信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析(1)
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傅里叶变换及系统的频域分析
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
信号与系统王明泉第三章习题解答
（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
华南师范大学837信号与系统2020年考研专业课初试大纲
837 信号与系统 第 1 章 信号与系统 （1）掌握信号的基本描述方法、分类及其基本运算； （2）掌握系统的基本概念和描述方法，掌握线性时不变系统的概念；
（3）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义以及性质。 第 2 章 连续系统的时域分析 （1）了解从物理模型建立连续时间系强迫响 应等概念； （3）掌握系统的冲激响应概念； （4）掌握卷积积分的概念及其性质； （5）掌握零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法。 第 3 章 离散系统的时域分析 （1）掌握离散时间系统的差分方程描述； （2）掌握离散系统的单位样值（序列）响应； （3）掌握卷积和的概念及计算； （4）掌握离散系统零输人响应和零状态响应的求解方法。 第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析 （1）掌握周期信号的傅里叶级数展开； （2）掌握信号频谱的概念及其特性；了解实信号频谱的特点； （3）掌握傅里叶变换、常用傅里叶变换对及傅里叶基本性质；
（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法； （5）掌握系统的频域传输函数的概念； （6）掌握理想低通滤波器特性，了解系统延时、失真、因果等概念；
（7）掌握线性系统的不失真传输条件； （8）掌握连续信号的理想取样模型及取样定理。 第 5 章 连续系统的 s 域分析 （1）掌握单边拉普拉斯变换的定义和常用变换对； （2）掌握单边拉普拉斯变换的性质； （3）掌握拉普拉斯逆变换的计算方法（部分分式分解法）； （4）掌握连续系统的拉普拉斯变换分析方法； （5）掌握连续系统的框图描述。 第 6 章 离散系统的 z 域分析 （1）掌握 z 变换的定义、收敛域及常用变换对。 第 7 章 系统函数 （1）掌握系统函数的系统函数的定义、物理意义、零极点的概念及 系统函数和时域、频域响应之间的关系； （2）掌握系统因果性和稳定性概念以及系统是稳定系统的充分必要 条件。
（3）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义以及性质。 第 2 章 连续系统的时域分析 （1）了解从物理模型建立连续时间系强迫响 应等概念； （3）掌握系统的冲激响应概念； （4）掌握卷积积分的概念及其性质； （5）掌握零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法。 第 3 章 离散系统的时域分析 （1）掌握离散时间系统的差分方程描述； （2）掌握离散系统的单位样值（序列）响应； （3）掌握卷积和的概念及计算； （4）掌握离散系统零输人响应和零状态响应的求解方法。 第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析 （1）掌握周期信号的傅里叶级数展开； （2）掌握信号频谱的概念及其特性；了解实信号频谱的特点； （3）掌握傅里叶变换、常用傅里叶变换对及傅里叶基本性质；
（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法； （5）掌握系统的频域传输函数的概念； （6）掌握理想低通滤波器特性，了解系统延时、失真、因果等概念；
（7）掌握线性系统的不失真传输条件； （8）掌握连续信号的理想取样模型及取样定理。 第 5 章 连续系统的 s 域分析 （1）掌握单边拉普拉斯变换的定义和常用变换对； （2）掌握单边拉普拉斯变换的性质； （3）掌握拉普拉斯逆变换的计算方法（部分分式分解法）； （4）掌握连续系统的拉普拉斯变换分析方法； （5）掌握连续系统的框图描述。 第 6 章 离散系统的 z 域分析 （1）掌握 z 变换的定义、收敛域及常用变换对。 第 7 章 系统函数 （1）掌握系统函数的系统函数的定义、物理意义、零极点的概念及 系统函数和时域、频域响应之间的关系； （2）掌握系统因果性和稳定性概念以及系统是稳定系统的充分必要 条件。
第章_傅里叶变换和系统的频谱分析
2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
2019/7/26
4
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
2019/7/26
9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
信号与系统—信号的频域分析
信号与系统—信号的频域分析频域分析是指将信号从时间域转换为频域的过程，并通过对信号在频域上的性质和特征进行分析与研究。
频域分析对于理解信号的频率特性、频谱分布等方面的特性有很大的帮助，是信号处理领域中不可或缺的分析工具。
频域分析的基本方法之一是傅里叶变换。
傅里叶变换可以将连续时间域中的信号转换为离散频域中的信号，也可以将离散时间域中的信号转换为连续频域中的信号。
它通过将信号分解为不同频率的正弦波的组合来分析信号的频谱分布。
傅里叶变换的基本公式为：两个公式其中，X(f)表示信号在频域中的频谱，x(t)表示信号在时间域中的波形，f表示频率。
傅里叶变换得到的频谱图可以展示信号在不同频率上的能量分布情况，从而能够更直观地了解信号的频率成分。
频谱图通常以频率为横轴，信号在该频率上的幅度或相位为纵轴，用于描述信号在频域中的变化情况。
除了傅里叶变换，还有其他一些常用的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
离散傅里叶变换是对离散时间域中的信号进行频域分析的方法，快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。
频域分析主要包括信号的频谱分析和系统的频率响应分析两个方面。
在信号的频谱分析中，我们可以通过观察信号在频域上的能量分布情况来判断信号的频率成分、频率范围等信息。
而在系统的频率响应分析中，我们可以通过研究系统在不同频率上的响应特性来了解系统对不同频率信号的传输、增益、衰减等情况。
频域分析在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理领域中，频域分析可以用于声音信号的频谱分析和音效处理等方面。
在通信系统中，频域分析可以用于信号的调制解调、信道估计、信号检测等。
在图像处理中，频域分析可以用于图像的锐化、降噪、压缩等方面。
