初三数学寒假班第10讲-垂径定理(提高)-学案
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
人教版九年级上册《垂径定理》教案
人教版九年级上册《垂径定理》教案
《人教版九年级上册《垂径定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
教学背景
学生在学习了圆的基本定义(旋转定义和集合定义)和相关弦，弧等概念后，结合轴对称性质来探讨的定理。
教学目标
1、知识目标：
(1)充分认识圆的轴对称性;
(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径
定理及其推论;
(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
(1)让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究
过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决
问题的能力。
(2)让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思
维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知
欲，同时培养学生勇于探索的精神。
教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用
教学难点
(1)垂径定理的证明
(2)垂径定理的题设与结论的区分
教学辅助
多媒体
教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程
教学总结
人教版九年级上册《垂径定理》教案这篇文章共6626字。
垂径定理优秀教案
垂径定理【教学目标】一、教学知识点。
（一）圆的轴对称性。
（二）垂径定理及其逆定理。
（三）运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明。
二、能力训练要求。
（一）经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
（二）培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
三、情感与价值观要求。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】垂径定理及其逆定理。
【教学难点】垂径定理及其逆定理的证明。
【教学方法】指导探索和自主探索相结合。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
[师]前面我们已探讨过轴对称图形，并且通过折叠研究出圆是轴对称图形，今天我们继续用前面的方法来进一步研究圆的对称性。
二、讲授新课。
下面我们一起来按下面的步骤做一做：（一）在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。
（二）得到一条折痕CD．（三）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
（四）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图。
[师]老师和大家一起动手。
（教师叙述步骤，师生共同操作）[师]通过第一步，我们可以得到什么？[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。
[师]很好。
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
[师]为什么呢？[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合。
[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[师生共析]如右图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB。
因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM。
又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
垂径定理(学案)
（3）如果弦CD是直径，以上结论还成立吗？画一画，试一试。
变式3连接OC，OD，设OC=OD，求证：AC=BD．
巩固知识精练拓展
学习收获
1、如图，AB是⊙O的一条直径，弦CD⊥AB，垂足为E.
（1）你能得到那些相等的线段和弧？
（2）你能用符号表示这个结论吗？
（3）你能用文字语言描述这个结论吗？
2、如上图，AB是⊙O的一条直径，AB平分弦CD，
（1）直径AB是否垂直弦CD，平分弦所对的两条弧？
课题
24.1.2垂直于弦的直径
班级
9.1
时间
10.30
姓名
杨超男
巩固知识精练拓展
学习收获
3、下列哪些图形可以用垂径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理？你能说明理由吗？
4、如图，已知在两同心圆⊙O中，大圆弦AB交小圆于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系？
变式1如图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC=BD还成立吗？
变式2如图，连接OA，OB，设AO=BO，求证：AC=BD
初中垂径定理的应用教案
初中垂径定理的应用教案教学目标：1. 理解并掌握垂径定理的内容及应用。
2. 能够运用垂径定理解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂径定理的理解和应用。
2. 培养学生的解决问题的能力。
教学难点：1. 如何正确运用垂径定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示垂径定理的定义和图像。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用垂径定理。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本概念，如圆、半径、弦、直径等。
2. 提问：你们认为圆有什么特殊的性质吗？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂径定理的定义和图像，解释垂径定理的意义。
2. 通过示例，演示如何应用垂径定理解决实际问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些应用垂径定理的实际问题。
2. 引导学生分组讨论，互相解答疑问。
四、总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结垂径定理的应用方法和步骤。
2. 提问：你们还能想到其他的应用垂径定理的问题吗？五、课后作业（5分钟）1. 布置一些应用垂径定理的实际问题，让学生回家练习。
教学反思：本节课通过讲解垂径定理的定义和图像，引导学生理解并掌握垂径定理的应用方法。
通过课堂练习和分组讨论，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生正确应用垂径定理，解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
同时，教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学方法，以提高教学效果。
垂径定理初中教案
垂径定理初中教案1. 知识与技能：通过观察、实验和证明，使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。
2. 过程与方法：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
3. 情感态度价值观：培养学生类比分析、猜想探索的能力，通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
二、教学重难点1. 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理。
2. 教学难点：垂径定理的证明。
三、教学过程1. 导入：回顾轴对称图形的概念和性质，引出圆也是轴对称图形，并提问：圆的轴对称性有哪些应用？2. 探索：让学生分组进行实验，观察和记录圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现垂径定理。
3. 证明：引导学生运用已学的三角形全等的知识，证明垂径定理。
在此过程中，教师应给予学生适当的提示和引导，帮助学生完成证明。
4. 应用：让学生运用垂径定理解决一些有关的证明与计算问题，巩固所学知识。
四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现垂径定理。
2. 利用分组实验，让学生亲身体验和观察圆的轴对称性，增强学生的实践能力。
3. 在证明过程中，引导学生运用已学的三角形全等的知识，培养学生的逻辑思维能力。
