浙江省金华一中2018届高三下学期5月高考模拟考试数学试题含答案
2018年浙江省高考数学押题卷解析版
2018浙江省高考押题卷数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =+柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高1.若集合P={y|y ≥0}，P ∩Q=Q ，则集合Q 不可能是（ ） A ．{y|y=x 2，x ∈R}B ．{y|y=2x，x ∈R}C ．{y|y=lgx ，x ＞0}D ．∅2.抛物线y=﹣2x 2的准线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．4.若存在实数x ，y 使不等式组与不等式x ﹣2y+m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥3 5.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-1x 21|xB ．{x|x ＞1}C ．{x|x ＜1或x ＞2}D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<1x 21x |x 或6.在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ） A ．2n+1﹣2B ．3nC ．2nD ．3n﹣17.定义在R 上的奇函数f （x ）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f （﹣1）=0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8.随机变量X 的分布列如下表，且E （X ）=2，则D （2X ﹣3）=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.已知平面α∩平面β=直线l ，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，且A ，B ，C ，D ∉l ，点M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．（ ）A ．当|CD|=2|AB|时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行10.设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2018年浙江省普通高等学校高考数学模拟试卷(5月份)
2018年浙江省普通高等学校高考数学模拟试卷（5月份）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x||x|<1}，B={−1, 0, 1, 2}，则A∩B=()A.{−1, 1, 2}B.{−1, 0, 1}C.{0, 1}D.{0}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】∵集合A={x||x|<1}={x|−1<x<1}，B={−1, 0, 1, 2}，∴A∩B={0}．2. 已知复数z=1−ii，其中i为虚数单位，则|z|=()A.2B.12C.√22D.√2【答案】D【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算．【解答】∵z=1−ii =(1−i)∗(−i)−i2=−1−i，∴|z|=√2．3. 已知多项式(x−1x)(x3+x2+x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1+a2=() A.−1 B.0 C.1 D.2【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】直接展开多项式乘多项式，则答案可求．【解答】(x−1x)(x3+x2+x)=x4+x3+x2−x2−x−1=x4+x3−x−1=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，∴a1=1，a2=0，则a1+a2=1．4. 已知直线n 与平面α，β，若n ⊂α，则“n ⊥β”是“α⊥β”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据面面垂直的判定定理，由n ⊥β，n ⊂α，可得α⊥β，反之不成立，根据充分必要条件的定义即可判断 【解答】若“n ⊥β，n ⊂α，则“α⊥β”，若n ⊂α，α⊥β，则n 不一定垂直β，也可能平行， 故n ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件5. 若x ，y 满足{x ≥0x +y ≤3y ≥2x +1 ，表示的平面区域为Ω，直线y =kx −k 与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为（ ） A.[−1, +∞)B.(−∞, −7]∪[−1, +∞)C.[−7, −1]D.(−∞, −7] 【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用k 的几何意义，即可得到结论． 【解答】作出x ，y 满足{x ≥0x +y ≤3y ≥2x +1 对应的平面区域如图：y =k(x −1)过定点P(1, 0)，由{y =2x +1x +y =3 交点A(23, 73)，由图象可知当直线经过点A(23, 73)，时，直线的斜率最小，此时k =73−023−1=−7，由{x =0y =2x +1解得B(0, 1) 当直线经过点B 时，直线的斜率最大， 此时k =−1，∴ k 的取值范围是：[−7, −1]6. 已知函数f(x)=cos(x +sinx)，x ∈R ，下列结论错误的是（ ） A.f(x)是周期函数B.f(x)最大值是1C.f(x)的图象关于点(π, 0)成中心对称D.f(x)是偶函数【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据周期函数的定义判断A，根据余弦函数的性质判断B，根据对称中心判断C，根据函数的奇偶性判断D．【解答】f(x)=cos(x+sinx)的定义域为R，∵f(−x)=cos(−x−sinx)=cosx(x+sinx)=f(x)，∴f(x)为偶函数，∵f(x+2π)=cos[x+2π+sin(x+2π)]=cos(x+2π+sinx)=cos(x+sinx)，∴f(x)为周期函数，∵x+sinx∈R，∴−1≤cos(x+sinx)≤1，∴f(x)最大值是1，∵f(π)=cos(π+sinπ)=cosπ=−1≠0，∴f(x)的图象不关于点(π, 0)成中心对称，7. 记M=|x−1|+√4−x2，则M的最大值为（）A.4B.1+2√2C.3D.1+√2【答案】B【考点】函数的最值及其几何意义【解析】设x=2sinθ，θ∈[−π2, π2]，利用三角函数的性质即可求出最值．【解答】设x=2sinθ，θ∈[−π2, π2 ]∴M=|x−1|+√4−x2=|2sinθ−1|+2cosθ|，当θ∈[−π2, π6]时，M=1−2sinθ+2cosθ=1−2√2sin(θ−π4)，∵θ−π4∈[−3π4, −π12]，∴当θ=−π2时，M的最大值为1+2√2，当θ∈[π6, π2]时，M=2sinθ+1+2cosθ=2√2sin(θ+π4)+1∵θ+π4∈[5π12, 3π4]，∴当θ=π2时，M的最大值为1+2√2，综上所述M的最大值为1+2√2，8. 已知甲盒中有m个红球，n个蓝球，乙盒中有n个红球，m个蓝球(m>n≥3)，若同时从甲、乙两盒中随机取出2个球进行互换，互换后记甲盒中红球的个数为ξ1，若先从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，再从乙盒中随机取出2个球放入甲盒中，互换后记甲盒中红球的个数为ξ2，则A.E(ξ1)<E(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2)D.