高二下册数学(沪教版)知识点归纳
高中数学(沪教版)知识点归纳
高中数学（沪教版）知识点归纳第一章集合与命题1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。
四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。
2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。
理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。
难点是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。
4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B，那么A是B的子集，记作AB.(2)相等的集合:如果AB,且BA，那么A=B.(3).真子集：AB且B中至少有一个元素不属于A，记作AB.5.集合的运算：(1)交集：AB{某某A且某B}.(2)并集:AB{某某A或某B}.（3）补集：CUA{某某U且某A}.6.充分条件、必要条件、充要条件如果PQ,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
如果PQ,那么P是Q的充要条件。
也就是说，命题P与命题Q是等价命题。
有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。
2.数集有：自然数集N，整数集Z，有理数集Q,实数集R。
3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图。
5.真子集，交集，并集，全集，补集。
6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。
7充分条件与必要条件。
注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。
2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。
沪教版高中数学高二下册第十二章12.5 双曲线的标准方程教案
双曲线及其标准方程(1)一、设计思路：《双曲线及其标准方程》是解析几何教材中，继《椭圆及其标准方程》后的一节概念课。
本节课的设计尝试对双曲线这一节的内容进行综合化处理，教学方法上坚持引导学生将双曲线与已经学过的椭圆反复进行类比，按照问题解决的想法进行重新设计，把适合学生探究的素材还给学生，帮助学生从双曲线的生成过程，有步骤、有层次地建构双曲线的意义，从中体会双曲线与自然及人类社会的密切联系，了解双曲线的价值，增强学生“数学来源于现实生活”的意识，激发其学习兴趣，落实三维一体的教学目标。
二、教学目标：1.掌握双曲线的定义，能恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程。
2.模仿椭圆标准方程的建立，经历双曲线的标准方程的建构过程，发现椭圆与双曲线之间的“情侣关系”，掌握用待定系数法求双曲线标准方程的方法,体验用类比的方法探索新知的过程。
3 .感知双曲线来自于现实世界，让学生具有一定的数学视野，领悟双曲线的科学价值、美学价值。
三、教学重点：双曲线定义的形成及应用。
教学难点：怎样从椭圆的定义探究双曲线的定义；双曲线的“双”的含义及应用，利用基本量a,b,c 直接写出双曲线的标准方程。
四、教学过程：板块一：双曲线的形成过程教师：同学们，请先回忆我们昨天课后作业：P ，Q 为椭圆15422=+y x 上两个动点，且轴x PQ ⊥，A （2，0），B （－2，0），求直线BP 与QA 交点的轨迹方程。
大家想过这个方程的美丽曲线是什么吗？直线是刚，曲线是柔。
曲线是流动、是变化、是生动。
心中有数：[问题1]：已知曲线方程15422=-y x ，已知曲线上P 点的横坐标为x, )0,3(),0,3(21-F F , （1） 求x 的范围；（2）不求P 点的纵坐标，你能求出21,PF PF 吗？它们之间有什么关系？与椭圆类比，设法构造x 的不等式（组）;设法画出方程曲线的示意图；三角换元法，抓住这一机会，培养学生代数推理能力。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程 教案
12.3椭圆的定义及标准方程一、教学目标：1、理解椭圆定义,经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法；2、掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；3、在求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
二、教学重点及难点：（1）重点：椭圆定义及其标准方程； （2）难点：椭圆标准方程的推导；解决难点的关键在于抓住“如何建系”与“如何化简方程”两个环节。
三、教学辅助工具：PPT 课件、几何画板、每人一个自制的椭圆教具。
四、教学过程：（一）创设情境，引入课题 1、创设情境多媒体展示“嫦娥二号”运行轨道视频和图片，欣赏生活中丰富多彩的椭圆。
2、引入课题既然椭圆可以认为由圆演变而来，那么数学中是怎么定义椭圆的呢？ 教师活动：引导学生回忆有关圆的相关知识,引导学生猜想：如何画出椭圆？设计意图：联系生活实际，利于学生的思考与想象。
通过学过的圆的相关知识，引导学生采用类比的思想猜想椭圆，有益于后续教学的顺利进行。
（二）实验探究、形成概念1、实验探究动手实验：取出提前准备好的具有一定长的细绳，并把细绳两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于21,F F 两点的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
