广东名校高一数学联考试题
广东省部分名校2022-2023学年高一下学期3月大联考数学试题(含答案解析)
广东省部分名校2022-2023学年高一下学期3月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．0B ．6．已知曲线1C ：cos 2y =A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的移π24个单位长度，得到曲线B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的移π12个单位长度，得到曲线A．2545,22⎛⎫⎪⎝⎭B二、多选题9．下列说法正确的是（A．平行向量不一定是共线向量B．向量AB 的长度与向量C．ABAB是与非零向量D．若四边形ABCD满足10．已知函数()tanf x=A．π3ϕ=B．()f x的最小正周期为A ．2133DP AB AD=- C ．1AB AD ⋅= 三、填空题13．已知单位向量a ，b ，c满足14．已知sin 3cos 0αα-=，则四、双空题15．已知函数()y f x =是定义在则92f ⎛⎫-=⎪⎝⎭；当(x ∈五、填空题六、解答题参考答案：因为2AB AC ==，2π3A =，所以B ∠=易知23BC =．因为E 为BC 的中点，所以因为2CD DA = ，所以2133BD BA BC =+ ，所以2221443399BD BA BC BA ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()2244π12cos 239969BA BC =⋅+⋅⋅+⋅ ()2244312223239929=⋅+⋅⋅⋅+⋅23=则12cos ,BC BA AE BD AE BD AE BD AE ⎛- ⋅⎝==⋅ ()()22221144662213123BC BA AE BD ⎡⎤⋅-⋅⋅-⎢⎥⎣⎦===⋅⋅。
广东省深圳市名校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题
(2)利用单调性的定义证明： f (x) 在 (0, ) 上单调递增．
(3)若函数 g(x)
af (x) x
a x2
2x 2 (a 0)在[2, 4] 上是增函数，求 a 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
A． (1,1)
B．{(1,1)}
C． (1, 1)
D．{(1, 1), (1,1)}
4．设 a，b，c 为 ABC 的三条边长，则“ a b ”是“ ABC 为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数
f
x 的定义域为2,8 ，则函数 y
A．220 元
B．240 元
C．250 元
D．280 元
试卷第 1页，共 4页
二、多选题 9．下列命题中，不正确的有（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若 x y ，则 x2 y2
C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若 m>2 ，则方程 x2 mx 1 0 有实根 10．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
2．命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（ ）
A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相
等
C．锐角三角形的三个内角都不相等
D．锐角三角形的三个内角不都相等
3．已知集合 A {(x, y∣) y x}, B {(x, y∣) y 5 4x}，则 A B （ ）
f
x 2 的定义域为（
x5
）
A． 4,10
B．0, 6
C．4,5 5,10
2024届广东省五粤名校联盟高三第一次联考数学试卷
2024届广东省五粤名校联盟高三第一次联考数学试卷一、单选题1. 在复数范围内，方程的解有（）A．个B．个C．个D．无数个2. 二项式的各项系数之和为（）A．512B．C．2D．3. 抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（）A．6B．7C．8D．94. 现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（）A．事件A，B不相互独立B．C．可能等于D．5. 将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A．B．C．D．6. 令．则的最大值在如下哪个区间中（）A．B．C．D．7. 若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（）A．B．C．D．二、多选题8. 设有正数列，其前项和为．则下列哪一个能使对任意的都有成立（）A．B．C．D．9. 设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）A．恒为1B．随增大而增大C．恒为D．最小值为010. 关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A．是周期函数，最小正周期为B．是周期函数，最小正周期为C．是周期函数，最小正周期为D．是周期函数，最小正周期为11. 设有数列，记，其中．则下列说法正确的有（）A．有零点对任意奇数成立B．若为偶数且，则至少有两个零点C．对任意与，一定存在使当时，恒成立D．若恒为1，则对任意都有唯一正零点，且一定大于三、填空题12. 若，则 ______ ．13. 在的极值点个数为 ______ 个．14. 已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ______ ．四、解答题15. 已知数列与为等差数列，，，前项和为．(1)求出与的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．16. 现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；(2)为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．17. 已知．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且(3)在（2）的条件下，证明：．18. 在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．(1)对于元一次方程，试求其正整数解的个数；(2)对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数；(3)证明：（可不使用组合分析法证明）．注：与可视为二元一次方程的两组不同解．19. 设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在上给出一个非单射的映射；(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．。
广东省五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学试题(解析版)
