垂径定理学案1
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理 （共21张PPT）学案
3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案： 当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
垂径定理学案
B C=C D=D E(5题图）(1---4题图）D 圆的对称性 （垂径定理）学习目标：1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。
2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。
3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题 。
学习重点，难点：垂径定理及其推论的探索及应用。
学习过程：一、 上节知识回顾：1、弦AB 等于圆的半径，则弦AB 所对的圆心角为＿＿。
图2图12、 如图1，AB 是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。
3、 如图2，在⊙O 中 ，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。
二、学习（自学）过程：1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 三、典型例题学习：1. ∵ CD 是直径 ，C D ⊥AB∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
2．∵ CD 是直径，AB 是非直径的弦，AE=BE ∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
3. ∵ CD 是直径，弧AD=弧BD ∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.垂径定理及其推论可概括为：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。
4、 如图，已知⊙O 中直径CD 垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10，AB=8，则DE 的长为＿＿。
5、 如图，已知⊙O 的直径为12㎝，弦AB 垂直平分半径OC,那么弦AB 的长为＿＿＿。
(9题图）(8题图）(7题图）(6题图）6、 如图，⊙O 的直径为34，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为8，则弦AB 的长是＿＿＿。
垂径定理一等奖教学设计2篇
第1篇教材分析本节课是九上《圆的基本性质》的学习内容，是学生在学习了圆的基本概念之后，研究的圆的第一个重要性质——垂径定理。
该定理是以圆的轴对称性为认识起点，在观察、猜想、操作的基础上探究得到的。
揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化。
垂径定理及其推论是证明圆内线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为与圆相关的计算和作图提供了方法和依据。
本课还重视圆的知识与三角形知识之间的转化，为后续的学习和探究奠定了基础。
学情分析本节课的授课对象是九年级的学生，经过两年的几何学习，有一定的合情说理能力。
通过本章前一部分的学习，掌握了圆的一些概念，已经历“探索、发现、猜想、证明”的过程，同时在以前的数学学习过程中，学生也有过很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作交流的能力。
学习目标1．初步掌握垂径定理，会简单运用垂径定理解决相关数学问题。
2．经历垂径定理的探究过程，进一步体验“观察-猜想-实验-证明”的方法。
3．会把相关实际问题抽象为数学问题并加以解决，积累数学建模活动的基本经验。
重点难点学习重点：探究垂径定理并证明，能初步运用垂径定理解决相关数学问题。
学习难点：垂径定理的导出有一定难度，以及如何运用垂径定理分析和解决问题。
学习过程（一）探索垂径定理1．动一动：观察圆形纸片，老师找不到圆心了，不用工具只用折叠的办法，你能帮助找到圆心吗？2．想一想：两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？【教师评价】圆是一个轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
【设计意图】本节课首先通过动一动，想一想，观察得到圆具有轴对称性。
3．已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足是点E.图中有哪些相等的线段和弧（半圆除外）？4．已知：如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，垂足是点E。
求证：AE=BE，=，=。
图片【教师评价】在运用等腰三角形“三线合一”和圆的轴对称性来证明结论之后，特别指出当遇到“弦恰为直径”这一特殊情况时，无法构造等腰三角形，需另外证明。
初中垂径定理的应用教案
初中垂径定理的应用教案教学目标：1. 理解并掌握垂径定理的内容及应用。
2. 能够运用垂径定理解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂径定理的理解和应用。
2. 培养学生的解决问题的能力。
教学难点：1. 如何正确运用垂径定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示垂径定理的定义和图像。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用垂径定理。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本概念，如圆、半径、弦、直径等。
2. 提问：你们认为圆有什么特殊的性质吗？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂径定理的定义和图像，解释垂径定理的意义。
2. 通过示例，演示如何应用垂径定理解决实际问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些应用垂径定理的实际问题。
2. 引导学生分组讨论，互相解答疑问。
四、总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结垂径定理的应用方法和步骤。
2. 提问：你们还能想到其他的应用垂径定理的问题吗？五、课后作业（5分钟）1. 布置一些应用垂径定理的实际问题，让学生回家练习。