以上情况都有可能【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意设甲中有4个红球，3个蓝球，乙盒中有3个红球，4个蓝球，则ξ1的可能取值为2，3，4，5，6，ξ2的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能E(ξ1)<E(ξ2)．【解答】由题意设甲中有4个红球，3个蓝球，乙盒中有3个红球，4个蓝球，则ξ1的可能取值为2，3，4，5，6，P(ξ1=2)=C42C72×C42C72=449，P(ξ1=3)=C41C31C72×C42C72+C42C72×C41C31C72=1649，P(ξ1=4)=C32C72×C42C72+C42C72×C32C72+C41C31C72×C31C41C72=2049，P(ξ1=5)=C32C72×C31C41C72+C31C41C72×C32C72=849，P(ξ1=6)=C32C72×C32C72=149，E(ξ1)=2×449+3×1649+4×2049+5×849+6×149=18249≈3.71．ξ2的可能取值为2，3，4，5，6，P(ξ2=2)=C42C72×C42C92=6126，P(ξ2=3)=C42C72×C51C41C92+C41C31C72×C52C92=40126，P(ξ2=4)=C32C72×C62C92+C41C31C72×C41C51C92+C42C72×C52C92=115152，P(ξ2=5)=C32C72×C31C61C92+C41C31C72×C42C92=21126，P(ξ2=6)=C32C72×C32C92=3252，E(ξ2)=2×6126+3×40126+4×115252+5×21126+6×3252=485126≈3.85．∴E(ξ1)<E(ξ2)．9. 如图，在三棱锥D −ABC 中，DA =DB =DC =AB =1，BC =√2，CA =√3，分别记对棱DA 和BC ，DB 和CA ，DC 和AB 所成的角为α，β，γ，则（ ）A.α>β>γB.α>γ>βC.γ>β>αD.β>γ>α 【答案】 D【考点】异面直线及其所成的角 【解析】确定D 在底面的射影位置，建立坐标系，求出点坐标，利用向量计算出α，β，γ的余弦值即可得出结论． 【解答】∵ AB =1，BC =√2，CA =√3，∴ AB ⊥BC ． 设H 为D 在底面ABC 上的射影，连接HA ，HB ，HC ， 则DH ⊥HA ，DH ⊥HB ，DH ⊥HC ，又DA =DB =DC ，∴ Rt △DHA ≅Rt △DHB ≅Rt △DHC ， ∴ HA =HB =HC ，∴ H 为Rt △ABC 的外心， 即H 为AC 的中点．∵ DA =DC =1，AC =√3，∴ DH =12， 以B 为原点建立空间坐标系如图所示：则A(1, 0, 0)，B(0, 0, 0)，C(0, √2, 0)，D(12, √22, 12)，∴ DA →=(12, −√22, −12)，BC →=(0, √2, 0)，DB →=(−12, −√22, −12)，CA →=(1, −√2, 0)，DC →=(−12, √22, −12)，AB →=(−1, 0, 0)， ∴ cosα=|cos <DA →,BC →>|=|DA →∗BC →|DA →||BC →||=1×2=2，cosβ=|cos <DB →，CA →>|=|DB →∗CA →|DB →||CA →||=121×3=23，cosγ=|cos <DC →，AB →>|=|DC →∗AB →|DC →||AB →||=121×1=12，∴ cosα>cosγ>cosβ， ∴ α<γ<β． 故选：D ．10. 平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD // OB，则点D的轨迹是（）A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆【答案】B【考点】轨迹方程【解析】利用已知条件，画出图形，转化为双曲线的定义，判断D的轨迹判断选项即可．【解答】如图：延长DC，交直线OA与A′，因为点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD // OB，所以OB // CA′，BC=1CA′，2CD=DA，所以DA′−DA=CA′=20B定值．20B<AA′，所求的D轨迹是双曲线．二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分抛物线y2=4x的准线方程是________，焦点坐标是________．【答案】x=−1,(1, 0)【考点】抛物线的求解【解析】根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质可求得其准线方程和焦点坐标．【解答】根据抛物线的性质可知抛物线y2=4x，p=2，=−1，则准线方程为x=−p2焦点坐标为(1, 0)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的体积为________cm3，最长的棱长为________cm【答案】20,5√2【考点】由三视图求体积【解析】如图所示的四棱锥P−ABCD，其中PA⊥ABCD，ABCD为矩形．补成以AB，AD，AP 为相邻的三条棱的长方体，可得该阳马的体积以及最长的棱长．【解答】如图所示的四棱锥P−ABCD，其中PA⊥ABCD，ABCD为矩形，AD=5，AB=3，PA=4∴该阳马的体积V=13×3×4×5=20cm3．最长的棱长为：PC=√32+42+52=5√2已知{a n}是首项为2，公比为q的正项等比数列，且16a1+1，4a3+4，a5+7成等差数列，则：q=________；数列{a n}的前n项和是________．【答案】2,2n+1−2【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】根据{a n}是首项为2，公比为q的正项等比数列，且16a1+1，4a3+4，a5+7成等差数列建立关系求解公比q；利用等比前n项和公式求解即可．【解答】由题意{a n}是首项为2，公比为q的正项等比数列，且16a1+1，4a3+4，a5+7成等差数列，∴16a1+1+a5+7=2(4a3+4)，即16a1+8+a1q4=8a1q2+8，∵a1=2解得：q=2．数列{a n}的前n项和S n=a1(1−q n)1−q =2(1−2n)1−2=2n+1−2．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D为BC边上一点且BD=1，E、F分别为边CA，AB上的点（不包括端点），则△DEF周长的最小值为________，此时△BDF面积为________．【答案】√21,5√316【考点】三角形求面积【解析】由题意，设D 关于直线AB 的对称点为M ，关于AC 的对称点为N ，连结MN ，则△DEF 的周长最小值为|MN|；利用余弦定理求解cos∠M 转换，三角形全等求解FD ，在求解BF 可得答案． 【解答】设D 关于直线AB 的对称点为M ，关于AC 的对称点为N ， 连结MN ，则△DEF 的周长最小值为|MN|， ∵ D 为BC 的三等分点，等边△ABC 边长为3， ∴ DM =2DP =√3，DN =2DQ =2√3， 又∠MDN =120∘，∴ |MN|=√3+12−2∗√3∗2√3∗(−12)=√21．由直角三角形△DPF 与△MPF 全等． ∴ DF =MF ．在△MDN 中DM =√3，DN =2√3，MN =√21 由余弦定理可得：cos∠M =√7． DF =MF =√32×√72=√214在直角三角形△DPF 中，DP =√32，DF =√214∴ PF =34．△BDF 面积S =12BF ×DP =12(12+34)×√32=5√316．如图，在四边形ABCD 中，AB =CD =1，点M 、N 分别是边AD ，BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于P ，Q 两点，则(PM →+QN →)⋅(AB →−DC →)的值为________【答案】 0【考点】平面向量数量积 【解析】由题意可设PM →+QN →=λMN →，运用向量的加减运算和中点向量的表示可得MN →=12(AB →+DC →)，再由向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，计算可得所求值．