五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学本试卷分选择题和非选择题两部分.第I 卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用钢笔或黑色墨迹签字笔作答，将答案书写在答题卡规定的位置上，答题卡上不得使用铅笔或涂改液.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复数范围内，方程232i z =+的解有（）A .0个B.1个C.2个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】设i z a b =+(),R a b ∈，根据复数相等得到方程组，消元求出a 的值，即可判断.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈，则()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，又232i z =+，所以22322a b ab ⎧-=⎨=⎩，消元整理得42310a a --=，解得23132a =或231302a =<（舍去）所以a =故在复数范围内，方程232i z =+有两个解.故选：C2.二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为（）A.512B.1512C.2D.12【答案】B 【解析】【分析】令1x =进而求解即得.【详解】令1x =，则二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：B3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则4AF BF +的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知()1,0F ，设:AB l 1x ky =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线AB 与抛物线方程2212444041y xy ky y y x ky ⎧=⇒--=⇒=-⎨=+⎩，所以221212144y y x x =⋅=，而()121241414559AF BF x x x x +=+++=++≥=.当且仅当1212,2x x ==时取得等号.故选：D4.现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（）A.事件A ，B 不相互独立B.()12P A B =C.()P B A 可能等于()P B D.()1130P A B +=【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=⨯≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===，故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故D 正确；故选：C5.将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A.4πB.68π9- C.11π2D.52π9-【答案】B 【解析】【分析】首先分类讨论得出，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，进一步求出底面四边形外接圆圆心1O 坐标、半径，从而得1O 到直线EF 的距离4d ，设出外接球球心到底面的距离1h ，结合OA OB R ==可得()222221314R r h d h d =+=-+，由此可得外接球半径R ，进而即可求解.【详解】若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且不垂直于三角形的边，由题意以D 为原点，以边长为2的等边三角形的AB 边为x 轴，AB 边上的高CD 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系：由题意()()(1,0,1,0,A B C -，不失一般性，设(:CD y kx k =+>（也就是设点D 在不包含端点的线段OA 上），在(:CD y kx k =+>中，令0y =得3x k=-，所以BCD △的面积为113331222BCD k S BD CO k k ⎛⎫+=⋅=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，而点()1,0A -到直线(:CD y kx k =+>的距离为1d =，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2111336BCD V S d =⋅= ACD ⊥面BCD ），所以()()2221222231103412121121133k V k k k k -<==<⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以1306V <<；若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且垂直于三角形的边，此时上述情况中的点D 于原点O 重合，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2211111311332326BCO V S d BO OC AO ⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭（此时面ACO ⊥面BCO ），其中2d 为点A 到OC 的距离，即AO 的长度；将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线不过三角形的任何顶点，如图所示：不失一般性，设该直线分别与,AB BC 交于点,E F ，折叠后的立体图形有外接球，则,,,A E F G 四点共圆，从而πCFE CAE ∠+∠=，又因为ππ,33CFE FEB FBE FEB CAE ∠=∠+∠=∠+∠=，所以π3FEB CAB ∠==∠，所以~FEB CAB ，由题意()()(1,0,1,0,A B C -，设)():,11EF y x a a =--<<，所以)()2213111122122224ABC AEFCa a a a S S ⎡⎤⎤+---⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯⨯-=⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦四边形，过点B 向EF 引垂线，垂足为G，则)312a d BG -==，所以四棱锥B AEFC -体积的最大值为()()()()()()()232331131111333,113888AEFC a a a V S d a a a a a a +--=⋅==--=--+-<<四边形（此时四边形AEFC 与三角形BEF 垂直），从而()()2313618V a a a '=--，()()231233610183V a a a a '=--=⇒=-或2313a =+，当113a -<<-时，()30V a '>，()3V a 单调递增，当23113a -<<时，()30V a '<，()3V a 单调递减，所以当且仅当2313a =-时，有()233max231232323311113383396V V ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎢⎥=-=⨯--⨯--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，综上所述，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，此时我们首先来求四边形AEFC 外接圆圆心1O ，因为AB 中点坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AB所以AB 的垂直平分线方程为331232y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，而AE中垂直线方程为2311323x ⎛-+- ⎝⎭==-，从而解得11,33O ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，所以四边形AEFC外接圆半径为1r O A ===而1O到直线23:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭的距离为413d -=，又满足题意的四棱锥B AEFC -的高为)3112a d BG -===，设满足题意的四棱锥B AEFC -的外接球球心为O ，设球心到平面AEFC 的距离为1h ，则由OA OB R ==可得，()222221314R r h d h d =+=-+，即1164313431299h --=-+，解得211164311743,3999h R --==+=，从而满足题意的外接球表面积为68163π9-.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得出满足题意的直线为:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭，且此时)3112a d BG -===，由此即可顺利得解.6.