数理方程Sturm-Liouville问题
数理方程33
= X ''+ λ X 0, ( S − L) = = (0) X (l ) 0, X
nπ λ n 1, 2,) = λ = n , (= l
2
0 ≤ x ≤ l.
由 Sturm-Liouville 理论易知此问题的特征值为
nπ X x x, (n 1, 2,) = ( ) sin = 相应的特征函数可以取为 n l 。
2
t （n 为奇数时） 。
Step 4
由上可得原问题的形式解为
∞
n 2 − − A 2 1 ( 1) ( ) Bx anπ l +∑ − u ( x, t ) = 1 cos l nπ l anπ n =1
nπ t sin x l
特解的求法：
T ''(t ) + λT (t ) = f (t )
T *(t ) 1
λ∫
t
0
f (τ ) sin[ λ (t − τ )]dτ
当 f (t ) = f 0 时
T *(t ) = f 0 / λ
(方法 2 )
Bx A l Al 2 ) v ( x, t ) + − 2 x − + 2 则 v 满足 令 u ( x, t = l 2a 2 8a ，
(n = 1, 2,)
2 ( 2n − 1) π lim λn − 0 = ， n →∞ 2 l
这就是全部特征值，相应的特征函数可取为
= X n ( x) sin = λn x, (n 1, 2,)
23 解：Step 1将 u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 代入方程及边界条件得Sturm-Liouville 问题
Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数
Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数王帅;杨恩孝【摘要】This paper uses the research methods of a second order tensor and the differential operator eigenval -ue and eigenvector (functions) to study Sturm-Liouville boundary value problem .We can find that differential op-erator of Sturm-Liouville system eigenvalue problem is self-adjoint and its unit-orthogonal characteristic function sys-tem ( base ) constitutes a complete orthogonal system ( base ) .%本文采用二阶张量和常微分算子的特征值与特征向量（函数）的研究方法，研究了Sturm－Liouville边值问题。
通过这些研究得到， Sturm－Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的，并且其单位正交特征函数系（基）构成完备正交系（基）。
【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】3页(P25-27)【关键词】Sturm-Liouville方程;特征值问题;完备正交系【作者】王帅;杨恩孝【作者单位】长春光华学院基础教研部，吉林长春130033;长春光华学院基础教研部，吉林长春130033【正文语种】中文【中图分类】O175方程称为Sturm-Liouville方程.其中p(x),ρ(x),q(x)在a≤x≤b上均是x的实函数,且p(x)>0,ρ(x)>0,q(x)≥0,而p′(x),ρ(x),q(x)在a<x<b上连续.对Sturm-Liouville方程提出的齐边界条件主要有：或Sturm-Liouville方程与齐边界条件①-③相结合,求其非零解,这就是Sturm-Liouville系统的特征值问题. Sturm-Liouville方程是用分离变量法解数学物理方程得到的一类方程.它的主要特点:1)方程中有参数λ;2) U(x)的一阶导数与二阶导数可以合起来,表达为形式.对Sturm-Liouville方程的边值问题讨论的主要问题是:参数λ取何值时,方程才有非零解.历史上已有过许多有价值的方程都归类于Sturm-Liouville系统.(1) Euler压杆稳定问题与Fourier一维热传导问题所得到的方程(2) Legengre方程(3) Bessel方程(4) Hermite方程对这些方程结合某些齐边界条件的本征值问题的讨论,得到许多非常有用的正交完备的基函数系.这些基函数系在数学物理方程研究中起到重要作用.我们就边值问题为例,讨论Sturm-Liouville系统的特征值问题.