总结起来，信号的频域分析是信号与系统课程中的重要内容，它通过将信号从时间域转换为频域来研究信号的频率特性和频谱分布等问题。
傅里叶变换是频域分析中常用的方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦波的组合。
最新课件-信号与系统教学第四章傅里叶变换和系统的频域分析 推荐
t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z
傅里叶理论与信号系统的频域分析
2 m
N
(m
1)
，且
N 和 m 无公因子，则 x[n] 可
确定一个基波周期为N的信号。将 x[n] 改写为：
x[n]
1
jm2 n
e N
1
jm2 n
eN
2j
2j
• 则：
am
1 2j
,
am
1 2j
,
其余 ak 0（在一个周期内）
•
if
N =5, m=3,
then
a3
1 2j
,
a3
1 2j
=a2 ,
35
• 【例2.6】
大连理工大学
36
§2.4 连续时间信号的傅里叶变换
2 N
–谐波集：
k (n) ejk0n e , jk(2 /N )n k 0, 1, 2,
大连理工大学
26
• 离散谐波的特点
–在谐波集中，所有信号都是周期信号，且所有信号的 基波频率均为 2 / N 的整倍数，因此所有信号之间构 成谐波关系。
–由于离散时间周期性复指数信号关于频率的周期性， 满足
N N m0
2 N1
jk (2 / N ) N1
jk (2 / N )m
m0
• 这样， ak
1 N
2 N1
1 e jk (2 / N ) N1 e 1 e m0
jk 2 (2 N11)/ N jk (2 / N )
1 sin[2 k(N1 1/ 2) / N ] , k 0, N , 2N ,
大连理工大学
9
• 傅里叶理论的出现
– 1807年，Fourier完成有关Fourier级数的论文，由4位科 学家评审。
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. 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n 1t }
2019/6/6
28
一、三角函数的傅里叶级数:
f(t)a0 (anco n 1 stbnsin n1t) n 1
直流 分量
2019/6/6
n =1
基波分量
1
2 T
n>1
谐波分量
n1
29
直流系数
1
a0
T
t0T t0
V2
c12V2
12
c1V 22V 1co sV 1 V 2 V c 2 o sV V 1.V 22
c12
V1.V2 V22
c12 表示 V 1 和 V 2 互相接近的程度
当V1 、 V2完全重合，则 0,c121
随夹角增大，c12减小；
当 90o,c120， V1 和 V2相互垂直
lim 2 0
n
f(t) crgr(t) r1
t2 t1
n
f2(t)dt cr2Kr
r1
t2 t1
gr2(t)dtKr
帕斯瓦尔(Parseval)方程
2019/6/6
25
另一种定义：在正交集 gi(t) 之外
再没有一有限能量的x(t)满足以下条件
tt12x(t)gi(t)dt0 三角函数集 cons1t n
10
§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
2019/6/6
11
一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12V2
2019/6/6
V1 Ve
V2
c12V2
V1 Ve
n个函数 g 1(t)g ,2(t) ,gn(t) 构成一函数集，
如在区间 (t1, t2 ) 内满足正交特性，即
t1 t2gi(t)gj(t)d t0 (ij)
t2 t1
gi2(t)dtKi
则此函数集称为正交函数集
2019/6/6
21
在（t1,t2）区间，任意函数f(t) 可由n个正交的函数的 线性组合近似
在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数201学9/6/上6 深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想6 法。
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中
mn mn
2019/6/6
32
周期信号的另一种 三角函数正交集表示
f(t)C0 Cncon s1t(n) n1
f(t)d0 dnsin(n1tn)
n1
2019/6/6
33
比较几种系数的关系
a0 C0 d0
Cndn an 2bn 2
f(t)c1g1(t)c2g2(t) cngn(t)
n
crgr(t) r1
c 由最小均方误差准则，要求系数 i 满足
ci
t2
t1
f(t)gi(t)d tt12gi2(t)d t
t1
Ki
t2
t1
f(t)gi(t)dt
2019/6/6
22
在最佳逼近时的误差能量
2t21 t1t1 t2
t2 t1
f1
(t
)
f
* 2
(t
)dt
t2 t1
f2
(t
)
f
* 2
(t
)dt
两复变函数正交的条件是
tt1 2f1(t)f2 *(t)d ttt1 2f1 *(t)f2(t)d t0
2正交集表示信号
2t2 1t1tt12f2(t)d trn 1cr2Kr
(0t) (t2)
试用sint 在区间（0，2 π）来近似 f(t)。
2019/6/6
f(t)
c12
1 0
1
2
t
18
2
解：
f (t)sintdt
c12 0 2 sin2tdt
0
1
2
[0sitndt (sitn )d]t
f(t)
4
所以：
c12
第四章 傅里叶变换
引言
§4.1 信号分解为正交函数
§4.2 周期信号的频谱分析 §4.3 典型周期信号的频谱
§4.4 非周期信号的频谱分析
§4.5 典型非周期信号的频谱
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1
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的， 这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交 分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
c 12
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，则误差能量 2 最小
15
1
c12 t2t1
tt12 [f1(t)c12 f2(t)2 ]d t0
t2 1t1 tt1 2 c 12 f1 2(t)d t2tt2f1(t)f2(t)dt
2c12
t2 t1
s in n1tn
e 复指数函数集
jn1t
n
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其它正交函数系
沃尔什函数集 勒让德多项式 切比雪夫多项式
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§4.2 周期信号的频谱分析