4. 设计一些有关的证明与计算问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的参与度和理解程度，观察学生在探索和证明过程中的表现。
2. 课后作业：布置一些有关的证明与计算问题，检验学生对垂径定理的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，共同提高。
六、教学反思本节课通过观察、实验和证明，使学生掌握了垂径定理，并能够运用它解决有关的证明与计算问题。
在教学过程中，注重了学生的参与和实践，培养了学生的逻辑思维能力和应用能力。
同时，通过问题驱动的教学方法，激发了学生的学习兴趣和探索精神。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学寒假班第10讲-垂径定理（提高）-
学案
学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题
第08讲-----垂径定理授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标深刻理解垂径定理及其推论的内容；熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论；应用垂径定理解决实际问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建
一.知识梳理
二.知识概念垂径定理
1.内容垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
2.逆定理平分弦不是直径的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
3.推论弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
4.使用条件一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论（1）平分弦所对的弧（2）平分
弦不是直径（3）垂直于弦（4）经过圆心考点一垂径定理及其推论例
1.下列说法不正确的是（）A圆是轴对称图形，它有无数条对称轴B圆的半径.弦长的一半.弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C弦长相等，则弦所对的弦心距也相等D垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧例
2.如图，AB是O的直径，CDAB，ABD60，CD2，则阴影部分的面积为（）ABC2D4例
3.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（0，0）B（1，1）C（1，0）D（1，1）例
4.如图，AB是O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交O于点D若OC3，CD2，则圆心O到弦AB的距离是（）
A6B9CD253例
5.如图，O的半径为5，弦AB8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（）个A1B2C3D0考点二
应用垂径定理解决实际问题例
1.李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据于是她从景点管理人员处打听到这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，ABCD40cm，BD320cm，且AB，
CD与水平地面都是垂直的根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少例
2.用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90，尺寸如图（单位cm）将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的
A.
B.E三个接触点，该球的大小就符合要求图2是过球心O及
A.
B.E三点的截面示意图，求这种铁球的直径PPractice-Oriented实战演练实战演练课堂狙击
1.下列说法中，不成立的是（）A弦的垂直平分线必过圆心B弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦C垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧D垂直于弦的直径平分这条弦
2.O的半径为13，弦AB的长度是24，ONAB，垂足为N，则ON （）A5B7C9D1
13.如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，A30，CD6，则圆的半径长为（）A2B2C4D
4.如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB4，BC1，则下列整数与圆环面积最接近的是（）A10B13C16D1
95.如图，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE2，AE3，则ACB
的面积为（）A3B5C6D
86.如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD20cm，水深GF2cm，若水面上升2cm（EG2cm），则此时水面宽AB为多少
7.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且AB26m，OECD于点E水位正常时测得OECD524（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满课后反击
1.下列说法正确的是（）A长度相等的两条弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦C直径是同一个圆中最长的弦D过三点能确定一个圆
2.下列说法正确的是（）A平分弦的直径垂直于弦B把（a2）根号外的因式移到根号内后，其结果是C相等的圆心角所对的弧相等D如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
3.如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，若AE8，BE2，则CD（）A5B8C2D
44.如图，在O中，弦ABAC，ODAB于点D，OEAC于点E，若AB8cm，AC6cm，则O的半径OA的长为（）A7cmB6cmC5cmD4cm
5.如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（）
AACB90BDECECOEBEDACEABC
6.如图，O的直径AB10，C是AB上一点，矩形ACND交O于M，N两点，若DN8，则AD的值为（）A4B6C2D
37.如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN4米时，是否采取紧急措施（
1.414）
8.赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为
37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为
7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）直击中考
1.
【xx牡丹江】
如图，在半径为5的O中，弦AB6，OPAB，垂足为点P，则OP 的长为（）A3B
2.5C4D
3.
52.
【xx三明】
如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，若O的半径为5，AB8，则CD的长是（）A2B3C4D
53.
【xx黔南州】
如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30，O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）AcmB3cmC3cmD6cm
4.
【xx济南】
如图，O的半径为1，ABC是O的内接等边三角形，点
D.E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是
（）A2BCD
5.
【xx三明】
如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论正确的是（）AOEBEBCBOC是等边三角形D四边形ODBC是菱形
6.
【xx深圳】
如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高
1.6米，测得其影长为
2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径SSummary-Embedded归纳总结重点回顾垂径定理及其逆定理内容及应用条件；应用垂径定理解决实际问题。
名师点拨熟练掌握垂径定理.逆定理及其推论的内容及应用条件，多加练习，
注意总结，熟悉常作的辅助线，是解决本节问题的关键。
学霸经验本节课我学到我需要努力的地方是9。