通过实验，思考如下问题：(1)在作图的过程中哪些量是变的？ 12MF MF +的和是否变化？ (2) 12MF MF +与12F F 的大小关系是？M2F1F(3)若绳长与两定点12F F 、的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点12F F 、之间的距离吗？ 设计意图：(1) 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲； (2) 通过实验，学生在问题的情境中去探究“在什么样的条件下，点的集合为椭圆”。
2、形成概念 教师活动：(1) 用几何画板动态演示椭圆的形成过程。
第4章 数列 高二数学单元复习(沪教版2020选择性必修第一册)
≥2，
3 考点突破 考点2、等差（等比)数列的判定
∴当n≥2时，
T
1
n＝a11＋a12＋a13＋…＋a1n
＝1＋1×3 42
1－
1 3
n－1
1－1
＝12－4×13n－1，
当 n＝1 时 T1＝14也符合上式，
3
综上，Tn＝12－4×13n－1.
3 考点突破 考点2、等差（等比)数列的判定
2.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an} 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立 ①数列{an}是等差数列；②数列{ Sn}是等差数列；③a2＝3a1.
当
q≠1
时，Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqn
q .
2 知识梳理
(4)等比中项：若 a，A，b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项. 值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且 有两个，即为± ab. 如已知两个正数 a，b(a≠b)的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关 系为 A＞B.
一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和 Sn＝na1＋n（n2－1）d＝d2n2＋ a1－d2 n 是关 于 n 的二次函数且常数项为 0. (2)若公差 d＞0，则为递增等差数列；若公差 d＜0，则为递减等差数列；若公差 d ＝0，则为常数列.
(3)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，则有am＋an＝ap＋aq， 特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列.
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝_33_2_×__1_－___14_n_.
高二下册数学(沪教版)知识点归纳
高二数学下册知识点梳理第11章坐标平面上的直线1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。
点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。
2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。
熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。
3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
根据两个独立条件求出直线方程。
熟练运用待定系数法。
（1）图形与方程图形方程直线laxbyc(,a b 不同时为零) ①（2）直线的几何特征与二元一次方程的代数特征几何特征代数特征点A 在直线上点A 的坐标（x,y ）是方程①的解。
直线l 的方向法向量(,)n a b 直线l 平行的向量方向向量d（u,v ）倾斜角斜率k=a b（3）直线的已知条件与所选直线方程的形式直线的已知条件所选择直线方程的形式已知直线l 经过点),(00y x A 且与向量d =（u,v ）平行点方向式方程vy y ux x 0已知直线l 经过点),(00y x A 且与向量n =（a,b ）垂直点法向式方程0)()(00y yb x xa 已知直线l 经过点),(11y x A 和点),(22y x B 一般式方程0c by ax已知直线l 的斜率为k,且经过点),(00y x A 点斜式方程)(00x xk y y（4）两直线的位置关系：).2,1(:i b x k yl i i i 位置关系系数关系21l l 与相交21k k 21l l 与平行21k k 且21b b 21l l 与重合21k k 且21b b 21l l 与垂直121k k （5）点到直线的距离公式22bacby ax d（6）两直线的夹角公式222221212121cosb a b a b b a a （7）直线的倾斜角的范围是0<,当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为.2第12章圆锥曲线1、内容要目：直角坐标系中，曲线C 是方程F （x,y ）=0的曲线及方程F （x,y ）=0是曲线C 的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。
沪教版高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质——焦点弦的常用结论 教案
AF A' F'
结论 5、抛物线中过焦点的弦的端点作抛物线的切线，交点在准线上.且交点与焦点弦的
中点的连线被抛物线平分.
