2017_2018学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.6切变变换课件苏教版选修4_2
最新2.2几种常见的平面变换汇总
2.2几种常见的平面变换仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程] 一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//yy x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E 三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。
2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1y y k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？ 四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21 练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。
(3)几种常见的平面变换
1 0 x x1 x T2 : , M 2 0 1 y y y 1 1 0 x x1 x T3 : , M 3 0 1 y y y 1
链接
0 1 例 4 求直线 y = 4 x 在矩阵 作用下变换所 得的图像. 1 0
思考 : 直线 A x + B y + C = 0 经过二阶矩阵变换 后其图像是什么图形 ？
矩阵是研究图形（向量）变换的基本工 具，在军事密码学、信息安全的加密、大 型工程的计算、线性方程组的求解等问题 中都有着广泛的应用，许多数学模型都可 以用矩阵来表示.因此学好矩阵、掌握矩阵、 用好矩阵，可以使我们的生活变得更加美 好与和谐！ 学法提示：多探索、多阅读、多交流、 多思考、多创新！
x 事实上,对于平面上任意一点 ( 向量 ) , y 1 0 x x 都有 恒等变换 . 0 1 y y 1 0 对于平面上任意一点 ( 向量 )施以矩阵 0 1 对应的变换,都把自己变成自己.
x 1 T : . y y1
一般地,对于平面向量的变换 T , 如果变换规则为
x1 ax by x T : , y y1 cx dy
坐标变 换形式
那么, 根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以 改写为 a b x 矩阵乘 x1 x
2 . 伸压变换 若矩阵 M 将平面图形作沿 y 和 x 轴方向伸长或 压缩的变换,则称矩阵 M 为 沿 y 和 x 轴的垂直伸压 变换矩阵, 对应的变换称为 垂直伸压变换 . 简称 伸压变换. 从图中可以看出在矩阵 M 对应的变换 T 1 作 用下,几何图形沿 y 轴负方向被纵向压扁了. 思考 :在矩阵 M 对应的压缩变 换 T 1 作用下,平面上的点 ( 向 量 )一定是向下压吗 ?
《切变变换》课件
x' x 1 0
y'
kx
y
k
1
再回首
1、在平面直角坐标系中，
形
平面内的点 平面内的曲线 平面内的图形变换
数
有序实数对 方程
再回首 想一想：本节课主要学习了哪些知识？
在平面直角坐标系xOy内，形如
x ax by
y
cx
dy
……①
（其中 a,b, c, d 均为常数）的几何变换叫做线性变换,
二阶矩阵
思考题
求圆x2+y2=4在矩阵
A
2 0
10 对应变换
作用下的曲线方程，并判断曲线的类型.
再 见
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
y P(x,y)
x ' x ky
y' y
1 k
0
1
P(x, y)
y
O
x
tan y
切变变换
平行于x轴的投影变换的坐标变换公式 及其对应的二阶矩阵；
x ' x ky 1 k
y' y
0
1
平行y轴的投影变换的坐标变换公式及 其对应的二阶矩阵；
切变变换
1988年加拿大卡尔加里 第十五届冬奥会会徽。
温故知新 在平面直角坐标系中，
形
内的图形变换
切变变换
将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移 ky个单位变成点P’，其中k是非零常数，称这类 变换为平行于x轴的切变变换。
常见的几种平面变换(切变变换)
缩放切变变换可以应用于各种 平面图形，如矩形、圆形、多 边形等。
通过缩放切变变换，可以改变 平面图形的大小和形状，实现 图形的缩放操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉、图像 识别等领域有着广泛的应用。
平移切变变换
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
平移切变变换是平面图 形在平移过程中发生的 变换。
。
图像剪裁
通过切变变换，可以将图像的 一部分进行剪裁，实现图像的
局部显示。
图像扭曲
通过切变变换，可以将图像进 行扭曲，实现图像的扭曲效果
。
在几何建模中的应用
三维模型转换
通过切变变换，可以将三维模型进行转换， 实现三维模型的旋转、平移等操作。
二维图形绘制
通过切变变换，可以绘制各种二维图形，如 直线、圆、椭圆等。
THANKS
感谢观看
详细描述
平移切变变换是指将平 面图形按照一定的方向 和距离进行移动，从而 改变图形位置的变换。 在平移过程中，图形中 的每一点都按照相同的 方向和距离进行变换。
总结词
平移切变变换可以应用 于各种平面图形，如矩 形、三角形、多边形等
。
详细描述
通过平移切变变换，可 以改变平面图形在平面 上的位置，实现图形的 平移操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉 、动画制作等领域有着
特效制作
通过切变变换，可以制作各种特效，如爆炸、烟雾等。
动画合成
通过切变变换，可以将多个动画进行合成，实现复杂的动画效果。
05
总结
切变变换的优点和局限性
优点
切变变换能够有效地处理图像的几何失真，提高图像的清晰度和对比度，同时能够保留图像中的重要 特征。
(5)几种常见的平面变换(4)
2
1 2
,
1 2 1 2
.
