《结构力学》第三章 静定结构内力计算 (2)

MB
0,FAyl
FP1b1
FP 2b2
FP3b3
0,FAy
FP1b1
FP 2b2 l
FP3b3
MA
0,FBy
FP1a1
FP 2 a2 l
FP3a3 ;
Fx 0,FAx FBx FH .
取左半拱，由 MC有 0
l
l
l
FAy 2 FP1( 2 a1) FP2 ( 2 a2 ) FAx f 0,
为脱离体，截面K的内力可分解为
M
、
K
FQ、K
。FNK
FQK沿截面方向，即沿拱轴线 的法线方向，FNK沿垂直于截 面的方向，即沿拱轴线的切线
方向。
MK
（1）弯矩的计算公式
弯矩的符号规定以使拱内侧纤维受拉为正。取AK段为脱离
体，
由
，有：MK 0
FAy xK FH yK FP1(xK a1) M K 0
§3.4 三铰拱
一、概述
1、拱结构简介
上一节学习的刚架以及本节研究的拱都是土木工 程上跨越空间的方法。在人类发明和利用拱之前，梁 必须横跨在柱上，柱间距离必须仔细计算，以防横梁 在过大的弯矩作用下因抗拉能力不够而发生折断。
而由于当时人类可以利用的建筑结构材料只有 砖、石、混凝土等脆性材料，它们抗拉和抗剪的性能 较差，故不能建造较大跨度的空间结构。罗马建筑师 们最先广泛应用并发展了半圆形拱。
措施：如果基础不能承受水平推力，可以去掉一
根水平链杆，而在拱内加一根拉杆。
拉杆
三铰拱
拉杆拱
由于设置了水平拉杆，拱趾需要的水平推力通过 拉杆在水平方向的拉力实现，拉力代替了水平推力， 此时在支座处仅产生竖向反力，称这种结构为拉杆拱。
二、三铰拱的内力分析
三铰拱为静定结构，其全部约束反力和内力的 求解与三铰刚架完全相同，都是利用平衡条件即可 确定。
=
FBx
=
MC0 f
FAy
FP1b1
FP2b2 l
FP3b3
FBy
FP1a1
FP2a2 l
FP3a3
;
FH
FAx
FBx
FAy
l 2
l FP1( 2
a1
)
FP
2
பைடு நூலகம்
(
l 2
f
a2 ) .
三铰拱支座反力特点：
① 竖向反力与拱高f无关；
② 水平反力与拱高f成反比，f越小，水平反力越大，
也就是说，f越小，拱的特性就越突出；
现以平拱为例，推导其支座反力和内力的计 算公式，与此同时，我们将其与同跨度、同荷载的 相应简支梁进行了比较。
1、支座反力的计算公式
三铰拱两端是固定铰支座，其支座反力共有四 个，全部反力的求解共需四个平衡方程。与三铰刚 架类似，一般需取两次脱离体，除取整体列出三个 平衡方程外，还需取左半个拱（或右半个拱）为脱 离体，再列一个平衡方程（通常列对中间铰的力矩 平衡方程），方可求出全部反力。
M K [FAy xK FP1(xK a1)] FH yK
根据：
FAy FA0y
以及简支梁K截面上的弯矩：M
0 K
[FA0y xK
FP，1(xK
a1)]
上式可改写为：M K
M
0 K
FH yK
即拱内任一截面的弯矩，等于相应简支梁对应截面 的弯矩减去由于拱的推力所引起的弯矩。可见，由于推 力的存在，拱的弯矩比相应梁的弯矩要小。
所以
FH
FAx
FBx
FAy
l 2
FP1
(
l 2
a1
)
FP
2
(
l 2
f
a2 ) .
将拱与同跨度、同荷载的水平简支梁比较，式(1)与
(2)与恰好与相应简支梁的支座反力 FA和0y F相B0y等。 而式(3)中水平推力的分子等于简支梁截面C的弯
矩
M
。0 故三铰拱的支座反力分别为：
C
FAy = FA0y , FBy = FB0y , FH = FAx
③ 所有反力均与拱轴的形状无关，只取决于荷载与三
个铰的位置。
xK 2、内力的计算公式
计算拱的内力时要求截面应与拱轴线正交，即与拱轴的
切线垂直。拱的内力计算依然用截面法，下面计算任一截面
K的内力，设拱的轴线方程为y y，(x则) K截面的坐标为
( xK， y)，K 该处拱轴线的切线与水平方向夹角为 。K取AK
6、拱结构的优缺点
(a)在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的 弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面 就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨 度。 (b)在拱结构中，主要内力是轴向压力，因此可以用 抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。 (c)由于需要拱的支承结构（柱、墙或基础等）提供 足够的水平推力，其反作用力实际就是支承结构要 承受的力，这往往对支承结构带来很大的影响，使 得支承结构在很高的造价下才得以形成对上部结构 的约束。
整个拱体主要承受压力。
拱和曲梁的区别在于：竖向荷载作用下支座处是 否有水平推力。
3、拱的应用
主要用于屋架结构、桥梁结构。
4、拱的分类
静定拱
三铰拱
超静定拱
超静定拱
两铰拱
无铰拱
本节仅对静定的三铰拱进行研究。
5、拱的相关名称
拱顶
拱趾
拱高
拱趾 跨度
拱身截面形心之轴线称为拱轴。拱两端与支座联结 处称为拱趾，或称为拱脚。两拱趾在同一水平线上的拱 称为平拱，否则为斜拱。拱轴最高点称为拱顶，三铰拱 的中间铰通常布置在拱顶处。拱顶到两拱趾连线的竖向 距离 f 称为拱高，或称拱矢、矢高。拱高与跨度之比 f∕l称为高跨比或矢跨比。
通过本节的学习可以了解到，由于拱的横截面主 要受轴向压力作用，而剪力和弯矩较梁又要小，所以 拱结构可利用抗压强度较高而抗拉强度低的砖、石、 混凝土等建筑材料来建造。
欧洲历史上最有影响的拱结构的代表有圣索非亚 大教堂、巴黎圣母院等，而在我国最具代表性的作品 则是赵洲桥，他们都为具有大跨度特征的穹拱结构。
赵洲桥
2、拱定义：在竖向荷载作用下支座处产生水平 推力的曲杆结构。
在竖向荷载作用下支座处不产 生水平推力，这种外形像拱但 内力和支座却不具备拱的特性
的结构，属于曲梁。
支座对上部结构仅起到支持的 作用，其弯矩与同跨度、受相 同荷载作用的简支梁的弯矩相
同。
在竖向荷载作用下支座处产 生水平推力，是拱。
支座除了提供向上的支座力 外，还对拱产生水平推力， 以阻止拱在A、B杆端产生水 平方向背离的移动。由于水 平推力的存在，拱中各截面 的弯矩将比相应的曲梁或简 支梁的弯矩要小，并且会使
（2）剪力的计算公式
剪力的符号规定仍然以使截面 一侧的脱离体有顺时针方向转动趋 势时为正。取AK段为脱离体，将作 用在其上的各力沿着横截面K方向投 影，得：
FQK FP1 cosK FH sinK FAy cosK 0