不必要条件得到a 的取值范围.【详解】由题得:22p x -≤≤，:q x a因为p 是q 的充分不必要条件，所以p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以2a ≥.故选A【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．D【分析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点(),x y 到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的,,a b c 得到结果.【详解】10=， 所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以3b ==所以曲线方程的化简结果为221259y x +=. 故选D 项.【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.3．C【解析】 由题意，这批产品的平均数为()50.0212.50.0417.50.0822.50.0327.50.0332.522.75x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 其中位数为()00.50.020.0452022.50.08x -+⨯=+=.故选C. 4．B【解析】试题分析：根据题意，由于甲乙在考试中的数学成绩分布情况分别是72,77,78,86,92;78,88,88,91,90,因此可知其均值分别是81,87．因此可知x x <甲乙，同时看茎叶图可知，乙的数据比较集中在均值附近故可知乙比甲稳定故选B.考点：茎叶图点评：主要是考查了茎叶图的简单运用，求解均值和方差的运用，属于基础题． 5．C【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++ 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C【点睛】 本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题．6．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .7．C【分析】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的时间，然后挨个分析四组事件即可【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数，这两个事件不是互斥事件；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数中，至少有一个是奇数包括了两个都是奇数和一个是奇数，包含了两个数都是奇数，故不是对立事件③至多有一个奇数和两个数都是奇数中，至多有一个奇数包括有一个是奇数和没有一个是奇数，和两个数都是奇数为对立事件；④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，故不是对立事件故选C【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件，解题的关键是分清互斥事件和对立事件之间的关系，属于基础题．8．B【分析】由已知得命题p 是假命题，则将问题转化为命题“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数a 的取值范围.【详解】若命题p 是假命题，则“不存在0x R ∈，使得200220x ax a +++≤”成立, 即“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立,所以()()()()()22242424120a a a a a a ∆=-+=--=+-<， 解得1a 2-<<，所以实数a 的取值范围是1a 2-<<，故选：B9．C【分析】根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值．【详解】椭圆的两个焦点坐标为()()1212,0,12,0F F -，且恰好为两个圆的圆心坐标为 所以1226PF PF +=，两个圆的半径相等且等于1 所以()12min 224PM PN PF PF r +=+-=()12max 228PM PN PF PF r +=++=所以选C【点睛】 本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题． 10．B【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得y =±, 所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题. 11．D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()11222F AB S a c b ∆=-=可得，2,a c ==1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()112F AB S a c b ∆=-=解得22,a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即22x ⎡∈⎣， ()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 12．C 【分析】设()(),,0P x y x >，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、联立方程组22224,,,y cx x y c y b x c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩①②③，建立,a c 的关系即可得到结论.【详解】如图，设抛物线24y cx =的准线为l ，作PQ l ⊥于Q ，双曲线的右焦点为'F ，由题意可知'FF 为圆222x y c +=的直径，∴设()(),,0P x y x >，则'PF PF ⊥，且tan 'b PFF a∠=，∴满足22224,,,y cx x y c y b x c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩①②③，将①代入②得2240x cx c +-=，则422c x c -±==-±，即)2x c =或()2x c =（舍去），将)2x c =代入③ba==即)1bcy a=，再将,x y 代入①得，))22222142b cc a=，即))222142ba=，)()22222224211b c a e a a -∴===-， 解得2e =C. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 13．假 【分析】根据四种命题的定义，得到命题的逆命题，举例即可判定其逆命题真假，再根据四种的等价关系，即可求解否命题的真假，得到答案. 【详解】由题意，命题“若1a >且1b >，则2a b +>”的逆命题是“若2a b +>，则1a >且1b >”， 例如：1,3a b ==时，此时2a b +>成立，但1a >且1b >不成立，则逆命题命题为假命题， 根据四种命题的等价关系，原命题的逆命题与否命题是等价的，所以其否命题也是假命题. 故答案为假. 【点睛】本题主要考查了四种命题的改写，以及四种命题的等价关系的应用，其中解答中熟记四种命题的改写，求得命题的逆命题并判定其真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 14．13【分析】由椭圆22221x y a b +=的离心率2e >224a b >或224b a >，掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有36种情况，将满足不等式的情况一一列举出来，利用古典概型求解即可. 【详解】由椭圆22221x y a b +=的离心率e >当a b >时，c e a==>即得224a b >;当a b <时，c e b ==>即得224b a >. 同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6636⨯=种情况，满足上述关系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),（6,1），(1,6),（6,2）,(2,6)共12种情况， 所以概率为：121363=. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算，但要注意椭圆的焦点在哪个轴上，需讨论a 和b 的大小，属于易错题. 15．[0,3] 【分析】由题意求出OP 的距离，得到P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题意易得1302APO APB ︒∠=∠=，||1||2sin sin 30OA OP APO ︒===∠， ∴点P 在以O 的圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，21||21OM -+∴， 即21||9OM .2222||(3)269OM a a a a =+-=-+，212699a a -+∴，即222680260a a a a ⎧-+⎨-⎩，解得03a ，a ∴的取值范围是[0,3] 故答案为[0，3]． 【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题 16．