A
y
0
1
y
y
,
2 . 已知曲线 C : x y = 1 . (1) 将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45 °后
得到曲线 C ′,求曲线 C ′的方程; (2) 求曲线 C 的交点坐标和渐近线方程.
1 2
1 2
1 2
.
6 . 切变变换
4
4
3C 2
B
3
T2
C1
B1
1
A O 12 34
1 O 1 2 3 A14 5
平面变换 T 将正方形 OABC 变换为平行四边形
OA1B1C1 ,你能求出得到变换 T 的矩阵 M 吗 ?
分析 :
T :
y = x 变换成什么图形 ?
.
例 5 研究下列矩阵所确定的变换.
M解(1对xy).M于 平11面1100内00任xy意, 向(2量xx).N,xy
0
0
,有
在y
1
1
=x
.
上的投影
矩阵 M 使平面内所有点的横坐标不变,纵坐标
x y
x' y'
x y
2 3
y
,
M
1 0
2
3 1
.
6 . 切变变换
矩阵
M
(苏教版)2017-2018学年高中2.2几种常见的平面变换2.2.6切变变换课件选修4-2(数学)
2．2.6
切变变换
1．由矩阵
1 M＝ 0
k 或 1
1 0 k 1 确定的变换称为切变变 N＝_______
换，矩阵 M，N 称为切变变换矩阵．
1 2． 矩阵 0
求切变变换矩阵
[例 2]
如图，在切变变换下，平行四边形 ABCD 变换为平
行四边形 A′B′C′D′， 试写出这个切变变换的变换矩阵， 指 出其中的不变线段．
[思路点拨]
易知是何种 观察各点变换前后坐标变化特点，
切变变换，确定 k 值． [精解详析] 显然 A，B，C，D 各点的横坐标不变，纵坐 0 ，这 1
解决此类问题的关键是确定变换前后点的坐标 之间的关系，此关系的确定可通过矩阵与向量的乘法 规则完成．
1．求直线 x＝1 在矩阵
1 M＝ 0
－1 所确定的变换作用下的象． 1
－1 x x－y y ＝ ， 1 y 1 在矩阵 0
1 标各自加上了－x，故这个切变变换的变换矩阵是 －1
个变换中只有平行四边形中与 y 轴相交部分的线段是不变量．
这类试题既可以通过观察，找到 k 值，也可以根据待定系 数的方法确定 k 值，如例 2 根据点 A(－3，－2)变换前后的坐标 可得 1＝k(－3)＋(－2)，即得 k＝－1.根据两类切变变换的变换 公式，平行于 x 轴的切变变换 x 轴上的点是不动点，平行于 y 轴的切变变换 y 轴上的点是不动点．
3．如图已知正方形 ABCD 在矩阵 M 对应的线性变换的作用下 变成▱A′B′C′D′，求矩阵 M.