【解答】由于P ，Q ，M ，N 四点共线，可设PM →+QN →=λMN →，由MN →=MA →+AB →+BN →，MN →=MD →+DC →+CN →， 两式相加可得2MN →=(MA →+MD →)+AB →+DC →+(BN →+CN →) =0→+AB →+DC →+0→=AB →+DC →， 即有MN →=12(AB →+DC →)，则(PM →+QN →)⋅(AB →−DC →)=λMN →⋅(AB →−DC →)=12λ(AB →+DC →)⋅(AB →−DC →)=12λ(AB →2−DC →2)=12λ(1−1)=0，今有6个黑球、4个白球，同色球不加以区分，将这10个球排成一列，则每个黑球至少与另一个黑球相邻的排法共有________种．（用数字作答） 【答案】 45【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，按连在一起的黑球的数目分4种情况讨论：①，6个黑球全部在一起，②，6个黑球分成2、2、2的三组，③，6个黑球分成3、3的两组，④，6个黑球分成2、4的两组，由加法原理计算可得答案． 【解答】根据题意，4个白球排成一排，有5个空位， 分4种情况讨论：①，6个黑球全部在一起，需要在5个空位中任选1个，有C 51=5种情况，②，6个黑球分成2、2、2的三组，需要在5个空位中任选3个，有C 53=10种情况， ③，6个黑球分成3、3的两组，需要在5个空位中任选2个，有C 52=10种情况，④，6个黑球分成2、4的两组，需要在5个空位中任选2个，有A 52=20种情况， 则一共有5+10+10+20=45种排法；若存在实数a ，对任意x ∈(0, m]，不等式(2x −x 2−a)⋅ln 1−a x≤0恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】(0, 3−√5] 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】由题意可得{2x −x 2−a ≥00<1−a x ≤1 ，①，{2x −x 2−a ≤01−a x ≥1②，由参数分离和一次函数、二次函数的单调性可得最值，进而得到所求m 的范围． 【解答】存在实数a ，对任意x ∈(0, m]，不等式(2x −x 2−a)⋅ln1−a x ≤0恒成立，等价于{2x −x 2−a ≥00<1−a x ≤1 ，①，{2x −x 2−a ≤01−a x≥1 ② 由①可得a ≤2x −x 2的最小值，a ≥1−x 的最大值，即a ≥1，由于2x −x 2的最小值只能为x =m ，即2m −m 2<0，可得m >2，1≤a ≤2m −m 2，由2m −m 2≥1，解得(m −1)2≤0，可得m =1，不成立； 由②a ≥2x −x 2的最大值，且a ≤1−x 的最小值，即a ≤1−m ， 若x =1时，即m ≥1，可得a ≥1，即1≤a ≤1−m 不成立，若x =m 取得最大值，即0<m <1，可得2m −m 2≤a ≤1−m ， 可得2m −m 2≤1−m ，解得m ≥3+√52，或m ≤3−√52，即有0<m ≤3−√52，三.解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数f(x)=sin(2x −π6)−2cos 2x ． （1）求f(x)的单调递增区间；（2）当f(x)在[0, π2]上的值域． 【答案】∵ f(x)=sin(2x −π6)−2cos 2x =√32sin2x −12cos2x −(1+cos2x)=√32sin2x −32cos2x −1=√3sin(2x −π3)−1，…4分∴ 令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，∴ f(x)的单调递增区间为：[kπ−π12, kπ+5π12]，k ∈Z...7分∵ x ∈[0, π2]，∴ 2x −π3∈[−π3, 2π3]，…10分 ∴ sin(2x −π3)∈[−√32, 1]，∴ f(x)在[0, π2]上的值域为[−52, √3−1]…14分 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)=√3sin(2x −π3)−1，利用正弦函数的单调性即可得解．（2）由已知可求2x −π3∈[−π3, 2π3]，根据正弦函数的性质可得sin(2x −π3)∈[−√32, 1]，进而可求f(x)在[0, π2]上的值域．【解答】∵f(x)=sin(2x−π6)−2cos2x=√32sin2x−12cos2x−(1+cos2x)=√32sin2x−3 2cos2x−1=√3sin(2x−π3)−1，…4分∴令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z...7分∵x∈[0, π2]，∴2x−π3∈[−π3, 2π3]，…10分∴sin(2x−π3)∈[−√32, 1]，∴f(x)在[0, π2]上的值域为[−52, √3−1]…14分如图(1)，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC=3，AB=2，点E，F分别在BC，AD上，BE=2，EF // AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使二面角A−EF−D的大小为120∘，如图(2)所示．(I)求证：BC // 平面ADF；(Ⅱ)求直线AC与平面ECDF所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)如图所示，过C作CG // EF交FD于G，连接AG，∵AB // EF，∴AB // CG且AB=CG，∴四边形ABCG为平行四边形．∴BC // AG，又AG⊂平面ADF，BC平面ADF，∴BC // 平面ADF．(Ⅱ)由已知可得EF⊥AF，EF⊥FD，∴∠AFD的大小就是二面角A−EF−D的大小，∴∠AFD为120∘．∵AF∩FD=F，∴EF⊥面ADF．又EF⊂面ECDF，∴面ADF⊥面ECDF，∴在面ADFF内，过点A作⊥DF的延长线于O，连接OC，∴AO⊥面ECDF，∴∠ACO就是直线AC与平面ECDF所成角，在△AOF中，AF=2，∠AFO=60∘，∴AO=√3．在△OGC中，GC=OG=2，则OC=2√2，∴AC=√11．∴sin∠ACO=AOAC =√3311∴直线AC与平面ECDF所成角的正弦值为√3311．【考点】直线与平面平行直线与平面所成的角【解析】(Ⅰ)如图所示，过C作CG // EF交FD于G，连接AG，可得四边形ABCG为平行四边形．BC // AG，即可得BC // 平面ADF．(Ⅱ)由已知可得∠AFD为120∘．在面ADFF内，过点A作⊥DF的延长线于O，连接OC，可得∠ACO就是直线AC与平面ECDF所成角，在△OGC中，可得直线AC与平面ECDF所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)如图所示，过C作CG // EF交FD于G，连接AG，∵AB // EF，∴AB // CG且AB=CG，∴四边形ABCG为平行四边形．∴BC // AG，又AG⊂平面ADF，BC平面ADF，∴BC // 平面ADF．(Ⅱ)由已知可得EF⊥AF，EF⊥FD，∴∠AFD的大小就是二面角A−EF−D的大小，∴∠AFD为120∘．∵AF∩FD=F，∴EF⊥面ADF．又EF⊂面ECDF，∴面ADF⊥面ECDF，∴在面ADFF内，过点A作⊥DF的延长线于O，连接OC，∴AO⊥面ECDF，∴∠ACO就是直线AC与平面ECDF所成角，在△AOF 中，AF =2，∠AFO =60∘，∴ AO =√3．在△OGC 中，GC =OG =2，则OC =2√2，∴ AC =√11． ∴ sin∠ACO =AO AC=√3311∴ 直线AC 与平面ECDF 所成角的正弦值为√3311．已知函数f(x)=ae x −blnx x，在点（1, f(1)）处的切线方程为y =(e −1)x +1．（1）求a ，b ；（2）证明：f(x)>1． 