《9.3直线与平面平行的判定和性质(第一课时)》(高二数学下A)
证明： 证明：连接 B1C交BC1于O 连接 OD
∵ D是AC中点 O是B1C中点
∴ OD // AB1
B1
A1
A D
C1
O
C
B
又因为 AB1 ⊄ 平面BDC1 ,OD ⊂ 平面BDC1
∴ AB1 // 平 面 BDC 1
课堂小结
A. a // α
B. a与α相交 C . a ⊂ α
D. a与α 不相交
2.过直线 外两点与直线 平行的平面，可以作 平行的平面， 2.过直线 （
A. 1个
） B. 1个或无数个
D. 0个或1个或无数个 个或1
C . 0个或无数个
BB 3.如图， 3.如图，在立体图形 ABC − A1 B1C1 中， 1 //CC1 ，且 D 如图 AB 的中点，求证： 是 AC 的中点，求证： 1 // 平面BDC1
∵ 证明： 证明： a
∴ a // α
例题讲解
求证： 例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经 求证 空间四边形相邻两边中点的连线， 过另外两边的平面. 过另外两边的平面 E 已知： 已知：空间四边形 ABCD 中，、F 分别是AB、AD的中点 A 求证： EF 求证： // 平面BCD 证明：连接 BD 证明：
3.直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定
直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和 这个平面内一条直线平行， 这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行.( 线线平行，线面平行” .(“线线平行 平行.( 线线平行，线面平行”）β
已知：a ⊄ α ,b ⊂ α ,a // b 已知： 求证：a // α 求证：
9.3直线与平面平行的判定和性质
教学目标
1.了解直线和平面的位置关系种类 了解直线和平面的位置关系种类 2.掌握直线和平面平行的判定、性质定理 掌握直线和平面平行的判定、 掌握直线和平面平行的判定
一、课题引入
空间两直线有三种位置关系：平行、 空间两直线有三种位置关系：平行、相交与异面 请同学们观察： 直线和平面有那几种位置关系？ 直线和平面有那几种位置关系？ 教室天花板的一条棱所在的直线和地面的位置关系属 于那一种？怎样判定？
二、新课讲授
1.直线和平面的位置关系 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 ③直线和平面平行——没有公共点
2.线面位置关系的画法 线面位置关系的画法
a
α
直线在平面内或写成 a ⊂ α
a
iA
α
直线和平面相交或写成 a ∩ α = A
a
α
直线和平面平行或写成 a // α
a
b
P // b α a、b 确定一个平面 β ∴经过 ∵ a ⊄ α , 而a ⊂ β ∴ α 与β 是 两个不同的平面 ∵ b ⊂ α , 且b ⊂ β ∴ α ∩ β = b 没有公共点. 下面用反法证明 a与 α 没有公共点 假设 a 与α 有公共点 P 的公共点， 则 P ∈ a ,α ∩ β = b ，点 P 是 a、b 的公共点，这与 a // b矛盾 .
证明： 证明：连接 BD 交 AC 于0点， O是BD的，再连接 则 点中
EO
A1
D1
C1
E
B1
∵ E是D1 D的中点
∴ OE是△ DBD1的中位线
D
O
C
∴ OE // BD1
∵ OE ⊂ 平面ACE
∴ D1 B // 平面条直线 1.两条直线 a、b 满足 a // b,b ⊂ α ，则 a 与α 的位置关系 为（ ）
AE = EB ⇒ EF // BD AF = FD EF ⊄ 平面BCD ⇒ BD ⊂ 平面BCD
E
F
D
B
α
C
⇒ EF // 平面BCD
E 例题2.正方体 中点， 例题2.正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， 点是 D1 D中点， 2. 求证： 求证： 1 B // 平面ACE D
高三总复习数学课件 直线、平面平行的判定与性质
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
答案：D
2．(苏教版必修第二册P178·T4改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方
体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB
与平面MNQ不平行的是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
答案：A
3 ． ( 人 教 A 版 必 修 第 二 册 P142·T2 改 编 ) 平 面 α ∥ 平 面 β 的 一 个 充 分 条 件 是 ________．(填序号) ①存在一条直线a，a∥α，a∥β； ②存在一条直线a，a⊂α，a∥β； ③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α； ④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α. 答案：④
[一“点”就过] (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、 定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容 易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项． (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． ②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反 例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
(6)三种平行关系的转化
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的 指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择 正确的转化方向．
1．(人教A版必修第二册P143·T1改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α
内的
()
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
线平行，那么该直线与此平面平行(简记 定理
为“线线平行⇒线面平行”)
因为 l∥a ，a ⊂α，l⊄α，所 以l∥α
高中数学人教A版必修第二册《直线与平面平行---直线与平面平行的判定》名师课件
在空间中，直线与平面有几种位置关系？
文字语言
直线在
平面内
直线与平面
的位置关系
直线与
平面相交
直线与
平面平行
图形语言
α
a
a
a
α
.A
a
α
符号语言
a A
a //
人教A版同步教材名师课件
直线与平面平行
---直线与平面平行的判定
学习目标
学习目标
了解平行线的传递性、空间等角定理.