解： 由图知， A(0,0)变换为 A′(0,0)， B(1,0)变换为 B′(1,1)， C(1,1)变换为 C′(1,2)，D(0,1)变换为 D′(0,1)，从而可知 变换 T 是沿 y 轴正方向平移 1 个单位的切变变换，在此变 换下，y 轴上的点为不动点，故可得
2017-2018学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 2.2.5 投影变换教学案 苏教版选修4
2．2.5 投影变换1．投影变换将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换． 2．投影变换矩阵像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵．3．常见的投影变换矩阵(1)将坐标平面内的图形垂直投影到x 轴上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0； (2)将坐标平面内的图形垂直投影到y 轴上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001；(3)将坐标平面内的图形沿垂直于y 轴方向投影到y ＝x 上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 10 1； (4)将坐标平面内的图形沿垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010.[说明] 投影变换虽然是映射，但不是一一映射．[对应学生用书P17][例1] 已知变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，平面上三个点A (3,1)，B (2,3)，C (0,4)．(1)分别求直线AB ，BC 在T 1，T 2变换下得到的直线方程； (2)变换T 1，T 2有什么不同？[思路点拨] 二阶非零矩阵对应的变换将直线变为直线，所以只要求出A ，B ，C 在T 1，T 2变换下得到的点A ′，B ′，C ′的坐标，就可以求出直线AB ，BC 在T 1，T 2变换下得到的直线方程．[精解详析] (1)A ，B ，C 在T 1变换下变为A ′(3,0)，B ′(2,0)，C ′(0,0)，A ，B ，C在T 2变换下变为A ″(3，－1)，B ″(2，－3)，C ″(0，－4)．∴直线A ′B ′的方程为y ＝0，直线B ′C ′的方程为y ＝0， 直线A ″B ″的方程为2x －y －7＝0， 直线B ″C ″的方程为y ＝12x －4.(2)由(1)可知，直线AB ：2x ＋y －7＝0，直线BC ：y ＝－12x ＋4，在T 1变换下得到的图像均为y ＝0，在T 2变换下得到两个不同的图像，所以T 2是一一映射，T 1不是一一映射．投影变换不仅依赖于投影的目标直线(或点)，还依赖于投影的方向．这很好理解，以树木在太阳下形成影子为例，我们把太阳光看似平行光，当在正午的时候，树木的影子会投影到树根，但在清晨或者黄昏时分，投影到大地上的树木的影子就变斜了．正午时候太阳光所作的垂直投影变换对应的矩阵形式为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，下面我们考察太阳光所作的斜投影变换的矩阵形式，如图所示．在这样的斜投影变换下，P (x ，y )→P ′(x ′，y ′)，记k ＝cot α，则P ′的坐标为(x ＋ky,0)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ky 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 00即为这样的斜投影变换的矩阵形式，特别地，当k ＝0时，即为垂直投影变换．1．已知△ABC 三顶点坐标分别为A (－1,1)，B (2,0)，C (1,2)，此三角形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010作用下得到怎样的图形？解：因⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故A 、B 、C 三点在M 作用下的象为A 1(－1，－1)，B 1(2,2)，C 1(1,1)，而A 1、B 1、C 1三点都在直线y ＝x 上且C 1点在线段A 1B 1上，故△ABC 在矩阵M 作用下的象是线段y ＝x (－1≤x ≤2)．2．研究直线3x －2y ＋1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义．解：任取直线3x －2y ＋1＝0上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′x 0－y 0＝y ′0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′y 0＝x ′0－y ′0.又因为点P 在直线3x －2y ＋1＝0上， 所以3x 0－2y 0＋1＝0，即有3x ′0－2(x ′0－y ′0)＋1＝0，即x ′0＋2y ′0＋1＝0.从而直线3x －2y ＋1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1作用下变成直线x ＋2y ＋1＝0.其几何意义是：把直线3x －2y ＋1＝0上的每一点沿垂直于直线x ＋2y ＋1＝0的方向投影到该直线上．[例2] 已知直线x ＋y ＝5在矩阵M 对应变换作用下得到点(5,5)，求矩阵M . [思路点拨] 先设出变换矩阵，利用变换公式列方程求解即可．[精解详析] 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由题意得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，即恒有ax ＋by ＝5，cx ＋dy ＝5，又因为x ＋y ＝5，比较得a ＝b ＝c ＝d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111.根据变换的形式或变换对应的矩阵找出对应的关系，寻找变换后图形上点的横、纵坐标关系来理解投影变换具有的特点．3．已知变换T 是将平面图形投影到直线y ＝3x 上的变换，试求它所对应的矩阵M . 解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3x ，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 030.4．求直角坐标系内关于直线l ：y ＝kx (k ≠0)的投影变换的坐标变换公式及其矩阵． 解：设平面内点P (x ，y )在l 上投影为P ′(x ′，y ′)，据题意⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′＝－1k ，y ′＝kx ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1k 2＋1x ＋kk 2＋1y ，y ′＝k k 2＋1x ＋k2k 2＋1y .