【答案】 函数f(x)=ae x −blnx x，求导函数可得f′(x)=ae x −b(1−lnx)x 2(x >0)．∵ 曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y =(e −1)x +1， ∴ f(1)=ae =e ，f′(1)=ae −b =e −1， ∴ a =1，b =1； 证明：函数f(x)=e x −lnx x，要证f(x)>1，需证e x −lnx x>1，即证xe x −lnx >x(x >0)，也就是证xe x >x +lnx ，令g(x)=e x −x −1，则g′(x)=e x −1>0对于x ∈(0, +∞)恒成立， 则g(x)>g(0)=0，∴ e x >x +1，则xe x >x 2+x ，令ℎ(x)=x 2+x −x −lnx =x 2−lnx ， 则ℎ′(x)=2x −1x=2x 2−1x，当x ∈(0, √22)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(√22, +∞)时，ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, √22)上为减函数，在(√22, +∞)上为增函数，则ℎ(x)的最小值为ℎ(√22)=(√22)2−ln √22=12+12ln2>0．∴ ℎ(x)=x 2+x −x −lnx >0，即x 2+x >x +lnx ，∴ xe x >x +lnx ， 故f(x)>1． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）求导函数，利用曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程，可得f(1)=ae =e ，f′(1)=ae −b =e −1，由此可求a ，b 的值； （2）把证f(x)>1，转化为证e x −lnx x>1，即证xe x −lnx >x(x >0)，也就是证xe x >x +lnx ，先利用导数证明xe x >x 2+x ，再证明x 2+x >x +lnx ，则结论得证． 【解答】 函数f(x)=ae x −blnx x，求导函数可得f′(x)=ae x −b(1−lnx)x 2(x >0)．∵ 曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y =(e −1)x +1， ∴ f(1)=ae =e ，f′(1)=ae −b =e −1， ∴ a =1，b =1； 证明：函数f(x)=e x −lnx x，要证f(x)>1，需证e x −lnx x>1，即证xe x −lnx >x(x >0)，也就是证xe x >x +lnx ，令g(x)=e x −x −1，则g′(x)=e x −1>0对于x ∈(0, +∞)恒成立， 则g(x)>g(0)=0，∴ e x >x +1，则xe x >x 2+x ，令ℎ(x)=x 2+x −x −lnx =x 2−lnx ， 则ℎ′(x)=2x −1x=2x 2−1x，当x ∈(0, √22)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(√22, +∞)时，ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, √22)上为减函数，在(√22, +∞)上为增函数，则ℎ(x)的最小值为ℎ(√22)=(√22)2−ln √22=12+12ln2>0．∴ ℎ(x)=x 2+x −x −lnx >0，即x 2+x >x +lnx ， ∴ xe x >x +lnx ， 故f(x)>1．如图，点A(0, 1)是椭圆x 24+y 2=1的上顶点，直线l:y =kx +m 与椭圆交于B ，C 两点．(Ⅰ)当k =0，且△ABC 是正三角形时，求△ABC 的面积；(Ⅱ)是否存在斜率不为0的直线l ，使得△ABC 是正三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)不妨设AB 的方程为y =√3x +1， 联立{y =√3x +1x 24+y 2=1，可得13x 2+8√3x =0．解得x B =−8√313，∴ S △ABC =12×|2x B ×√3|=192√3169， (Ⅱ)联立{y =kx +m x 24+y 2=1可得(4k 2+1)x 2+8km +4(m 2−1)=0，①设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，BC 的中点D 为(x 0, y 0)， ∴ x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1，∴ x 0=−4km4k 2+1，y 0=kx 0+m =m4k 2+1， ∴ k AD =m4k 2+1−1−4km 4k 2+1=4k 2+1−m 4km，∴ k AD ⋅k =−1，得4k 2+1−m 4km⋅k =−1，整理可得m =−4k 2+13，∵ |BC||=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(8km 1+4k2)2−16(m 2−1)1+4k 2=4√1+k 21+4k 2⋅√1+4k 2−m 2． A 到BC 的距离d =√1+k 2，联立，整理得x 2+2mx +2m 2−4=0． ∵ d =√32|BC|，∴ √1+k2=√32⋅4√1+k21+4k 2⋅√1+4k 2−m 2， 将m =−4k 2+13代入得|1+4k 2+13|√1+k 2=√32⋅4√1+k 21+4k 2⋅√1+4k 2−m 2，整理可得7k 2=5，由①中△>0得4k 2+1>m 2=(4k 2+1−3)2，解得k 2<2． ∴ k =±√357，∴ 直线l 的方程为y =±√357x −97【考点】椭圆的标准方程 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)不妨设AB 的方程为y =√3x +1，联立{y =√3x +1x 24+y 2=1，求出x B =−8√313，即可三角形的面积，(Ⅱ)将y =kx +m 代入椭圆方程联立后化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系及弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式，结合正三角形的性质即可求出． 【解答】(Ⅰ)不妨设AB 的方程为y =√3x +1， 联立{y =√3x +1x 24+y 2=1，可得13x 2+8√3x =0．解得x B =−8√313，∴ S △ABC =12×|2x B ×√3|=192√3169， (Ⅱ)联立{y =kx +m x 24+y 2=1可得(4k 2+1)x 2+8km +4(m 2−1)=0，①设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，BC 的中点D 为(x 0, y 0)， ∴ x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)4k +1，∴ x 0=−4km4k 2+1，y 0=kx 0+m =m4k 2+1， ∴ k AD =m4k 2+1−1−4km 4k 2+1=4k 2+1−m 4km，∴ k AD ⋅k =−1，得4k 2+1−m 4km⋅k =−1，整理可得m =−4k 2+13，∵ |BC||=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(8km 1+4k 2)2−16(m 2−1)1+4k 2=4√1+k21+4k 2⋅√1+4k 2−m 2． A 到BC 的距离d =2，联立，整理得x 2+2mx +2m 2−4=0． ∵ d =√32|BC|，∴ √1+k2=√32⋅4√1+k21+4k 2⋅√1+4k 2−m 2， 将m =−4k 2+13代入得|1+4k 2+13|√1+k 2=√32⋅4√1+k 21+4k 2⋅√1+4k 2−m 2，整理可得7k 2=5，由①中△>0得4k2+1>m2=(4k2+1−3)2，解得k2<2．