2213x y += 【分析】当切线斜率存在且不为0时,设直线方程00()y y k x x -=- 【详解】设从点P 所引的直线的方程为00()y y k x x -=-,即()00y kx y kx =+-,当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时,分别设为1k 、2k ,则121k k =-,将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程()2200194x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩， 化简得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++-+--= ,()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()22200009240x k kx y y --+-=,则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()22200009240x k kx y y --+-=的两根,则201220419y k k x -==--,化简得220013x y +=； 当两条切线分别平行与,x y 轴时, ()00,P x y 分别为()3,2P ±±四点,满足220013x y +=.故答案为：2213x y += 【点睛】本题主要考查了利用直线与椭圆相切,联立直线与椭圆利用判别式为0再进行化简求解方法,属于难题.17．（1）P 是q 的必要不充分条件（2）12m <≤ 或3m =． 【解析】试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题p 为真命题则14m << ,若q 都为真命题则23m << 或34m <<，由{}|14{2334}m m m m <<⊇<<<<或，可得P 是q 的必要不充分条件；（2）由P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围..试题解析：（1）∵命题P ：22114x y m m +=-- 表示双曲线是真命题，∴()()140m m --< ， 解得14m << ,又∵命题q ：22124x ym m+=-- 表示椭圆是真命题，∴204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得23m << 或34m <<∵{}|14{2334}m m m m <<⊇<<<<或∴P 是q 的必要不充分条件,（2）∵P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题 ∴P 、q 为“一真一假”， 当P 真q 假时，由（1）可知，P 为真，有14m << ，①q 为假， 2m ≤ 或3m = 或4m ≥ ②由①②解得12m <≤ 或3m = 当P 假真时，由（1）可知，P 为假，有1m ≤ 或4m ≥ ，③q 为真，有23m << 或34m << ④由③④解得，无解综上，可得实数m 的取值范围为12m <≤ 或3m =.【方法点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 18．(1)710(2)25【解析】 试题分析： 试题解析：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是51306= ∴选中的“朗读爱好者”有11226⨯=人，记为,B C ，“非朗读爱好者”有11836⨯=人，记为1,2,3；记A ：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3共10个；满足事件A 的有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C 共7个，∴则()710P A =（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40,41，现要各抽一名，则有()41,40，()41,41，()42,40，()42,41，()44,40，()44,41，()47,40，()47,41，()51,40，()51,41共10种情况.收视时间相差5分钟以上的有()47,40，()47,41，()51,40，()51,41，共4种情况. 故收视时间相差5分钟以上的概率42105P ==. 19．(1)见解析.(2)317.754ˆyx =+. 【解析】试题分析：⑴利用所给数据，即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差； ⑵利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果； 解析：(1)()17981838587835x =++++=， ()17779798283805y =++++=， ∴政治成绩的方差()()()()()222222177807980798082808380 4.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦.(2)∵83x =，80y =，5133230i i i x y ==∑，52134485i i x ==∑，5n =， ∴5115222211ˆ5355ni i i i i i niii i x y nxyx y xy bx nx x x ====--===--∑∑∑∑， ∴380ˆˆ8317.754ay bx =-=-⨯=， ∴变量,x y 的线性回归方程为317.754ˆyx =+. 点睛：本题主要考查了线性回归方程，属于基础题．对于⑴根据平均数的计算方法可求出历史成绩与政治成绩的平均数，接下来根据方差的计算公式即可求出政治成绩的方差；对于⑵联系⑴中的结论以及已知数据及公式，可求出b a ，的值，从而求出线性回归方程；20．（1）378,4⎛⎫⎪⎝⎭； （2）3m =.【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，求得圆心1(,3)2C -，半径2374r m =-，得到374m <，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.（2）直线l 与圆方程联立消去y ，求得122x x +=-，124275m x x -=，结合12120x x y y +=，即可求解. 【详解】（1）将圆的方程化为标准方程得：22137(+)+(3)24x y m -=-， ∴圆心1(,3)2C -，半径23704r m =->，即374m <， ∵圆心C 到直线l 的距离254d =，直线l 与圆C 没有公共点，∴37544m -<，即8m >，则m 的范围为37(8,)4.（2）由题意，假设存在实数m 使得OP OQ ⊥，将直线l 与圆方程联立2260230x y x y m x y ⎧++-+=⎨+-=⎩， 立消去y 得到：25104270x x m ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122x x +=-，124275m x x -=，12121212427153393()52244m x x x x x x y y -+---++=⋅==， ∵12120x x y y +=，∴427154275054m m -+-+=，解得3m =. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法，以及熟练应用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21．（1）y 2＝4x ；（2）存在，（﹣1，0）. 【分析】（1）先求出抛物线的准线方程，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程即可求得p ＝2，从而可得结果；（2）假设存在，设A ,B 坐标，直线与抛物线联立得关于y 的二次函数方程，两根之和，两根之积写出，利用斜率之和为0，即可求出t 的值.【详解】（1）由题意得：抛物线的准线方程：2p x =-， ∵点P （x 0，4）在抛物线C 上，2042px ∴=，08x p∴=， 0822p pPF x p ⎛⎫∴=--=+ ⎪⎝⎭，所以由题意：()85022p p p p +=>，解得：p ＝2， 所以抛物线C 的方程：y 2＝4x ；（2）由题意得0m ≠，假设存在D （t ，0）使得0AD BD k k +=， 设A （x ，y ），B （x '，y '），214x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得：2440y mx --=， '4,'4,1AD y y y y m yy k x t my t ∴+==-==-+-，''1BD y y k x t my t==-+-， 由0AD BD k k +=得'011y y my t my t+=+-+-()()2'1'0myy t y y ⇒+-⋅+=()()()2414010m t m m t ⇒-+-=⇒--=，0m ≠，1t ∴=-时，使得0AD BD k k +=，即D 点的坐标：（﹣1，0）． 【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22．（1）2212x y +=；（2）1【分析】（1）由题意可得b ＝1，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）求得A 的坐标，设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P 的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝22112k +，同理得μ2＝21212k 12k +，即可得λ2+μ2的值． 【详解】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e＝2c a =，且a 2﹣b 2＝c 2， 解得a，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=可得x 0λ（x 1﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝1101,1x y y λλλλ+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1﹣λ）＝﹣12（x 1﹣λ）， 解得x 1＝()()112211,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
【100所名校】四川省成都市外国语学校2019-2020学年高二12月月考数学(理)试题Word版含解析
