一维线性KleinGordon方程Neumann边值问题的高阶差分格式

文 献 标 识 码: A
文 章 编 号: 0255-7797(2019)01-0077-10
1 引言
本文研究如下一维非线性 Klein-Gordon 方程 Neumann 的边值问题的数值解
∂2u ∂t2
−
α
∂ ∂
2u x2
+
g(u)
=
f (x,
t),
a < x < b, 0 < t ≤ T,
u(x, 0) = ϕ(x),
进行分析, 得到截断误差是关于时间和空间上的二阶和四阶收敛. 通过理论分析差分格式的收敛性和
稳定性以及数值算例, 验证了理论分析结果.
关 键 词: 非线性 Klein-Gordon 方程; 紧差分格式; 收敛性; 稳定性; 高精度
MR(2010) 主题分类号: 65M06; 65M12
中 图 分 类 号: O241.82
∂u ∂t
(x,
0)
=
ψ(x),
a ≤ x ≤ b,
∂u ∂x
(a,
t)
= 0,
∂u ∂x
(b,
t)
=
0,
0 ≤ t ≤ T,
(1.1) (1.2) (1.3)
其中 α > 0 为常数, f (x, t), g(u) 为满足相容性条件的光滑函数. Klein-Gordon 方程是相对论量子力学和量子场论中用于描述零自旋粒子的自由运动方
|,
|u|)
≤
C0.
H2: 函数 g 一阶可导, 且存在正常数 C, 使得当 |s| ≤ C0 + 1 时, 有
max{|g(s)|, |g (s)|, |g (s)|} ≤ C.
H3:
∀(x, t) ∈ Ω ,
且存在常数 C1,
使
max
|
∂f ∂x
(x,
t)|
=
C1
.
由 (1.1) 式中的方程可得
vik+1/2
=
1 2
(vik
+ vik+1),
vik¯
=
1 2
(vik+1
+ vik−1),
δtvik+1/2
=
1 τ
(vik+1
Vol. 39 ( 2019 ) No. 1
数学杂志
J. of Math. (PRC)
一维线性 Klein-Gordon 方程 Neumann 边值问题的 高阶差分格式
盛秀兰 1,2, 郝宗艳 1, 吴宏伟 1
(1. 东南大学数学学院, 江苏 南京 210096) (2. 江苏开放大学通识教育学院, 江苏 南京 210036)
(a,
(a,
t)
+
g (u) α2
∂f ∂x
(a,
t)
+
1 α2
∂3f ∂t2∂x
(a,
t)
,
∂5u ∂x5
(b,
t)
=
−
1 α
∂3f ∂x3
(b,
t)
+
g (u) α2
∂f ∂x
(b,
t)
+
1 α2
∂3f ∂t2∂x
(b,
t)
.
取正整数 m, n,
记空间和时间步长分别为 h
程, 关于它的数值解法已有不少研究结果. 文献 [1] 基于样条基函数提出了一个数值格式; 四 阶紧格式在文献 [2] 中进行了研究; 基于变分迭代法的数值格式及边界元方法可参见文献 [3, 4]; 在文献 [5] 中导出了以三层样条差分格式逼近非线性 Klein-Gordon 方程; 无界域上的 问题的数值研究可参见文献 [6]; 文献 [7] 中提出了一个基于有限差分和匹配法的新的数值格 式; 而文献 [8] 提出了微分积分法. 所有这些文献中的研究都是针对 Dirichlet 边界条件, 对 于 Neumann 边界条件下的高阶差分格式还没有很好的结果. 近年来, 具有 Neumann 边界条 件的热方程的高阶差分格式已有一些研究结果如文献 [9–11]. 文献 [12] 研究了 Cahn-Hilliard 方程 Neumann 边界条件下的三层线性化紧格式; 文献 [13] 中建立了哈密尔顿非线性波方
α
∂2u ∂x2
=
∂2u ∂t2
+ g(u)
−
f (x, t).
将 (2.1) 式两边关于 x 的 k (k = 3, 4, 5) 阶导数, 且由边界条件 (1.3) 可得
(2.1)
∂3u ∂x3
(a,
t)
=
−
1 α
∂f ∂x
(a,
t),
∂3u ∂x3
(b,
t)
=
−
1 α
∂f ∂x
(b,
t),
∂5u ∂x5
程 Neumann 边界条件下的高阶显格式, 该方法空间方向基于紧格式, 时间方向基于 RungeKutta-Nystrom 方法. 通过分析以上文献, 了解到 Klein-Gordon 方程 Neumann 边值问题的 无条件稳定的高阶差分格式, 目前还没有这方面的结果, 其主要困难是边界点的处理. 本文利 用 Klein-Gordon 方程及边界条件可得到在边界处的三阶导数和五阶导数的函数值, 从而建 立边界点和内点处的两点和三点紧差分格式, 构造一个紧格式, 并证明差分格式关于时间 2 阶收敛, 关于空间 4 阶收敛.
∗收稿日期: 2017-09-01
接收日期: 2018-01-15
基金项目: 国家自然科学基金 (11671081); 江苏开放大学” 十三五” 规划课题 (16SSW-Y-009).
作者简介: 盛秀兰 (1976–), 女, 江苏滨海, 副教授, 主要研究方向: 偏微分方程数值解.
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数学杂志
Vol. 39
摘 要: 本文主要研究非线性 Klein-Gordon 方程 Neumann 边值问题的高阶差分格式. 利用边
界条件及非线性 Klein-Gordon 方程, 得到其在空间上的三阶与五阶导数的边界值, 进而分别在内点和
边界点建立三点和两点紧差分格式. 借助能量估计、Gronwall 和 Schwarz 不等式、数学归纳法等技巧
2 记号及引理
设问题 (1.1)–(1.3) 存在光滑解 u, 记 Ω = [a, b] × [0, T ], 本文假设 H1: u ∈ C(4,3)(Ω), 且存在常数 C0, 使 ∀(x, t) ∈ (Ω) 有
max(|
∂4u ∂t4
|,
|
∂4u ∂x2∂t2
|,
|
∂4u ∂x∂t3
|,
|
∂3u ∂x3
=
b
− m
a
,
τ
=
T n
,
记 xi
=
a + ih,
0
≤
i
≤
m,
tk = kτ, 0 ≤ k ≤ n. 定义
Ωh = {xi|0 ≤ i ≤ m}, Ωhτ = {(xi, tk)|0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ k ≤ n},
称 (xi, tk) 为节点, 并设 {vik|0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ k ≤ n} 为 Ωhτ 上的网格函数, 引进下面的记号