令()sin 0.5cos1cos 2cos ,N n a n n ︒︒︒︒+=+++∈ ．则n a 的最大值在如下哪个区间中（）A.(0.49,0.495)B.(0.495,0.5)C.(0.5,0.505)D.(0.505,0.51)【答案】B 【解析】【分析】先通过()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦，利用裂项相消法求出n a ，观察得其最大值可取90a ，然后计算其范围即可.【详解】由于()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦()sin 0.5cos1cos 2cos n a n ︒︒︒︒=+++ sin 0.5cos1sin 0.5cos 2sin 0.5cos3sin 0.5cos n ︒︒︒︒︒︒︒︒=++++ ()().50.5.5.5.1sin1sin sin 2sin1sin 3sin 2sin 5.50.50.5sin 2n n ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤=-+-+-+++--⎣⎦ ()0.50.51sin sin 2n ︒︒︒⎡⎤=+-⎣⎦根据三角函数的性质可知，当90360,Z n k k =+⋅∈或89360,Z n k k =+⋅∈时，().in 05s n ︒︒+取最大值，不妨取90n =，则()()0.50.5cos 0.50111sin 90sin sin 44.5452222.52︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤+-=-=<=⎣⎦,又())11sin sin 22cos 0.50.50.5︒︒︒-=，因为当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，sin x x≤ππ0.5si 36n 0s 3in 60︒->-=π360与0.495的大小，即比较2π1360⎛⎫- ⎪⎝⎭与299π200360⎛⎫+ ⎪⎝⎭的大小，222299π9999π122003602003ππ13660000063⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭22222222π100100π32ππ324439210360200360004360360436036049090⨯⎛⎫>---=->---> ⎪⨯⎝⎭π360.9045>-.所以()0.50.110.495sin 90225sin ︒︒︒⎡⎤<+-<⎣⎦.故选：B.证明：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x≤设()sin f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()00f x f ≤=，即当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x ≤.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用sin x x ≤对式子进行放缩，可以将三角运算转化为非三角运算.7.若在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1,4AB BC AA ===．则四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分的体积为（）A.23B.313C.1039D.726【答案】A 【解析】【分析】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，建系，利用空间向量分析可知G 为1A BD 的重心，进而根据体积关系运算求解.【详解】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，以D 为坐标原点，1,,DC DA DD分别为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()1131,0,0,1,3,0,0,0,0,1,,2,1,0,4,0,3,42A B D E A C ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()()1131,0,4,1,3,0,1,,2,1,3,42DA DB DE AC ⎛⎫====- ⎪⎝⎭，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z = ，则14030n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，则4,3y z =-=-，可得()12,4,3n =--，设()1,3,4AG AC λλλλ==-，则()1,3,4DG DA AG λλλ=+=-，因为DG n ⊥uuu r r，则()12112120λλλ---=，解得13λ=，可得24,1,33DG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即23DG DE =uuu r uuu r ，在1A BD 中，结合E 为1A B 的中点，可知G 为1A BD 的重心，则116BEG A BD S S =△△，所以四面体1GEBC 的体积11111111112314618183GEBC A C BD ABCD A B C D V V V -===⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知公共部分，利用空间向量的相关知识确定点G 的位置，即可得结果.8.设有正数列{}n a ，其前k 项和为k S ．则下列哪一个()0f n ≥能使对任意的n +∈N 都有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立（）A.()2f n n =B.2()2n f n =C.()ln f n n =D.1()f n n=【答案】BCD 【解析】【分析】首先当1n =时，要满足()11f ≤，故可排除A ，先证明两个引理，借助引理说明B 选项符合题意；对于CD 而言只需分别证明221ln ,22n n n n ≤≤即可说明CD 符合题意.【详解】首先取1n =，则有()111112f a a a +≤成立，其中10a >（因为数列{}n a 是正数列），从而需要满足()11f ≤，对比选项可知A 不符合题意，接下来我们证明如下引理1：()()()222111,2121ni kn k k ii n =+≤≥++∑，证明：首先当n k =时，左边等于()()()()()()()2222222222111212121212121k k k k k k k k k k k k k k ++++==≤=+++++，其次假设结论已对n 成立，即()()2221112121ni kk i i n =+≤++∑（*），由于()()()()()()()()2222222112322212121212n n n n n n n n n n ++-=≥=++++++++，从而()()()()222111122221n n n n +≤++++（**），（*）与（**）相加有()()12221112122n i kk ii n +=+≤++∑，故结论对1n +也成立，综上所述，引理1成立，我们继续来证明引理2：()()()221212121412,,,,0n n n n a a a n a a a a a a ⎛⎫++++++≥+++> ⎪⎝⎭ ，证明：当1n =时，左边211111a a =⋅=≥=右边，即此时引理1成立，设结论已经对n 成立，即()()2212121412n n n a a a n a a a ⎛⎫++++++≥+++ ⎪⎝⎭ ，记2121214,n nn a a a p q a a a +++=++= ，显然,0p q >，从而()()22121121114n n n n n n a a a a a a a a ++⎛⎫+++++++++⎪ ⎪⎝⎭()()()()2221111111n n n n n n p a q pq pqa n a a ++++⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭(()2211pq