北科大数理方程 3+ch3+贝塞尔函数 习题课共49页
贝塞尔函数PPT演示课件
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u
0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0
(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2
(x) ett x1dt
令t=u2
(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
贝塞尔函数
y ( s k )ak x s k 1
y ( s k )(s k 1)ak x s k 2
k 0
k 0
xy ( s k )ak x s k
k 0
x 2 y ( s k )(s k 1)ak x s k
2 2 x y xy ( x n ) y 0 2
5/13
比较欧拉方程
变换
x y xy y 0
2
x e xp(t )
dy dy dt 1 dy dx dt dx x dt
或
t ln x
d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dx x dt x dx dt x dt dt
( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n ( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n
2nJ n ( x) xJn1 ( x) xJn1 ( x)
③ ④
( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
18/13
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n ( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n
( 1)m 2( n m ) x 2 n1 2 m n 2 m m! ( n 1 m 1) m 0 2
数学物理方程--- 3 Bessel 函3数
设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
第 三 章 贝 塞 尔 函 数
⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程根称为特征根 特征根. 程根称为特征根 西安交通大学理学院
是二阶线性齐次方程的通解. 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解
西安交通大学理学院
定理 3
数 学 物 理 方 程
如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
特解， 是该方程所对应的线性齐次方程的通解， 特解， 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则 第 Y 三 y = Y + y*， 章 是线性非齐次方程的通解. 是线性非齐次方程的通解 证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y″ + ″ p(x)y′ + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + ′ ″ ′ q(x)y = 0 的解，所以有 的解， y*″ + p(x)y*′ + q(x)y* = f (x)， ， Y″ + p(x)Y′ + q(x)Y = 0 . ″ ′ 贝 塞 尔 函 数
1° 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 ° rx r x r1 ≠ r2. 那么，这时函数 y1 = e 1 和 y2 = e 2 都是 ④ 那么， y1 的解， 数的解，且 线性无关， = e ( r1 − r2 ) x ≠ 常数 , 所以 y1 与 y2 线性无关， 学 y2 物 理因而它的通解为 r1 x r2 x 方 y1 = C1e + C 2e .
贝塞尔函数
第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§ 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（）得22222()V V VT a T x y ∂∂'=+∂∂ 或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==->由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+= （）22220V V V x yλ∂∂++=∂∂ （） 从（）得2()a t T t Ae λ-= 方程（）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
北邮数理方程课件 第五章 Bessel 函数
第五章 Bessel 函数5．2 基础训练5.2.1例题分析例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量：2()0tt xx yy u a u u -+=（1）解 先把时间变量t 分离出来，令)(),(),,(t T U t u ϕρϕρ=，代入方程（1）22(,)''()(,)()0U T t a U T t ρϕρϕ-∇=两边同乘以21a UT并移项得 22''T Ua T U∇=上式左边仅是t 的函数；右边是ρ,t 的函数。
若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为2k -，则有22''0T a k T +=(2)220U k U ∇+=(3)（3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为：22110U U U k U ρρρϕϕρρ+++=进一步分离变量，令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，代入上式得2211'''''0R R R k R ρρΦ+Φ+Φ+Φ=两边同乘以2R ρΦ，并整理得222'''''R R k RRρρρΦ=+=-Φ同上讨论，等式两边应为同一常数，记为2m ，则有2''0m Φ+Φ=(4)2222'''()0R R k m R ρρρ++-=(5)对（5）式作代数变换x k ρ=后变为贝塞尔方程222'''()0x R xR x m R ++-=(6)其通解是()()()m m R AJ k BY k ρρρ=+ 其中,,m m A B J Y 为任意常数和为第一类和第二类Bessel 函数。