结论 6、 A', B',C 分别为 A, B, M 在准线上的投影， M 为 AB 的中点.则 ABC , A' B' F 均为 Rt .(抛物线中以过焦点的弦为直径的圆必与准线相切)， AOB 必为钝角三角形。
正确答案： 2 2
分析：
SAOB
=
p2 2sin
=
2
4 sin
3
=2
2.
4
8、（2004 上海春季 4）抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交抛物线于 A,B 两点，则以 F 为圆
心，AB 为直径的圆的方程是_________________.
正确答案：（x −1）2 + y2 = 4
k
2
k
+
2
1
2
p
，特别的有
x1
x2
y1 y2
= =
p2 4 − p2
(其中
x1, x2, y1, y2 分别是 A, B 的横纵坐标。)
3、将问题改为：已知过抛物线 y2 = 2 px 的焦点，倾斜角为 的直线与抛物线交于 A, B 两点，求弦 AB 的
长. 给学生自己思考.
结论 3、抛物线的焦点弦长：| AB |= 2 p .(只要在结论 2 中 k 用 tan 代，给以化
y
−12
=
0
；③得出韦达定理：
2023-2024年上海沪教版高二第二学期期末数学--核心考点11 概率初步(续)(解析版)
核心考点11概率初步（续）目录一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共6小题）二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题）三．条件概率与独立事件（共4小题）四．全概率公式（共2小题）五．离散型随机变量及其分布列（共2小题）六．离散型随机变量的期望与方差（共7小题）七．超几何分布（共1小题）八．二项分布与n次独立重复试验的模型（共4小题）九．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共7小题）考点考向一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…A n）＝P（A1）•P（A2）…P（A n）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【概念】一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）＝（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．三．条件概率与独立事件【知识点的知识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝四．全概率公式【全概率公式】一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P（A i）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝．五．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．六．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…x n…P p1p2…p n…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n＝，Eξ＝（x1+x2+…+x n）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p n…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．七．超几何分布【知识点的知识】一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝K）＝，k＝m，m+1，m+2，...，r．其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．八．二项分布与n次独立重复试验的模型【知识点的知识】1、二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝p k（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记p k（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．2、独立重复试验：（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝p k（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的．（4）独立重复试验概率公式的特点：P n（k）＝p k（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．九．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．考点精讲一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共6小题）1．（2022春•闵行区校级期末）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是0.87．【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可．【解答】解：从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是0.7×0.9+0.3×0.8＝0.87．故答案为：0.87．【点评】本题考查相互独立事件乘法公式的运用，是基础题．2．（2022春•闵行区校级期末）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为．（结果用最简分数表示）【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可解．【解答】解：记实验甲、乙、丙成功分别为事件A，B，C，且它们相互独立，故实验甲、乙、丙各进行一次，至少有一次成功的概率为：P＝（1﹣）＝1﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，对立事件概率公式，属于基础题．3．（2022春•宝山区校级期末）已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数给出下列命题：①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】【解答】解：由题意：P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝＝，因为事件AB：从甲袋中取出的球的编号是偶数，乙袋中取出的球的编号是奇数，所以P（AB）＝＝，因为事件BC：甲乙两袋中取出的球的编号都是奇数，所以P（BC）＝＝，因为事件AC：甲乙两袋中取出的球的编号都是偶数，P（AC）＝＝，则P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C），P（AC）＝P（A）P（C），所以A，B相互独立，B，C相互独立，A，C相互独立，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，是基础题．4．（2022春•黄浦区校级期中）甲、乙两人进行投篮比赛，且两人每次投篮是否命中互不影响．已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为0.8和0.6．（1）甲、乙各投一次篮，则甲命中且乙未命中的概率为0.32；（2）甲、乙各投两次篮，则甲比乙多命中一次的概率为0.3584．【分析】（1）根据对立事件性质，独立事件乘法公式求解；（2）分情况讨论：甲命中2次，乙命中1次；甲命中1次，乙命中0次，仍利用根据对立事件性质，独立事件的乘法公式计算．