线性代数模拟试题(4套)
线性代数模拟试题
线性代数模拟试题1. 矩阵A的转置已知矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求其转置矩阵 AT。
解答：设矩阵 B 为 A 的转置矩阵，即 B = AT。
则矩阵 B 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素，即 Bij = Aji。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 的转置矩阵 B = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 矩阵相乘已知矩阵 A = [1 2; 3 4]，矩阵 B = [5 6; 7 8]，求矩阵 A 乘以矩阵 B的结果 AB。
解答：设矩阵 C 为 A 乘以 B 的结果，即 C = AB。
矩阵 C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的对应元素相乘再相加，即Cij = ∑(Aik * Bkj) (k=1 to n)。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 乘以矩阵 B 的结果 C = [19 22; 43 50]。
3. 矩阵的逆已知矩阵 A = [2 -1; 4 3]，求其逆矩阵 A-1。
解答：逆矩阵 A-1 的定义为 A * A-1 = I，其中 I 为单位矩阵。
设矩阵 B 为A 的逆矩阵，即 B = A-1。
可以通过求解线性方程组的方式来求解矩阵A 的逆矩阵。
首先，构造增广矩阵 [A I]，其中 I 为 2 阶单位矩阵。
经过初等行变换，将矩阵 A 转化为单位矩阵的形式，此时 [I B] 的形式就是矩阵 A的逆矩阵。
经过计算，可以得到矩阵 A 的逆矩阵 B = [3 1; -4 2]。
4. 矩阵的特征值和特征向量已知矩阵 A = [3 -2; 1 4]，求其特征值和对应的特征向量。
解答：特征值λ 是矩阵 A 满足方程 |A - λI| = 0 的根，其中 I 为单位矩阵。
特征向量 v 是非零向量 x 满足方程 (A - λI)x = 0。
首先，计算矩阵 A - λI 的行列式，即 |A - λI|。
大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
线性代数模试题试题库
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式 A 。
A ． B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数习题及模拟题
习题选作Ch1 行列式一、填空题1．____________)4637251(=τ。
2设行列式1112131112132122233132333132332122233333333333a a a a a a a a a a a a a a a a a a = ，则 等于 。
3．四阶行列式00000000000dc b a = 。
4．行列式222333ab ca b c a b c =___。
5．行列式3214214314324321中第1行第4列元素的代数余子式的值等于 。
6．三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。
7．若01400200345678910=x ，则=x 。
8． 如果行列式D=12334152--a中第二行第一列的代数余子式A 12=5，则a= 。
9．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解，则λ=10．4阶行列式xd d d x c c c x b b b x a a a D 3213213213214=中第一列各元素的代数余子式之和=+++41312111A A A A 。
0二．判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。
（ ） 2．每作一次对换改变排列的奇偶性。
( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ ） 4．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ ）5．设D=|a ij |是n 阶行列式，如果D 的元素中0的个数多于 n(n-1), 则D 的值为零。
（ ）．6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ).7．333332222211111e d c b a e d c b a e d c b a ++++++=333222111d b a d b a d b a +333222111e c a e c a e c a 。
线性代数模拟考试题（4套）
线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若12335544ija aa a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********AA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555nn A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAAE =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T T AA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-，而 ：0TT A E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：20002(32)032023A xy x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a a a a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a aA 。
A ．M 8B ．M 2C ．M 2-D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M aa a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
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模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 . 7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关.10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ， 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。
八、证明题：(每小题5分，共10分)1、已知向量321,,a a a 线性无关，证明 1333222115,4,32a a b a a b a a b +=+=+=线性无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂321,,a a a ，在2011年所生产的四种矿石54321,,,,b b b b b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：（1）做矩阵53⨯A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.模拟试题二一、 判断题（正确的打√，不正确的打⨯）（每小题2分，共10分）（ ） 1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；（ ） 2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （ ） 3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（ ） 4、 若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+ 也是该方程组的解.（ ） 5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。
二、 填空题（每小题2分，共16分） 1、排列7623451的逆序数是 ；2、设四阶行列式32142143143243214=D ，则=+++44342414432A A A A ，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式； 3、设A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1BA ； 4、)(5)(2)(3321α+α=α+α+α-α，其中T )3,1,5,2(1=α，T )10,5,1,10(2=αT )1,1,1,4(3-=α，则=α ；5、已知向量组:A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α12,221k ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b ，当k 时，b 可由A 线性表示，且表示法唯一；6、设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000020103211，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ； 7、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T2,,2λ-正交，则λ= ；8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。
三、计算题（每小题8分，共16分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。
2、已知矩阵111211111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，236B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，660C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵方程AX B C -=。
四、 计算题（每小题8分，共16分）1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）k 取何值时，该向量组线性相关； （2） k 取何值时，该向量组线性无关， 说明理由。
2、已知二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， (1) 写出此二次型对应的矩阵A ;(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。
五、 计算题（每小题10分，共20分）1、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----43333320126624220121.求：（1）矩阵A 秩；（2）矩阵A 的列向量组的一个最大线性无关组。
．2、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x 所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
六、（12分）设矩阵131011002A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(1) 求矩阵A 的特征值和全部的特征向量；(2) 求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ。
七、（5分）证明题设方阵A 满足2A A E O +-=，证明：A 可逆并求它的逆矩阵。
八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：21商店商店 梨橘子苹果 21人员人员梨橘子苹果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10.020.015.010.015.010.021人员人员⎥⎦⎤⎢⎣⎡5351045 21城镇城镇⎥⎦⎤⎢⎣⎡100050020001000 设第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第 三个矩阵为C 。
（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、B A ,为n 阶方阵则 BA AB = （ ）2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。
（ ）3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关； （ ）4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。
（ ）5、4个3维向量一定线性相关。
（ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；2、六阶行列式中某项645342362115a a a a a a 带有的符号为 ；3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则Ax b =的通解x = ；5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为B =2102-1101-3000001-)1k k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（，则k = 时方程组无解，当k = 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基 础解系中有 个向量。
6、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为 ，正定性为 （请选正定、负定、不定之一）。
7、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为 。
三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求4131211122A A A A +++2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A 是否可逆。
若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *四、计算：(每小题10分，共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。
2、已知线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解；五、 (10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα 的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。
六、综合计算：（本题14分）二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=（1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示 （2）求A 的特征值与全部特征向量； （3）求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角形矩阵。