n n ≥+++)()221121n n n =+=+++++⎡⎤⎣⎦ ，故结论对1n +也成立，综上，引理2成立，现在我们回到原题，对于B ，也就是2()2n f n =，则()111212()n n k k n kn k f n f n k kS S a a a a a a ==+=+++++++∑∑ ()()()22221121214141212nk n k f n n kk a a a a a a n k =⎛⎫⎛⎫≤+++++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∑()()()2222122112141441141k n nk f n k n a a a n k k a a a n =⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝+⎭∑ ()()()()()2222222111114411121nn n n k i k k i k k kf n k k a a i i n n i i n ====⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑22111242nn k k k kk a k a ==≤⋅=∑∑，故B 符合题意，对于C ，当1n =时，()1ln101f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较2ln ,2n n 的大小，令()2ln ,22x g x x x =-≥，从而()10g x x x '=->，即()g x 单调递增从而()()22ln 20g x g ≥=->，也就是当*2,N n n ≥∈时，2ln 2n n <，结合B 选项分析可知C 选项也符合题意；对于D ，当1n =时，()11111f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较21,2n n 的大小，显然此时22112222n n ≤=≤，结合B 选项分析可知D 选项也符合题意.故选；BCD.【点睛】关键点点睛：关键是先证明上述两个引理，从而当2()2n f n =时，有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设01p ≤≤，随机变量X 的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）X 012P1412p -14p +A.()E X 恒为1B.()E X 随p 增大而增大C.()D X 恒为12D.()D X 最小值为0【答案】AC 【解析】【分析】由概率之和为1求出0p =，再由数学期望和方差的公式求解即可.【详解】因为111+1424p p -++=，解得：0p =，所以随机变量X 的分布列如下图，X 012P141214因为()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=，()E X 恒为1，故A 正确；B 错误；()()()()222111111011121424442D X =-⨯+-⨯+-⨯=+=，故C 正确，D 错误.故选：AC .10.关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A.2sin xB.sin(cos sin )x x +是周期函数，最小正周期为4πC.cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为πD.sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π【答案】CD 【解析】【分析】根据给定条件，利用周期函数的定义，结合正余弦函数的最小正周期逐项判断即得.【详解】对于A ，假设2sin x 是周期函数，则对任意实数x ，存在非零常数T ，使得22si s n(in )x x T =+，即222)s n sin(i 2x Tx T x =++，显然222π,Z Tx T k k +=∈对任意实数x 不恒成立，因此2sin x 不是周期函数，A 错误；对于B ，任意实数x ，sin[cos(2π)sin(2π)]sin(cos sin )x x x x +++=+成立，因此sin(cos sin )x x +是周期函数，2π是其周期，B 错误；对于C ，函数cos ,cos 2,cos3y x y x y x ===的最小正周期依次为2π2π,π,3，显然cos(cos 2(cos 2π2π2πc ))333(os cos 2co 3s3x x x x x x ++≠+，如0x =，左边为14，而右边为1，而cos(cos 2(cos3(cos cos 2(cos3)cos cos )2co ππ)3)s πx x x x x x x x x +==-++-恒成立，因此cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为π，C 正确；对于D ，函数cos 2,sin 3y x y x ==的最小正周期依次为2ππ,3，显然π)sin3sin3sin3([o cos 2(s 2)xx x xx x +-=+≠，而πsin3(2)sin3π)](cos 2)[cos 2(2x x x x +=+恒成立，因此sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π，D 正确.故选：CD11.设有数列{}*,N n a n ∈，记110()nn n n n f x a x a xa --=+++ ，其中0n a ≠．则下列说法正确的有（）A.()n f x 有零点对任意奇数n 成立B.若n 为偶数且00a <，则()n f x 至少有两个零点C.对任意*N n ∈与0M >，一定存在X 使当x X >时，()n f x M >恒成立D.若{}n a 恒为1，则对任意*N ,()2n n f x ∈=都有唯一正零点，且一定大于12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，化简得到01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，根据绝对值不等式得到当0n a x >时，1()0n n f x x ->；当0na x <时，1()0n n f x x -<，据此可判断AC 的正误.结合零点存在定理和导数可判断D 的正误，利用反例可判断B 的正误.【详解】对于A ，若n 为奇数，不失一般性，设0n a >，由110()nn n n n f x a x a x a --=+++ ，其中0n a ≠，可得01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，因为00221111n n n n a a a a x x x x ----⋅++≤⋅++ ，取1M =202max 1,n n a a a -⎧⎫+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当1x M >时，0022201111n n n n n a a a a a a x x x x -----⋅++≤⋅++≤++ ，所以当1x M >时，()20201()n n n n n f x a a a x a a x ----++≤-≤++ ，即201()n n n n f x a x a a x --≤+++ 且()201()n n n n f x a x a a x --≥-++ ，故当1x M <-时，1()20n n f x x -≤-<且1x M >时，1()20n n f x x-≥>，而n 1-为偶数，故x M <-时，()0n f x <且x M >时，()0n f x >，故()n f x 有零点对任意奇数n 成立，故A 成立.对于B 中，例如：函数22()1f x x =--，此时函数2()f x 无零点，所以B 不正确；对于C 中，对任意的0M >，由A 中分析可取X =202max 1,n n a a M a -⎧⎫++++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当x X >时，有01211()12n n n n n n f x a a x a a M x x x ----⎛⎫≥-+⋅++>+ ⎪⎝⎭ ，故1()2n n f x M xM -≥+>，故C 成立.