(2)与(1)中的λ相差一负号,我们约定 Sturm-Liouville系统的特征值是指各个Sturm-Liouville方程变成 (2)形式中的λ.(2)式中称为Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子.定义1 若U(x)≠0,U(x)满足边值问题(2),则称U(x)是Sturm-Liouville系统的特征函数,与U(x)对应的λ称为特征值.定义2 若(v,Lu)=(u,Lv),则称Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子L是自伴的，并且(u,Lv)≡x.定理1 Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的.证明显然(v,Lu)=(u,Lv)⟺ .计算x.由齐边界条件① u(a)=u(b)=0,v(a)=v(b)=0,有；② u′(a)=u′(b)=0,v′(a)=v′(b)=0,有Δ=0;③ u(a)=u′(b),v(a)=v′(b)=0,有Δ=0.无论①,②,③的哪一种齐边界条件,都有(v,Lu)=(u,Lv).定理2 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征值有无穷多,均是实数,且是分离的,又λn≤0,(n=1,2,…).定义3 任意两个Riemann可积函数u(x),v(x)(a≤x≤b)称为函数u(x),v(x)的内积.积分称为函数u(x)的模(或范数,长度), 若则称两函数正交.定理3 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征函数是正交的,即：若特征值λn≠λm(n≠m),对应的特征函数为un(x),um(x),则有证明因为Lun=λnρun, Lum=λmρum， (un,Lum)=(um,Lun)(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),于是有因为λn≠λm,(n≠m),必有 .Gram—Schmidt正交化方法.对重特征值,例如λ1=λ2=λ3对应的3个线性无关特征函数u1,u2,u3未必正交,但可由u1,u2,u3构造出与λ1=λ2=λ3对应的正交的3个特征函数v1,v2,v3.取v1=u1，设v2=u2+ku1=u2+kv1,使得,则可算出k,则得到v2,且v1,v2正交.再设v3=u3+k1v1+k2v2,使得 .由此二式又可算出k1,k2,则得到v3,且v3与v1,v2正交.对更高重特征值,如上作法也可构造出与重特征值对应的一组正交的特征函数.这种方法称为Gram—Schmidt正交化方法.如上所述, Sturm-Liouville系统特征值问题(2)有一正交的特征函数系(基){Ui(x)}(n=1,2,…).将其单位化,,则有单位正交特征函数系(基): {Ui(x)}(n=1,2,…).定理4 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的单位正交特征函数系(基):{Ui(x)}(n=1,2,…)在[a,b]上构成完备正交系(基).所谓“完备系”,即是在[a,b]上不存在不恒为零的连续函数f(x),使得.或者说[a,b]上的具有一阶连续导数或具有二阶分段连续导数的任意函数f(x),只要满足Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的边界条件,则可以依单位正交特征函数系{Ui(x)}(n=1,2,…)展成绝对、一致收敛的广义Fourier级数其中(n=1,2,…) .【相关文献】[1] Garvey S D, Prells U,Friswell M I, Zheng Chen.General isospectral flows for linear dynamic systems[J].Linear Algebra and its Applications, 2004，45(3):365-368.[2] Chu M T, Fasma Diele, Ivonne Sgura. Gradient flow methods for matrix completion with prescribed eigenvalues[J]. Linear Algebra and its Applications, 2004，58(2)：35-112.[3] Friswell M I, Prells U, Garvey S D.Low-rank damping modifications and defective systems[J]. Journal of Sound and Vibration,2005，42(5):757-774.