四种命题的形式及等价关系(一)
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 易得x ＝y ；由x 2＝1，得x ＝±1；若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 若x ＝－2，y ＝1，虽然x <y ，但x 2>y 2. 所以真命题为A.2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵x >1，∴x 3>1，又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围．的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是s 成立的必要不充分条件，即等价于SP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[破译玄机]解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C．3D．4解析：选B①正确；②不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－a i，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题D．“tan x＝1”是“x＝π4”的充分不必要条件解析：选C由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。
4命题的形式及等价关系--学生
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：桂阳阳课程主题：命题的形式及等价关系授课时间：学习目标命题的形式及等价关系教学内容内容回顾知识精讲知识点一命题的形式及等价关系【知识梳理】1.命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题；2.四种命题形式：原命题，逆命题，否命题，逆否命题；原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；（α表示α的否定，β表示β的否定）逆否命题：若β，则α；3.等价命题：如果B A 、是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么B A 、叫等价命题。
4.四种命题形式及其相互关系:的图像经过第一、二、三象限；知BA B中，若|AC6、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、已知命题甲：4a b +≠,命题乙:1≠a 且3≠a ，则命题甲是命题乙的条件8、1122123639x x x x x x >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是的条件总结回顾课后作业1.05x <<是|2|3x -<的条件．2.方程20x x m -+=有根的一个充分非必要条件是.14.写出=0ab的一个充要条件、一个充分非必要条件、一个必要非充分条件..15.已知命题:p方程2220-上有解；命题:q只有一个实数满足不等式+-=在[1,1]a x ax2220++≤.若,p q都是假命题，求a的取值范围.x ax a预习内容。
1.4 (2)命题的形式及等价关系
1.4 (2)命题的形式及等价关系（导学案）组卷： 姜汉明 审卷：周海英上课日期：________年____月____日； 班级_______学号____姓名__________学习目标：（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解等价命题的概念和四种命题形式之间存在的等价关系． 学习重点及难点：理解四种命题的关系；理解等价命题的概念。
学习过程： 一、 知识回顾（1）_________________语句叫做命题， _________________叫做真命题。
_________________假命题。
（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（ ） （3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件是_________________ 结论是_________________ 二、新知导学：1、把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的逆命题。
并且它们互为逆命题。
把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论都换成它们的否定形式，得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论互换并同时否定而得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
2、四个命题的一般形式： 原命题： 如果α，那么β 逆命题：如果___，那么___ 否命题：如果___，那么___ 逆否命题：如果___，那么___ 并在四种命题之间的相互关系如下： 3、举例例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。
1.4命题的形式及等价关系Ⅰ、Ⅱ
否命题： 如果 ，那么
互逆
逆否命题： 如果 ，那么
例2． 写 出 命 题 ： “ 两 个 等 全三角 形 的 面积 相 等 的 逆 命 题 、 否 命 题 、否 逆命 题 ， 并 判 断 真 假 ．
ex.写出命题 “若 : x 3 x 4 0，则x 4或x 1”
2
的其它三种命题形式并 判断真假．
互逆否
互否
否命题： 如果两个数不都是整数 那么这两个数的和不为整数
互逆
逆否命题： 如果两个数的和不为整数 那么这两个数不都是整数
四种命题的相互关系
— 原命题的条件 — 原命题的结论
原命题： 如果，那么 互否 互逆
— 的否定 — 的否定
逆命题： 如果 ，那么 互否
互逆否
“正难则反”
小Hale Waihona Puke 结1、会判断命题的真假并证明： (1)真命题——推理证明 (2)假命题——举反例 2、四种命题形式及相互关系 3、等价命题
(1)互为逆否的两个命题等价命题，它们同真同假． (2)“正难则反” 4、几种否定形式
“且”
“是”
“都是”
“或”
“不是”
“不都是”
三、等价命题
一般地,原命题和它的逆否命题同真同假； 逆命题和否命题同真同假． 互为逆否的两个命题同真同假．
A B B A 1、若 Ａ、Ｂ 两个命 即：A B 题， 2、若两个命题互为逆否命题，则这两个命题是等价命题． ， ， ex1、命题：“若 a M , 则b则 M”的等价命题是 _______ A、B ex2、判断命题“若 ab 叫做等 0, 则a 0且b 0”的真假． 价命题
若 且 ，则记作 叫做α 与β 等价．
1.3.2_命题的四种形式
C充分不必要
D不充分不必要
练习4、
注、等价法 1.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. （转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的 （ Ａ ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
充分条件与必要条件
练习： 1．设p是q的充分不必要条件，则 p是 q 的 必要不充分 条件．
2.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
3：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
2．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否 命题： ；
3．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是
偶数”的否命题和逆否命题． 4．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的 真假.
5. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根” 的逆否命题 ④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题 A.①② C.①②③ B.②③ D.③④
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。
高二数学复习讲义一
高二数学复习讲义（1） ——《常用逻辑用语》<知识点>1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性） （a ）原命题与其逆否命题同真、同假。
（b ）否命题与逆命题同真、同假。
2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。
同时q 是p 的必要条件。
若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。
（2）判断方法： （i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。
同时q 是p 的必要条件。
若A=B ，则p 与q 互为充要条件。
（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。
当原命题为真时，p 是q 的充分条件。
当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。
注意：充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。
3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。
（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。
注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。
<练习题>一、填空题1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________． 2.⎩⎪⎨⎪⎧x 1>3x 2>3，是⎩⎨⎧x 1＋x 2>6，x 1x 2>9成立的________条件． 3．命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是________． 4．下列四个命题中，是真命题的序号是________．①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．5．下列命题是真命题的是________(填序号)．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；②∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；③∃x ∈Z ，x 2＝2；④∃x ∈R ，x 2＝2.6．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的________条件．7．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件．8．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若 p 是 q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．9．命题“偶数能被2整除”的否定形式是________． 10．下列命题中，假命题是________． ①∃α、β∈R ，使sin(α－β)＝sin α－sin β； ②∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；③∀x 、y ∈R ，x ＋y2≥xy ；④点(3,4)不在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0上．11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．12．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)． 13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．14．已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2x 2－x ＋1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________.二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.16．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．17．命题甲：a∈R，关于x的方程|x|＝ax＋1(a>0)有两个非零实数解，命题乙：a∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－2>0的解集为空集．当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．18．求证：关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且|b|≤4.19．(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．20．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a<0)；命题q：实数x满足x2－x －6≤0或x2＋2x－8>0.且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．参考答案一．填空题1.答案：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>6x 1·x 2>9，可知，当⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝8x 2＝2，时，不等式组成立，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x 1>3，x 2>3，所以必要性不成立． 答案：充分不必要3.解析：命题的条件为“x 2≥1”，结果为“x ≥1或x ≤－1”，否定结果作条件，否定条件作结果，即为其逆否命题． 答案：若－1<x <1，则x 2<14.解析：①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不互为相反数”是真命题；②“若a 2≤b 2，则a ≤b ”，取a ＝1，b ＝－5，因此a 2≤b 2，但a >b ，故②是假命题；③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3不是不等式的解，故是假命题；④“相等的角是对顶角”是假命题． 答案：① 5.答案：②④6.解析：由Venn 图易知“M ∪N ≠∅” “M ∩N ≠∅”，而“M ∩N ≠∅”⇒“M ∪N ≠∅”． 答案：必要不充分7.解析：“p 且q ”为真⇒p 真且q 真⇒“p 或q ”为真，反之不成立． 答案：必要不充分 8.解析：p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3.又 p 是 q 的充分条件，即 p ⇒ q ，它的等价命题是q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：－1≤a ≤69.答案：存在一个偶数不能被2整除 10.答案：②③11.解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 答案：3≤m <812.解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；③∵b ≤－1，∴Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥4>0，∴“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；④∵当α＝7π3时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题．答案：①③13.解析：由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e,4]． 答案：[e,4]14.解析：∵x 2－x ＋1>0，∴原不等式化为x 2－ax ＋2<3x 2－3x ＋3，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0.∵∀x ∈R 时，2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立，∴Δ＝(a －3)2－8<0. ∴3－22<a <3＋22， ∴a 1＋a 2＝6. 答案：6 二．解答题15.