对于D 中，若1()1nn n f x x x -=+++ ，可得12()(1)1n n n f x nx n x --'=+-++ ，当0x >时，()0n f x '>，()n f x 在(0,)+∞上单调递增；由(0)12n f =<且(1)12n f n =+≥，所以()n f x 有唯一的正零点，又由11111()((11()22222nn n n f -=+++=-< ，所以函数的零点大于12，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3xy =，则+=______．【答案】±【解析】【分析】分0,0x y >>和0,0x y <<两种情况分类计算.【详解】当0,0x y >>时，+==，当0,0x y <<时，+==-故答案为：±13.()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为______个．【答案】2【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.【详解】由()3cos cos 22cos cos f x x x x x ==-⇒()()2326sin cos sin 6sin 5sin sin 6sin 5f x x x x x x x x =-+=-=-'，令()0f x '=，则sin 0x =或sin x =，显然当[]0,πx ∈时，sin 0x ≥，则sin 0x =或sin x =，满足sin 0x =的根为0x =或πx =，端点值不能做为极值点，舍去；满足sin x =的根有两个12,x x ，根据正弦函数的性质可知()()120,,πx x x ∈⋃时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，即()f x 在()()120,,,πx x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，所以()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为2个.故答案为：214.已知O 为ABC 的外接圆圆心，且1,1AO BC BC ⋅== ．设实数,λμ满足AO AB λ=AC μ+ ，则221λμ-的取值范围为______．【答案】()3,1--【解析】【分析】以BC 中垂线为y 轴，BC 为x 轴建立直角坐标系，设出圆心坐标及半径，写出外接圆的方程，再分别写出,,A B C 坐标，将题干条件带入，即可得到等式，根据等式得出,λμ的关系及范围，再将关系带入221λμ-中，根据范围即可求得结果。
广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭ZZ ∣∣，则A B = （）A ．{}1,1,2,4-B ．{}4,2,1,1---C ．[)(]1,00,4-⋃D ．[)(]4,00,1- 2．给出下列命题，其中是正确命题的是（）A ．两个函数()f x =()g x 表示的是同一函数B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ C ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1D ．命题“[)0,x ∞∀∈+，210x +>”的否定是“(),0x ∃∈-∞，210x +≤”3．近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f （单位时间内心跳的次数）与其自身体重W 满足()130=≠k f k W的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg 、脉搏率为205次1min -⋅，若经测量一匹马的脉搏率为41次1min -⋅，则这匹马的体重为（）A ．350kgB ．450kgC ．500kgD ．250kg4．已知R a b c ∈,,，那么下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b >C ．若0a >，0b >，则22b a a ba b+≥+D ．若22a b >且0ab >，则11a b<5．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列说法正确的个数是（）个.①0a <；②关于x 的不等式0bx c +>的解集为(),6-∞-；③0a b c ++>；④关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为11,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数，在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()()110x f x +-≥的解集为（）A ．(][],11,3-∞-B ．[]{}1,31-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．[]13,-7．已知()g x 是定义域为R 的函数，()22g x ax =+，若对任意的1212x x <<<，都有()()12123g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭8．若对于定义域内的每一个x ，都有()()f kx kf x =，则称函数()f x 为“双k 倍函数”.已知函数()f x 是定义在[]1,4上的“双2倍函数”，且当[)1,2x ∈时，()24127f x x x =-+-，若函数()y f f x a ⎡⎤=-⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,2B ．[]1,4C ．()(]1,22,4 D ．(]1,4二、多选题9．已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（）A ．1a a--=B ．2214a a -+=C ．1122a a -+=D ．3322a a -+=10．已知0,0x y >>，且21x y +=，则下列正确的有（）A ．xy的最大值是18B ．24x y +的最小值是C ．12x y+的最大值是9D 11．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下列条件：（1）()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）当1x >时，()0f x >，则（）A ．()10f =B ．当01x <<时，()0f x <C ．()()22f x f x ≥D ．()f x 在()1,+∞上单调递增三、填空题12．4130320.064(πe)9-+-⨯=⎝⎭.13．已知幂函数()f x过点⎛ ⎝⎭，若()(32)1a f f a <+-，则实数a 的取值范围是.14．定义区间(a ,b )，[a ,b )，(a ,b ]，[a ,b ]的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2) [3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }=x -[x ]，其中x R ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x g x <解集区间的长度为5，则k 的值为．四、解答题15．已知集合12324x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22440,R B x x x m m =-+-≤∈.(1)若3m =，求A B ⋂；(2)若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.16．设()212y mx m x m =+-+-．(1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121R +-+-<-∈mx m x m m m ．17．学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC 卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万元，且()24,0105300,10a x x R x b x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．18．双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x x x -+=(1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -=②22cosh 2cosh sinh x x x=+(2)请证明双曲正弦函数sinh x 在R 上是增函数；(3)求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域．19．已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0-∞上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0-∞上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．。
