多容水箱的建模

d ∆h1 ∆Q1 − ∆Q2 = A1 ① dt ∆ Q = K ∆u ② µ 1 1 ∆Q2 = ∆h1 ③ R2 d ∆h2 ∆Q2 − ∆Q3 = A2 ④ dt 1 ∆h2 ⑤ ∆Q3 = R3
∆h1 d ∆h1 K µ ∆u − = A1 ⑦ R2 dt ∆h1 ∆h2 d ∆h2 − = A2 ⑨ R2 R3 dt
K µ ∆µ −
∆h2 d ∆h1 d ∆h2 = A1 + A2 ⑧ R3 dt dt
d 2 ∆h2 R2 d ∆h2 d ∆h1 d ∆h2 R2 = A2 R2 + ⑩ ∆h1 = A2 R2 + ∆h2 2 dt dt R3 dt dt R3 d 2 ∆h2 A1R2 d ∆h2 d ∆h2 ∆h2 A1 A2 R2 + + A2 = K µ ∆µ − 2 dt R3 dt dt R3
所以T1T2 S H ( s ) + (T1 + T2 + T12 ) SH ( s ) + H ( s ) = KU ( s )
2
H (s) K = U ( s ) T1T2 S 2 + (T1 + T2 + T12 ) S + 1
例如：某双容水箱系统的结构参数为： 例如：某双容水箱系统的结构参数为：
H 2 (S ) K K = = µ ( S ) T1T2 S 2 + (T1 + T2 ) S + 1 (T1S + 1)(T2 S + 1)
式中： 前置水箱的时间常数； 式中： T1—前置水箱的时间常数； 前置水箱的时间常数 T2—主水箱的时间常数； 主水箱的时间常数； 主水箱的时间常数 K—双容对象放大系数。 双容对象放大系数。 双容对象放大系数
∆Q1 − ∆Q2 =A1
d ∆h1 ① dt
∆h1 ∆h2 ∆h2 d ∆h2 R2 d ∆h2 − − = A2 ⇒ ∆h1 = (1 + )∆h2 + A2 R2 R2 R2 R3 dt R3 dt
d ∆h1 R2 d ∆h2 d 2 ∆h2 A1 = A1 (1 + ) + A1 A2 R2 dt R3 dt dt 2
∆ h( ∞ )
以p为S形的拐点，做切线与 形的拐点， 时间轴交于A 时间轴交于A，则 τ = OA
c
为容积滞后时间
交于C ∆h2 (∞ ) 交于C 轴的投影为B C在t轴的投影为B，则 AB=T0 为被控过程的时间常数。 为被控过程的时间常数。 切线与稳态值 为简化多容过程， 为简化多容过程，就用有延时 的单容过程来近似。 的单容过程来近似。
20
Q3
t
t
Tc
pbτc源自att0有自平衡能力的多容对象与单容对象相比， 有自平衡能力的多容对象与单容对象相比，它们的共 同点是都具有自平衡特性和惯性， 同点是都具有自平衡特性和惯性，不同点是单容对象 被调量的最大变化速度发生在t＝ 时刻而多容对象发 被调量的最大变化速度发生在 ＝t0时刻而多容对象发 生在P点 生在 点。其原因是前置容积的容量和阻力所产生的惯 性使主水槽h2的变化在起始阶段出现更加缓慢的现象 的变化在起始阶段出现更加缓慢的现象， 性使主水槽 的变化在起始阶段出现更加缓慢的现象， 这种现象是由于对象容积的增多而产生的。 这种现象是由于对象容积的增多而产生的。前置水槽 的惯性使得主水槽的液位变化在时间上落后于扰动量， 的惯性使得主水槽的液位变化在时间上落后于扰动量， 这种迟延称为容积迟延。 这种迟延称为容积迟延。
τ
t
K0 H 2 (s) ∆h (∞) ≈ e −τ cs K 0 = 2 U ( s ) T0 S + 1 ∆u
d ∆h1 ∆Q1 − ∆Q2 = A1 dt 1 ∆Q = K ∆u ∆Q2 = ∆h1 µ 1 R2 ∆Q − ∆Q = A d ∆h2 2 3 2 dt 1 ∆Q3 = ∆h2 R3
µ
初始条件为零、阶跃输入为 时的解： 初始条件为零、阶跃输入为µ(t)＝∆µ时的解： ＝ 时的解
A1 = A2 = 1，R2 = 2，R3 = 1，K µ = 3
分离式形式的双容水箱系统参数为
K = K µ R3 = 3，T1 = A1 R2 =2，T2 = A2 R3 =1
H 2 (S ) K K 3 = = = 2 µ ( S ) T1T2 S + (T1 + T2 ) S + 1 (T1S + 1)(T2 S + 1) (2 S + 1)( S + 1)
R2 + R3 d ∆h2 ∆h2 d 2 ∆h2 d ∆h2 K µ ∆u − = A1 A2 R2 + A1 + A2 2 R3 dt R3 dt dt d 2 ∆h2 d ∆h2 R3 K µ ∆u = A1 A2 R2 R3 + [ A1 ( R2 + R3 ) + A2 R3 ] + ∆h2 2 dt dt