解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β； 否命题：若α≠β，则sin α≠sin β； 逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等； 否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形； 逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d . 16.解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题． 17.解：当甲为真时，设y ＝|x |和y ＝ax ＋1(a >0)，即两函数图象有两个交点，则0<a <1；当乙为真时，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ≤0，则－79≤a ≤1，∴当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a >1或a <－79或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1或a ≤0－79≤a ≤1，∴a ∈[－79，0]∪{1}．18.证明：先证明条件的充分性： ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2b ≤4⇒a 2≥4≥b ， ∴Δ＝4(a 2－b )≥0，∴方程有实数根．① ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2b ≥－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≤－4，b ≥－4. ∴(x 1－2)＋(x 2－2)＝(x 1＋x 2)－4＝－2a －4≤－4－4＝－8<0.而(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝b ＋4a ＋4≥－4＋8＋4＝8>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2＋x 2－2<0x 1－2x 2－2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2<0x 2－2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1<2，x 2<2.②由①②，知“a ≥2，且|b |≤4”⇒“方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实数根，且两根均小于2”．再验证条件的不必要性：∵方程x 2－x ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝1，则方程的两根均小于2，而a ＝－12<2，∴“方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两根小于2” “a ≥2且|b |≤4”．综上，a ≥2且|b |≤4是方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实数根且两根均小于2的充分不必要条件． 19.解：(1)x ∈M 或x ∈P ⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)，因为x ∈M 或x ∈P x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m <0，Δ＝4m 2＋16m <0，⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.20.解：命题p ：3a <x <a ；命题q ：x <－4或x ≥－2. ∵ p ⇐ q ， ∴p ⇒q ，由数轴可知a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.。
沪教版高一上册数学高一上册教案命题的形式及等价关系
1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学内容分析教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。
二、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。
三、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备多媒体教室五、教学流程设计六、教学过程设计一．复习提问：（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？二．讲授新课：关于四种命题1、概念引入在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。
如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。
我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。
并且它们互为逆命题。
（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。
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四种命题的形式及等价关系
【学习目标】（1）正确理解四种命题的概念，会判断命题的真假；
（2）正确理解四种命题之间的相互关系，能根据原命题准确地写出它的逆命题、否命题和逆否命题三种形式；
（3）通过对四种命题之间关系的学习，让学生发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
【学习重点】四种命题及其关系。
【学习过程】
一、回答问题：
1、什么叫做命题？什么叫做真命题和假命题？
2、下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么，哪些命题是真命题和假命题？为什么？（1）个位数是5的正整数能被5整除；
（2）凡是直角三角形都相似；
（3）互为补角的两个角不相等；
（4）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等？
（5）你是高一学生吗？
3、通过上述例子，请你回答：怎样说明一个命题为真命题？怎样说明一个命题为假命题？
二、推出关系
1、一般地说，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么我们说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。
换句话说，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
如果α成立，而β不成立，即α成立不能推出β成立，可记作α⇒β，即α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是假命题。
2、如果α⇒β，而且β⇒α，那么记作α⇔β，称α与β等价。
3、推出关系“⇒”是一种关系符号它满足传递性：若α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ，请你再找出一个具
有传递性的关系符号。
4、请你证明命题“个位数是5的正整数能被5整除”，你发现证明过程和推出关系是否有着密切的联系呢？
三、请同学们观察下列命题：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）两直线平行，同位角相等；
（3）同位角不相等，两直线不行；
（4）两直线不平行，同位角不相等。
引导学生得出：
命题（1）与命题（2）、命题（1）与命题（3）中，命题（1）与命题（4）中的条件和结论有何关系？ 四、 四种命题的形式
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做逆命题。
一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做否命题。
一个命题的条件和结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
注：1°交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。
2°四种命题的相互关系：
例题1 已知d c b a ,,,是实数，给出命题“若d b c a >>,，则d c b a +>+”， 写出上述命题的逆命题，否命题，逆否命题。
例题2 写出下列语句的否定形式：（1）a 、b 都是0；（2）对任意实数x ，都有x 2-2x+2>0；（3）存
在实数x ，使得x 2-x-1=0。
例题3 试写出下列命题的逆命题和否命题，并判断其真假。
（1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
（2）如果一个三角形的两条边，那么这两条边所对的角也相等。
练习：课本第18页，练习1.4（2）。
五、课堂小结：
1、已知原命题，写出它的逆命题，否命题，逆否命题，关键是分清条件和结论。
如果原命题是简化形式，如命题是“对顶角相等”，则还需还原成“如果……，那么……”的形式，以便于发现原命题的条件和结论。
2、常见结论的否定形式：
作业:写出命题：“两个数都是偶数的和是偶数”的逆命题、否
命题、逆否命题，并判断其真假。