∴k=±√357，∴直线l的方程为y=±√357x−97已知数列{a n}中a1=1，关于x的方程x2−na n+1cosx+(n+1)a n=0有唯一解，记S n=1a n2+1a n2+1+1a n2+2+...+1(a n+1)2−1，T n=(−1)[√4]a4+(−1)[√5]a5+……+(−1)[√n]a n（注：[x]表示不超过x的最大整数）．(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)求证：2n+1<S n<2n；(Ⅲ)求证：0<T n<1．【答案】（1）由f(x)=x2−na n+1cosx+(n+1)a n，则f(x)为偶函数，又关于x的方程x2−na n+1cosx+(n+1)a n=0有唯一解，∴x=0是唯一解，∴−na n+1+(n+1)a n=0，可得a n+1n+1=a nn；又a1=1，∴a n=n；（2）证明：S n=1an 2+1a n2+1+1a n2+2+...+1(a n+1)2−1=1n2+1n2+1+……+1(n+1)2−1=1n2+1n2+1+……+1n2+2n；又1n +1n+1+……+1n+n−1>nn+n−1>nn+n=1n+1，1 n2+n +1n2+n+1+……+1n2+2n>n+1n2+2n>1n+1，∴S n>2n+1；且1n2+1n2+1+……+1n2+n−1<nn2=1n，1 n2+n +1n2+n+1+……+1n2+2n<nn2+n<1n+1<1n，∴S n<2n；综上可得：2n+1<S n<2n；（3）证明：对于正整数m≥2，令m2≤n≤(m+1)2−1，则[√n]=m．记T n=[122+122+1+...+132−1]−[132+132+1+...+142−1]+…+(−1)m−1[1(m−1)2+1(m−1)2+1+...+1m2−1]+(−1)m[1m2+1m2+1+...+1n]，记A=1m2+1m2+1+...+1n，则A<S m，T n=S2−S3+S4−...++(−1)m−1S m−1+(−1)m A，∵S n+1<2n+1<S n，所以S2>S3>S4>...>S m−1>S m≥A，当m为偶数时，T n=S2−(S3−S4)−(S5−S6)+...−(S m−S m−1)+A≤S2−(S3−S4)−...−(S m−1−S m)≤S2，当m为奇数时，T n=S2−(S3−S4)−(S5−S6)+...−(S m−2−S m−1)−A<S2，对任意的m≥2．都有T n≤S2，S2=14+15+...+18<14×2+16×3=1，S3−S4+S5−S6+...++(−1)m−1S m−1+(−1)m A≤S3，所以T n=S2−[S3−S4+S5−S6+...++(−1)m−1S m−1+(−1)m A]≥S2−S3>0，综上可得0<T n<1．【考点】数列的求和【解析】（I）由题意可得f(x)=x2−na n+1cosx+(n+1)a n，则f(x)为偶函数，关于x的方程x2−na n+1cosx+(n+1)a n=0有唯一解，可得x=0是唯一解，即有−na n+1+(n+1)a n=0，可得a n+1n+1=a nn．又a1=1，可得所求通项；(II)S n=1a n2+1a n2+1+1a n2+2+...+1(a n+1)2−1=1n2+1n2+1+……+1(n+1)2−1=1n2+1 n+1+……+1n+2n．一方面：1n+1n+1+……+1n+n−1>nn+n−1>nn+n=1n+1，1 n2+n +1n2+n+1+……+1n2+2n>n+1n2+2n>1n+1，可得S n>2n+1．另一方面：1n2+1n2+1+……+1n2+n−1<nn2=1n，1n2+n+1n2+n+1+……+1n2+2n<nn2+n<1 n+1<1n．S n<2n．即可得证；(III)对于正整数m≥2，令m2≤n≤(m+1)2−1，则[√n]=m，A=1m+1 m2+1+...+1n，则A<S m，可得T n=S2−S3+S4−...++(−1)m−1S m−1+(−1)m A，讨论m为奇数和偶数，运用放缩法，即可得证．【解答】（1）由f(x)=x2−na n+1cosx+(n+1)a n，则f(x)为偶函数，又关于x的方程x2−na n+1cosx+(n+1)a n=0有唯一解，∴x=0是唯一解，∴−na n+1+(n+1)a n=0，可得a n+1n+1=a nn；又a1=1，∴a n=n；（2）证明：S n=1an 2+1a n2+1+1a n2+2+...+1(a n+1)2−1=1n2+1n2+1+……+1(n+1)2−1=1n2+1n2+1+……+1n2+2n；又1n2+1n2+1+……+1n2+n−1>nn2+n−1>nn2+n=1n+1，1 n2+n +1n2+n+1+……+1n2+2n>n+1n2+2n>1n+1，∴S n>2n+1；且1n2+1n2+1+……+1n2+n−1<nn2=1n，1 n2+n +1n2+n+1+……+1n2+2n<nn2+n<1n+1<1n，∴S n<2n；综上可得：2n+1<S n<2n；（3）证明：对于正整数m≥2，令m2≤n≤(m+1)2−1，则[√n]=m．记T n=[122+122+1+...+132−1]−[132+132+1+...+142−1]+…+(−1)m−1[1(m−1)2+1(m−1)2+1+...+1m2−1]+(−1)m[1m2+1m2+1+...+1n]，记A=1m +1m+1+...+1n，则A<S m，T n=S2−S3+S4−...++(−1)m−1S m−1+(−1)m A，∵S n+1<2n+1<S n，所以S2>S3>S4>...>S m−1>S m≥A，当m为偶数时，T n=S2−(S3−S4)−(S5−S6)+...−(S m−S m−1)+A≤S2−(S3−S4)−...−(S m−1−S m)≤S2，当m为奇数时，T n=S2−(S3−S4)−(S5−S6)+...−(S m−2−S m−1)−A<S2，对任意的m≥2．都有T n≤S2，S2=14+15+...+18<14×2+16×3=1，S3−S4+S5−S6+...++(−1)m−1S m−1+(−1)m A≤S3，所以T n=S2−[S3−S4+S5−S6+...++(−1)m−1S m−1+(−1)m A]≥S2−S3>0，综上可得0<T n<1．。
2018年浙江省五校联考高考数学模拟试卷(理科)
2018年浙江省五校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知集合A={（x，y）|y=x-1}，B={（x，y）|y=-x+1}，则A∩B=（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{（1，0）}2．(★)已知复数z= （i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(★)如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x、y的值分别为（）A．7、8B．5、7C．8、5D．7、74．(★)设向量，满足| |=2，| |=1，）=3，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．(★★)若函数f（x）= - x 2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，）B．[2，）C．（2，）D．[2，）6．(★★)执行如图所示的程序框图，若输出的S=57，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞4B．k＞5C．k＞6D．k＞77．(★★)已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）=（）A．B．C．D．8．(★★)已知函数f（x）= ，则f（2）+f（3-log 27）=（）A．B．C．D．9．(★★)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A．24B．36C．48D．9610．(★)已知抛物线C：y 2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．