指数模型

f (x, y)
1
e2(112)x1212
2x1y2
12
x2
22
2

212 12
其中，1,2,1 0,2 0, 1是5个参数，则(X称,Y)
服从二维正态分布记。为并
(X,Y) ~ N(1,2,1,2,)
i 2 V ( E ( e i a ) m r e i ) V ( m e a i ) m 2 r 2 ( e i )
单因素模型的提出
• 共同因素m将证券关联起来，因为所有的证券均 会对同一宏观经济消息做出反应，而各公司特有 事件ei之间却没有联系
• 由于m与任意公司特有事件之间没有联系，任意 证券i和j之间的协方差为：
联合正态分布
• 二维随机变量(X,Y)是定义在同一样本空间上的一 对随机变量
• 通常讨论二维随机变量，而不是单独讨论以为随 机变量X，Y，其目标在于探讨X和Y二者之间的关 系
• 例如，考察学龄前儿童身体发育情况，需观测身 高X和体重Y。但通常不单独采集身高和体重数据 ，而是成对采集每个儿童身体和体重，把X和Y作 为一个二元整体（X，Y）加以研究。
• 这个模型很简单，但是并未确定宏观经济因素到 底包括哪些因素，尤其是各个宏观因素的权重无 法确定，因此，单因素模型的有关系数估计不出 来，缺乏实际应用价值。
练习
1. 若单因素模型成立，任意两个证券之间的协 方差将取决于其贝塔系数，即cov(ri,rj)=()
A .m 2B .i jm 2C .i 2m 2 e 2 i D .m 2 e i
残差风险趋于零，风 组险 合趋于
P
p2m2 1/2 pm m N
Xi
i

i1

指数模型与分散化
可分散的风险
2ep2e/n

p2
2 M
系统风险
贝塔估计
• 单指数模型中需要估计潜在的包含在组合 中的每只股票的贝塔
为方便起见，令 ei和 R m 不相关。即
cov( ei R m ) E ei 0 R m R m i 0

i
,

i
,

2 ei
是通过时间序列回归分
析而得。
单指数模型只是在假设 前提下成立。其关键假 设是，对所有 i和 j
而言， ei和 e j相互独立，有 E eie j 0。这意味着除市场之外 不存在
差的估计值
2 M

• 不足：
• 1、风险简单分为微观和宏观过于简单，忽 略了比如行业的影响
• 2、假设非系统风险之间是相互独立的，而 有些股票残差项有些是相关的
指数模型与分散化
假设n种 对证券赋予相， 等那 的么 权每 重种证收 券益 的率 超
Ri i iRMei
投资组合超额用 收下 益式 率求 可得
F(x, y) P((X ,Y) Dxy)
只要知道了(X ,Y)的联合分布函数，
那么(X ,Y)取值于任一区域
(x,y)
(x, y) x1 x x2, y1 y y2 内的概率
即可求得。联合分布函数完全刻画出
了二维随机变量的概率分布规律。
二维正态分布
若二维随机变(X量,Y)的联合概率密度
N i1
X
百度文库
i
i


N
X
j1
j
j

2 m


N i1
X
2 i

2 ei


2 P


2 P

2 m

2
eP
E (Rm )
假设投资者等额投N资只于股票，投资组合险 的可 风以写为
p2
p2m2
1 N
N i1
1 N
2 ei

最后一项表1示 / N乘以投资组合的平差 均， 残随着 N的增加
RP PPRMeP
随着投资组合包含股票数量的增加，由非市场因 素引起的投资组合风险变得越来越小，市场风险 却不论投资组合所包含公司数量大小依然保持不 变。
指数模型与分散化
假设每种证券的权重w为i
1，超额收益率为： n
Rp

n i1
wi Ri

1 n
n i1
Ri

1 n
定义：（
1） E ei 2


2 ei
;
(
2
)
E
Rm Rm
2


2 m
用单指数模型描述证券在协同运动 下的期望收益、标准差和协方差
(1)期望收E益 Ri： i iERm
(2)证券收益方 i2 差 i2m ： 2 e2i （3）证i和 券 j之间的协方 ij 差 ij： m 2
8.2.4 单因素模型的估计值
1.当市场为中收 性r益 ， Mr即 f为超 零额 时的股票期望 i 收益
2.由于整体市的 场收 波益 动 ;i部 是 带分 证 来券对市感 场度 变化 i rM 的 rf 敏
3.由于意外事与 件单 导个 致公 的司 仅望 有收 关益 的部 未分 期ei
2 2
i
i
m 22ei
• 任意两种证券间的协方差也取决于其 系数，
cr o i,r j)v c(o im v e i,j ( m e j)i j
2 m
单因素模型的提出
riE riim e i
• 就是股票收益的单因素模型（single-factor model）。
用M表示市场指数，其收 超益 额率为 RM rM rf ,标准差为 M
对于线性指数模型以 ，用 可单变量线性回估 归计 来一个证券对 市场指数的敏感性， 系即 数用Ri ri rf 对RM回归，数据采用历史
样本Ri t和RM t配对，t表示观察样本的日回 期归 。方程是 Riti iRMteit i eit代表证券 i的一个组成部分，立 是于 独市场表现的随量 机变 i代表收益中对市场不 收敏 益感部分的期望e值i t， 代表i的随机项 ei t的期望值为零
设X （ ， Y）是一个二， 维称 随定 机义 变在 量 上 整的 个二 实元 平 F(x,y)P(Xx,Yy) 为X （ Y ,）的联合分布函数
F(x, y)在(x, y)处的函数值的几何意义是二维随即点(X ,Y)
落在点(x, y)为右上顶点，而位于该点左下的无穷矩形区域
Dxy内的概率，故
第8章 指数模型
上海金融学院
• 金融机构对资产组合理论的应用始于研究 突破了：简化投资组合分析所需数据的类 型和数量；简化计算最优组合时的计算程 序
• 首先讨论简化投资组合问题的输入数据的 问题
• 分析历史最长、应用最广泛的投资组合结 构简化方法：单指数模型
• 首先回顾到投资组合问题，为了确定有效 边界，必须确定投资组合收益的期望收益 值和标准差
如果投资组合
P 是市场组合（所有股票
的持有比例等同于
构建 R m 的比例），则投资组合 那么， p 0 ， p 1
P 的期望收益必须等于
投资组合方差可写为：
NN
N