教学反思：本节课通过讲解垂径定理的定义和图像，引导学生理解并掌握垂径定理的应用方法。
通过课堂练习和分组讨论，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生正确应用垂径定理，解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
同时，教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学方法，以提高教学效果。
高中数学垂径定理教案
高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。
2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。
4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容，做好相关准备。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。
2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。
七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利！。
垂径定理学案01
24.1.2 垂直于弦的直径一、基础知识1、圆既是 图形，又是 图形，圆的对称轴是 ，对称中心是 。
2、垂径定理： ；如图，转化为几何语言为： ∵CD 是直径， ；∴ 、 、 。
3、垂径定理推论： ；如图，转化为几何语言为： ∵CD 是直径， ；∴ 、 、 。
4、看下列图形，是否能使用垂径定理？5、如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ， 则⊙O 的半径为：；（2）弦AB 的长为6 cm ，⊙O 的半径为5 cm ，则圆心 O 到AB 的距离为：；（3）⊙O 的半径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为6 cm ， 则弦AB 的长为： ；（4）弦AB 的长为8 cm ，DE=2 cm ，则⊙O 的半径长 为： ；二、推广应用6、如图：若AB 、CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，那么 AC BD吗？请说明理由。
7、（1）以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB 交小圆C,D 两点，问：AC 与BD 的数量关系是： ；（2）如图：若将直径向下移动，变为非直径的弦AB ，交小圆于C,D 两点，（1）中的结论是否成立？为什么？（3）如图，将大圆去掉，已知：AC=BD ，求证：∠A=∠B ；8、如图, A 、B 、C 为⊙O 上三点, D 、E 分别为AB 、 AC 的中点, 连结DE 分别交AB 、 AC 于F 、G. 求证：AF ＝AG.9、半径为5cm 的圆中，两条平行的弦分别长为6cm 、8cm ，则这两条平行的弦间的距离为： 。
10、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是11、毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9这个小孔的直径AB 的长度是。
12、如图，在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，⊙O 的半径为5，BE=6， AE=2，求DM-CM 的长。
BBA B。
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AD=BD AC=BC 垂径定理学案
学习目标：1，经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；
2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；
3、积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
学习重点：掌握垂径定理，记住垂径定理及推论的题设和结论。
学习难点：对垂径定理及推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。
学习过程：
一，实践探究
1，活动一：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你能得到圆的什么特性？
2,活动二（猜想）：当非直径的弦AB 与直径CD 有什么位置关系时，弦AB
有可能被直径CD 平分？
3，活动三（实验）：如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．沿着直径CD 折一折，你能发现图中有那些相等的
线段和弧？
4，活动四（证明）：已知：如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥ AB ，垂足为E.
求证：AE=EB ，证明：连结____________，则OA=OB ，即△AOB 是等腰三角形.
∵ CD ⊥AB,
∴ _____=_____（等腰三角形三线合一）.
∵∠AEO=∠BEO=RT ∠
∴ 把圆沿着直径CD 对折时，射线EA 与射线EB 重合，
∴ 点_____和点_____重合，
∴ _____=_____ ， ______=______
得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
几何描述：如图 ∵ CD 是直径, ________,
∴_____=____, _____=_____， _____ =_____．
分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。
如图中，C 是
ACB 的中点，D 是AB 的中点。
二，例题与练习
例1. 已知弧AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．
A B
变式：把弧AB 四等分。
例1．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距，如上题中_______就是弦AB 的弦心距。
变式练习，如图直径为26cm 的圆柱体油槽的横截面，装入油后，油深CD
为8cm ，那么油面宽度AB ＝_____cm. 四，拓展练习
1,以下两圆为同心圆，AC 、BD 有什么关系？
2，如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，BE ＝4cm ，CD ＝16cm ，求⊙O 的半径.
五，小结： 1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？。