四川省成都市外国语学校2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题一、选择题（共12小题；共60分）1.设，则“”是“”的A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.过点且平行于直线的直线方程为A. B. C. D.3.命题：“若，则”的逆否命题是A. 若，则B. 若，则C. 若且，则D. 若或，则4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为，，人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为A. B. C. D.5.若直线与直线互相垂直,则实数的值等于A. -1B. 0C. 1D. 26. 阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）.A. 123B. 38C. 11D. 37.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.8.若一个样本容量为的样本的平均数为，方差为．现样本中又加入一个新数据，此时样本容量为，平均数为，方差为，则A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知直线，若圆上恰好存在两个点，，他们到直线的距离为，则称该圆为“完美型”圆．则下列圆中是“完美型”圆的是A. B.C. D.10.已知与之间的一组数据：已求得关于与的线性回归方程为，则的值为A. B. C. D.11.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为A. B.C. D.12.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A. B. 1 C. D. 2二、填空题（共4小题；共20分）13.甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数．．．分别如下图所示。
从数据上看， ________________机床的性能较好（填“甲”或者“乙”）.14.已知函数，若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________________．15.直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是________________．16.已知椭圆：，点，分别是椭圆的左顶点和左焦点，点是：上的动点，若是常数，则椭圆的离心率为________________．三、解答题（共6小题；共70分,17题10分，18-22题每题12分）17.已知圆：，直线被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．（1）求直线的方程；（2）若直线：与圆相交于两个不同的点，求b的取值范围.18.已知命题方程有两个不相等的负实根，命题不等式的解集为，（1）若为真命题，求的取值范围．（2）若为真命题，为假命题，求的取值范围．19.第届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日 21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间（时间代号）变化的数据：作出散点图如下：①由图中可以看出，金牌数之和与时间代号之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程；②利用①中的回归方程，预测2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数．参考数据：，，．附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率的最小二乘估计为．20.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.21.已知椭圆 C：的焦距为2，且过点，右焦点为．设A，B 是C上的两个动点，线段 AB 的中点M 的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q 两点．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设M点纵坐标为m，求直线PQ的方程，并求的取值范围．22.如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．四川省成都市外国语学校2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题参考答案一、选择题（共12小题；共60分）1.设，则“”是“”的A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：根据由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选 B．考点：不等关系与不等式；充要条件．2.过点且平行于直线的直线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设要求的直线的方程为x﹣2y+m=0，再根据所求的直线过点P（﹣1，3），代入求得m的值，可得结论．【详解】解：设平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为x﹣2y+m=0，再根据所求的直线过点P（﹣1，3），可得﹣1﹣6+m=0，求得m=7，故要求的直线的方程为 x﹣2y+7=0.故选：C．【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，属于基础题．3.命题：“若，则”的逆否命题是A. 若，则B. 若，则C. 若且，则D. 若或，则【答案】D【解析】根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若，则.故答案为：D。
成都外国语学校高2020级12月月考数学试卷(理科)
成都外国语学校高2020级12月月考数学试卷(理科)注意：本试卷为实验班、平行班共用卷。
标有“平行班”的试题，平行班作；标有“实验班”的试题，实验班作；未作标记的平行班、实验班均作。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
请将所选答案代号填入题后的答题卡中。
1．已知圆22()(1)9x a y -+-=被直线20x y +-=截得的弦长为a 的值为（ ） A ．-1 B ．2 C ．-2或4 D ．1或3 2．（平行班）两条异面直线a 、b 所成的角为60°，P 为空间一点，直线l 过点P 且与a 、b 所成的角均为60°，则这样的直线l 的条数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（实验班）已知平面α、β，直线l 、m ，则α//β的一个充分条件是（ ） A ．,l m αα⊂⊂，且l ∥β、m ∥β B ．,l m αβ⊂⊂，且l ∥m C ．,l m αβ⊥⊥，且l ∥m D ．l //α，m //β，且l ∥m 3．如果以原点为圆心的圆经过双曲线22221x y a b-=的焦点，并且被该双曲线的右准线分为弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为（ ）ABCD4．已知点P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线2100x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．5B ．4 CD ．1155．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BDD 1B 1内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ）A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分6．下列命题中假命题是（ ）AB ．过点(1,1)且与直线20x y -垂直的直线方程是230x y +-= C ．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为1D ．221925x y +=的两条准线之间的距离为2547．如图，在空间四边形ABCD 中，E 在边AB 上，F 在边CD 上，且(0)AE CFEB FD λλ==>， 设()f λλλαβ=+，λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则（ ） A ．()f λ在(0,)+∞上单调递增 B ．()f λ在(0,)+∞上单调递减C ．()f λ在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减ADBCEFD ．()f λ在(0,)+∞上为常函数8．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）C B A9目标函数2z x ay =-取得最大值的最优解有无数个，则a 为（A ．-2 B ．2 C ．-6 D ．610．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k +=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+u u u ru u ur u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆； ③到定直线2a x c =-和定点(,0)F c -的距离之比为(0)ac a c>>的点的轨迹是双曲线的左半支； ④方程22720x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率。
四川省成都外国语学校2021-2022高二数学上学期12月月考试题 理(含解析)