[4] Houlston P R, Garvey S D, Popov A A.Modal control of vibration in rotating machines and other generally damped systems[J].Journal of Sound and Vibration, 2007，45(7):104-116.[5] Houlston P R， Garvey S D， Popov A A. Optimal Controller Designs for Rotating Machines - Penalising the Rate of Change of Control Forcing[C].7th IFToMM-Conference on Rotor Dynamics, Vienna, Austria, 2006，32(8)：75-78.[6] Khattak A R, Garvey S D,Popov A A. Repeated resonances in folded-back beam structures[J]. Journal of Sound and Vibration,2006,30(9):309-320.。
《2024年Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》范文
《Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》篇一一、引言Sturm-Liouville问题是一类重要的数学物理问题，它在量子力学、微分方程、谱理论等领域有着广泛的应用。
该问题主要研究的是在给定区间上，具有特定边界条件和微分算子的线性微分方程的解的谱性质。
本文旨在探讨Sturm-Liouville问题的谱分析方法以及其数值计算的实现。
二、Sturm-Liouville问题概述Sturm-Liouville问题可以描述为在给定区间上，具有实系数和满足一定边界条件的二阶线性微分方程的解的谱问题。
其基本形式为：-Ly(x) + Q(x)y(x) = λRy(x)，y(a) = α，y(b) = β其中L、Q和R是已知的实系数，α和β是给定的边界条件，λ和y(x)为待求的特征值和特征函数。
Sturm-Liouville问题的研究重点是找出满足这些条件的特征值λ及其对应的特征函数y(x)。
三、谱分析方法对于Sturm-Liouville问题的谱分析，通常采用分离变量法、傅里叶级数法、级数展开法等方法。
其中，级数展开法是一种常用的方法。
该方法通过将微分方程的解表示为一系列已知函数的级数展开式，从而将微分方程的求解问题转化为求解一系列代数方程的问题。
具体步骤如下：1. 根据问题的特点选择合适的基函数，如正弦函数、余弦函数等。
2. 将微分方程的解表示为基函数的级数展开式。
3. 通过将微分方程转化为代数方程，求解出级数展开式中的系数。
4. 根据边界条件确定特征值和特征函数。
四、数值计算方法对于Sturm-Liouville问题的数值计算，常用的方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
其中，谱方法是一种高精度的数值计算方法，其基本思想是将微分方程的解表示为一系列已知函数的加权和，通过求解加权系数来得到近似解。
具体步骤如下：1. 选择合适的基函数，如正交多项式、三角函数等。
2. 将微分方程的解表示为基函数的加权和。
sturm-liouville问题特征值间的不等式
sturm-liouville问题特征值间的不等式对于一个Sturm-Liouville问题，存在一组特征值$λ_1, λ_2, λ_3, ···$，它们是一个无限序列，且存在对应的特征函数$\{ϕ_n(x)\}$，它们满足如下的正交归一性质：$$\int_a^b ϕ_i(x)ϕ_j(x)w(x)dx=δ_{ij}$$其中 $w(x)$ 是权函数（或者称为权重函数），$δ_{ij}$ 是克罗内克δ 符号。
根据特征值的定义，我们有：$$Lϕ_n(x)=λ_nw(x)ϕ_n(x)$$将这个框架下的 $L$ 微分算子对 $ϕ_n(x)$ 进行作用，可得：$$L(Lϕ_n(x))=(λ_nw(x))^2ϕ_n(x)$$将前面的 $Lϕ_n(x)$ 带入上式，得：$$L^2ϕ_n(x)=(λ_nw(x))^2ϕ_n(x)$$注意到这里的$L^2$ 意味着重复作用$L$ 两次，那么我们可以进行归纳：$$L^kϕ_n(x)=(λ_nw(x))^kϕ_n(x)$$由于$λ_nw(x)$ 是实数，那么我们可以取 $k$ 为偶数，这样就有了如下的结果：$$L^{2k}ϕ_n(x)=(λ_nw(x))^{2k}ϕ_n(x)$$对比 $L^2$ 和 $L^{2k}$ 的结果，我们可以得到如下不等式：$$(λ_nw(a))^2≤(λ_nw(x))^2≤(λ_nw(b))^2$$也即：$$λ_n^2≤\frac{\displaystyle\int_a^b\left(p(x)\left(\f rac{d^2ϕ_n(x)}{dx^2}\right)^2+q(x)\left(ϕ_n(x)\right)^2\ri ght)dx}{\displaystyle\int_a^bw(x)\left(ϕ_n(x)\right)^2dx}≤λ_{n+1}^2$$其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是Sturm-Liouville方程式中的函数。