由周期条件，方程（4）的解为()c o s s i n 0,1,2m m m A mB m mϕϕΦ=+= 由波动问题及解在0ρ→有限的条件，方程（2）的解为cos sin n n n n n T C k at D k at =+例2 用()J x ν的级数表达式证明：（1） x x x J cos 2)(21π=-； （2） x x d x J sin cos )cos (200=⎰πθθθ证明：（1） 因为20(1)()()!(1)2k k v v k xJ x k k v ∞+=-=Γ++∑， 所以12221002220(1)()())122!(1)2k k kk k k kk k x x J x k k ∞∞--==∞∞==-==Γ-+==∑2k k k x ∞∞=====（2）2212202000(1)(cos )cos ()cos (!)2k kk k x J x d d k ππθθθθθ∞+=-=∑⎰⎰222200(1)(2)!!(1)2!sin ()()(!)2(21)!!(!)2(21)!!k k k k k k k x k x k xk k k k x ∞∞==--===++∑∑ 例3 利用Bessel 函数的递推公式： (1) 将)(3x J 用)(0x J 及)(1x J 表出；(2) 证明 )]()(2)([41)(''2''''2''x J x J x J x J n n n n +-+-=.(3) 证明 )]()([2)]([21212x J x J v xx J dx d v v v +--=.(4) 证明 )]()([)]()([212010x J x J x x J x xJ dxd -=.(5) 证明 ⎰+-=C x x xJ x x xJ xdx x J cos )(sin )(sin )(100. (1) 解 由 )()(2)(11x J xx mJ x J m m m -+-=得 )()(2)(012x J xx J x J -=021********()4()4()84()()8()(1)()()J x J x J x J x J x J x J x J x x x x x x=-=--=-- (2) 证明：由'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得''''1122221()[()()]21111{[()()][()()]}[()2()()]2224m m m m m m m m m m J x J x J x J x J x J x J x J x J x J x -+-+-+=-=---=-+ (3) 证明： 由11()[()()2v v v x J x J x J x v +-=+,'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得 '22112()()[()()]2v v v v xJ x J x J x J x v-+=-即22211[()][()()]2v v v d xJ x J x J x d v-+=- (4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：01011011002201()()[()()]()()()()()()[()()]dJ x dJ x dxJ x J x xJ x xJ x d dx dxJ x xJ x J x xJ x x J x J x =+=-+=-(5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：001001001001()sin ()sin [()cos ()sin ]()sin ()cos ()cos ()sin ()cos [()cos ()cos ]()sin ()cos Jx xdx xJ x x x J x x J x x dxxJ x x xJ x xdx xJ x d xxJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x x C=--=--=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4 计算⎰dx ax J x )(03。
贝塞尔方程
走进贝塞尔方程
姓名 学号 日期
方程起源
贝塞尔函数的几个正整数阶 特例在18世纪中叶就由瑞士数 学家丹尼尔·伯努利提出了。雅 各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉、 约瑟夫·路易斯·拉格朗日等数学 大师对贝塞尔函数的研究作出 过重要贡献。1817年，德国数 学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在 研究三体万有引力系统的运动 问题时，第一次系统地提出了 贝塞尔函数的总体理论框架。
方程形式
第一类贝塞尔函数的形状大致与按1/x√速率衰减的正弦或余弦函 数类似，但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的 间隔会越来越接近周期性。上图所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔 函数Jα (x)的曲线（α =0,1,2）。
方程形式
第二类贝塞尔函数 (诺伊曼函数,Y函数，记作Yα ） Yα (x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作 Nα (x)。它和Jα (x)存在如下关系： Yα (x)=Jα (x)cos(απ)−J−α (x)sin(απ), 若α 为整数（此时上式是00型未定式）则取右端的极限值。 从前面对Jα (x)的定义可以知道，若α 不为整数时，定义Yα 是多余 的（因为贝塞尔方程的两个线性无关解都已经用J函数表示出来了） 。另一方面，若α 为整数，Yα 便可以和Jα 构成贝塞尔方程的一个解系 。与J函数类似，Y函数正负整数阶之间也存在如下关系： Y−n(x)=(−1)nYn(x)
弗里德里希·威廉·贝塞尔
方程命名
贝塞尔函数:以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名 ，他在1824年第一次描述过它们。 贝塞尔曲线：1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研 究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公 式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏 来命名是为贝塞尔曲线。
贝塞尔函数 - 维基百科,自由的百科全书
图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。
贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。
通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。
典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
ch3 数理方程第3章
如果 u (r , ϕ , z ) 在 0 ≤ r ≤ a 上满足边界条件 (α u r + β u ) r =a = 0, 那么
α R ' (a) + β R(a) = 0. 还有自然边界条件
R(0) < +∞
8
原问题的求解归结为求 ⎧ d dR(r ) ν2 ) + (λ r − ) R ( r ) = 0 ⎪ (r dr r ⎨ dr ⎪α R ' (a ) + β R(a ) = 0，R (0) |< ∞ | ⎩ 的固有值问题。
1
内容：
第一节 贝塞尔方程的引出 第二节 贝塞尔方程的求解 第三节 贝塞尔函数的性质 第四节 贝塞尔函数应用举例
2
第一节
贝塞尔方程的引出
问题：考虑一圆柱体内部的稳恒的温度分布。
三维拉普拉斯方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u Δu = 2 + 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z
在柱坐标系 (r , ϕ , z ) 下 转化为
即
c1[( ρ + 1) 2 −ν 2 ] = 0.
