1 .3 三角函数的计算
三角函数值的计算方法
三角函数值的计算方法三角函数是数学中非常重要且常用的概念之一，主要用于描述角度和边长之间的关系。
在三角函数中，最常见的是正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数的计算方法有以下几种。
一、利用特殊角的三角函数值：1.0度和360度的三角函数值：正弦函数：sin(0°) = 0，sin(360°) = 0余弦函数：cos(0°) = 1，cos(360°) = 1正切函数：tan(0°) = 0，tan(360°) = 02.30度和150度的三角函数值：正弦函数：sin(30°) = 1/2，sin(150°) = 1/2余弦函数：cos(30°) = √3/2，cos(150°) = -√3/2正切函数：tan(30°) = 1/√3，tan(150°) = -1/√34.60度和120度的三角函数值：正弦函数：sin(60°) = √3/2，sin(120°) = √3/2余弦函数：cos(60°) = 1/2，cos(120°) = -1/2正切函数：tan(60°) = √3，tan(120°) = -√35.90度的三角函数值：正弦函数：sin(90°) = 1余弦函数：cos(90°) = 0正切函数：tan(90°) = 无穷大二、利用角度的周期性：由于三角函数的周期为360度(或2π)，所以对于大于360度的角度，可以利用三角函数的周期性进行计算。
三、借助三角函数的特征：1. 互余函数：余弦函数与正弦函数互为相反数，即sin(θ) =cos(90°-θ)，而cos(θ) = sin(90°-θ)。
2. 倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)，cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)，tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan^2(θ))。
23.1.3特殊角三角函数值的计算
45°
60°
2 2 3 2
3
这张表还可以看出许多知识 之间的内在联系?
例1 计算: (1)sin30°+ cos45°;
(2) sin260°+ cos260°- tan45°.
解: (1)sin30°+ cos45°
1 2 1 2 . 2 2 2
sin260°表示(sin60°)2, cos260°表示(cos60°)2, 其余类推.
(2) sin260°+cos260°-tan45°注意:
2 3 1 1 2 2 2
3 1 1 4 4
0.
例2.如图,身高1.7m的小明用一个两锐角 分别是30°和60° 的三角尺测量一棵树 的高度.已知他与树之间的距离为5m,那 么这棵树大约有多高?（精确0.1m）
2. 30°，45°，60°的三角函数值
第1课时 特殊角三角函数值的计算
沪科版·九年级上册
新课导入
如图,观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们 分别等于多少度? (1)sin30°等于多少?
(2)cos30°等于多少? 2
2
450 450 300
1
600
3
┌
(3)tan30°等于多少? （4）45°角的三角函数值分别是多少? （5）60°角的三角函数值分别是多少?
1
┌
1
课本P117 操作 （自主完成）
推进新课
根据上面的计算,完成下表: 特殊角的三角函数值表 三角函数 正弦sinα 锐角α 余弦 cosα 正切tanα
30°
45° 60°
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角α 30° 正弦 sinα
高中三角函数的所有公式
高中三角函数的所有公式三角函数是数学中的一种基本函数，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在高中数学中，我们学习了三角函数的基本概念和性质，以及一系列的公式。
下面，我们来逐一介绍这些公式。
1. 正弦函数的定义式：sinθ = 对边/斜边正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。
在三角形中，对于一个角θ，它的正弦值等于这个角的对边长度与斜边长度的比值。
2. 余弦函数的定义式：cosθ = 邻边/斜边余弦函数也是三角函数中的基本函数之一，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
在三角形中，对于一个角θ，它的余弦值等于这个角的邻边长度与斜边长度的比值。
3. 正切函数的定义式：tanθ = 对边/邻边正切函数是三角函数中的另一个基本函数，它表示一个角的对边与邻边的比值。
在三角形中，对于一个角θ，它的正切值等于这个角的对边长度与邻边长度的比值。
4. 余切函数的定义式：cotθ = 邻边/对边余切函数是正切函数的倒数，它表示一个角的邻边与对边的比值。
在三角形中，对于一个角θ，它的余切值等于这个角的邻边长度与对边长度的比值。
5. 正割函数的定义式：secθ = 斜边/邻边正割函数是余弦函数的倒数，它表示一个角的斜边与邻边的比值。
在三角形中，对于一个角θ，它的正割值等于这个角的斜边长度与邻边长度的比值。
6. 余割函数的定义式：cscθ = 斜边/对边余割函数是正弦函数的倒数，它表示一个角的斜边与对边的比值。
在三角形中，对于一个角θ，它的余割值等于这个角的斜边长度与对边长度的比值。
7. 三角函数的基本关系式：sin²θ + cos²θ = 1这是三角函数中最基本的关系式之一，它表示正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。
这个关系式在三角函数的计算中非常重要，可以用来推导其他的三角函数公式。
8. 三角函数的和差公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦、正切值的和或差。
九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的计算教学
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得 ∠B≈26.6°.