四川省成都外国语学校2021-2022高二数学上学期12月月考试题 理（含解析）第I 卷（选择题)一、单选题1.若:||2,:p x q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. {|2}a a B. {|2}a a C. {|2}a a D. {|2}a a【答案】A 【解析】 【分析】先化简命题p ，再根据p 是q 的充分不必要条件得到a 的取值范围. 【详解】由题得:22p x -≤≤，:q x a因为p 是q 的充分不必要条件，所以p 对应的集合是q 对应的集合的真子集， 所以2a ≥. 故选A【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.10=的化简结果为（ ）A. 2212516x y += B. 2212516y x +=C. 221259x y +=D.221259y x += 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点(),x y 到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的,,a b c 得到结果. 【详解】曲线方程()()2222+4+410x y x y ++-=，所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以223b a c =-=所以曲线方程的化简结果为221259y x +=.故选D 项.【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题. 3.如图是某工厂对一批新产品长度(单位: mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为( )A. 22.5 20B. 22.5 22.75C. 22.75 22.5D. 22.7525 【答案】C 【解析】 由题意，这批产品的平均数为()50.0212.50.0417.50.0822.50.0327.50.0332.522.75x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，其中位数为()00.50.020.0452022.50.08x -+⨯=+=.故选C.4.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩用茎叶图表示如右图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙,则下列叙述正确的是（ ）A. x x >甲乙；乙比甲成绩稳定B. x x <甲乙; 乙比甲成绩稳定C. x x >甲乙；甲比乙成绩稳定D. x x <甲乙; 甲比乙成绩稳定【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，由于甲乙在考试中的数学成绩分布情况分别是72,77,78,86,92;78,88,88,91,90,因此可知其均值分别是81,87．因此可知x x <甲乙，同时看茎叶图可知，乙的数据比较集中在均值附近故可知乙比甲稳定故选B. 考点：茎叶图点评：主要是考查了茎叶图的简单运用，求解均值和方差的运用，属于基础题．5.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A. 280 B. 320C. 400D. 1000【答案】C 【解析】 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2=【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题．6.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8πC.12D.4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.7.从1至9这9个自然数中任取两个：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至多有一个奇数和两个数都是奇数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A. ①B. ②④C. ③D. ①③【答案】C【分析】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的时间，然后挨个分析四组事件即可 【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数，这两个事件是同一事件；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数中，至少有一个是奇数包括了两个都是奇数和一个是奇数，包含了两个数都是奇数，故不是对立事件③至多有一个奇数和两个数都是奇数中，至多有一个奇数包括有一个是奇数和没有一个是奇数，和两个数都是奇数为对立事件；④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，故不是对立事件 故选C【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件，解题的关键是分清互斥事件和对立事件之间的关系，属于基础题．8.已知命题:p “0x R ∃∈，使得20220x ax a +++≤”，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. []1,2- B. ()1,2- C. ()2,1- D. (]0,2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得命题p 是假命题，则将问题转化为命题“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数a 的取值范围.【详解】若命题p 是假命题，,则“不存在0x R ∈，使得20220x ax a +++≤”成立, 即“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立,所以()()()()()22242424120a a a a a a ∆=-+=--=+-<，解得1a 2-<<，所以实数a 的取值范围是()1,2-， 故选B .【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.9.设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ） A. 18，24 B. 16，22C. 24，28D. 20，26【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值． 【详解】椭圆的两个焦点坐标为()()1212,0,12,0F F -，且恰好为两个圆的圆心坐标为 所以1226PF PF +=，两个圆的半径相等且等于1 所以()12min224PM PNPF PF r +=+-=()12max228PM PN PF PF r +=++=所以选C【点睛】本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题．10.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF的面积为C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P作准线1x=-的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,设(,)P x y,则(1)4x--=,解得3x=,将3x=代入24y x=可得23y=±,所以△POF的面积为1||2y OF⋅=123132⨯⨯=.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P点的坐标;②利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.11.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，12,F F分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB∆的面积为232-P为椭圆上的任意一点，则1211PF PF+的取值范围为（）A. [1,2]B. 2,3]C. 2,4]D. [1,4]【答案】D【解析】分析：由得椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为2，()11232F ABS a c b∆-=-=2,a c ==1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()11222F AB S a c b ∆-=-=，解得22,a c a c -=∴==，1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即22x ⎡∈-+⎣， ()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点F 和另一个点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ）B.32+D.12【答案】C 【解析】 【分析】设()(),,0P x y x >，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、联立方程组22224,,,y cx x y c y b x c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩①②③，建立,a c 的关系即可得到结论.