周期信号可展开成正交函数线性组合的 无穷级数：
. 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn1t, sinn1t}
“非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
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9
变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 j
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
zesT e(j )T
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n
f2(t)d t
cr2Kr
r1
归一化正交函数集：
t2 t1
gi2
(t
)dt
1
ci
t2 t1
f(t)gi
(t)d
t
2t2 1t1 tt12f2(t)d t rn 1cr2
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复变函数的正交特性
f1(t)c12f2(t) c12
已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成就。
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7
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用
三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶
级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断
言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调
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VVx Vy VVxVyVz
Vy
V
Vz
V
Vx
二维正交集
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Vy
Vx
三维正交集
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二、 正交函数
f 1 ( t) c 1f 2 ( t) ( t1 t t2 )
2(t21 t1)t1 t2[f1(t)c12 f2(t)2]dt
令 2 0
f(t)dt
余弦分量系数
anT 2tt00Tf(t)cons(1t)td
正弦分量系数
bnT 2 tt00Tf(t)sin n(1t)td
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狄利赫利条件：
在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即
t0T f(t)dt t0
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4
傅里叶生平
1768年生于法国
1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示”
1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
拉格朗日反对发表
1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
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5
傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 )
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一、三角函数的傅里叶级数:
f(t)a0 (anco n 1 stbnsin n1t) n 1
直流 分量
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n =1
基波分量
1
2 T
n>1
谐波分量
n1
29
直流系数
1
a0
T
t0T t0
V2
c12V2
12
c1V 22V 1co sV 1 V 2 V c 2 o sV V 1.V 22
c12
V1.V2 V22
c12 表示 V 1 和 V 2 互相接近的程度
当V1 、 V2完全重合，则 0,c121
随夹角增大，c12减小；
当 90o,c120， V1 和 V2相互垂直
lim 2 0
n
f(t) crgr(t) r1
t2 t1
n
f2(t)dt cr2Kr
r1
t2 t1
gr2(t)dtKr
帕斯瓦尔(Parseval)方程
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另一种定义：在正交集 gi(t) 之外
再没有一有限能量的x(t)满足以下条件
tt12x(t)gi(t)dt0 三角函数集 cons1t n
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§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
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一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12V2
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V1 Ve
V2
c12V2
V1 Ve
n个函数 g 1(t)g ,2(t) ,gn(t) 构成一函数集，
如在区间 (t1, t2 ) 内满足正交特性，即
t1 t2gi(t)gj(t)d t0 (ij)
t2 t1
gi2(t)dtKi
则此函数集称为正交函数集
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在（t1,t2）区间，任意函数f(t) 可由n个正交的函数的 线性组合近似
在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数201学9/6/上6 深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想6 法。
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中
mn mn
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周期信号的另一种 三角函数正交集表示
f(t)C0 Cncon s1t(n) n1
f(t)d0 dnsin(n1tn)
