一道尺规作图题的多种作图方法
尺规作图方法大全
七年级数学期末复习资料（七）尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本图, 通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
,最常用的尺规作2、五种基本作图：1 、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；（1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段 a .求作：线段AB，使 AB = a .作法：（1）作射线 AP；（2）在射线 AP上截取 AB=a .则线段 AB就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段 MN.求作：点O，使 MO=NO（即 O是 MN的中点） .作法：（１）分别以M、 N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q；（２）连接PQ交 MN于 O．则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠ AOB，求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠作法：（1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 OA， OB于 M， N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。
则射线 OP就是∠ AOB的角平分线。
aAMAOB）。
MOB PPO NQAPN B（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠ AOB。
求作：∠ A’ O’ B’，使 A’ O’ B’ =∠ AOBBB' N N'N'O MA O'M'A'O'M'A'O'M' A'①②③作法：（1）作射线O’ A’；（2）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以 O’为圆心，以 OM的长为半径画弧，交 O’ A’于 M’；（4）以 M’为圆心，以 MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接 O’ N’并延长到 B’。
尺规作图的方法和步骤
尺规作图的方法和步骤
尺规作图的方法和步骤
在几何里把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称基本作图。
2. 基本作图包括：
①作一角等于已知角；
②平分已知角；
③经过一点作已知直线的垂线；
④作线段的垂直平分线；
⑤若两已知圆相交，可求其交点。
原理都是已经证明的定理，如平分角，利用的就是边边边公理，以定点为圆心化圆交角两点，角平分线的任一点，到两点的距离相等的原理（很容易证明这是个全等三角形）。
作图公法
以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
通过两个已知点可作一直线。
已知圆心和半径可作一个圆。
若两已知直线相交，可求其交点。
若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
若两已知圆相交，可求其交点。
看完这些正多边形的尺规作图方法，你还不认为数学也是一种艺术吗？
看完这些正多边形的尺规作图⽅法，你还不认为数学也是⼀种艺术吗？荟思正多边形的尺规作图，虽然是⼀个很纯粹的数学问题，但同时也极具艺术欣赏价值！尺规作图问题是⾮常古⽼的数学问题，早在两千多年前的古希腊时期就开始研究了。
⼈们好奇什么样的图形可以⽤尺规作图的⽅法得到，什么样的图形不可以。
对于可以尺规作图的图形，很好办，想尽办法得到作图⽅法就解决问题了。
对于那些还没想到作图⽅法的图形就⽐较为难，因为不知道是因为不存在这样的作图⽅法，还是因为作法太复杂，所以还没⼈能发现这样的⽅法。
例如三等分⾓问题，就是很长时间⾥都找不到作图⽅法，最终证明是不可能办到的。
再次特别强调⼀下，在尺规作图问题中，直尺是不带刻度的，我们只能⽤它来画直线。
在各种图形中，正多边形是⼤家⽐较感兴趣的⼀类。
由于圆规可以画圆，⽽所有正多边形都可以内接于圆，因此它的所有顶点都在圆周上。
这样看来，正多边形应该很有希望⽤尺规作图。
⽽且，前⼏个正多边形的作图⽅法很快就构造出来了，步骤也不算复杂。
然⽽还是有很多正多边形没有找到尺规作图的⽅法，因此⾃然要问，是否存在不可能尺规作图的正多边形。
相对于同时期的其他⽂明，古希腊数学更富思辨精神。
尽管当时的数学问题都是源于⽣活，但古希腊⼈并不⽴⾜于解决⽣活问题，⽽是考虑⼀般的理想情形。
边数较多的多边形在实际问题中⼏乎不会出现，但他们仍然对这些多边形的尺规作图很感兴趣，并且还执着地规定直尺不能带刻度。
这个问题在经过漫长的两千年后，才最终被天才的⾼斯在24岁时完全解决。
根据⾼斯的结论，⼀个正多边形可以尺规作图，当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积，或者是这些数的2的乘幂倍（即2倍，4倍，8倍，16倍，等等）。
请注意，⾼斯的结论给出的是⼀个充分必要条件。
换句话说，费马素数的数量决定了能尺规作图的奇数边正多边形的个数。
根据⾼斯的结论，边数不超过20的18个正多边形中，可以尺规作图的⼀共有11个，边数分别是3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20。
尺规作图方法大全
BPAaO QPNMON MBPA 尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .作法：（1） 作射线AP ；（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，NMBOA③②①A'A'N'O'B'M'O'A'N'M'M'O'求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。
作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。
尺规作图(含五种基本作图)
O
c
B
第十三页，共32页。
探索
基本作图3 "平分已知角".
（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C 点，交OB 于D 点；
（2）分别以C、D 为圆心，以大于
1 C2 D
长为半
径画弧，两弧相交于P 点；
A
（3）作射线OP ，
你想自己画出它来吗？
那就让我们从最初的步骤开始吧！
1、 以点O为圆心， r 为半径作圆O；
以2、圆O上任意一点为圆心， r 为半径作圆，与圆O交于两点；
3、 分别以两个交点为圆心， r 为半径作圆；
4、继续作下去，
在适当的区域涂上颜色， 你作出美丽的“邹菊图案” 吗？
第十二页，共32页。
什么叫做角平分线？
D、作线段AB，使它等于已知线段m
第四页，共32页。
基本作图1、“作一条线段等于已知线段。”
已知：线段a．
求作：线段AB，使AB＝a．
作法与示范：
a
(1) 作射线AC ；
(2) 以点A为圆心，
以a的长为半径 画弧，
交射线AC 于点B，
则：AB即所求。
A
第五页，共32页。
BC
练习：
求作一条线段AB,使AB=2a.