《一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计》范文
《一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计》篇一一、引言Sturm-Liouville问题是一类重要的数学物理问题，广泛存在于量子力学、工程力学、控制论等多个领域。
其特征值和特征函数的求解对于理解这些领域的物理现象具有重要意义。
当Sturm-Liouville问题的边界条件依赖于特征参数时，问题的复杂性增加，尤其是当问题中涉及多项式且存在不连续性时，特征值的渐近估计成为研究的关键。
本文将探讨一类具有这种特性的Sturm-Liouville问题的特征值渐近估计方法。
二、问题描述考虑一类具有不连续边界条件的Sturm-Liouville问题，其特征参数以多项式的形式出现在边界条件中。
该问题的微分方程部分在连续区域内具有标准的Sturm-Liouville形式，但在不连续点处，由于边界条件的变化，导致问题的求解变得复杂。
我们的目标是找到这类问题的特征值的渐近估计。
三、特征值的渐近估计方法为了求解此类问题，我们首先需要对方程进行适当的变换，以便利用现有的渐近估计方法。
具体来说，我们将采用匹配渐近法，通过在不同区域建立适当的近似解，并在交界处进行匹配，从而得到特征值的渐近估计。
1. 区域划分与近似解的建立根据问题的特点，我们将整个定义域划分为若干个区域。
在每个区域内，由于边界条件的变化较小，我们可以采用标准的Sturm-Liouville方法求解微分方程，得到该区域的近似解。
这些近似解将作为后续匹配的基础。
2. 匹配渐近法在交界处，我们需要将不同区域的近似解进行匹配。
这通常涉及到求解一系列非线性方程，以确定匹配条件。
通过求解这些方程，我们可以得到特征值的渐近估计。
四、数值实验与结果分析为了验证我们的方法，我们进行了一系列的数值实验。
我们构造了一个具体的不连续Sturm-Liouville问题，其边界条件依赖于特征参数的多项式。
然后，我们使用我们的方法进行特征值的渐近估计，并将结果与精确解进行比较。
具脉冲Sturm-Liouville边值问题的多重正解
具脉冲Sturm-Liouville边值问题的多重正解脉冲现象作为一种瞬时突变现象,在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的。
近年最新科技成果表明,这类系统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学、医学、经济领域均得到重要应用。
本文共分两章,第一章简述问题的历史背景和本文的主要工作。
第二章主要利用锥不动点定理证明Sturm-Liouvlle脉冲微分方程多重正解的存在性。
（?）其中Lu=（p（x）u′）′+q（x）u是Sturm-Liouville算子,I=[0,1],I′=I\{x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,…,x<sub>m</sub>}且
0<x<sub>1</sub><x<sub>2</sub><…<x<sub>m</sub><1。
最近几年,文献[1,2,3,5,7,9,10,11]关于二阶脉冲微分方程边值问题作了不少工作,但大多数文章讨论是p（x）=1,q（x）=0的情况。
然而对于p（x）≠1,q（x）≠0的情况,而且很少研究正解的存在性。
刘兆里在文献[13]中已经研究关于常微分方程（I<sub>k</sub>≡0,p（x）=1,q（x）=0）正解存在性,通过利用Krasnoselskii不动点定理和锥不动点指数定理证明多重正解的存在性。
本文是主要利用[3]中的不动点定理将[13]中结果的推广。
《几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》范文
《几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》篇一一、引言在微分方程理论中，Sturm-Liouville问题作为基础而又重要的问题类型，历来都是学术研究的热点。