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拓广探索 比一比，你能得出什么结论？
角 度
(jiǎodù)
增 大
sin15°32 ' = 0.2678
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
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解析 (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；
(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系(guān xì)即 可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
(1)求改直后的公路(gōnglù)AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确 到0.1)?
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(1)求改直后的公路(gōnglù)AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米(qiān mǐ)，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD ＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
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5.sin70°，cos70°，tan70°的大小(dàxiǎo)关系是( D) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
《1.3三角函数的计算》 教案
1.3三角函数的计算教学目标：1.能够用计算器进行有关三角函数值的计算.2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力.3.通过积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐. 感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.重点与难点：重点：用计算器辅助进行三角函数的计算及其在生活中的实际问题. 难点：建构数学模型，解决实际问题.课前准备：教师准备：多媒体课件，导学案.学生准备：课下复习三角函数函数的定义及30°、45°、60°的三角函数值等相关知识.教学过程：一、创境导入，提出问题同学们大多都玩过滑滑梯吧！看下面这幅图片，一个小朋友不小心摔了下去，所以园区负责人为了增强滑滑梯的安全性，采取了以下措施，请你帮他来实现.【多媒体展示】把滑梯的倾斜角由原来的45°改为20°，已知滑梯高2m ，如果滑梯高度不变，那么改善前、后的滑梯占地分别多长.（结果精确到0.01m ）处理方式：让学看完图片后，独立读题、思考并给出自己的答案，改善前滑梯占地借助特殊角45°角的正切值求解可得答案为tan BCBDC DC∠=，tan 45BC DC =，21DC=，2DC =; 类似的可以得出tan BC BAC AC ∠=，2tan BAC AC∠=，22tan tan 20AC BAC ==∠.这与前面特殊角度的三角函数值不同，就目前我们的知识基础没有办法继续完成本问题的解答，得到最终的答案，引起知识冲撞，进而自然而然引出我们今天讲要研讨的问题：用计算器来进行三角函数的有关计算，请看屏幕明晰今天的学习目标.1.能够用计算器进行有关三角函数值的计算.2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.设计意图：计算器对于学生来说，并不陌生，在学习七年级数学时，曾用计算器进行过有理数的计算；在学习八年级数学时，曾用计算器进行过数的开方.所以，本节课在开课伊始，采用滑梯改善前后，坡角由特殊角度改为一般角，引起合理知识冲撞，创设出情景，引入新课内容和学习目标.应用这种形式，一方面能调动学生的学习积极性，激发学生的学习激情，创设积极的浓厚的学习氛围，另一方面导入新课，让学生明确本节课将要使用的学具和学习任务.二、自主合作，解决问题探究活动一：请同学们阅读课本P12第7行---表格末和P14页第一行---P14页第9行，自学后，完成下面自学探究问题题组一.探究问题题组一1.用科学计算器求三角函数值'''= ；cos19°= .sin26°= ；tan3528352.用科学计算器求角度sinA=0.9816，∠A= ；cos B=0.8607，∠B= ；tanC=56.78 ，∠C= ；处理方式：待学生自学研讨后，进行展评答案，交流学习感悟！对于这个探究问题题组，只要能认真研读课本，按顺序按键，完全正确解答它们应该是没有问题的.但是，在学生展评后，应该加以强调1.用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位.2.用计算器根据三角函数值求角度时，计算结果一般精确到1'，注意结果的形式要是以度为单位时，一般要精确到万分位，如果要用度分秒表示，要在按完最后一个数字后按“”，就呈现度分秒为单位的结果了.具体的操作流程：1.学生独立思考.2.小组内讨论交流.3.展示汇报.4.修订答案.5.解后反思.【多媒体展示标准答案】 1.用科学计算器求三角函数值sin 26°= 0.4384 ；tan 352835'''= 0.7127 ；cos 19°= 0.9455. 2.用科学计算器求角度sinA =0.9816，∠A =785931'''； cos B =0.8607， ∠B =303617'''； tanC =56.78 ，∠C =885927'''；当处理完问题1、2后，教师再次追问：“如果得出的角度想转化为度、分、秒，该如何按键得出答案呢？”，教会学生如何更好的利用课本学习知识和获取知识.设计意图：本环节目的是实施目标1，让学生学会应用计算器进行求三角函数值或求角度.