n1
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33
比较几种系数的关系
a0 C0 d0
Cndn an 2bn 2
f(t)c1g1(t)c2g2(t) cngn(t)
n
crgr(t) r1
c 由最小均方误差准则，要求系数 i 满足
ci
t2
t1
f(t)gi(t)d tt12gi2(t)d t
t1
Ki
t2
t1
f(t)gi(t)dt
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在最佳逼近时的误差能量
2t21 t1t1 t2
t2 t1
f1
(t
)
f
* 2
(t
)dt
t2 t1
f2
(t
)
f
* 2
(t
)dt
两复变函数正交的条件是
tt1 2f1(t)f2 *(t)d ttt1 2f1 *(t)f2(t)d t0
2正交集表示信号
2t2 1t1tt12f2(t)d trn 1cr2Kr
(0t) (t2)
试用sint 在区间（0，2 π）来近似 f(t)。
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f(t)
c12
1 0
1
2
t
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解：
f (t)sintdt
c12 0 2 sin2tdt
0
1
2
[0sitndt (sitn )d]t
f(t)
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所以：
c12
第四章 傅里叶变换
引言
§4.1 信号分解为正交函数
§4.2 周期信号的频谱分析 §4.3 典型周期信号的频谱
§4.4 非周期信号的频谱分析
§4.5 典型非周期信号的频谱
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1
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的， 这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交 分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
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，则误差能量 2 最小
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1
c12 t2t1
tt12 [f1(t)c12 f2(t)2 ]d t0
t2 1t1 tt1 2 c 12 f1 2(t)d t2tt2f1(t)f2(t)dt
2c12
t2 t1
s in n1tn
e 复指数函数集
jn1t
n
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其它正交函数系
沃尔什函数集 勒让德多项式 切比雪夫多项式
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§4.2 周期信号的频谱分析
周期信号可展开成正交函数线性组合的 无穷级数：
. 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn1t, sinn1t}
“非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
2019/6/6
9
变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 j
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
zesT e(j )T
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f2(t)d t
cr2Kr
r1
归一化正交函数集：
t2 t1
gi2
(t
)dt
1
ci
t2 t1
f(t)gi
(t)d
t
2t2 1t1 tt12f2(t)d t rn 1cr2
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复变函数的正交特性
f1(t)c12f2(t) c12
已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成就。
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书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用
三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶
级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断
言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调
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VVx Vy VVxVyVz
Vy
V
Vz
V
Vx
二维正交集
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Vy
Vx
三维正交集
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二、 正交函数
f 1 ( t) c 1f 2 ( t) ( t1 t t2 )
2(t21 t1)t1 t2[f1(t)c12 f2(t)2]dt
令 2 0
f(t)dt
余弦分量系数
anT 2tt00Tf(t)cons(1t)td
正弦分量系数
bnT 2 tt00Tf(t)sin n(1t)td
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狄利赫利条件：
在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即
t0T f(t)dt t0
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傅里叶生平
1768年生于法国
1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示”
1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
拉格朗日反对发表
1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
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傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 )