新人教版初中数学九年级上册《22.3实际问题与二次函数》公开课获奖教案_0
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
人教版数学九年级上册 教案：22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案：22.3《实际问题与二次函数》一、教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系。
2.掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。
3.能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。
2.解决实际问题时的思维过程和方法。
三、教学准备1.课本《人教版数学》九年级上册。
2.教学投影仪。
3.讲义、笔、纸等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。
2. 引入实际问题给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x 元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。
请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？3. 建立二次函数模型解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。
提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。
通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。
4. 解决问题通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。
由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。
5. 拓展实际问题给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。
请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？引导学生分析问题并建立二次函数模型。
通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。
6. 总结回顾对本节课学习的内容进行总结回顾。
重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。
五、课堂练习根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。
1.某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。
请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？2.某旅游公司举办一次旅行，每人收费为x元，游客的数量为200 - 10x人。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准教科书九年级上册22.3实际问题与二次函数(3)一、教材分析1、地位和作用：本节课的内容是人教版九年级下册第二十二章第三节第三课时，本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值。
2、目标及目标分析：【目标】：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题。
【目标分析】：在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维。
通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。
3、教学重、难点教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题。
教学难点：建立二次函数数学模型。
突破难点的方法：自主探究，小组讨论、师生交流，多媒体展示二、学情分析从学生的认知水平和能力状况来看，初三学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。
受认知结构、能力水平的限制，对事物的认识还停留在表面上，一部分学生还存在学习目的不明确，学习动力不足等问题。
但是他们已具备了一定的小组合作学习的能力，能开展小组合作学习。
且学生在这节课之前，已学习了二次函数的图像和性质，且已经学过了用二次函数的图像和性质解决面积最大和利润最大的实际问题，已有一定的解决实际问题的基础，所以本节课的知识不难。
但是学生可能难以把实际问题与二次函数问题联系起来，不会建立二次函数模型，所以建模的过程需教师引导进行。
三、教学准备：多媒体课件四、教学过程一、 创设情境 引入课题师出示一组图片，要求学生观赏，并提出问题： 这组图片都有什么共同特征？师：在我们日常生活中，许多物体的形状或运动轨迹都具有二次函数的图像抛物线的特征，由此相关的实际问题，我们就可用二次函数的知识解决。
新人教版九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数教案新版
22.3.3实际问题与二次函数一、教学目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题二、课时安排1课时三、教学重点会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.四、教学难点建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题五、教学过程（一）导入新课我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！（二）讲授新课探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为2.y ax =由抛物线经过点（2，-2），可得1,2a =- 所以，这条抛物线的解析式为21.2y x =- 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为 3.y =-当 3.y =- 时，x =所以，水面下降1m ，水面的宽度为m .所以水面的宽度增加了()4m.探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?请同学们分别求出对应的函数解析式解：设y =-ax 2+2将（-2,0）代入得a =12- ∴y =2122x -+； 设y =-a （x-2）2+2将（0,0）代入得a =12- ∴y =21(2)2x -- +2； 归纳：解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.（三）重难点精讲在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？解：如图建立直角坐标系.则点A 的坐标是（0，209），B 点坐标是（4，4），C 点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y =a (x -4)2+4 ①. 把点A (0,209 )代入①得220=(04)4,9a -+ 解得 1.9a =- 所以抛物线的解析式是21(4)49y x =--+ 当x =8时，则2120(84)43,99y =--+=≠ 所以此球不能投中.若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.（四）归纳小结用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用 数形结合 和 函数 思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用 待定系数 求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次的性质去分析解决问题。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(3)1优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们建立完整的知识体系；
2.学生通过总结归纳，巩固所学知识，提高他们的自我认知能力；
3.教师对学生的总结归纳进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
4.引导学生发现二次函数在实际问题中的应用规律，培养他们的实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师提出具有挑战性和开放性的课题，让学生在小组内进行讨论和合作交流；
2.引导学生运用所学知识，分析问题、解决问题，提高他们的实践能力和团队协作精神；
3.鼓励学生分享自己的观点和思考，培养他们的表达能力和批判性思维；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1为例，旨在通过实际问题引导学生理解和掌握二次函数的性质和应用。在教学过程中，我以生活实际为载体，设计了一系列具有代表性的例题和练习，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