随着研究的深入和数学理论的扩展，分数阶微分方程开始进入人们的视野，与传统的整数阶微分方程一起，构成了现代微分方程理论的重要部分。
本篇论文旨在探讨几类分数阶Sturm-Liouville问题，并对其进行深入研究。
二、分数阶Sturm-Liouville问题的基本理论分数阶Sturm-Liouville问题是指对带有分数阶导数的微分方程进行研究的问题。
它的一般形式为：L_D(u) = λu(x) ，其中L_D 是一个关于u(x)的分数阶微分算子，λ是特征值，u(x)是特征函数。
这类问题具有广泛的物理背景和实际应用价值，例如在量子力学、振动理论、信号处理等领域都有重要的应用。
三、几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究1. 线性分数阶Sturm-Liouville问题：主要针对具有线性算子的分数阶Sturm-Liouville问题进行研究，如基于常系数的微分方程问题。
此类问题常通过特定的变换，如Laplace变换、Fourier 变换等，将其转化为更容易求解的形式。
2. 非线性分数阶Sturm-Liouville问题：与线性问题相比，非线性问题更为复杂。
我们主要研究具有非线性算子的分数阶Sturm-Liouville问题，这类问题往往涉及到复杂的微分方程求解和数值分析方法。
3. 边界条件变化的分数阶Sturm-Liouville问题：当问题的边界条件发生变化时，问题的解将如何变化是我们关注的一个重点。
我们将研究在不同边界条件下，分数阶Sturm-Liouville问题的解的性质和变化规律。
4. 参数变化对问题的影响：我们将研究参数变化对分数阶Sturm-Liouville问题的影响，如改变算子中的参数值、增加新的约束条件等，探究这些变化如何影响问题的解及其性质。
半无穷区间广义Sturm-Liouville边值问题的多个正解存在性
半无穷区间广义Sturm-Liouville边值问题的多个正解存在
性
邢美红;张克梅;高合理
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2009(029)004
【摘要】该文利用Leggett-Williams不动点定理,研究半无穷区间边值问题{(p(t)x’(t))}’+Φ(t)f(t,x),x’(t)))=0,t∈[0,+ ∞], α1x(0)- β1limt→0p(t)x’(t)= α1, α2limt→+∞+β2 limt→+∞+p(t)x’(t)= α2,多个正解的存在性.
【总页数】11页(P929-939)
【作者】邢美红;张克梅;高合理
【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,山东曲阜,273165;曲阜师范大学数学科学学院,山东曲阜,273165;滨州学院教学与信息科学系,山东滨州,256603
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.半无穷区间二阶半正边值问题的多个正解的存在性 [J], 孙艳梅
2.半无穷区间二阶微分方程边值问题的多个正解的存在性 [J], 孙艳梅
3.半无穷区间上一类带 P-Laplacian算子微分方程m点边值问题多个正解的存在性 [J], 张伟;高鹏;张迪
4.一类半无穷区间上分数阶非线性微分方程边值问题多个正解的存在性 [J], 张海
斌;贾梅;陈强
5.半无穷区间上积分边值问题多个正解的存在性 [J], 陈建名;刘锡平;肖羽
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三类Sturm-Liouville特征值问题
三类Sturm-Liouville特征值问题
众所周知,Sturm-Liouville问题起源于对固体热传导模型的处理.其理论
应用广泛,主要包括数学物理、工程技术、气象物理及其它理论和应用学科.因此,一个多世纪以来,常微分算子已逐步形成数学及物理学领域的一个重要研究分支.本文通过微分方程基本解的高阶展开式,研究边界条件中含谱参数的
Sturm-Liouville算子特征值的渐近展开式.进一步利用初值问题解的渐近估计,并借助于一个积分恒等式,采用留数方法,得到了边界条件中含谱参数的2×
2Sturm-Liouville问题特征值的迹公式.本文主要内容安排如下：第一章绪论.主要介绍Sturm-Liouville理论的研究状况及本文所做的工作.第二章本章研究定义在闭区间[0,1]上且边界条件中不含谱参数的正则Sturm-Liouville问题,其中势函数q(x)∈W2m-1([0,1])(m∈N).给出了微分方程基本解的高阶展开式.第三章本章讨论定义在闭区间[0,1]上且边界条件中含谱参数的