【解答】解：设甲和乙投篮命中分别为事件A，B，依题意P（A）＝0.8，P（B）＝0.6，根据对立事件性质，独立事件乘法公式，甲、乙各投一次篮，则甲命中且乙未命中的概率为：P（A）＝P（A）P（）＝P（A）（1﹣P（B））＝0.8×0.4＝0.32，甲、乙各投两次篮，则甲比乙多命中一次，意味着甲命中2次，乙命中1次；甲命中1次，乙命中0次，概率为：P＝×0.4×0.4＝0.3584．故答案为：0.32，0.3584．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2022春•徐汇区校级期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电．（1）假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；（2）若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的次品率分别为4%、2%、5%，．现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少？【分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解；（2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可．【解答】解：（1）第3次才抽到合格品的概率；（2）设B＝“从一批产品中检查出1个次品”，A1＝“零件为甲车间加工”，A2＝“零件为乙车间加工”，A3＝“零件为丙车间加工”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题意可知，P（A1）＝0.45，P（A2）＝0.35，P（A3）＝0.2，P（B|A1）＝0.04，P（B|A2）＝0.02，P（B|A3）＝0.05，由全概率公式可得，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05＝0.035，则该次品来自甲车间的概率＝＝，该次品来自乙车间的概率，该次品来自丙车间的概率．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率的概率公式，属于基础题．6．（2022春•闵行区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．【分析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率．（3）设A为甲输，B为乙输，C求出丙最终获胜的概率．【解答】解：（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝（）4＝．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，丙上场后连胜三场的概率为，∴需要进行第五场比赛的概率为：P＝1﹣＝．（3）设事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACCB、BCACB、BCABC、BCBAC，则甲赢终的概率为：P＝（）4+（）5×7＝；由对称性可知：乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙获胜的概率为P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题）7．（2021春•长宁区校级期末）设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0.8【分析】利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式直接求解．【解答】解：设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，∴该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：p＝1﹣（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.8．故答案为：0.8．【点评】查运算求解能力，是基础题．8．（2022秋•徐汇区校级期末）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率．【分析】由题知俞女士每次投篮互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件A i，则P（A i）＝，她至多四次投篮就能结束分投篮次数为2次，3次，4次，由此求出结果．【解答】解：由题知俞女士每次投篮互不影响，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，记俞女士每次投篮命中为事件A i，i＝1，2，3，4，则P（A i）＝，∵只要连续两次命中就结束投篮练习，∴投篮2次结束的概率为P＝P（A1A2）＝＝，投篮3次结束的概率为P＝P（）＝＝，投篮4次结束的概率为P＝P（）+P（）＝＝，∴她至多四次投篮就能结束的概率P＝．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2021春•徐汇区校级月考）已知10件产品中有2件次品．（1）任意取出4件产品检验，求其中恰有1件次品的概率；（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率在0.6以上，至少应抽取几件产品作检验？【分析】（1）基本事件总数n＝＝210，其中恰有1件次品包含的基本事件个数m＝＝112，由此能求出其中恰有1件次品的概率；（2）设应抽取x件产品作检验，则，由此能求出至少应抽取8件产品作检验．【解答】解：（1）10件产品中有2件次品，任意取出4件产品检验，基本事件总数n＝＝210，其中恰有1件次品包含的基本事件个数m＝＝112，∴其中恰有1件次品的概率为P＝＝＝；（2）设应抽取x件产品作检验，则，得x2﹣x﹣54＞0，解得x≥8，所以至少应抽取8件产品作检验．【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．10．（2022秋•嘉定区校级期中）已知甲同学在玩“电子抽卡游戏”，假设每次抽取1张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为0.6%，那么该同学在50次抽取后，一次也没获得“稀有卡”的概率为0.74．（结果精确到1%）【分析】由题意，利用n次独立重复实验中签好发生k次的概率计算公式，结合二项式定理，得出结论．【解答】解：每次抽取1张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为（1﹣0.6%）50，那么该同学在50次抽取后，一次也没获得“稀有卡”的概率为×（0.6%）0（1﹣0.6%）50＝（1﹣0.006）50＝﹣×0.006+×0.0062+•••+×0.00650≈﹣×0.006+×0.0062＝1﹣0.3+0.044≈0.74，故答案为：0.74．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中签好发生k次的概率，二项式定理的应用，属于中档题．三．条件概率与独立事件（共4小题）11．（2022春•杨浦区校级期末）有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9．从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则P（B|A）＝．【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：由题意可得，P（A）＝，P（AB）＝，故P（B|A）＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．