(★★)中国古代数学专著《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P-ADE为鳖臑，且PA⊥平面ABCE，AB=AD=2，ED=1，该鳖臑的外接球的表面积为9π，则阳马的外接球的体积为（）A．B．C．D．12．(★★★★)已知函数f（x）=m（x-1）-（x-2）e x-e，若关于x的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．(★★)已知平面向量=（），=（- ），则在上的投影= ．14．(★★★)已知（x+2）6=a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+..+a 6（x+1）6，则a3= ．15．(★★)在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．16．(★★★)对∀x 1∈R，∃x 2∈[3，4]，使得不等式x 12+x 1x 2+x 22≥2x 1+mx 2+3成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(★★★)已知数列{a n}满足a 1=-2，a n+1=2a n+4．（I）证明数列{a n+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和S n．18．(★★★)如图，已知长方形ABCD中，，，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为19．(★★)四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（Ⅰ）求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．20．(★★★★)已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF 1|=2，∠F 1AF 2=60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF 2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．21．(★★★★★)已知函数f（x）=xlnx- -x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，已知λ＞0，若不等式e 1+λ＜x 1x 2λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在第22，23，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.作答时请写清题号22．(★★★)已知曲线C：ρ= ，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当+3 = 时，求α的值．23．(★★)已知函数f（x）=-x 2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范围．。
高考数学试题-浙江省金华一中2018年高考模拟考试卷数学(理科) 最新
浙江省金华一中2018年高考模拟考试卷数学理科第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设B A ,是非空集合，定义B A ⨯={B A x x ∈且B A x ∉}，己知{}20≤≤=x x A{}0≥=y y B ，则B A ⨯等于 （ ）A ．(2，+∞)B ．[0，1]∪[2，+∞)C ．[0，1)∪(2，+∞)D ．[0,1]∪(2，+∞)2． 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 （ ）A ．25B ．30C ．15D ．20 3．181()3x x-的展开式中常数项是第 （ ） A ．5项 B ．6项 C ．7项 D ．8项 4．如果复数212bii -+（其中i 为虚数单位，b R ∈）的实部和虚部互为相反数，则b 等于( ) A ．23- B ．23C ．2D ．25．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则（ ）A ．,a a αγ∃⊂⊥B ．,//a a αγ∃⊂C ．,b b βγ∀⊂⊥D ．,//b b βγ∀⊂6．右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S =， 则在判断框中应填入关于k 的判断条件是 （ ）A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥7．12名同学合影，站成前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整至前排，若其他的人相对顺序不变，则不同的调整方法总数是 （ ）A ．2686A A B ．2283C A C ．2285C A D ．2286C A8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条第6题渐近线的交点分别为B,C.若12AB BC =,则双曲线的离心率是 ( )A.2B.3C.5D.109．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令12nn S S S T n+++=，称T n 为数列a 1,a 2,…,a n 的“理想数”.已知a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为1002，那么数列3,a 1,a 2,….a 500的“理想数”为( )A ．1005B ．1003C ．1002D ．99910．设定义域为R 的函数1,(1)1()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩， ，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有且仅有三个不同的实数解123x x x 、、，则222123x x x ++= （ ）A ．2222b b +B ．2232c c + C ．5 D ．13第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ▲12. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的体积为_______cm 3.13．观察等式1555159739991591311513131313159131715717171717176,22,22,22,C C C C C C C C C C C C C C +=+++++++=-++++=+……23 3 1 122 正视图侧视图俯视图第12题第11题由以等式推测到一个一般的结论：对于*1594141414141,n n n n n n N C C C C +++++∈++++=_______________.14.已知△AOB,点P 在直线AB 上,且满足2,OP tOB tPA t R =+∈,则PA PB=_________15．若不等式组0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是 ．16. 如果一条直线和一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的概率为______. 17.设函数)(),(x g x f 的定义域分别为g f D D ,,且gfDD ⊂≠,若)()(,x f x g D x f =∈∀,则函数)(x g 为)(x f 在g D 上的一个延拓函数.已知()2(0)xf x x =<,上在是R x f xg )()(的一个延拓函数,且)(x g 是奇函数,则)(x g =________________三、解答题（本大题共5小题，共72分。
浙江省金华一中2018届高三下学期5月高考模拟考试数学试题
，解得 ，此时 .
