几何图形中函数解析式的求法(学法指导).doc

几何图形中函数解析式的求法函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的 细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为 中考的热点。

求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思維 固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。

而使用待定系数法去求函数 的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数(如正、反比例 函数，一次、二次函数)的表达式。

如果题目中能根据直接条件或间接条 件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。

但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见 题、压轴题。

同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确 定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。

我们知道， 函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何 图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。

下面以几个例子来探求在 几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。

一、 用图形的面积公式确立等量关系例1、如图1，正方形ABGD 的边长为A ，有一点P 在 BC 上运动，设PB 二x ，梯形APCD 的面积为＞，(1) 求y 与％的函数关系式；(2) 如果 S AABP 二S 体型APCD 请确定P 的位置。

分析：本题所给的变量＞，是梯形的面枳，因此可根据梯形面枳公式图1CP Bs4 (上底+下底)xi 分别找出上底、下底、高问题可获解决。

因为上 底CP=7^-x ，下底AD=V^，高CD=V^，于是由梯形面枳公式建立两个变量之间的等量关系，y = — (V2 -x + V2) - V2 ,整理得： 例2、如图2,在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，ZBCD=90°，AD=“，BC=2。

，CD=2，四边形 EFGG是矩形，点E 、G 分别在腰AB 、GD 上， 点F 在BC 上。

设EF=%，矩形EFCG 的面枳 为).，。

(2002年佛山中考题)(1) 求;y 与■^的函数关系式；(2) 当矩形EFCG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，求％的值； (3) 当ZABG=30°时，矩形EFGG 是否能成正方形，若能求其边长，若不能试说明理由分析：本题所给的变量:v 值是矩形的面枳，因此根据矩形面枳公式S 二 长X 宽，若能算出长FC 与宽EF ，或者用变量x 、y 表示FC 和EF ，则问题 可获解决。

其中宽EF=；c,问题归结为求出长FC ，从而两个变量;v 、y 之间 的关系通过矩形面积公式建立了。

解：(1)过点A 作AN 丄BC 于N ，因为在矩形EFCG 中，EF 丄BC ，• BF _ EF* BN" AN得 BF= — 2=-丁 m ⑵略FN•••EF//ANBF 2a- a/. EG-FC-2a-BF =2•4a- cix-y = —2—•x•••所求的遇数关系式是；y = -—ax 1+ 2ax (0<x<2)(2)、(3)略由直角三角形，利用勾股定理确立等量关系例 3、如图 3，在 RtAABC 中，ZB 二90°，ZA 二30° , D 为BG 边上一动点，AD 的垂直平分线EF 交B 、AD 、C 于 E 、 0、 F, AB 二2。

(1) BD 二％，AE=j.，，求j ，关于％的函数关系式； (2) 是否存在;c 使四边形AEDF 为菱形？若存在，则说明理由。

分析：本题所给图形中直角三角形较多，将两个变量x, y 之间的关系 集中到同一直角三角形中问题可获得解决。

因为BD 二x, AE 二y, AB 二2,所以 BE 二2-y ，又根据线段中垂线的性质知DE 二AE 二y 。

于是，在RtABDE 中，由勾 股定理建立两个变量之间的等式。

解：(1) YEF 是线段AD 的中垂线，/.AE=DE=＞，BD 二％，BE 二2-y ，在 RtABDE 中， BD 2+BE 2:DE 2，EB D即 x 2 + （2-y ）2 =y 2 整理得v = _lx 2+lZB=90° , ZBAC=30° , AB 二2， 0<x<^L3（O 〈X 〈MI ）为所求的函数解析式。

（2）略 3三、用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系例 4、如图 4，在△ ABC 中，AB=8，AC=6，00 是 △ ABG 的外接圆，且BG 是直径，00与00’内切 于点A ，与边AB 、AC 分别交于点D 、E 。