12．（2022春•徐汇区校级期末）设某种宠物小狗活到18岁的概率是0.6，活到25岁的概率是0.2．现有一只18岁的该种宠物小狗，问它活到25岁的概率是．【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：设某种宠物小狗活到18岁的事件为A，活到25岁的事件为B，由题意可知，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.2，故P（B|A）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．13．（2022春•闵行区校级期末）设随机事件A，B，已知P（A）＝0.4，P（B|A）＝0.3，P（B|）＝0.2，则P（AB）＝0.12，P（B）＝0.24．【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：∵P（A）＝0.4，P（B|A）＝0.3，∴P（AB）＝P（A）P（B|A）＝0.4×0.3＝0.12，∵P（A）＝0.4，∴，∴，∴P（B）＝P（AB）+＝0.12+0.12＝0.24．故答案为：0.12；0.24．【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．14．（2022春•浦东新区校级期末）假设某种动物生存到1岁的概率为0.3，生存到10岁的概率为，则一只恰好1岁的该动物生存到10岁的概率为．【分析】根据条件概率公式计算即可．【解答】解：某种动物生存到1岁为事件A，生存到10岁为事件AB，某种动物生存到1岁的概率为0.3，生存到10岁的概率为，恰好1岁的该动物生存到10岁的概率为P（B|A）＝＝＝．故答案为：．【点评】四．全概率公式（共2小题）15．（2023•宝山区校级模拟）设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是0.92，0.95，0.94，若这三个供应商的供货比例为3：2：1，那么这个部件的总体良品率是（用分数作答）．【分析】部件的总体良品率是，计算得到答案．【解答】解：部件的总体良品率是：．故答案为：．【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．16．（2022春•闵行区校级期末）袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则P（B|A）＝．【分析】利用条件概率公式能求出结果．【解答】解：P（B|A）＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查全概率公式及条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五．离散型随机变量及其分布列（共2小题）17．（2022秋•嘉定区月考）某路口在最近一个月内发生重大交通事故数X服从如下分布：，则该路口一个月内发生重大交通事故的平均数为1.2（精确到小数点后一位）．【分析】根据离散型随机变量的期望公式计算即可．【解答】解：由题意得，E（X）＝0×0.301+1×0.362+2×0.216+3×0.087+4×0.026+5×0.006+6×0.002≈1.2．故答案为：1.2．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的计算，是基础题．18．（2023•嘉定区模拟）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）＝，P（X≤19）＝．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）＝．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n＝19时，费用的期望和当n＝20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X＝16）＝（）2＝，P（X＝17）＝，P（X＝18）＝（）2+2（）2＝，P（X＝19）＝＝，P（X＝20）＝＝＝，P（X＝21）＝＝，P（X＝22）＝，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）＝＝．P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）＝+＝．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）＝+＝．买19个所需费用期望：EX1＝200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×＝4040，买20个所需费用期望：EX2＝+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×＝4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，当n＝19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，当n＝20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．六．离散型随机变量的期望与方差（共7小题）19．（2022秋•虹口区校级期末）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列如图，则当p在（0，1）内增大时，（）ξ012PA．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性．【解答】解：∵，∴，∵，∴D（ξ）先增后减．故选：D．【点评】本题主要考查数学期望、方差的公式，属于基础题．20．（2022秋•徐汇区校级期末）已知随机变量ξ～B（2n，p），n∈N*，n≥2，0＜p＜1，记f（t）＝P（ξ＝t），其中t∈N，t≤2n，现有如下命题：①；②若np＝6，则f（t）≤f（12），下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】根据已知得出．取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断f（t）的增减性．讨论（2n+1）p②真假．【解答】解：由已知可得，．对于命题①，当时，．因为＝，＝，所以．所以，所以，所以①为假命题；对于命题②，若ξ～B（2n，p）.＝＝＝．当t+1＜（2n+1）p时，f（t+1）＞f（t），f（t）随着t的增加而增加；当t+1＞（2n+1）p时，f（t+1）＜f （t），f（t）随着t的增加而减小．当（2n+1）p为整数时，t＝（2n+1）p或t＝（2n+1）p﹣1时，f（t）有最大值；当（2n+1）p不为整数时，t为（2n+1）p的整数部分时，f（t）有最大值．因为（2n+1）p＝12+p，0＜p＜1，所以当t＝12时，f（t）最大，所以有f（t）≤f（12），所以②为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断以及离散型随机变量和二项式定理的运用，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题．21．（2022秋•宝山区校级期末）已知，随机变量ξ、η相互独立，随机变量ξ的分布为，η的分布为，则当p在内增大时（）A．E（ξ+η）减小，D（ξ+η）增大B．E（ξ+η）减小，D（ξ+ηC．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）增大D．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）减小【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解．