在案例背景中，我充分考虑了学生的年龄特点和知识水平，以符合九年级学生的认知发展需求。在教学设计上，我注重启发式教学，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索二次函数的性质和实际应用。同时，我还关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在数学学习中找到适合自己的路径，从而提高他们的自信心和积极性。
4.教师对小组合作过程进行指导和评价，确保学生能够从合作中获得充分的提升。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法，提高他们的自我认知能力；
人教版初中数学九年级上册第二十二章 二次函数 .3实际问题与二次函数 优秀教案
22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a ＝－0.2因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。
请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。
新人教版初中数学九年级上册《22.3实际问题与二次函数》公开课教学设计_0
22.3 实际问题与二次函数能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课前面两节课我们一起研究用二次函数解决“最大利润”、“桥梁建筑”等问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S 最大？分析：提问1：如何用l 表示另一边？提问2：面积S 的函数关系式是什么？问题2：用总长为60米的篱笆围成一个矩形场地（一边靠墙且墙长40米）。
应怎样围才能使矩形的面积s 最大？最大是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？提问3：面积S 的函数关系式是什么？如设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长40 m 对此题有什么作用？0＜60－2x ≤40，即10≤x ＜30.提问5：如何求最值？x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450. 问题3：将问题2中“墙长为40 m ”改为“墙长为28 m ”， 应怎样围才能使矩形的面积s 最大？最大是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？ 602x mH E GF D C B A 设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 22＋30x. 提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？0＜x ≤28.提问6：如何求最值？因为当x<30时，S 随x 的增大而增大而0＜x≤28 所以，当x=28时，S 最大值= 所以当与墙平行的一边为28米时，围成的矩形面积最大，最大面积为448 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，引导学生理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、巩固练习1.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E,F,G ,H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，当小正方形的边长为多少时，小正方形的面积S 有最小值.2.课本习题22.3第52页，第5题四、课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题． 2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处． 五、作业布置教材第52页习题第4～7题，第9题．六、教学反思()22128304504482m -⨯-+=2m。
部编版人教数学九年级上册《22.3 实际问题与二次函数(2) 教学设计》最新精品优秀教案
让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。
作业
设计
必做
教科书P26：4、5、6
选做
教科书P26：8、9
教
学
反
思
三、课堂练习
1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到： 解这个方程组，得：
所以，所求二次函数的关系式为y＝ x2＋ x＋3。
2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
简解：依题意，得 解得：p＝－10,q＝23
所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。
四、小结
1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?
[两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)]
2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式，
(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－ ，顶点坐标为(－ ， )。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?
解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1
因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)2－1解得a＝
新人教版九年级上《22.3实际问题与二次函数》教案
22.3 实际问题与二次函数教学目标1. 会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．教学重点1. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．2. 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题课时安排3课时.第1页共11页教案A第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．二、新课教学问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）．然后让学生计算当t ＝1、t ＝2、t ＝3、t ＝4、t ＝5、t ＝6时，h 的值是多少？再让学生根据算出的数据，画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．当t ＝－ab 2＝－)5(230-⨯＝3时，h 有最大值a b ac 442-＝)5(4302-⨯-＝45． 答：小球运动的时间是3s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m ．问题2 如何求出二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值？学生根据问题1归纳总结：当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低第3页 共11页（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442-． 三、巩固练习探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．解：矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，所以另一边长（260－l ） m ．场地的面积S ＝l (30－l )，即S ＝－l 2＋30l （0＜l ＜30）． 因此，当l ＝－a b 2＝－)1(230-⨯＝15时，S 有最大值a b ac 442-＝)1(4302-⨯-＝225．也就是说，当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．四、课堂小结利用二次函数解决实际问题的过程是什么？找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．五、布置作业习题22.3 第1、4题．第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．（1）我们先看涨价的情况．设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6 000．列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30．根据上面的函数，可知：当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．（2）我们再看降价的情况．设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6 000．怎样确定x的取值范围呢？