【详解】如图，设抛物线24y cx =的准线为l ，作PQ l ⊥于Q ，双曲线的右焦点为'F ，由题意可知FF'为圆222x y c +=的直径，∴设()(),,0P x y x >，则'PF PF ⊥，且tan 'b PFF a∠=， ∴满足22224,,,y cx x y c y b x c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩①②③，将①代入②得2240x cx c +-=，则45252c cx c c -±==-，即()52x c =或()52x c =-（舍去）， 将()52x c =()5251ba c c cc==-+-，即)51bcy a=，再将,x y 代入①得，))2222251452b c c a=，即))222142ba=，)()22222224211b c a e a a -∴===-， 解得2e =C. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分共20分13.命题“若1a >且1b >，则2a b +>”的否命题是______.（选填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据四种命题的定义，得到命题的逆命题，举例即可判定其逆命题真假，再根据四种的等价关系，即可求解否命题的真假，得到答案.【详解】由题意，命题“若1a >且1b >，则2a b +>”的逆命题是“若2a b +>，则1a >且1b >”，例如：1,3a b ==时，此时2a b +>成立，但1a >且1b >不成立，则逆命题命题为假命题， 根据四种命题的等价关系，原命题的逆命题与否命题是等价的，所以其否命题也是假命题. 故答案假.【点睛】本题主要考查了四种命题的改写，以及四种命题的等价关系的应用，其中解答中熟记四种命题的改写，求得命题的逆命题并判定其真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆22221x ya b+=的离心率e >__________． 【答案】13【解析】 【分析】由椭圆22221x y a b +=的离心率2e >，可得224a b >或224b a >，掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有36种情况，将满足不等式的情况一一列举出来，利用古典概型求解即可.【详解】由椭圆22221x y a b +=的离心率e >当a b >时，ce a==>,即得224a b >; 当a b <时，c e b ==>即得224b a >. 同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6636⨯=种情况，满足上述关系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),（6,1），(1,6),（6,2）,(2,6)共12种情况， 所以概率为：121363=. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算，但要注意椭圆的焦点在哪个轴上，需讨论a 和b 的大小，属于易错题.15.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(3)1M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则a 的取值范围是__________． 【答案】[0,3] 【解析】 【分析】由题意求出OP 的距离，得到P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．【详解】由题意易得1302APO APB ︒∠=∠=，||1||2sin sin 30OA OP APO ︒===∠， ∴点P 在以O 的圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，21||21OM -+∴，即21||9OM .2222||(3)269OM a a a a =+-=-+，212699a a -+∴，即222680260a a a a ⎧-+⎨-⎩，解得03a ，a ∴的取值范围是[0,3] 故答案为[0，3]．【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题16.已知椭圆C :22194x y +=，若动点()00P x y ，为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程_____________. 【答案】2213x y += 【解析】 【分析】当切线斜率存在且不为0时,设直线方程00()y y k x x -=-【详解】设从点P 所引的直线的方程为00()y y k x x -=-,即()00y kx y kx =+-, 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时,分别设为1k 、2k ,则121k k =-,将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程()2200194x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩， 化简得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++-+--= ,()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 化简得()2200940y kx k ---=,即()22200009240x k kx y y --+-=,则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()22200009240x k kx y y --+-=的两根,则201220419y k k x -==--,化简得220013x y +=； 当两条切线分别平行与,x y 轴时, ()00,P x y 分别为()3,2P ±±四点,满足220013x y +=.故答案为：2213x y +=【点睛】本题主要考查了利用直线与椭圆相切,联立直线与椭圆利用判别式为0再进行化简求解方法,属于难题. 三、解答题17.已知命题P ： 22114x y m m +=--表示双曲线，命题q ：22124x y m m +=-- 表示椭圆． （1）若命题P 与命题q 都为真命题，则P 是q 的什么条件？（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）（2）若P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）P 是q 的必要不充分条件（2）12m <≤ 或3m =． 【解析】试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题p 为真命题则14m << ,若q 都为真命题则23m << 或34m <<，由{}|14{2334}m m m m <<⊇<<<<或，可得P 是q 的必要不充分条件；（2）由P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围..试题解析：（1）∵命题P ：22114x y m m +=-- 表示双曲线是真命题，∴()()140m m --< ， 解得14m << ,又∵命题q ：22124x ym m+=-- 表示椭圆是真命题，∴204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得23m << 或34m <<∵{}|14{2334}m m m m <<⊇<<<<或 ∴P 是q 的必要不充分条件,（2）∵P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题 ∴P 、q“一真一假”，当P 真q 假时，由（1）可知，P 为真，有14m << ，①q 为假， 2m ≤ 或3m = 或4m ≥ ②由①②解得12m <≤ 或3m = 当P 假真时，由（1）可知，P 为假，有1m ≤ 或4m ≥ ，③q 为真，有23m << 或34m << ④由③④解得，无解综上，可得实数m 的取值范围为12m <≤ 或3m =.【方法点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.18.央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率. 【答案】(1)710(2)25【解析】 试题分析： 试题解析：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是51306= ∴选中的“朗读爱好者”有11226⨯=人，记为,B C ，“非朗读爱好者”有11836⨯=人，记为1,2,3；记A ：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3共10个；满足事件A 的有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C 共7个，∴则()710P A =（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40,41，现要各抽一名，则有()41,40，()41,41，()42,40，()42,41，()44,40，()44,41，()47,40，()47,41，()51,40，()51,41共10种情况.收视时间相差5分钟以上的有()47,40，()47,41，()51,40，()51,41，共4种情况. 故收视时间相差5分钟以上的概率42105P ==.19.下表是高二某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩：求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量,x y 的线性回归方程y bx a =+.(附：1221ˆni ii nii x ybxnx ===-∑∑，a y bx =-，133230ni ii x y==∑，2134485ni i x ==∑)【答案】(1)见解析.(2)317.754ˆyx =+. 【解析】试题分析：⑴利用所给数据，即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差； ⑵利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果； 解析：(1)()17981838587835x =++++=， ()17779798283805y =++++=， ∴政治成绩的方差()()()()()222222177807980798082808380 4.