为实现这个目标，设计问题1的目的是借助计算器求三角函数值，问题2是已知三角函数求角度，应用的第二功能解决问题，让学生感受数学知识的正反两用的可逆过程，培养学生逆用知识的能力.为探究活动二构建知识和平台..探究活动二：引入科学计算器的辅助功能后，我们就可以求任意一个锐角的三角函数值了，从而对于生活中的实际问题我们就可以非常顺利的解决了.比如下面的问题，我们就可以借助科学计算器来解决了.(多媒体展示)问题1.如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行 驶的路线与水平面的夹角为∠a ＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?（结果精确到si nco sta n0.01m ）问题2.如图，当缆车继续由点B 到达点D 时，它又走过了200 m ，缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角是∠β，缆车上升了133.8m ,由此你能计算出∠β的大小吗?处理方式：学生独立思考后，小组内讨论交流，形成问题解决方案，推选代表组间展示汇报. 问题1、2都是三角函数在生活中的实际应用，这就要求学生有从实际问题抽象概括数学模型的能力，在学生展示过程中，主要让学生展示自己建构数学模型的过程，训练和培养学生抽象概括实际问题为数学问题的能力，其中问题1是已知角求边长；问题2是已知边求角，学生交流后老师强调解题步骤，形成规范的解题模式.具体的操作流程： 1. 学生独立思考. 2.小组内讨论交流. 3.展示汇报. 4.修订答案. 5.解后反思.【多媒体展示标准答案】设计意图：这一组题是借助科学计算器进行的三角函数的计算，在生活实际中的应用，°16s =sin =2000.275655.12m A BCABBC BC ∆∠∠=∴∴⨯∴≈1.解：在Rt ABC 中，C=90，，inA=，BC AB A=200sin16（）°s 133.8s 0.66920042DEBD βββ∆∠====∴==∴=2.解：在Rt BDE 中，E 90，BD 200m ，DE 133.8min ，in目的是培养学生建构数学模型的能力、规范解题的能力，教师做好板书的示范作用，教会学生建构数学模型，并会按照解决数学问题的步骤写规范的解题步骤，既会已知角求有关长度，也会已知长度，求角度，实现知识的和技能的正反应用，培养学生综合应用知识的能力.探究活动三：【在同学们的共同努力下，我们对于任意一个锐角的三角函数我们都可以借助科学计算器进行计算了.这样对于改造滑滑梯的问题就可以迎刃而解了.请同学们独立解决一下滑滑梯改造后占地多长吧.】解：在Rt ⊿ACB 中，tan BCBAC AC ∠=2tan BAC AC ∴∠= 22tan tan 20AC BAC ∴==∠5.50.AC m ∴=处理方式：由于前面已经分析到22tan tan 20AC BAC ==∠这一步，再加上刚才探究完科学计算器进行任意角的三角函数了，所以学生独立完成滑滑梯改造后占地多长应该易如反掌了.但是在解决完之后，一定要巡视指导学生注意答案精确度的要求，这是学生常常忽略的地方，使学生能规范的答题，完整的答题. 设计意图：这样设计的目的一是前后呼应，使整堂课浑然一体,成为一个完整的体系. 其二是使学生真正的体会到数学在生活中的应用，体会到数学的价值，从而更加认真的研究数学，提高学生学习数学的积极性了.三、小结感悟，能力提升同学们，反思才能进步，总结方能提高，让我们就象虚心的竹子一样，打一节进步一节成长一步吧！通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．生：畅谈自己的收获！师：再画龙点睛，展示知识结构，提出对学生的期望和更高的要求.【其中我们在利用计算器进行三角函数的计算时，其按键顺序和注意事项是值得我们重点识记的，就让我们再来共同回忆一下吧！】1.在用计算器求三角函数值时，其按键顺序【以求tan182132'''的值为例】是在用计算器求角度时其其按键顺序【以已知sin α=0.9816求α的值为例】是设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．四、达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获很多！“学的好不好，一试便知道”．请同学们利用刚才你们的探究成果解决下面的问题，希望各位同学都能顺利通过我们开课伊始制定的目标考核.加油哇，聪明的孩子们！A组（必做题）：1.用科学计算器计算：≈________.(结果精确到0.01)2.若tanA=2.7474，且∠A为锐角，则sinA= .A.0.9397B.0.3420C.0.9D.0.42303.为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m的斜道.这条斜道的倾斜角是多少？B组（选做题）：4.如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm伞架DE DF AE AF AB AC长度363636368686（1）求AM的长．︒+56tan331（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．处理方式：学生做题时教师巡视，发现对今天所学知识掌握不够好的学生及时辅导，鼓励学生遇到问题时及时询问，做完的学生教师当堂批改，指出对错.若有时间A组第3题可以让学生黑板板书，师生共同点评，B组选做题第4题可以让A组学生到黑板尝试板演，旨在给其他志在攻坚的学生抛砖引玉，做个示范.设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 分层设置作业，注重基础的夯实，能力的提升．使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦．五、布置作业，课后促学A.必做题：课本P15第2题、第3题、第4题.B.选做题：课本P27第23题.板书设计。
九年级数学下册1.3《三角函数的计算》1初中九年级下册数学
变式训练(xùnliàn)
• 1.如图，∠C＝90°，∠DBC＝30°，AB＝BD，利用 (lìyòng)此图求tan75°的值.