由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20．当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．三、巩固练习1．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则y与x之间的关系式是，销售所获得的利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式是．2．某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？参考答案：1．y＝－30x＋96 0，w＝(x－16)(－30x＋960)2．y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)＝－200x2＋1 700x＋550 0，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取得最大利润9112.5元．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第8题．第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．第5页共11页如上图，设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a ×22， a ＝－21． 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21 x 2． 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为6，－6，据此可求出这时的水面宽度是26．答：水面下降1m ，水面宽度增加26－4m ．三、巩固练习某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示．根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45． （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题（2）就是求右图B 点的横坐标． 学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．第7页 共11页教案B第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．二、新课教学问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）．然后画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，可以观察到当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m ．一般地，当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442 ． 探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．具体步骤可见教材第50页．三、巩固练习1．已知一个矩形的周长是100 cm ，设它的一边长为x cm ，则它的另一边长为______cm ，若设面积为s cm 2，则s 与x 的函数关系式是__________，自变量x 的取值范围是________．当x 等于_____cm 时，s 最大，为_______ cm 2.2．已知：正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上任意一点，且AE =AF ，若EC =x ，请写出△AEF 的面积y 与x 之间的函数关系式，并求出x 为何值时y 最大．参考答案：1．50－x ，s=x (50－x )，0<x <50，25，6252．y ＝－21x 2＋4x ，当x ＝4时，y 有最大值8． 四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.3 第1、4题．第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页．2．巩固练习第9页 共11页重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P ＝－150(x －30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q ＝－4950(50－x )2＋1945(50－x )＋308万元． （1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?（2）若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?（3）根据（1）（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P ＝－150(x －30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1＝10×10＝100万元．（2）若对该产品开发，在前5年中，当x ＝25时，每年最大利润是：P ＝－150(25－30)2＋10＝9.5（万元）． 则前5年的最大利润为M 2＝9.5×5＝47.5万元．设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资，则由Q ＝－4950 (50－x )＋1945(50－x )＋308知，将余下的(50－x )万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．则后5年的利润是M 3＝[－150(x －30)2＋10]×5＋(－4950x 2＋1945x ＋308)×5 ＝－5(x －20)2＋3500．故当x ＝20时，M 3取得最大值为3500万元．∴10年的最大利润为M ＝M 2＋M 3＝3547.5万元．（3）因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．三、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？四、布置作业习题22.3 第8题．第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2． 当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？第11页 共11页 分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 (a ＜0) ①因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82 所以a ＝－154因此，函数关系式是y ＝－154x 2 ② ∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．将y ＝－0.9代入②式得－0.9＝－154x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―56． 涵洞宽ED ＝256≈0.98＜1． 四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．。
22.3 实际问题与二次函数(第1课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
22.3 实际问题与二次函数(第1课时)一、内容和内容解析1．内容二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值及其应用．2．内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的求最大利润，最大面积等实际问题都与二次函数的最小(大)值有关．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1．目标(1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．(2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到二次函数的最小(大)值的结论，掌握当x ＝－2b a 时，函数有最小(大)值244ac b a－． 达成目标(2)的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题转化成二次函数问题．四、教学过程设计1．创设情境，引出问题问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2？(0≤t ≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师生活动：教师提出问题，学生尝试用已有知识解决此问题．教师追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？师生活动：学生回答：小球运动的高度h 和小球运动的时间t 两个变量之间的关系． 教师追问2：当t ＝1时，h 的值为多少？当t ＝2时，h 的值为多少？当t ＝3时，h 的值为多少？