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦.(2)∵83x =，80y =，5133230i ii x y==∑，52134485i i x ==∑，5n =，∴5115222211ˆ5355ni i i i i i ni i i i x y nxy x y xy bx nx x x ====--===--∑∑∑∑， ∴380ˆˆ8317.754ay bx =-=-⨯=， ∴变量,x y 的线性回归方程为317.754ˆyx =+. 点睛：本题主要考查了线性回归方程，属于基础题．对于⑴根据平均数的计算方法可求出历史成绩与政治成绩的平均数，接下来根据方差的计算公式即可求出政治成绩的方差；对于⑵联系⑴中的结论以及已知数据及公式，可求出b a ，的值，从而求出线性回归方程； 20.已知圆22:60C x y x y m ++-+=与直线:230l x y +-=. （1）若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；（2）若直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，O 为原点，是否存在实数m ，满足OP OQ ⊥，若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）378,4⎛⎫⎪⎝⎭； （2）3m =. 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，求得圆心1(,3)2C -，半径2374r m =-，得到374m <，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.（2）直线l 与圆方程联立消去y ，求得122x x +=-，124275m x x -=，结合12120x x y y +=，即可求解.【详解】（1）将圆的方程化为标准方程得：22137(+)+(3)24x y m -=-， ∴圆心1(,3)2C -，半径23704r m =->，即374m <， ∵圆心C 到直线l 的距离254d =，直线l 与圆C 没有公共点，∴37544m -<，即8m >，则m 的范围为37(8,)4. （2）由题意，假设存在实数m 使得OP OQ ⊥，将直线l 与圆方程联立2260230x y x y m x y ⎧++-+=⎨+-=⎩，立消去y 得到：25104270x x m ++-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122x x +=-，124275m x x -=，12121212427153393()52244m x x x x x x y y -+---++=⋅==，∵12120x x y y +=，∴427154275054m m -+-+=，解得3m =. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法，以及熟练应用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知点F 是抛物线2C :2(0)y px p =>的焦点，若点()0,4P x 在抛物线C 上，且5.2PF p =()1求抛物线C 的方程；()2动直线()l:1x my m R =+∈与抛物线C 相交于,A B 两点，问：在x 轴上是否存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得x 轴平分ADB ∠？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在，()1,0D -.【解析】 【分析】(1)利用抛物线的定义0522p pPF x =+=进行求解即可. (2)由题意可得若x 轴上存在定点(),0(D t 其中0)t ≠,使得x 轴平分ADB ∠,则ODA ODB ∠=∠,再联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,再列出斜率代入韦达定理进行化简证明即可.【详解】()1抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为2p x =-,即有0522p p PF x =+=,即02x p =,则2164p =,解得2p =,则24y x =； ()2在x 轴上假设存在定点(),0(D t 其中0)t ≠,因为x 轴平分ADB ∠,设()11,A x y ,()22,B x y ,联立1x my =+和24y x =,得2440y my --=,()21610m =+>恒成立． 124y y m +=,12 4.y y =-①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ,2k ,则由ODA ODB ∠=∠得,()()()()122112121212y x t y x ty yk kx t x t x t x t-+-+=+=----()()()()()()()()1221121212121121y my t y my t my y t y yx t x t x t x t+-++-+-+==----,()()1212210my y t y y∴+-+=,②联立①②,得()410m t-+=,故存在1t=-满足题意,综上,在x轴上存在一点()1,0D-,使得x轴平分ADB∠【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及圆锥曲线中的角度问题,重点是讲题中所给的信息转换为斜率的关系进行列式化简求解.属于中等题型.22.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）离心率为22，其短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝12-，,AD DP AEλ==EQμ（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212xy+=；（2）1【解析】【分析】（1）由题意可得b＝1，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得A的坐标，设P（x1，y1），D（x0，y0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝22112k+，同理得μ2＝21212k12k+，即可得λ2+μ2的值．【详解】（1）因为短轴长2b＝2，所以b＝1，又离心率e＝22ca=，且a2﹣b2＝c2，解得a，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1；（2）由（1）可得点 A，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=可得x 0＝λ（x 1﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0）， 即有x 0＝11011x y y λλλλ+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1）＝﹣12（x 1）， 解得x 1＝()()112211,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
四川省成都外国语学校2020-2021学年高二12月月考数学(理)试题
成都外国语学校2020——2021学年度上期第三次月考考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．） 1．命题“0x ∀>，11ln x x-≤”的否定是（ ） A ．0x ∀>，11ln x x-> B ．00x ∃>，0011ln x x -> C ．00x ∃>，0011ln x x -≤ D ．00x ∃≤，()0011ln x x -≤- 2．已知点(4,1,3)A ，(2,5,1)B -，若13AC AB =，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭C ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（ ）A．2B ．2 CD4.直线l ：x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则∠AOB 等于（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则 //m n B ．若 //αβ，m α⊂，n β⊂，则 //m n C ．若 m α⊥，m n ⊥，则 //n α D ．若 m α⊥，//m n ，βn//，则 αβ⊥6．过点(1,0) 与双曲线 x 24−y 2=1 仅有一个公共点的直线有 ( )A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．14-C ．3D ．38．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则面PAC 与平面ABC 所成角正切值的大小为（ ） A ．√33B ．√32C ．√3D ． 2√39．已知双曲线2213y x -=的离心率为2m ，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点()02,P y （00y >）在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为（ ） A ．52 B ．2 C ．32D ．