2+ 3
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课堂 总结 (kètáng)
• 1.本节课你有什么收获？ • 2.本节课你认为自己解决的问题是什么？ • 3.通过今天的学习(xuéxí)，你想进一步研究的问题是什
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学习 新知 (xuéxí)
• 如图所示，这是求sin16°,cos42°,tan85°和 sin72°38′25″按键(àn 顺序 jiàn)
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按键顺序
sin16 °
sin 1 6 =
cos42 ° cos 4 2 =
tan85°
tan 8 5
=
显示结 果
0.275637355
2.解：∠θ≈56°1″
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计算 3.
(jìsuàn)
（1）2 cos2 30－°2 sin 60°·cos 45°；
＝ 2 ·（ 3 ）－2 2 · ·3 2
2
22
＝ 3 6
2
（2）2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；
＝ 2· 1 2
＝0
－3 ·1＋4 ·
第十页，共二十二页。
同学们，仔细想想，除了这个例题当中给出的几种 情况外，你们还能计算什么(shén me)？为什么(shén me)？你 们又是怎么计算的呢？
第十一页，共二十二页。
例1 如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°， 已知AB＝12cm，∠A＝35 ° ， 求△ABC的周长和面积(miàn jī).
（周长精确到0.1cm，面积保留3个有效数字）
三角函数的计算
三角函数的计算三角函数是数学中一类重要的函数，它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在本文中，将介绍如何计算三角函数、三角函数的实际应用以及一些常见的计算误差和解决方法。
一、三角函数的计算公式三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们的计算公式如下：1. 正弦函数（sin）的计算公式：sin(x) = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）的计算公式：cos(x) = 临边 / 斜边3. 正切函数（tan）的计算公式：tan(x) = 对边 / 临边其中，x 为角度，对边为与该角度相对的边长，临边为与该角度相邻的边长，斜边为三角形的斜边长。
二、三角函数的计算方法1. 计算已知角度的三角函数值：可以通过计算公式直接计算已知角度的三角函数值。
例如，若要计算角度为 30°的正弦值，则可以使用 sin(30°) = 对边 / 斜边的计算公式得到结果。
2. 使用计算器：大多数计算器或科学计算器都内置了三角函数的计算功能，可以直接输入角度值并选择对应的三角函数，计算器将给出准确的结果。
3. 利用三角函数表：三角函数表中记录了一些角度的三角函数值，可以通过查表的方式寻找所需的数值。
然而，表格中的数值通常是有限的，不够精确，且需要手动查找，因此不如使用计算器方便快捷。
三、三角函数的实际应用三角函数的应用广泛，其中一些常见的应用包括：1. 几何学：三角函数在几何学中是不可或缺的工具，可以用于计算各种角度和边长的关系，帮助解决各种几何问题。
2. 物理学：三角函数在物理学中有着广泛的应用，例如在力学中，可以利用三角函数计算物体在斜面上的受力分解和运动情况；在波动学中，可以利用三角函数描述周期性运动。
3. 工程学：在建筑、土木工程等领域，三角函数可用于计算建筑物的倾斜角度、吊杆或斜杆的长度等问题，为实际工程提供数值计算支持。
四、计算误差与解决方法尽管三角函数的计算公式和计算器能够提供较高的精度，但在实际计算中，由于计算机表示数字的精度有限，可能会产生误差。
概述初中数学三角函数值的计算方法
概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。
解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。
三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。
3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。
相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。
这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。
3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。