这说明小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？师生活动：学生独立思考后，结合题目回答，小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．教师追问3：如何判断出“小球的运动时间是多少时，小球最高呢？”师生活动：学生根据前面对二次函数的认识回答：可以画出函数图象，利用图象观察出小球的运动时间是多少时，小球最高．学生自己动手画出二次函数图象．教师追问4：观察图象，小球的最高点对应函数图象中的哪个点？师生活动：学生结合图象回答：小球的最高点对应函数图象的顶点．教师追问5：小球运动中的最大高度对应函数中的哪个值？师生活动：学生结合图象回答：小球运动中的最大高度对应自变量取顶点横坐标时的函数值．教师追问6：如何求出小球的最大高度呢？师生活动：学生通过求二次函数的顶点坐标，解决此问题：当t ＝－2b a ＝－3025×(－)＝3时，h 有最大值为244ac b a－＝23045－×(－)＝45．也就是说，小球运动的时间是3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m ．设计意图：通过追问为学生提供解决此类问题思路，让学生在问题的解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系，用二次函数的最大值等知识刻画实际问题中的最大高度．2．结合问题，拓展一般问题2 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如何求出它的最小(大)值呢？师生活动：学生根据前面问题的解决方法，总结出求一般二次函数的最小(大)值的方法．由于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是最低(高)点，可得当x ＝－2b a时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值244ac b a －． 设计意图：让学生得出求二次函数的最小(大)值的结论，体会由特殊到一般的思想方法．3．类比引入，探究问题问题3 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？师生活动：学生借助引例中解决问题的经验解决此问题得出答案．S ＝602l l ⎛⎫ ⎪⎝⎭－，整理后得S ＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)因此，当l ＝－2b a ＝－302×(－1)＝15时，S 有最大值为244ac b a －＝23041－×(－)＝225．也就是说，当l 是15 m 时，场地的面积S 最大． 若学生在解决问题中遇到困难，教师通过以下追问进行引导．教师追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？教师追问2：你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边长之间的数量关系吗？ 教师追问3：如何利用矩形的面积与一边长之间的数量关系求出“当l 是多少米时，场地的面积S 最大”？设计意图：借助追问，指导学生解决此类问题的基本过程和方法，使不同水平的学生会有不同层次的发现，加深对本题数量关系的理解,这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题．问题4 利用二次函数解决实际问题的过程是什么？如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？师生活动：教师引导学生整理以上解决问题的步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法．学生思考后回答，师生共同归纳：(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(2)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括能力，养成良好的教学思维习惯．4．运用新知，拓展训练为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图1)．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．图1(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题．设计意图：巩固本节课所学的内容，再次体会将二次函数的最大(小)值的结论与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？(2)在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯．6．布置作业教科书习题22.3第1，4，5题．五、目标检测设计1．教科书习题22.3第7题．2．如图，有长为24 m篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．(1)求S与x的函数关系式．(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能请说明理由．(第2题)设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握的程度．。
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22.3实际问题与二次函数（2）教学设计
关知识解答销售问题中的最大利润。
首先我们来看三个简单的图像问题。
师多媒体呈现观察与思考
观察与思考----研究从这里开始 1、如图（1）x 表示每件商品的售价，y 表示销售该商品获得的总利润，观察图像，当x=_____时，总利润最大，最大利润为______元 2、某书包专卖店经营一种新款书包，经过市场调查，得到了销售书包的日利润w 元与销售数量x 个之间的函数关系,如图（2），观察图像，当x=_____时，日利润最大，最大利润为______元。
3、如图（2），x 表示月份为整数，且2≤x ≤10，w 表示销售每件商品获得的利润，观察图像，当x=_______时，每件获利最大，最大利润为_______元。
操作说明：
1、 学生首先独立完成，将答案填在学案上；
2、 由几名学生分别就各小题的思路、结果做出解释说明；
3、 学生观察图像，思考上面三个问题有什么区别与联系？通过解答这些题目你感悟到了什么？
4、 学生1至2名进行回答，
5、 教师多媒体呈现：
22.3实际问题与二次函数（2）销售问题中的最大利润 函数图像上有意义的最高点
师引入、多媒体呈现操作与实践
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，
每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件
40元，如何定价才能使利润最大？
解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，
1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润
则：)10300)(4060(1x x y -+-=
应用二次函数的性质解答销售问题中的最
大利润，最容易出现的错
误是盲目使
用抛物线顶
点坐标，
给出错误解答
观察与
思考给出三
个图像问题能使学生从
直观上认识
到，生活中的最大值，应为
图像上有意
义的最高点。
它可以是抛
物线的顶点，
也可以不是顶点，从而为
后面问题的
解决做好铺垫。
学生进行思考、表
述，有助于培
养学生的思维能力，概括
能力及表达
能力。
此题由
简单的图像
问题变为解
答题，提高了
难度，一方面
考察学生的
1、 此题由学生一起完成（1）、（2）、（3）后，再由学生进行表述：
2、 第（2）小题的解题过程学生在表述时，可借助于实物投影；重点说明x 如何取
值才能确保函数值最大； 3、 教师多媒体呈现解题过程：
师引入、多媒体呈现综合与运用
2、某商场在销售旺季临近时，了解到某品牌的童装价格呈上升趋势。
假如这种童装在第一周时每件售价为20元，并且以后每周涨价2元，一直到第6周，从第6周以后，保持每件30元的稳定价格销售，直到第11周结束，该童装不再销售。
（1）、请建立销售价格y （元）于周次x 之间的函数关系式;
（2）、设每件童装获利w 元，若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为12)8(8
12
+--=x z ，1≤x ≤11,且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获利润最大？最大利润为多少元？ 操作说明：（此题由教师引导学生分步完成（1）、（2）两题）
1、由1至2名学生就问题（1）的思路、结果进行表述，教师进行点评；
2、师：请同学们在 第（1）小题的基础之上，认真思考完成第（2）小题。
教师走动进行观察，了解；
3、由2至3名学生展示自己的思路方法，过程结果；
4、全体学生对刚才同学的结果进行思考或讨论，再由1至2名学生进行表述，发表自己的看法；
教师多媒体呈现第（2）题的解题过程。
回顾与反思：多媒体呈现
❖ 这节课我们研究了什么问题？
❖ 在研究这类问题时，我们获得了哪些方法？
此题重在综合应用前面的知识、方法解答实际问题。
第（2）小题难度较大，让学生适时进行讨论、交流，有利于学生对知识的理解、掌握。
升华学生的知识与情感，充分体现数学学习的根本是体验与感悟，进而提高学习的效果。