2 P

X
iX
j i
j
2 m

X
2 i

2 ei
i1 j1
i1
整理得：

2 P


4.共同宏观因导 素致 不的 确误 定差 性
2 2 iM
5.公司特定因导 素致 不的 确误 定差 性
2ei
需要估计的变量：
n个超额收益估计值i

n个敏感系数估计值i

n个公司特有方差的估计值 2 ei 3n 2
1个市场溢价估计值ERM

1个宏观经济因素方
带入指数模型中i2,ij表达式有：
N
N
NN
p
Xi2i2m2
X2 2 i ei

Xi X jiim2
i1
i
i1 j1
i j
定义组合的阿尔法值和
贝塔值
N
p X i i i1
N
p X i i i1
则：
E R p p p E R m
8.2 单指数模型
观察股票市场，当股市上涨时，大多数股 票价格上涨；股市下跌时，大多数股票价 格下跌。这意味着，证券收益彼此相关的 可能性是对市场变动的共同反映。用标普 500这类股票指数的收益率视为共同宏观 经济因素的有效代理指标，推导出和单因 素模型类似的等式，称为单指数模型。
8.2.1 单指数模型的回归方程
N
E (RP ) X i E (Ri i 1
N
NN
P [
X
i2
2 i

X j X k j k jk ]1/ 2
i 1
j 1 k j
k 1
• 期望收益计算中，我们需要估计每一种可
能涵盖进投资组合的备选证券的期望收益
；方差计算中我们需要估计每种证券的方
差和相关系数
单因素模型的提出
• 公司内部特有因素对每个公司的影响是不 确定的，总体上说，这类因素对公司股价 的影响的期望值为零，即随着投资的分散 化，这类因素的影响是逐渐减少的。
• 夏普提出实际影响因素只有一个，即宏观 经济因素。
单因素模型
单因素模型是因素模型的一种具体形 式。具体来说，单因素模型认为，任 何资产的实际收益是由唯一的一个因 素所决定的，并且该资产的实际收益 率与该因素成线性关系。
确定性因素分解为整个经济系统的不确定
性(m)和特定公司的不确定性(ei)可得到：
•
r i E ( r i) m e i ,其 E ( m ) 0 中 ,D ( m ) m
• m衡量未预期的宏观突发事件，ei仅衡量特 定公司的突发事件,且二者相互独立。m与
ei的协方差和相关系数均为0。
单因素模型的提出
• 任何证券的收益率i通常都可以被分解为各种预期 与非预期收益率之和，即
ri E(ri)ei
其中 E(e， i)0， D(ei)i
• 如果相关证券的收益率能够很好的为正态分布所 刻画，那么这些证券是服从联合正态分布的。
• 假设引起证券市场收益变化的因素是一些
影响所有公司的宏观经济变量m，则将不
• 不能交叉的组织结构不利于相关系数的估 计
• 促进了预测证券间相关结构模型的发展， 其代表是单指数模型：股票间的协同运动 源于单一的共同因素或指数。
因素模型
• 因素模型（factor model)是一 种假设证券的回报率只与不同的 因素波动（相对数）或者指标的 运动有关的证券定价模型。依据 因素的数量，可以分为单因素模 型和多因素模型
co r i,rjv ) c ( o m v e i,m ( e j)m 2
• 某些证券对宏观经济的冲击更敏感，给每个公司
引入敏感性系数，衡量这些细微的变化，用 i 来
表示公司i的敏感性系数，那么上式变为：
ri E(ri)imei
单因素模型的提出
• 证券i的系统风险为 i ，总风险为：
其他原因导致股票协同 运动。
概括单指数模型：
基本方程： Ri i i R m ei
通过构建：均值 ei E ei 0
通过假定：
（1）指数与特有收益不相 关： E ei R m R m 0 (2 )证券仅通过对市场的共 同反应而相互关联： E eie j 0
马科维茨模型缺陷
• 协方差矩阵需要大量的估计值
假设需分析50个股票，则需估计：
n=50个期望收益的估计
n=50个方差估计 (n2-n)/2=1225个协方差估计
1325个估计值
若n=100,需估计5150，若n=3000,需估 计450万个值
• 未对预测证券的风险溢价有任何指导作用
• 金融机构按行业划分分析师，一个分析师 只跟踪某类行业股票
n i1
(i
iRM
ei )

1 n
n
i
i1
(1 n
n i1
i )RM

1 n
n i1
ei
非市场成分 对市场的敏
敏感度
感度
零均值变量
• 从前面的推导中得知股票投资组合的方差 为：
N
NN
p Xi2i2
Xi X jij
i
i1 j1
i j
单因素模型（指数模型）
• 威廉·夏普（William Shape ）在1963年 发表《对于“资产组合”分析的简化模型》一 文中提出。
• 夏普提出单因素模型的基本思想是：当市 场股价指数上升时，市场中大量的股票价 格走高；相反，当市场指数下滑时，大量 股票价格趋于下跌。
• 用一种证券的收益率和股价指数的收益率 的相关关系推导模型。