串联形式的双容水箱系统参数为
K = K µ R3 = 3，T1 = A1 R2 =2，T2 = A2 R3 =1，T12 = A1 R3 = 1
H ( s) K 3 = = 2 2 U ( s ) T1T2 S + (T1 + T2 + T12 ) S + 1 2 S + 4 S + 1
进水阀门进行单位阶跃扰动后的响应曲线分别如下， 进水阀门进行单位阶跃扰动后的响应曲线分别如下，可见相同的结构 参数下，串联双容水箱的液位响应更慢一些。 参数下，串联双容水箱的液位响应更慢一些。
τ表示。 表示。 c
这种延迟是由前一个惯性环节的作用使得后一个环节的输出量变化在时 间上落后于扰动量。 间上落后于扰动量。 对象的容积个数愈多， 对象的容积个数愈多，其动态方程 的阶次愈高，其容积迟延愈大； 的阶次愈高，其容积迟延愈大； 被控过程的容量系数越大， 被控过程的容量系数越大，容积迟 延也越大，图中给出的是具有1～ 延也越大，图中给出的是具有 ～5 个容积的对象的飞升特性。 个容积的对象的飞升特性。实际对 象的容积数目ｎ可能很多， 象的容积数目ｎ可能很多，每个容 量系数大小也不同。 量系数大小也不同。
⇒
令 则
d 2 ∆h2 A1R2 d ∆h2 d ∆h2 ∆h A1 A2 R2 + + A2 = K µ ∆µ − 2 dt 2 R3 dt dt R3 d 2 ∆h2 d ∆h2 A1 A2 R2 R3 + ( A1 R2 + A2 R3 ) + ∆h2 = R3 K µ ∆µ 2 dt dt T1 = A1 R2 T2 = A2 R3 K = K µ R3
T1 h2 (t ) = K ∆µ 1 − e T1 − T2
t − T1
T2 + e T1 − T2
t − T2
µ0 Q
∆µ 0
t
Q1
Q2 t0时刻，控制阀阶跃开大 0，前置水槽的流入 时刻，控制阀阶跃开大∆µ 量成比例增加∆Q1。液位 1按指数规律上升，前置 液位h 按指数规律上升， 量成比例增加 水槽流出侧的自平衡作用使流出量Q 水槽流出侧的自平衡作用使流出量 2在Q20基础上 也呈指数规律上升。 又是主水槽的流入量, 也呈指数规律上升。Q2又是主水槽的流入量 又使 主水槽水位h 基础上变化呈现更缓慢上升。 h1 主水槽水位 2在h20基础上变化呈现更缓慢上升。 h2的缓慢上升同样因主水槽流出侧阻力 3的存在 的缓慢上升同样因主水槽流出侧阻力R 使流出量在Q 基础上缓慢增加。 使流出量在 30基础上缓慢增加。 开始,H 随着不平衡流量∆Ｑ＝ 1－∆Q2的逐 h Ｑ＝∆Q 开始 2随着不平衡流量 Ｑ＝ 10 渐增大而缓慢上升，且上升速度逐渐增大； 渐增大而缓慢上升，且上升速度逐渐增大；到达 曲线上P点时上升速度最大 点时上升速度最大。 点以后 点以后， 曲线上 点时上升速度最大。P点以后，h2随着不 h2 平衡流量∆Ｑ＝ 1－∆Q2的逐渐减小而缓慢上升 Ｑ＝∆Q 平衡流量 Ｑ＝ 且上升速度逐渐减小。 ，且上升速度逐渐减小。h2的整个变化过程是一 形的变化曲线。 点就是 形曲线的拐点， 点就是S形曲线的拐点 条S形的变化曲线。P点就是 形曲线的拐点，也 形的变化曲线 是液位上升速度最快的点。 是液位上升速度最快的点。 h
①+④: d ∆h1 d ∆h2 ∆Q1 − ∆Q3 =A1 + A2 1 ∆Q1 =K µ ∆µ ∆Q2 = ∆(h1 − h2 ) dt dt R2 中间变量 d ∆h2 ∆Q2 − ∆Q3 =A2 ④ 1 d ∆h1 d ∆h2 K µ ∆u − dt ∆h2 = A1 + A2 R3 dt dt 1 ∆Q3 = ∆h2 R3
二、串联双容液位过程
d ∆h1 ∆Q1 − ∆Q2 =A1 ① dt
1 ∆Q1 =K µ ∆µ ∆Q2 = ∆ (h1 − h2 ) R2 d ∆h2 ∆Q2 − ∆Q3 =A2 ④ dt 1 ∆Q3 = ∆h2 R3
①+④: d ∆h1 d ∆h2 ∆Q1 − ∆Q3 =A1 + A2 dt dt
2.2.4 容积滞后与纯滞后
1、容积（量）滞后 、容积（
多容过程的传递函数
W0 ( s ) =
W0 ( s) =
K0 (T1 s + 1)(T2 s + 1)...(Tn s + 1)
K0 (T1 s + 1) n
多容过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后， 多容过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后，常用 对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后
非振荡的二阶环节