O
A
C
O`
C`
A`
证明：
,由作法可知
△C`O`D`≌△COD(SSS),
∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对 应角相等)，
即∠A`O`B`=∠AOB。
第九页，共32页。
练习
1、已知： ∠AOB。 求作： ∠A’O’B’ ，使∠A’O’B’=2∠AOB。
13.4尺规作图5种作图
A
BD
C
E
第4页，共17页。
基本作图2
作一个角等于已知角
第5页，共17页。
作一个角等于已知角
已知：∠AOB.
求作：A'O'B',使A'O'B' AOB.
B
O
A
第6页，共17页。
作法: 1.作射线Ｏ'Ａ'.
2.以点O为圆心，以 任意长为
半径作弧，交OA于C ，交OB于D. Ｄ
（第 2 题）
第13页，共17页。
基本作图5 作已知线段的垂直平分线
第14页，共17页。
什么叫线段的垂直平分线？ 过线段的中点，垂直这条线段的直线。
线段垂直平分线有哪些特征？
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等；反过来，到线段两端点距离相等的 点在线段的垂直平分线上。
第15页，共17页。
作法：1、在OA和OB上，分
B
别截取OD、OE，使OD=OE
2以、大分于别1以DDE、的E长为为圆半心径， 作弧，在2 ∠AOB内，两 弧交于点C
3、作射线OC
OC就是所求作的射线
第9页，共17页。
E
经过一点作已知直线的垂线
第10页，共17页。
经过一点作已知直线的垂线
（1）、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。 （2）、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨 论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
第11页，共17页。
（2）的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在直线L的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交于A、
B两点；
（3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，两弧相交于D点； 2
尺规作图九种基本作图之欧阳光明创编
尺规作图欧阳光明（2021.03.07）【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1） 作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a .则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。
已知：如图，线段MN.a求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ；（２）连接PQ 交MN 于O ．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。
作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN21的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ；（3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。
则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
(完整版)尺规作图方法大全
O尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段 ；2、作一个角等于已知角 ；3、作已知线段的垂直平分线 ；4、作已知角的角平分线 ；5、过一点作已知直线的垂线 ；（1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段 a .a求作：线段 AB ，使 AB = a . 作法：（1） 作射线 AP ； （2） 在射线 AP 上截取 AB=a . 则线段 AB 就是所求作的图形。
（2） 题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段 MN.求作：点 O ，使 MO=NO （即 O 是 MN 的中点）. 作法：（１）分别以 M 、N 为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧， 两弧相交于 P ，Q ； （２）连接 PQ 交 MN 于 O ．则点 O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（3） 题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，求作：射线 OP, 使∠AOP＝∠BOP（即 OP 平分∠AOB）。
作法：（1） 以 O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 OA ，OB 于 M ，N ；（2） 分别以 M 、Ｎ为圆心，大于的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线 OP 。
则射线 OP 就是∠AOB 的角平分线。
（4） 题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB。
求作：∠A’O’B’，使 A’O’B’=∠AOB作法：① （1） 作射线 O’A’； ① ①（2） 以 O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于 M ，交 OB 于 N ； （3） 以 O’为圆心，以 OM 的长为半径画弧，交 O’A’于 M ’； （4） 以 M’为圆心，以 MN 的长为半径画弧，交前弧于 N ’； （5） 连接 O’N’并延长到 B ’。
则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F P
E
O B A A B O E P F A B O E P F C
一道尺规作图题的多种作图方法
李遂焕
如图1，点P 为∠AOB 的OA 上一点，过点P 作直线EF ，使EF ∥OB ．
图1 图2 图3 图4
分析一 要作直线OB 的平行线EF ，可根据直线平行的条件：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．而已知条件中已有“三线八角”中的∠AOB ，因此可从作∠AOB 的同位角或内错角或同旁内角入手．
思路1 作∠AOB 的同位角.
作法1 如图2，作∠AOB 的同位角∠APF ，使∠APF =∠AOB ，在射线PF 的反向延长线上取一点E ，则EF ∥OB ．
思路2 作∠AOB 的内错角.
作法2 如图3，作∠AOB 的内错角∠EPO ，使∠EPO =∠AOB ，在射线PE 的反向延长线上取一点F ，则EF ∥OB ．
思路3 作∠AOB 的同旁内角.
作法3 如图4，反向延长射线OB 至C ，作∠AOB 同旁内角∠OPF ，使∠OPF =∠AOC ，在射线PF 的反向延长线上取一点E ，则EF ∥OB ．
分析二 从作法3我们可以受到启示：已知条件中已有“三线八角”中的∠AOB ，反向延长射线OB 至C ，这样就可以得到∠AOB 的补角∠AOC ，实际上也相当已知条件中有“三线八角”中的∠AOC ，因此可从作∠AOC 的同位角或内错角或同旁内角入手，又可以得到三种作图方法．请同学们在图5，图6，图7中自己试着作一作吧！
图5 图6 图7
_C _O _B _A
_C _O _B _A _C _O _B
_A。