1 10、已知⊙O ：225x y +=与⊙O 1：222()(0)x a y r a -+=>相交于A 、B 两点，若两圆在A 点处的切线互相垂直，且｜AB ｜=4，则⊙O 1的方程为（ ） A 、22(4)x y -+＝20 B 、22(4)x y -+＝50C 、22(5)x y -+＝20D 、22(5)x y -+＝5011、已知圆锥的顶点为S O ,为底面中心，A B C ,,为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA AB =，M 为SA 的中点设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）A. 31-B.43 C.55 D.1412．过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C ，D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）13．已知条件1:2p a >且12b >， :1q a b +>，则p 是q 的___________条件.（填：充分不必要、 必要不充分、 充要、既不充分又不必要）14．设1F ，2F 是椭圆C ：221123x y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且3OP =，则12PF F △的面积为__________________15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中，其中正确的命题____________（填序号）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11//B D 平面EFG ；③四面体11ACB D 的体积等于4316、已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （一2，2)为椭圆C 内一点。
四川省成都外国语学校2020届高三数学12月月考试题文
四川省成都外国语学校2020届高三数学12月月考试题文考试时间：120分钟满分150分一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，集合，则A. B.C. D.2. 在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则A. B. C. D.3. 等比数列的前项和为，若，，则A. B. C. D.4. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能天发芽，也可能天发芽，，如表是不同发芽天数的种子数的记录：2 0统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是A. B.C. D.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如右图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的，，则输出的A. B.C. D.6. 已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A. B.C. D.7. 将函数 的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为A. B. C.D.8. 某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为A.B.C. D.9. 已知实数 ，满足不等式，则点与点 在直线的两侧的概率为A.B.C. D.10. 正项数列的前 项和为 ，且 ，设，则数列的前项的和为A.B.C.D.11. 设函数满足 e ()2()xxf x f x x'+=，，则时A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值12. 已知定义在 上的函数对任意的都满足，当时，，若函数 （，且）至少有 个零点，则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知，则．14. 向量，满足，，且，则，的夹角的取值范围是．15. 设实数，满足则的最大值为．16. 在平面直角坐标系xOy中，过点(0,1)的直线l与双曲线3x2- y2=1交于两点A，B. 若△OAB是直角三角形，则直线l的斜率为．三、解答题（共6小题；共70分）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求证：是等腰三角形；（2）若，且的周长为，求的面积．18. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有个人参加，现将所有参加者按年龄情况分为，，，，，，等七组，其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是人．（1）根据此频率分布直方图求；（2）已知和这两组各有名数学教师，现从这两个组中各选取人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有名数学老师的概率．19. 在如图所示的几何体中，是边长为的正三角形，，，，，且．（1）若，求证：；（2）若B到DE的距离是，求该几何体的体积．20.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，离心率为，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）若，为轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．若O 是坐标原点，求证：三点共线。
高二数学12月月考试题 理 试题_1(共10页)
2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔x i，y i〕〔i＝1，2，…，10〕得到的点图，由这些点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图〔〕A．①②B．①④C．②③D．③④2．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4＜0〞的否认为〔〕A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x0∈R，x02﹣2x0+4≥0C．∀x∉R，x02﹣2x0+4≥0D．∃x0∉R，x02﹣2x0+4≥03．顶点在原点，焦点是〔0，3〕的抛物线的方程是〔〕A．y2＝12x B．x2＝12y C．D．4．为了理解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为100的样本，那么每名学生成绩人样的时机是〔〕A．B．C．D．5．阅读程序框图，假如输出的函数值在区间内，那么输入的实数x的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2] D．[2，+∞〕6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么(nà me)恰好选中2名女生的概率为〔〕A．B．C．D．7．假设直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+〔a﹣1〕y+5＝0垂直，那么实数a的值是〔〕A．B．1 C．D．28．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为根据可以估计椭圆的面积为〔〕9．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的间隔为〔〕A．B．C．D．10．圆与圆的位置关系是〔〕A．外离B．相交C．外切D．内切11．三棱锥A﹣BCD中，，假设该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，那么此球的体积为〔〕A．B．24πC．D．6π12．直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，假设，那么该椭圆的离心率是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．圆与圆．求两圆公一共弦所在直线的方程．14．如图，矩形O'A'B'C'是程度放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中(qízhōng)O'A'＝6，C'D'＝2，那么原图形面积是．15．如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，那么以下结论中正确的选项是．①EF∥平面ABCD；②△AEF的面积与与△BEF的面积相等③平面ACF⊥平面BEF；④三棱锥E﹣ABF的体积为定值；16．如图，己知椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点〔不在坐标轴上〕，Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，假设|QF2|＝2|OQ|，那么椭圆离心率的范围是．三．解答题〔一共6小题，一共70分〕17．(本小题满分是10分〕命题P：关于x的方程x2+〔m﹣3〕x+m＝0的一个根大于1，另一个根小于1．命题q：∃x∈〔﹣1，1〕，使x2﹣x﹣m＝0成立，命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆〔1〕假设命题s为真，务实数m的取值范围；〔2〕假设p∨q为真，￢q为真，务实数m的取值范围．18．〔本小题满分是12分〕某需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩〔分〕80 85 71 92 87乙的成绩〔分〕90 76 75 92 82〔1〕假设从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为(rènwéi)选谁适宜？请说明理由．〔2〕假设数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，假设答对，那么可参加复赛，否那么被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，假设至少答对其中2道，那么可参加复赛，否那么被润汰．