理解直线与平面平行的判定定理、性质定理.
1.(1)如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求
证：SA∥平面MDB.
(2)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中
点．求证：EF∥平面A1CD.
(2)连接DE.
因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC且DE＝ AC.
而应用判定定理的关键是在平面内找到与平面外已知直线平行的直线．常
用的方法有：利用三角形的中位线、利用平行四边形的性质、利用平行线
的传递性、利用平行线分线段成比例的推论等．
归纳小结
一、直线与平面平行的判定定理
二、运用判定定理时的几个要点
三、立体几何的基本思想：化归
作
业
课本P138练习：2
=
,
=
.
PM EP BQ QN
∵ = , = , ∴ = , ∴
=
=
=
AB EA BD CD
又AB=CD,∴PM=QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴ //
又PQ￠平面CBE， ⊂ 平面,∴PQ //平面CBE.
高中数学课件：直线、平面平行的判定与性质
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题 还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中 差什么 点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行 找什么 关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定 理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以BD1∥平面AC1D， 又因为A1B∩BD1＝B， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四 边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中 点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.
直线、平面平行的判定与性质课件
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
高中数学人必修二课件直线与平面平行的性质
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的所有直线都平行。
如果一条直线与一个平面内的所有直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。
如果两个平面内的所有直线都平行，那么这两个平面平行。
直线与平面平行的性质应用
03
直线与平面平行性质定理的应用场景
判断直线与平面是否平行
计算直线与平面的夹角
解决立体几何中的问题，如求二面角、线面角等
注意事项：在使用直线与平面平行性质定理时，需要注意以下几点：首先，要确保所使用的直线与平面平行的性质是正确的；其次，要注意在解题过程中不要遗漏任何重要的信息；最后，要注意在解题过程中不要犯逻辑错误。
直线与平面平行性质定理在日常生活中的应用
建筑设计：利用直线与平面平行的性质进行空间布局和设计
交通规划：利用直线与平面平行的性质进行道路和桥梁设计
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面垂直的性质：直线与平面垂直，则直线上的所有点都与平面上的所有点垂直。
直线与平面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。
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平行线的性质：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。
平行线的性质：如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直。
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都平行，那么这条直线和这个平面平行。
利用直线与平面平行的性质，证明直线与平面内的任意一条直线垂直
直线、平面平行的判定及其性质 经典课件(最新)
高中数学课件
解：(1)证明：由正方形的性质可知 A1B1∥AB∥DC，且 A1B1＝AB＝DC， ∴四边形 A1B1CD 为平行四边形，从而 B1C∥A1D. 又 A1D⊂面 A1DE，B1C⊄面 A1DE， ∴B1C∥面 A1DE. 又 B1C⊂面 B1CD1，面 A1DE∩面 B1CD1＝EF， ∴EF∥B1C.