则相应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 2＋1 kk 2＋1k k 2＋1 k 2k 2＋1.[对应学生用书P18]1．求点A (3,1)，B (2,3)，C (3,2)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换下变成的点的坐标，并回答下列问题：(1)该矩阵把直线AB 变成什么图形？ (2)该矩阵把线段AC 变成什么图形？解：设点A ，B ，C 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000变换作用下的点分别是A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，C ′(x 3，y 3)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30， ∴点A ′的坐标为(3,0)，同理B ′(2,0)，C ′(3,0)． (1)易知该矩阵把直线AB 变成x 轴；(2)易知该矩阵把线段AC 变成了一个点(3,0)．2．直线x ＋y ＝3在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1100对应的变换作用下变成什么图形？解：直线x ＋y ＝3在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 100对应变换下变成了点(3,0)，如图所示．3．正方形ABCD 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 0，M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12，M 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12对应的变换作用下的图形是什么？请画出示意图，这里点A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．解：如图所示，根据矩阵对应变换的几何意义，可知在M 1，M 2，M 3，M 4对应变换下，正方形ABCD 分别变成线段A ′B ′，A ″E ，FG ，A C ′.4．直线x －y ＝2分别在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1与矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111对应的变换作用下变成什么图形？解：设P (x ，y )是直线x －y ＝2上任意一点，P ′(x ′，y ′)是矩阵M 对应变换下P 对应的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝－x ＋y ，代入x －y ＝2，得直线x －y ＝2在矩阵M 对应变换下变为点(2，－2)．同理可得直线x －y ＝2在矩阵N 对应变换下变为直线y ＝x .5．已知变换T 是将平面图形沿y 轴方向投影到直线y ＝2x 上的变换，试求它的变换矩阵M .解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.6．圆x 2＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001变换作用下得到什么图形？解：圆x 2＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001对应的变换作用下得到的图形是线段x ＝0(－1≤y ≤1)．7．已知变换T 把平面上的所有点都垂直投影到直线y ＝x 上． (1)试求出变换T 所对应的矩阵M ；(2)求直线x ＋y ＝2在变换T 下所得到的图形．解：(1)因为点P (x ，y )在直线y ＝x 上的投影为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2，于是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2. 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y2x ＋y 2，x ＋y ＝2，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即直线x ＋y ＝2在变换T 下所得到的图形是一个点(1,1)． 8．已知直线l ：x ＋y ＝5.(1)求直线l 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011对应的变换作用下得到的图形；(2)是否存在矩阵N ，使直线l 在矩阵N 对应的变换作用下得到点(5,0)?解：(1)设P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝5上的任一点，该点在矩阵M 变换作用得到的点P ′的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤001 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0x 0＋y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 0＋y 0.又x 0＋y 0＝5，∴P ′(0,5)，即直线l ：x ＋y ＝5在矩阵M 对应变换作用下变为一个点(0,5)． (2)假设存在适合题意的矩阵N ，设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1c 1d 1， P (x 0，y 0)是直线l 上任一点，该点在矩阵N 对应变换作用下对应的点为P ′(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1x 0＋b 1y 0c 1x 0＋d 1y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤50. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1x 0＋b 1y 0＝5，c 1x 0＋d 1y 0＝0.此方程组对任意x 0∈R ，y 0∈R 恒成立， 且x 0＋y 0＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＝1c 1＝d 1＝0，∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1100.即存在矩阵N ，使直线l 在此矩阵对应的变换作用下得到点(5,0)．。
2017-2018学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修4-2
(2)由(1)知曲线 C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为 y＝
±x.