学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．19．〔本小题满分是12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，∠ABC＝60°，E是BC中点，假设H为PD上的点，AH＝．〔1〕求证：EH∥平面PAB；〔2〕求三棱锥P﹣ABH的体积．20．〔本小题满分是12分〕1．点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕．〔1〕求以AB为直径的圆C的方程；〔2〕假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，求m值．21．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F一共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．〔1〕假设平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；〔2〕问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，假设存在，求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比．22．〔本小题满分是12分〕椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕假设在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．数学〔理〕试卷答案1-6：B B B A B C 7-12：A C D B C A11、解：三棱锥A﹣BCD中，，∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成(gòuchéng)〔如图〕设长方体的棱长分别为a，b，c，那么a2+b2＝5，b2+c2＝4，a2+c2＝3，那么该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R＝＝．V=＝．选：C．12、解：由，取y＝0，得x＝﹣，取x＝0，得y＝1，∴F〔，0〕，C〔0，1〕，设A〔x0，y0〕，那么，，由，得，∴，即，即A 〔〕．把A的坐标代入椭圆，可得，即．又b2＝a2﹣3，解得，又c2＝3，∴，∴e＝．应选：A．13、x﹣y﹣1＝0 14、24．15、解：①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1∥BD，且BD⊂平面ABCD，B1D1∉平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故①正确；②点A到EF的间隔大于BB1，∴△AEF的面积与与△BEF的面积不相等，故②错；③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D，又面BB1D1D与面BEF是同一面，AC⊂面ACF，∴平面ACF⊥平面BEF，故③正确；④△BEF 中，EF＝，EF边上的高BB1＝1，∴△BEF的面积为定值，∵AC⊥面BDD1B1，∴AO⊥面BDD1B1，∴AO为三棱锥A﹣BEF底面BEF上的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④．16、解：∵|QF2|＝2|OQ|，∴|QF2|＝，|QF1|＝，∵PQ是∠F1PF2的角平分线，∴，那么(nà me)|PF1|＝2|PF2|，由|PF1|+|PF2|＝3|PF2|＝2a，得|PF2|＝，由a﹣c，可得e＝＞，由0＜e＜1，∴椭圆离心率的范围是〔，1〕．17、解：〔1〕命题s为真时，即命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真；∴4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2；故命题s为真时，实数m的取值范围为：〔0，2〕；（2）当命题p为真时，f〔x〕＝x2+〔m﹣3〕x+m满足f〔1〕＜0，即2m﹣2＜0，所以m＜1．命题q为真时，方程m＝x2﹣x在〔﹣1，1〕有解，当x∈〔﹣1，1〕时，x2﹣x∈[，2〕，那么m∈[，2〕，由于p∨q为真，￢q为真；所以q为假，p为真；那么，得；∴m＜；故p∨q为真，￢q为真时，实数m的取值范围为〔﹣∞，〕．18、解：〔1〕解法一：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲的成绩方差，乙的成绩方差为，由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比拟适宜，乙适宜．解法二：派甲参赛比拟适宜，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上〔含85分〕的概率，乙获得8〔5分〕以上〔含85分〕的概率．因P1＞P2派甲参赛比拟适宜，〔2〕5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F．方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F一共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，一共3种．所以学生乙可参加复赛的概率．方案二：学生甲从5道备选题中任意(rènyì)抽出3道的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔a，E，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕，〔b，E，F〕，〔c，E，F〕，一共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕一共7种，所以学生乙可参加复赛的概率因为P1＜P2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．19、解：〔1〕证明：∵PA＝AD＝2，AH＝，∴H为PD的中点，取PA的中点M，连结HM，MB，那么HM AD，BD，∴HM BD，∴四边形DHMB是平行四边形，∴EH∥BM，又EH⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，∴EH∥平面PAB．（3）解：由〔1〕可知，EH∥平面PAB，（4）∴三棱锥P﹣ABH的体积：V P﹣ABH＝V H﹣PAB＝V E﹣PAB＝V P﹣ABE＝＝＝．∴三棱锥P﹣ABH的体积为．20、解：〔1〕根据题意，点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕，那么线段AB的中点为〔0，2〕，即C的坐标为〔0，2〕；圆C是以线段AB为直径的圆，那么其半径r＝|AB|＝＝，圆C的方程为x2+〔y﹣2〕2＝2，〔2〕根据题意，假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，那么(nà me)点C到直线x﹣my+1＝0的间隔d＝＝，又由d＝，那么有＝，变形可得：7m2﹣8m+1＝0，解可得m＝1或者．21、解：〔1〕证明：∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，∴BC⊥平面AEBF，又∵AF⊂平面AEBF，∴BC⊥AF．∵∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC、BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，∴AF⊥平面BCF．又∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面BCF．〔2〕解：∵BC∥AD，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠FAB＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF．延长EB到点H，使得BH＝AF，又BC AD，连CH、HF，由题意能证明ABHF是平行四边形，∴HF AB CD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF．过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，〔DF⊂平面CDF〕∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点．又BE＝＝2AF＝2BH，∴EG＝，又S△ABE＝2S△AEF，V G﹣ABE＝＝＝＝＝，故＝．22、解：〔1〕由题意可得：a﹣b＝，＝，a2＝b2+c2．联立解得：a＝2，c＝1，b ＝∴椭圆C的HY方程为：+＝1．〔2〕设M〔t，0〕，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕．①当直线(zhíxiàn)l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．联立，化为：〔3m2+4〕y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＝48〔3m2﹣t2+4〕＞0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．|PM|2＝+＝〔1+m2〕，同理可得：|PQ|2＝〔1+m2〕．∴＝＝＝•＝．∵为定值，∴必然有3t2+12＝16﹣4t2，解得t＝．此时＝为定值，M〔，0〕．②当直线l的斜率为0时，设P〔2，0〕，Q〔﹣2，0〕．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．此时＝+＝，把t2＝代入可得：＝为定值．综上①②可得：＝为定值，M〔，0〕．内容总结（1）2021-2021学年高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔xi，yi〕〔i＝1，2，。