解析：由两个平面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线与另外一个平 面平行，那么这两个平面平行．因此只有(4)符合．
答案：(4)
高中数学课件
6．判断线面平行的两种常用方法：线面平行的判定定理；面面平行的性质定理．
(1)a，b，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命
高中数学课件
【反思·升华】 证明线线平行的方法 (1)利用平面几何知识，如运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四 边形是平行四边形； (2)平行公理：a∥b，b∥c⇒a∥c；
(3)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b； (5)线面垂直的性质定(1)①中 α 与 β 可能相交．③④中 a 可能在 α 内． (2)连接 HF，NF，HN，由平面 HNF∥平面 B1BDD1 知，当 M 点在线段 FH 上时，有 MN∥平面 B1BDD1. 答案：(1)② (2)M∈线段 FH
高中数学课件
7．应用判定定理时，注意由“________”到“________”： “线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”； 应用性质定理时，注意由“________”到“________”： “面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”． 答案：低维 高维 高维 低维
③垂直于同一条直线的两个平面平行，即 l⊥α， l⊥β⇒α∥β. ④平行于同一个平面的两个平面平行．即 α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
直线与平面平行的判定.许兴华
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α
b
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已知: a α, α, a//b, b 且 求证: a // α. [证明] a//b, a与b确定一个平面 . a α, , α与是不同的平面 a . b α, , α b. b
件
[新课内容]
一.直线和平面平行 一条直线和一个平面没 有公共点, 叫做直线与平面平行. 直线a平行于平面α, 记作a//α.
二.直线和平面的位置 关系 1.直线在平面内 a 有无数个公共点 a α α 2.直线与平面相交 有且仅有一个公共点 a A α aα A
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N D
RtBNQ
③PM // QN, C PQ // MN PQ // 面 CBE
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(way2)①AP DQ PE BQ,
E
②ADQ SBQ AQ DQ AP ③ PQ // ES QS QB PE
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[练习]
《9.3直线与平面平行的判定和性质(第一课时)》(高二数学下A)
课堂练习
1.两条直线 a满、足b
a // ，b,则b 与 的位置a关系为
（
）
A. a // B. a与相交 C . a D. a与不相交
2.过直线 外两点与直线 平行的平面，可以作
（
）
A. 1个
B. 1个或无数个
C . 0个或无数个
D. 0个或1个或无数个
3.如图，在立体图形 ABC A1B1C1 中，BB1 //CC1 ，且D 是 AC的中点，求证：AB1 // 平面BDC1
证明：连接 B1C交BC1于O
A1
连接 OD
Q D是AC中点 O是B1C中点
C1
O
OD // AB1
B1
又因为 AB1 平面BDC1 ,OD 平面BDC1
A D
C
B
AB1 // 平面BDC1
课堂小结
1.直线和平面的位置关系 ①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
③直线和平面平行——没有公共点
2.线面位置关系的画法
a
a
gA
a
直线在平面内或写成
a
直线和平面相交或写成
a A
直线和平面平行或写成
a //
3.直线和平面平行的判定
直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内一条 直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行，线面平行”）
9.3直与平面平行的判定和性质
教学目标
1.了解直线和平面的位置关系种类 2.掌握直线和平面平行的判定、性质定理
云南省新平一中 龚云
一、课题引入
空间两直线有三种位置关系：平行、相交与异面
直线和平面有那几种位置关系？
《直线、平面平行的判定及其性质》人教版高中数学教用课件1
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
同理:CD//平 面 ABD
BC CDC
D A
平 面 C D B //平 面 A * B D
2.2.1 -2.2.2直线与平面、平面与平面平行 的判定2 .2 直线、平面平行的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
C’ B’
C B
2.2.1 -2.2.2直线与平面、平面与平面平行 的判定2 .2 直线、平面平行的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该 直线与此平面平行．
a
图形语言
b
a
b
a
//
a // b
符号语言
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得 到线面平行的结论．
直线与平面平行关系
直线间平行关系
空间问题
*
平面问题
2.2.1 -2.2.2直线与平面、平面与平面平行 的判定2 .2 直线、平面平行的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
你知道木匠师傅是怎样用 水平仪来检测桌面是否水平的？ (水泡）
2.2.1 -2.2.2直线与平面、平面与平面平行 的判定2 .2 直线、平面平行的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
*
2.2.1 -2.2.2直线与平面、平面与平面平行 的判定2 .2 直线、平面平行的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系