综上可知， 的最小值为 ，最大值为8，
即 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查线性规划求目标函数的取值范围，考查分类讨论和数形结合的数学思想方法，属中档题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
【详解】
化双曲线的方程为标准方程，得 ，所以 ， ，所以 ，渐近线的方程为 ．
化圆的方程为 ，则由 解得 ．
故答案为： ；
【点睛】
此题考查求双曲线离心率，根据直线与圆位置关系求参数的取值，根据直线与圆相切的条件求参数的值时，通常根据圆心到直线的距离等于半径建立方程进行求解．
14．
【解析】
试题分析：根据三视图分析可知，该几何体为半圆柱，故其体积为 ，
满足约束条件的平面区域不存在；
（3）当 时， ，
画出满足条件的平面区域，如图所示，
，得 ，
显然直线过 与 的交点 时， 最小，
，解得 ，此时 ，
直线过 与 的交点 时， 最大，
，解得 ，此时 ；
（4）当 时， ，
画出满足条件的平面区域，如图所示，
，得 ，
显然直线过 与 的交点 时， 最小，
，解得 ，此时 ，
15．若 ，则 ________．
16．若实数 ， 满足 则 的取值范围为________．
17．已知 ， ， 是空间两两垂直的单位向量， ，且 ，则 的最小值为________．
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝ ，a＋b＝λc(其中λ>1)．
2018高考数学(文)考试模拟卷及答案
2018 届高三年级第五次模拟考数学试卷( 文)命题人：第Ⅰ卷(选择题共60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合 A {1,2, a}, B { 2,3} ，若B A ，则实数 a 的值是A．1 B．2 C．3 D．2 或32．已知复数,满足z( 2 i) 2 4i ，则复数z等于A．2i B．2i C．2+i D．2i+ 23．下列函数中，满足在( ,0) 上单调递减的偶函数是A．1|x|y B．y | ln( x) | C．( )22y D．y sin | x |x34．点P（2,5）关于x+y+1=0 的对称点的坐标为A．(6,3) B．(3,-6) C．(-6,-3) D．(-6,3) 5．圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是A．2 2a B． 42a C．2a D．3 a26．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．33B．2 3 C．5 33D． 3 2x y 4x y 1 ，则z=x+ y7．设x,y 满足x 2 y 2A．有最小值-7，最大值 3 B．有最大值3，无最大值C．有最小值2，无最大值D．有最小值-7，无最大值8．设、是两个不同的平面，m 是直线且m ，“m // ”是“// ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件x x 3 x2 ，则下列命题为真命题的是9．已知命题p: x R,2 3 ,q: x R, x 1 0A．p q B．p q C．p q D．p q3 *10．数列{ }a 的前n 项的和满足, ,nS n a n n n N 则下列为等比数列的是2A．{a 1} B．{ 1} S D．{ 1}a C．{ 1} Sn n n n11．已知O 为△ABC 内一点，且2AO OB OC, AD t AC, 若B、O、D 三点共线，则t 的值为A．14B．13C．12D．232 y a 212．如果圆( a) ( ) 8x 上总存在到原点的距离为 2 的点，则实数 a 的取值范围是A．( 3, 1) (1,3) B．( 3, 3) C．( 1 ,1) D．[ 3, 1] [1,3]第Ⅱ卷（非选择题共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数 f ( x)log (2x3), (a 0 a 1)a 且，的图像恒过定点P，则P 点的坐标是.14．如果直线: 2 1 0 l 平行，那么 a 的值是.l1 x y 与直线 2 : 2x (a 1) y 2 015．在△ABC 中，角A、B、C 所对的边为a、b、c，若a、b、c 成等比数列，且4 cosB ，5则1tan1A tan C的值是.16.已知a、b为正实数，直线y x a 与曲线y ln( x b) 相切，则2a1 b的取值范围是______三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12 分）1 1 1设数列{a n } 满足 a na1 a a n .2 33 5 2n 1（1）求数列{a n } 的通项公式；（2）求数列2a n 1 an的前60 项的和T 60.18.（本小题满分12 分）已知向量 a ), sin( )) ，b ( sin x, 3 sin x) ， f ( x) a b (cos( x x2 2（1）求函数 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大值时对应的x 的值；A（2）在锐角三角形ABC 中，角A、B、C 的对边为a、b、c，若) 1f ( ,求三角形ABC2面积的最大值并说明此时该三角形的形状.19.（本小题满分12 分）如图点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA⊥平面ABCD ，点E 为PA 的中点，（1）求证：PC∥平面EBD ;（2）求异面直线AD 与PB 所成角的大小.20.（本小题满分12 分）2 2x y 1已知椭圆 C : 1(a b 0) 过点P( 3, ) ，离心率是2 22a b32，（1）求椭圆 C 的标准方程；1 1（2）若直线l 与椭圆 C 交于A、B 两点，线段AB 的中点为),M ( , 求直线l 与坐标轴2 2围成的三角形的面积.21.（本小题满分12 分）2 23 ) 2已知函数 f x x f x x c f '( 为 f ( x) 在( ) '(,（其中)3 32x 处的导数， c 为常数）3（1）求函数 f ( x) 的单调区间；（2）若方程 f ( x)0 有且只有两个不等的实数根，求常数 c 的值.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
精品解析：浙江2018年高考全真模拟数学试题(一)(解析版)
2018年浙江高考全真模拟高三数学试题卷一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，∴集合，集合∴∵集合∴故选C2.设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】根据双曲线的方程得到焦点为，渐近线为：，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为故答案为：A。
4.设，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵∴当，时，满足，则当，时，，则当，时，，则当，时，无解∴可推出∵∴当时，，满足当时，满足当时，，满足∴可推出综上，“”是“”的充要条件故选C5.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵函数，∴函数为偶函数∴当时，，故排除A和B当时，，则有解，即函数在上不是单调的，故排除C故选D点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6.若数列满足，，则该数列的前2017项的乘积是（）A. -2B. -3C. 2D.【答案】C【解析】∵数列{a n}满足a1=2,(n∈N∗)，∴,同理可得：.∴a n+4=a n,a1a2a3a4=1.∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2.本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P使得，则边CG长度的最小值为A. 4B.C. 2D.【答案】D【解析】以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设，则,即.又，所以.显然且.所以.因为，所以.所以当，取得最小值12.所以的最小值为.故选D.点睛：集合问题代数化是空间向量法解决问题的一般思路，通过向量将几何关系建立代数式，例如两直线垂直时即可转为向量的数量积为0，利用向量的坐标表示即可.8.设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设函数的值域为A，函数的值域为，由已知有，又，所以或，所以，选D.点睛：本题主要考查如何求实数的范围，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的运用。
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷(一)
2018年某某省高考全真模拟数学试卷（一）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值X围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值X围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值X围是．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值X围是．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值X围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值X围．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2018年某某省高考全真模拟数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设f（x）=x|x|=，由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，故选：C．5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．【解答】解：∵数列，∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．=a n，a1a2a3a4=1．∴a n+4∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．故选：C．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．又B（2，2，0），G（0，2，a），∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），∴=（x﹣2）x+4+=0，显然x≠0且x≠2，∴a2=，∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，∴a的最小值为2．故选D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值X围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤1．∴实数a的X围是（﹣∞，1]，故选：D．9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ξ服从二项分布，∴E（ξ）=5×=，∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．故选D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值X围是（）A．B．C．D．【解答】解：；∵f（x）在R上存在极值；∴f′（x）=0有两个不同实数根；∴；即，；∴；∴；∴与夹角的取值X围为．故选B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，则该几何体的体积为；表面积为=．故答案为：；．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1513．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为×=．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×=，故答案为：；．