广东省部分学校2024年高一下学期联考数学试题
2023—2024学年第二学期联合教学质量检测高一数学满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z 满足()1i 2i z −=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．32 B ．32− C ．3i 2 D ．3i 2− 2．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）①频率分布直方图中a 的值为0.005②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78④估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④3．若向量(2,3)a = ，(1,1)b − ，则b 在a 上的投影向量的坐标是（ ）A ．23,1313 −B ．23,1313C ．23,1313 −D ．23,1313 −−4．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，30A =°，8a =，b =ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．或D ．5．如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．BC ．D 6．苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A ，B （A 为东塔塔底，B 为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点C ，并测得22AB =米.在点C 测得东塔顶的仰角为45 ，在点C 测得西塔顶的仰角为()tan 1.5αα=，且cos 0.75ACB ∠=，则苏州双塔的高度为（ ）A ．30米B ．33米C ．36米D ．44米7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（ ）A ．910B ．310C ．18D ．1108．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2222sin −+=b c B c a ，且2a =，则tan tan tan A B C的最大值为（ ）A2− B ．3C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数132i z =−，()21i 13i z +⋅=−，则（ ）A ．212i z =−−B ．122z z −在复平面内对应的点位于第一象限C ．1222z z z +=D ．12z z ⋅为纯虚数10．已知事件,A B ，且()0.7P A =，()0.2P B =，则下列说法正确的是（ ）A ．若B A ⊆，则()0.7P AB = B ．若A 与B 互斥，则()0.9P A B ∪=C ．若A 与B 相互独立，则()0.06P AB =D ．若A 与B 相互独立，则()0.9P A B ∪=11．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱11A D ，11A B 的中点，点P 是棱1AA 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使得PC ⊥平面AEFB ．二面角A EFC −−C ．三棱锥1A AEF −的内切球的体积为π6D ．PBE 的周长的最小值为6+三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，7c =，π3C =，则ABC 的面积为 ．13．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ．14．如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为32，则该拟柱体的表面积为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.(1)求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.(3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.16.（本小题15分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 0a C C b c −−=.(1)求A ；(2)若a =ABC 的面积为ABC 的周长17.（本小题15分）如图，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，AD CD ⊥，2BC =，3AD =，CD =AD 上一点E 满足1DE =，现将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使得1AC =(1)求证：平面1A BE ⊥平面BCDE ；(2)求二面角1A BC D −−的余弦值.18.（本小题17分）平面四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，πABC ADC ∠+∠=，π3BCD ∠=． (1)求BD ；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围；(3)若E 为边BD 上一点，且满足CE BE =，2BCE CDE S S =△△，求BCD △的面积．19.（本小题17分）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为12，乙每次投篮命中的概率为13，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．。
广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题