设BD 二％， DE:），。

（1） 求>，关于％的函数解析式，并指出自变量;v 的取值范围；（2） 求当00’与BC 相切时y 的值。

分析：AB=8，BD 二x ，AD=8-X ，如果能求得BC 的长，知道DE//BC,贝问题便迎刃而解。

显然，这两个问题可分别通过直径所对的圆周角的性质、 弦切角定理获得解决。

解：（1）如图4，过点A 作00和©0’的公切线AT ，则有在 RtAABG 中, 273 人BC=CZBAT=ZDEA=ZBCAo•.•BG 是直径，ZBAG=90° , •••BG 二 ylAB 2+ AC2二A /82+62• S -x _ y.. =，8 10••• y 与A :的函数关系式是：y = x + 10 (0〈;c 〈8)。

4(2)略四、用相似三角形，对应边成比例的比例式确立等量关系例 5、已知：矩形 ABGD 中，AB=6cm, BG 二8cm,在 BC边上取一点P (P 与B 、C 两点不重合)， 在DC 边上取一点Q ，使ZAPQ=90°。

(1)设BP 的长为％，CQ 的长为y ，求出y 与x 之间的还/数关系式；(2)试讨论当P 在什么位置时，CQ 的值最大。

分析：本题中ZAPQ=90°，若连结AQ ，问题可以转化为上述提到的“用 直角三角形，利用勾股定理确立等量关系”，但计算过程中会比较复杂且运 算量较大，容易算错。

但仔细观察可以发现，由于BP=x, CQ=＞，，其中两个 变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，则可考虑证△ABP^APCQ,由相似三角形对应边成比例可得：^ =民从而问题可获解 PC CQ/.DE//BC ，/AD _ DE AB BC10。

B P图5DQ C决，相比之下比第一种方法要简单。

例6、如图6, AABG是边长为2的等边三角形。

点E、F分别在CB和BC的延长线上，且ZEAF 二120°。

设BE 二义，GF二)，，求出)，与义之图6间的函数关系式。

分析：本题中的BE=x，CF=y，其中两个变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，则可证AABE^AFCA,由相似三角形对应边成比例可得：三=!。

从而问题可获FC AC解决O例7、已知：AABC是正三角形，00切AB、AC于D、E、AG 是BC 上一动点，DG 交O0 于F，若AB=16，AD二6，设DG: x , EF=y，。

(1)当点G在BG上运动时，求y与x的函数关系式；B(2)求自变量％的取值范围；(3)求EF的最大值。

分析：其中DG=%，EF=.V，由于G是一个动点，当G的位置改变，*、y 的值也会随着改变，这种“动”的变化对于学生的理解来说是比较抽象的。

如果连结OD、OE，由四边形内角和定理不难发现，在“动”中存在着一个不动的量，就是ZDFE始终都等于60°。

由于AABC是正三角形，即有ZB 二ZDFE,若能找出分别含有DG 、EF 两边的两个三角形相似，则问题就迎刃 而解。

显然，这个问题可通过弦切角定理找出ZBDG 二ZFED ，从而证出两个 三角形相似。

解：(1)如图7，连结OD 、DE 、DE•••AB 、AC 分别切00 于 D 、E ••• 0D 丄 AB, 0E 丄 AG 即 Z ADO 二 Z AEO 二90 °又••• Z A 二 60 °••• Z DOE 二 120 ° /. Z DFE 二60 ° 即有 Z B = Z DFE••• ZBDG=ZFED••• AD 二AE=6 (切线长定理) Z A 二60 ° •••^ =三整理得： ＞，=竺 6x•••＞，与;c 的函数关系式是：y = (2) (3)略X几何图形中求函数的解析式是属于初中数学常见的几何的、代数的综合 题。

由于综合题的条件多，比较分散，或者比较隐蔽，因此增加了解题的 难度。

因此在解决这类问题时，要善于根据题目给出的条件结合几何图形 找出突破口。

而数形结合的思想是在分析解综合题思路的一种重要的数学 思想.运用这种思想可以把代数的问题化成几何的问题，最终由几何性质 解决代数问题，把复杂的问题转化成简单的问题，从而完成数与数的转化, 形与形的转化，数与形的转化。

A ADBG^AEFD .DB DG99~EF ~~ED••• DE二 6。