4．求直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程． 解：直线 y＝ 3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得 的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为 x＝0.
5．将抛物线 E：y2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转 60°，得到曲线
x′＝12，
将
x＝1，y＝0
代入(1)式得 y′＝
3 2.
由(1)消去 y，并将 x＝－1 代入，得 x′＋ 3y′＝－2.
∴曲线 E′仍为抛物线，它的焦点坐标 F′12， 23，准线方程 l′：x＋ 3y＋2＝0.
6．已知椭圆x42＋y32＝1 经过矩阵 M 对应的变换作用下变为椭圆x32 ＋y42＝1，求变换矩阵 M. 解：将椭圆x42＋y32＝1 变换为椭圆x32＋y42＝1，可以伸压变换，
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
[例 2] 已知曲线 C：x2＋y2＝2，将曲线 C 绕坐标原点逆时 针旋转 60°后，求得到的曲线 C′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线 方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝csions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
设 P(x0，y0)为曲线 C 上任意的一点，它在矩阵 M 对应的变
(教师用书)高中数学 2.2 几种常见的平面变换章末归纳提升课件 苏教版选修4-2
a c a c
b 0 0 1＝1， d 0 0 b ＝ －1 －1， d b＝0， d＝1，
－2a＋b＝－2， 即 －2c＋d＝－3，
∴x1＝0，y1＝2x＋y. 又由 y＝－2x＋6 得 2x＋y＝6， ∴A1(0,6)为定点． 通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换．
4 如图所示， 对反比例函数图象 C： y＝ 经过旋转 x 变换将其方程改写为标准形式．
【解】 设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点，它在变换 T 作用下的象 P′(x′，y′)， 其中变换矩阵为 π π cos 4 －sin 4 ＝ π π sin cos 4 4 2 2 － 2 2 ， 2 2 2 2 x＝x′＋y′ 2， 解得 y′－x′ y＝ ， 2
＝
x′＝x， y′＝－y， x＝x′， ∴ y＝－y′，
代入 y＝2x＋2，
得－y′＝2x′＋2，即直线 y＝2x＋2 经过变换得到的图 形为直线 y＝－2x－2，如图所示，此变换为关于 x 轴的反射 变换．
二、求变换矩阵 根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的 坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵．
x1 ∴2x＝x1，y＝y1，即 x＝ ，y＝y1 2
2 x 1 将其代入 x2＋y2＝4 可得到方程 4 ＋y2 此方程表示椭 1＝4，
圆． 所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换．
(2)所给方程表示的是一条直线．设 A(x，y)为直线上的任 意一点，经过变换后的点为 A1(x1，y1)．
0 ∵ 2 0 x 0 x1 ＝ ＝ ， 1y 2x＋y y1
高中数学2.2几种常见的平面变换4旋转变5投影变换6切变变换课件苏教版选修4-2
2.投影变换 (1)定义：将平面图形投影到某条直线 (或点)的变换，称为投影变换.
(2)投影变换矩阵：像10 00，11 00这类将平面内图形投影到 某条直线 (或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.
(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换 (1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和 线间夹角可以改变，且点 沿坐标轴 运动的变换叫做切变变换.
1.矩阵10 00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到 x 轴上， 即(x，y)―→(x，0)；矩阵11 00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直 于 x 轴方向投影到直线 y＝x 上，即(x，y)―→(x，x)；矩阵00 01确定的投影变换， 将坐标平面上的所有点垂直投影到 y 轴上，即(x，y)―→(0，y).
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
换情况，从而得解.
矩阵10 k1(k∈R，k≠0)确定的变换为沿 x 轴方向平移|ky|个单位的切变变换； 而1k 10(k∈R，k≠0).确定的变换为沿 y 轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要 将二者混淆.
1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转π4 的旋转变换的变换矩阵为________. 【导学号：30650018】