【解答】解：由题意可得：，E（η）＝（﹣1）×（1﹣p）+1×p＝2p﹣1，所以，所以当p在（0，）内增大时，E（ξ+η）增大，；D（η）＝（﹣2p）2×（1﹣p）+（2﹣2p）2×p＝4p﹣4p2，所以，所以当p在（0，）内增大时，D（ξ+η）增大．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．22．（2022秋•宝山区校级期末）设0＜a≤b，随机变量X的分布是，则E（X）的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据概率之和为1找到a，b之间的关系，用a，b表示出E（X），结合不等关系求出E（X）的范围．【解答】解：根据分布列的性质可知：，结合题干条件0＜a≤b可解得：，而E（X）＝1•a+2•b+4•（a+b）＝5a+6b＝，于是，故选：B．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，属于中档题．23．（2022秋•金山区校级期中）中国共产党第二十次代表大会报告指出：教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑，某项人才选拔的测试，共有25道选择题构成，每道题均有4个选项，其中只有1个是正确的．该测试满分为150分，每题答对得6分，未作答得2分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为T1、T2、T3、T4、T5）均没有把握答对．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在4个选项中随机地选择1个．已知甲只能排除T1、T2、T3中各1个错误选项，故甲决定只作答这三题，放弃T4、T5．（1）求甲的总分不低于130分的概率；（2）求甲的总分的概率分布；（3）已知乙能排除T1、T2、T3中各2个错误选项，能排除T4中1个错误选项，但无法排除T5中的任一错误选项．试问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的期望最大，并说明理由．【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；（2）设甲的总分为随机变量X，依题意可得X的可能值为124，130，136，求出所对应的概率，即可求出。
上海沪教版教材高中数学知识点总结
目录一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 \八、平面向量九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计【一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ?子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件 }p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定】M, p(x ）否定为: M, )(X p ⌝ M, p(x ）否定为: M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα—注：若0<a ，转化为0>a 情况2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式?①ab b a 222≥+②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性|f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)…或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反、3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=￥奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0；四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n na a 1=- m nm na a =2．对数式 b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =na ab b n log log =ab log 1=》注：性质01log =a 1log =a a Na Na =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x 与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性注：y=a x 与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x y%αx y =在第一象限图象如下：?五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”》)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方y=f(x)cb aoyxy=|f(x)|cb aoyx,→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边y=f(x)cb aoyxy=f(|x|)cb aoyx3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点（条件：在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根α>101<<αα<0②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f?则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f,2+2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy =αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”）5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值α6π4π 3π ！2π π23π sin α21 22 23 { 1 0 1- cos α 123 2221 |1-0 tg α33 13[/0 /7．基本公式 同角1cos sin22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±y=sinxy=cosx y=tanx图象`&sinx cosx tanx 值域[-1，1][-1，1] 无 奇偶 !奇函数偶函数 奇函数 周期2π2ππ对称轴-2/ππ+=k xπk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk*倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增~注：Zk ∈9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a sin :sin :sin ::=、余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C= B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列、定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则qp n m a a a a +=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n qa a？