(n ≥ 2) :
x
n+ ρ −2
c n [(n + ρ )(n + ρ − 1) + (n + ρ − ν 2 )] + cn−2 = 0
16
或
cn − 2 cn = − 2 2 ( n + ρ ) −ν
(3)
由指标方程可得
ρ1 = ν , ρ 2 = −ν .
R ′′(r ) 1 R ′(r ) 1 Φ ′′(ϕ ) Z ′′( z ) + + 2 =− = −λ R(r ) r R(r ) r Φ(ϕ ) Z ( z)
数学物理方程课件-第五章贝塞尔函数
R
0
J 0 ( x) cos xdx xJ0 ( x) cos x | xdJ 0 ( x) cos x
R 0 0
R
0
n 1 t t 1 t n 1 J (t )dt (7) x J n ( x)dx J n (t )d n n2 α α 1 t n 1 n 1 n 2 dt J n 1 (t ) n 2 J n 1 (t ) C
3J1 ( x) 2J1 ( x) J1 ( x) J 3 ( x) J 3 ( x)
第5章贝塞尔函数 d n (4) xJ 2 ( x)dx x 2 x 1 J 2 ( x)dx x 2 dx 1 J1 ( x) x J n ( x) x n J n 1 ( x) dx xJ 1 ( x) x 1 J1 ( x)dx 2 xJ 1 ( x) 2 J1 ( x)dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x) xJ 1 ( x) 2 dJ 0 ( x) xJ1 ( x) 2 J 0 ( x) C dx
2 c 2 2
c 1
(c k ) 2 n 2 ) a k a k 2 x c k 0
k 0
(c2 n2 )a0 0
c n
(c 1)
2
n2 a1 0
(c k )
2
n2 ) ak ak 2 0
cn
a1 0
y AJ n ( x) BJ n ( x)
Yn ( x) J n ( x) cos n J n ( x) sin n
贝塞尔函数课件
3
正交性
贝塞尔函数之间具有正交性质，适合用于展开函数。
贝塞尔函数的计算方法
级数展开求解
可以使用贝塞尔函数的级数展开 式近似求解。
径向波动方程求解
使用贝塞尔函数表（示例）
贝塞尔函数是径向波动方程的解， 可用于求解相关问题。
通过查表，可以直接获取贝塞尔 函数的数值。
贝塞尔函数的在物理学中的应用
电磁场问题中的应用
贝塞尔函数用于描述电磁场分 布、辐射和散射等问题。
圆形共振问题中的应 用
贝塞尔函数用于解决圆形共振 腔中的电磁波问题。
量子力学中的应用
贝塞尔函数用于描述量子力学 中的球对称问题和径向波函数。
总结
在本课件中，我们介绍了贝塞尔函数的定义和基本类型，讨论了贝塞尔函数的性质和计算方法，以及它在物理 学中的应用。希望通过这些内容，您对贝塞尔函数有更全面的了解。
贝塞尔函数PPT课件
贝塞尔函数是一种数学函数，常用于解决各种科学领域中的物理和数学问题。 本课件将介绍贝塞尔函数的定义、类型、性质、计算方法以及在物理学中的 应用。
什么是贝塞尔函数
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它是贝塞尔微分方程的解。它广泛应用 于物理学、工程学和数学等领域，例如波动理论、振动问题和量子力学。
下一步研究方向
贝塞尔函数作为一种重要的数学工具，在各个领域中仍有许多未解决的问题 和有待深入研究的方向。我们鼓励您继续探索和应用贝塞尔函数。
参考文献
1. Jiang, X., & Li, X. (2019). Applications of Bessel functions in physics. Physics Education, 54(6), 065010.