Sturm-Liouville问题,其中势函数q(x)∈W2m-1([O,1])(m∈N)借助于微分方程基本解的高阶展开式及系数特征,采用剩余估计法,给出该Sturm-Liouville问题的特征值的渐近展开式.第四章本章研究定义在闭区间[0,π]上且边界条件中含谱参数的2x2Sturm-Liouville问题.本章首先给出该问题的特征函数,然后借助于该特征函数,给出该问题的特征值的迹公式.。
Sturm-Liouville型一维P-Laplacian方程奇异边值问题的正解存在性
Sturm-Liouville型一维P-Laplacian方程奇异边值问题的
正解存在性
熊明
【期刊名称】《大理学院学报》
【年(卷),期】2007(006)006
【摘要】本文讨论如下P-Laplacian方程{-(h(t)∣u'(t)∣p-2u'(t))'+q(t)∣u(t)∣p-
2u(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1)u(0)=u(1)=0奇异边值问题的正解存在性,其中p＞
1,h(t)∈C1[0,1],q(t)∈C[0,1],h(t)＞0,q(t)≥0,函数f(t,x)可能在t=0,1时都有奇性.【总页数】5页(P67-71)
【作者】熊明
【作者单位】大理学院数学与计算机学院,云南大理,671000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一维p-Laplacian算子型奇异边值问题可数多正解的存在性 [J], 姜燕君;张才仙;胡凤珠
2.一维p-Laplacian方程的两点奇异边值问题正解的存在性 [J], 熊明;刘嘉荃;曾平安
3.p-Laplacian算子型奇异方程组边值问题强正解存在性 [J], 柴国庆
4.一类一维 p-Laplacian 非线性奇异三点边值问题正解的存在性 [J], 白杰;祖力
5.一维p-Laplacian奇异Sturm-Liouville边值问题的正解 [J], 李翠哲;葛渭高
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n
第三章 Sturm-Liouville问题
5
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
称 f ( x) f n yn ( x)右边的级数为广义傅里叶级数
d d
贝赛尔方程
d sin sin 0 勒让德方程 d
它们都可以归纳为下面的一般形式
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
这种类型的方程称为Sturm-Liouville型方程(简称S-L 型) ( x) 称为权重函数 0 一般 ( x) 0, ( x)
第三章 Sturm-Liouville问题
4
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质5 固有函数系 yn ( x)在区间构成一个完备的正交 函数系. 即：函数f(x)如果具有连续一阶导数和逐段连 续二阶导数且满足固有函数族所满足的边界条 件，则必可展开为绝对且一致收敛的级数
Sturm-Liouville问题
在前面几节中，我们讨论过常微分方程 X ''( x) X ( x) 0 的固有值问题 以后，我们还将研究如下的方程
d dy v2 ( x ) ( x ) y 0 dx dx x
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx
第三章 Sturm-Liouville问题
3
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质1 如果 ( x) 是固有函数, c是不为零的常数, 则 c ( x) 也是固有函数. 性质2 如果p(x)及其导函数连续，q(x)连续或者最多在 边界有一阶极点，则存在无限多个固有值 1 2 3 ... 性质3 所有的固有值为非负实数，即 n 0 性质4 对应于不同的固有值 m 和 n 的固有函数 y m ( x) 和 y n ( x) 在区间[ a, b] 上带权 ( x) 正交， b 即 a ym ( x) yn ( x) ( x)dx 0
第三章 Sturm-Liouville问题
2
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
S-L型方程附加上齐次的第一类、第二类、第三类边 界条件，或者是自然边界条件，就构成S-L型固有值 问题 称为固有值 满足S-L型方程及相应的边界条件的非零解就是固 有函数
n
f n (n 1,2,) 叫做 f ( x) 的广义傅里叶系数
b
即
( x) f ( x) y ( x)dx
n
f n ( x)
a
b 2 ( x ) y n ( x ) dx a
.
第三章 Sturm-Liouville问题
6