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值X围是≤a＜1或a≥2．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值X围是≤a＜1，或a≥2．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值X围是（﹣∞，]．【解答】解：由约束条件作可行域如图联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．由ax+y≤4得y≤﹣ax+4要使ax+y≤4恒成立，则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+1≤4，得0＜a≤．综上a≤∴实数a的取值X围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2∴a n﹣a n+2≤2n+2，+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴5×2n≤a n+4﹣a n=5×2n，∴a n+4∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值X围是a≥．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，当a＞0时，f（x）≥=1﹣，f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，故a≥，当a＜0时，f（x）≤=1﹣，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，综上可得：a≥故答案为：a≥三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．【解答】解：由，…（2分）（1）周期为T=π，…（3分）因为，…（4分）所以，∴函数的单减区间为；…（6分）（2）因为，所以；…（7分）所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）解得：a=1，b=2，∴a，b的值1，2．…（12分）19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】（I）证明：连接AE，∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB，∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，∴BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，∴BD⊥AC．（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD，又AD⊥EF，∴AD⊥平面CEF，∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，∴BE=1，AE=CE=，DE=，∴AD==，EF==，CF==，∴cos∠CFE==．∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，∴，∴，f'（1）=0；∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f（x）=0，解得x1=1，x2=a﹣1，①当a＞2时，所以a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上f（x）＞0；在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．②当a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）④当a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1），综上，①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；③当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；④当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）由得：y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．解得：n=2．∴l：x=my+2，∴直线l恒过定点（2，0）．（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，∴=2，整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n∴•≤﹣8，即的取值X围是（﹣∞，﹣8]．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）a n=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+na n﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．。
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数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集U =R ，集合{}1M x x =>，{}21P x x =>则下列关系中正确的是（ ）
A. M P =
B. M P M =
C. M P M =
D. ()U M P =∅ 2.设纯虚数z 满足
1i 1i a z -=+（其中i 虚数单位），则实数a 等于 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
3.“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ）．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4.将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（ ）
A. 150种
B. 114种
C. 100种
D. 72种
5.如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影长分别是m 和n ，若a b >，则（ ）
A. m n θϕ>>，
B. m n θϕ><，
C. m n θϕ<<，
D. m n θϕ<>， 6.已知函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数
，则（ ） A. ()()1D D x =，0是()D x 的一个周期
B. ()()1D D x =，1是()D x 的一个周期
C. ()()0D D x =，1是()D x 一个周期
D. ()()
0D D x =，()D x 最小正周期不存
7.若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A. 1,15⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ B. (],0-∞ C. (],1-∞ D. (]
,5-∞ 8.已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，且满足||2||PA PB =，设1PD 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（ ）
A. 4π
B. 3π
C. 6π
D. 2
π 9.设1x ，2x ，3x ，40,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则（ ） A. 在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足1sin()2x y ->
B. 在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足3cos()x y -
C. 在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足tan()x y -<
D. 在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足1sin()2
x y - 10.已知二次函数()()22f x ax bx b a =+≤，定义()(){}
1max 11f x f t t x =-≤≤≤，()(){}2min 11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中
较大者，{}min ,a b 表示,a b 中的较小者，下列命题正确的是( )
A. 若()()1111f f -=，则()()11f f ->
B. 若()()2211f f -=，则()()11f f ->
C. 若()()2111f f =-，则()()1111f f -<
D. 若()()211-1f f =，则()()2211f f ->
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上）
11.计算：1ln e
=________
；235log 25log log 9⋅=________． 12.
已知sin 3
α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos πα-=__，cos2=α___． 13.双曲线22916144x y -=-的离心率等于________，其渐近线与圆2220x y x m +-+=相切，则m =________．
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________.
15.若102310012310(32)x a a x a x a x a x -=+++++，则12341023410a a a a a +++++=________．
16.若实数x ，y 满足10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
则|21|3||x y x y --+-的取值范围为________．
17.已知OA ，OB ，OC 是空间两两垂直的单位向量，OP xOA yOB zOC =++，且241x y z ++=，则||OP OA OB --的最小值为________．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝
3
π，a ＋b ＝λc(其中λ>1)． (1)若
为直角三角形； (2)若AC ·BC ＝98
λ2，且c ＝3，求λ的值． 19.如图，已知四棱锥P ABCD -，ADP △是等边三角形，
23PDC π∠=，//AB CD ，AD CD ⊥，12AB AD CD ==，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．
20.已知a 为实数，函数2()2ln f x x a x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求函数()f x 在[1,)+∞上最小值()g a ；
（Ⅲ）若0a >，求使方程()2f x ax =有唯一解的a 的值．
21.已知抛物线D 的顶点是椭圆22
143
x y +=的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. （1）求抛物线D 的方程；
（2）已知动直线l 过点(4,0)P ，交抛物线D 于A ，B 两点，坐标原点O 为PQ 的中点，求证AQP BQP ∠=∠； （3）在（2）的条件下，是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，请说明理由.
22.已知函数321()24x f x x x =-++，且存在010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00f x x =，设10x =，()1n n x f x +=，112y =，()1n n y f y +=．
（Ⅰ）证明()f x 单调递增；
（Ⅱ）求证：101n n n n x x x y y ++<<<<；
（Ⅲ）记n n n b y x =-，其前n 项和为n S ，求证：1n S <．
的。