广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合}{N 3N A x x =∈-∈，则集合A 的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162．设0ab >，则“a b <”是“11a b>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ） ①()()1353x x y x +-=+，25yx =-；②()f x x =，()g x ③()h x x =，()m x ④()21f x =，()225f x x =-．A ．①②B ．②③C ．③D ．③④4．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人． A ．3B ．9C ．19D ．145．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+<+ D ．若15a -<<,23b <<，则43a b -<-<6．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]7．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，下列结论错误的是（ ） A ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈>B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈< C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤D ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<或}9m >8．若两个正实数x ，y 满足42x y xy +=，且不等式24yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{12}mm -<<∣ B ．{1mm <-∣或2}m > C ．{21}mm -<<∣ D ．{2mm <-∣或1}m >二、多选题9．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>则a d b c ->-. B ．若,a b c d >>则ac bd >. C ．若,0a b c d >>>，则a bd c> D ．若0,0ab bc ad >->，则c d a b> 10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2R 10,x x "?<”的否定是“R x ∃∈，使得210x +<”B ．若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，则14a =C ．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集()2,3-，则不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．“2,2a b >>”是“4ab >”的充分不必要条件11．设矩形()ABCD AB BC >的周长为定值2a ，把ABC V 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，如图，则下列说法正确的是（ ）A ．矩形ABCD 的面积有最大值B ．APD △的周长为定值C ．APD △的面积有最大值D ．线段PC 有最小值三、填空题12．函数()12f x x-的定义域为. 13．若2{1,,}{0,,}b a a a b a=+，则20232023a b +=14．若函数y =f x 在区间[],a b 上同时满足：①()f x 在区间[],a b 上是单调函数，②当[],x a b ∈，函数()f x 的值域为[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()212f x x x m =-+存在“保值”区间，求实数m 的取值范围．四、解答题15．已知集合{}{}{}3,17,1A x x B x x C x x a =≥=≤≤=≥-. (1)求,A B A B I U (2)()(),A B A B ⋃⋂R R 痧；(3)若C A A =U ，求实数a 的取值范围.16．已知命题p ：“x ∃∈R ，210x ax -+=”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A . (1)求集合A ；(2)设集合{}121B x m x m =+<<+，若t A ∈是t B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 17．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.18．函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，函数的解析式为23()1x f x x +=+. (1)求(2)f -的值；(2)用定义证明()f x 在(0,)+∞上是减函数； (3)当0x <时，求函数的解析式.19．若函数G 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ，最小值记为min y ，且满足max min 1y y =-，则称函数G 是在m x n ≤≤上的“美好函数”．(1)函数①1y x =+；②|2|y x =；③2y x =，其中函数 是在12x ≤≤上的“美好函数”；（填序号）(2)已知函数2:23(0)G y ax ax a a =--≠．①函数G 是在12x ≤≤上的“美好函数”，求a 的值；②当1a =时，函数G 是在1t x t ≤≤+上的“美好函数”，请直接写出t 的值；(3)已知函数2:23(0)G y ax ax a a =-->，若函数G 是在221m x m +≤≤+（m 为整数）上的“美好函数”，且存在整数k ，使得maxminy k y =，求a 的值．。
2023-2024学年广东省部分名校高一上学期期末教学质量检测联考数学检测试卷(有解析)
x
1
1
x
0
，
-3-
因为函数
y
1
x
1
1
在
0,
上单调递减，函数
y
lnx
是增函数，
所以 f x在0, 上单调递减，且 f x 0 .
若函数满足 f x y f x f y，下证 f x为增函数.
令 x1 x2 0 ，
则 f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 0 ，
f
x
1 x
,
x
0
13．已知函数
x3, x 0 ，则 f ( f (1))
．
sin( π)
14．已知
P(m,
2m)(m
0)
是角
终边上一点，则
sin
π 2
.
15．已知实数 a，b 满足 a2 b2 ab 4 ，则 a b 的最大值为
.
16．已知函数
f
(x)
2
cos
2 x
π 3
对于 C 中，由 f (π) sin π 1 1 不是函数 f x的最值，所以 f x的图象不关于 x π 轴对
称，所以 C 错误；
对于 D 中，由 1 sin x 1 ，可得 0 sin x 1 2 ，所以函数 f x的值域为[0,2] ，所以 D
正确. 故选：AD. 10．BD
【分析】根据条件确定 a,b 的范围，利用 y ax 与 y logb x 的单调性分析即得.
要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则
，
t
e4
1
即
2 ，解得 t 4 ln 2 2.76 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东名校2010届高一数学联考试题一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．若集合M=｛y |2x y =｝，P=｛y |2,0y x x =≥｝， 则M ∩P=（ ）A ．｛2，4｝ B.｛4，16｝ C.｛（2，4），（4，16）｝ D.｛y |0y >｝ 2．如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为 ( )A ．d c b a <<<<1 B.c d a b <<<<1C.d c b a <<<<1D.c d b a <<<<13．如图，点,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 中AB,BC,CD,AD 的中点，若对角线AC BD =，且AC 与BD 成90︒，则四边形EFGH 是（ ）A.菱形B.梯形C.正方形D.空间四边形4．当24x <<时，12log x 、1()2x 、2x -的大小关系是( )A. 12log x <1()2x<2x - B. 1()2x<2x -<12log xC. 12log x <2x -<1()2x D.无法确定5．在空间中，下列四个命题 ①两条直线都和同一平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这直线平行； ③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行； ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 其中正确命题的个数 （ ）A.3个B.2个C.1个D.0个 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B. (2,3) C. 1(1,)e和(3,4) D. (,)e +∞7. 