求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法·八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 b a ⋅=θcos ⋅=2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：=⋅3．基本定理 2211e e a λλ+=（21,e e不共线--基底）<平行：⇔//λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x模：a ＝22y x +=+=+2)(夹角：=θcos ||||b a 注：①0∥a ②()()⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立$九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -= 模：22b a z +=2z z z =⋅|复平面：复数z 对应的点),(b a2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)= 乘法：（a+bi ）（c+di ）= 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i rr k i i=+4 3．合情推理类比：特殊推出特殊 (归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因 |分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……，这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立, (2)假设当n=k(k N* ，k1)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立￥由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x位置关系相切相交'相离几何特征d r =d r <d r >代数特征0=△0>△"<△一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x =!②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件） 平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =\5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长…AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹》二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0)顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a x a,-b y b双曲线|x| a ，y R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b :椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长、离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a b y ±= 方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴）开口（向右） 范围x 0 离心率e=1!焦点)0,2(p F准线2px -=十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量 |2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句“IF —THEN —ELSE ”语句 “IF —THEN ”语句程序框 名称功能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学下册知识点梳理
第11章坐标平面上的直线
1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线
方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。
点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。
2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：
直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。
熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。
3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表
示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
根据两个独立条件求出直线方程。
熟练运用待定系数法。
k=
a -
）直线的已知条件与所选直线方程的形式
（4）两直线的位置关系：).2,1(:=+=i b x k y l i i i
（5）点到直线的距离公式2
2
00b
a c by ax d +++=
（6）两直线的夹角公式2
2
222
1
2
12121cos b a b a b b a a +++=
α
（7）直线的倾斜角α的范围是α≤0<π,当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜
角为
.2
π
第12章 圆锥曲线
1、 内容要目：直角坐标系中，曲线C 是方程F （x,y ）=0的曲线及方程F （x,y ）=0是曲
线
C 的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的性质。
2、 基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是否在曲线
上及求曲线的交点。
掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这些曲线方程的基本方法。
求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。
利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析法解决相应的几何问题。
3、 重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究几何的方
法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几何问题。
4、 椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格
第13章 复数
1、 内容要目：⑴复数的有关概念：复数，虚数，纯虚数，复数的实部和虚部，复数的
相等，复数的共轭。
⑵复平面的有关概念：复平面，实轴与虚轴，复数的坐标表示，复数的向量表示，复数的模，复平面上两点的距离。
⑶复数的运算：加、减、乘、除、乘方，平方根，立方根（仅限于1的平方根的应用），复数的积、商与乘法的模，实系数一元二次方程。
2、 基本要求：掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，会进行复数的四则运算
法则，会求复数的平方根，会利用1的平方根求复数的立方根。
会求复数的模，会
计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论
2
z z z =⋅的结论，会求复数的
模的最大值与最小值。
会在复数集内解实系数一元二次方程。
3、 重难点：复数的模，模是实数，复数的模的综合问题。