已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a ，b 的值分别是 ( )A.1,03B.1,03- C.1,0- D.1,1- 8. 下图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形,根据图中尺寸(单位:cm ),可知这个几何体的表面积是 ( )A.218cm +2cm第(3)题C.218cmD.26cm +9．一高为h）10．设,,a b 121(2）A ．a b c << B.c b a << C. c a b << D. b a c <<二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分． 11．已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(1)]f g =__________;满足[()][()]f g x g f x >的x 的值为________12．求函数211()2x y -= 的值域是_________________________33俯视图侧视图正视图13. 设()()()22,1(),122,2x x f x x x x x + ≤-⎧⎪= -<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x ＝14．给出下列四个命题：①函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数3y x =与3x y =的值域相同；③函数2(1)y x =-与12x y -=在区间[0,)+∞上都是增函数；④函数11221x y =+-与1log (0,1)1a x y a a x-=>≠+都是奇函数，其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的命题序号都填上）三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知集合}0|{},5,2{2=++==q px x x B A ，}5{=B A ，,A B A =⋃求,p q 的值. 16．（本小题满分14分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。
（1）求三棱锥D PAC -的体积； （2）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC .17．（本小题满分12分）设二次函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值PD 1C 1B 1A 1D CBA18．（本小题满分14分）甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只. 乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：（1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数. （2）到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？说明理由. （3）哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由.19．（本小题满分14分）已知函数1()lg 2f x x x=+- （1）求函数()f x 的定义域；（2）证明：()f x 在(2，+∞)上为增函数；（3）当[3,5]x ∈时，求函数的值域.20.（本小题满分14分）已知函数)(x f 对任意的实数，x ，y 都有1)1(,1)(2)()()(=++++=+f y x y y f x f y x f 且 （1）若,+∈N x 试求)(x f 的解析式（2）若,+∈N x 且2≥x 时，不等式)10()7()(+-+≥a x a x f 恒成立，求实数a 的取值范围.数学试卷答案一、选择题1.D2.B3.C4.C5.D6.B7.A8.A9.A 10.A 二、填空题11.()11f g =⎡⎤⎣⎦；2x = 12.(0,2]①④ 三、解答题 15.解：有条件知{}5B =，即方程20x px q ++=有两个相同的根5x =，所以 10p =-，25q =16.解：（1）11113326D PAC P DAC DAC V V S PD DA DC PD --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）证明：设O 为AC 、BD 的交点，连接PO在1D DB ∆，PO 是中位线，1//PO D B ∴ 又1D B ⊄平面PAC ，PO ⊂平面PAC 1//D B ∴平面PAC（3）证明：1AB AD == ∴四边形ABCD 是正方形 ∴AC BD ⊥又1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴1B B ⊥AC 而1ACBB B = ∴ AC ⊥平面11BB D D又1B P ⊂平面11BB D D ∴AC ⊥1B P 连接1B O ，由条件知22211113B P D P B D =+=，22232PO DP DO =+=2221192B O BB BO =+=， 显然 22211B O B P PO =+ ∴1B P PO ⊥ 又1B PAC O =∴1B P ⊥平面PAC17.解：此二次函数对称轴为x ＝－1，结合图像知 （1）当0a >时，max ()(2)4f x f == (2)4414f a a =++= ∴308a => （2）当0a <时，max ()(1)4f x f =-= (1)214f a a -=-+= ∴30a =-<综合（1）（2）得 38a =或3- 18.解：（1）由题意得 0x >且20x -≠所以()f x 的定义域为()()0,22,+∞（2）证：设122x x << ()()11212121221211()()lg (lg )lg 2222x x x f x f x x x x x x x x --=+-+=+---- 1201x x << 12lg 0xx ∴< 120x x -< ()()12220x x -->∴12()()f x f x < 则()f x 在()2,+∞为增函数（3）由（2）得，当[]3,5x ∈时，()f x 的值域为1lg31,lg53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦19.解：（1）由图可知，第2年全县鱼池个数为26个，总出产鳗鱼26×1.2＝31.2万只（2）第1年总产量30×1＝30万只，第6年总产量10×2＝20万只，鳗鱼养殖业的规模是减少了（3）由图知，鱼池平均产量满足函数10.20.8y x =+，鱼池总数变化满足函数2434y x =-+，其中16x ≤≤且x ∈N因此，总产量()()20.20.84340.8 3.627.2Q x x x x =+-+=-++所以，当2x =时，Q 最大为31.2万只20.解：（1）令1y =则(1)()(1)2(1)1f x f x f x +=++++， 所以(1)()24f x f x x +-=+， 于是当x N +∈时，有(2)(1)214f f -=⨯+，(3)(2)224f f -=⨯+，(4)(3)234f f -=⨯+，……，()(1)2(1)4f x f x x --=-+将上面各式相加得：2()33f x x x =+-（x N +∈）（2）因为当x N +∈，且2x ≥时，2()33f x x x =+-，所以不等式()(7)(10)f x a x a ≥+-+恒成立，即当x N +∈，且2x ≥时，不等式233(7)(10)x x a x a +-≥+-+，等价于247(1)x x a x -+≥-恒成立，又2x ≥，所以2471x x a x -+≥- 因为2474(1)2211x x x x x -+=-+-≥--（当且仅当4131x x x -==-即时取等号），所以2471x x x -+-的最小值是2，故当2a ≤时满足条件.。