广金微积分7.2多元函数的基本概念
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
7.2多元函数的概念
xy 2 (3) lim ( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2
Q x + y ≥ 2 xy
2 2
xy 1 ∴ 2 ≤ 2 x +y 2
xy ∴ 2 是有界量 2 x +y
xy 2 ∴ lim =0 2 2 ( x , y ) →(0,0) x + y
【微积分7-2-9】
sin xy (4) lim ( x , y ) →(0,2) x
记作 y = f ( x1 , x2 ,L , xn ), ( x1 , x2 ,L , xn ) ∈ D, 或y = f ( P), P ∈ D
（2）说明：
x1 , x2 ,L , xn为自变量, y为因变量, D为定义域, 记为D( f )
y = f ( x1 , x2 ,L , xn ) = y
x0 , y0分别取增量∆x, ∆y, 使得( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ∈ D, 则有
∆z = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x, y ) 称为函数的全增量
若有
( ∆x , ∆y ) →(0,0)
lim
∆z = 0
或者
( ∆x , ∆y ) →(0,0)
lim
( x , y ) → (0,0)
lim
xy x × kx f ( x, y ) = lim = lim 2 2 2 ( x , y ) → (0,0) x + y x → 0 x + ( kx ) 2
k = ≠0 2 1+ k
∴ lim
( x , y ) →(0,0)
f ( x, y )不存在
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
7(2)多元函数的基本概念
x y ( x 0) ( y 0) 2 0, 取
2 2
2 2
则当 0 ( x 0) 2 ( y 0)2
有
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
证毕.
16
多 元 函 数 的 基 本 概 念
0 y 也有 lim f ( 0, y ) lim 2 lim 0 0 2 y 0 y0 y0 0 y
19
多 元 函 数 的 基 本 概 念
xy , x2 y2 0 x2 y2 设函数 f ( x , y ) 0, x2 y2 0 证明: 当 x 0, y 0时,函数的极限不存在.
( x, y) ( x, y)
O
x
O
x
12
(2) 变点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为
( x x0 )2 ( y y0 )2 PP0
不论 P ( x , y )趋向于P ( x0 , y0 ) 的过程多复杂, 总可以用 0 来表示极限过程:
多 元 函 数 的 基 本 概 念
例 理想气体的状态方程是 pV RT (R为常数) 其中p为压强, V为体积, T为温度. 如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖 T 于T,V 的关系是 p R V 称 p为两个变量T,V 的函数, 其中 0 T , 0 V .
3
多 元 函 数 的 基 本 概 念
O
x 无界闭区域
7
2x x y 2. z x2 y2 1
2
2
( x 1)2 y 2 1 且x 2 y 2 1 解 定义域是
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数是数学中一种重要的概念，它是在多个变量之间写成的函数，能表示多变量间的关系。
为了便于描述，这里使用z来表示变量的总体，用x, y, u等来索引。
例如，多元函数可以使用表达式
z=f（x，y，u）来表示，这里z是函数的输出，x, y和u是函数的输入。
通过多元函数，可以将多变量之间的关系表示出来，从而更加清楚地理解问题。
在数学中，多元函数的应用比较广泛，可以用来描述物理学中的各种力，比如重力，电力等，也可以用来描述量子力学中的任意力。
此外，还可以用多元函数来描述数学计算机科学中的几何图形，从而研究几何图象的形状及相关的物理量。
总之，多元函数可以为人们提供更丰富的信息，以便更好地理解事物，解决实际问题。
多元函数也可以用来计算极限值，也就是极限的函数值的限制，这可以帮助我们在实际应用中研究函数的极限值。
极限值的计算可以帮助我们找到函数的极值点，从而获得函数的最大值和最小值，从而更好地实现函数的优化。
总之，多元函数是数学中重要的概念，它可以用来描述物理学中的各种力，也可以用来描述数学计算机科学中的几何图形，还可以用来计算函数的极限值，从而更好地解决实际问题。
- 1 -。
多元函数微积分的基本概念与运算
多元函数微积分的基本概念与运算多元函数微积分，亦称为多元微积分，是微积分学的一个分支，它涉及到多个变量的函数的微积分。
多元函数微积分在物理、工程、金融等领域中具有重要应用价值。
本篇文章将介绍多元函数微积分的基本概念与运算。
一、多元函数的概念在多元函数微积分中，我们首先需要了解的是多元函数的概念。
在数学上，多元函数可以定义为具有多个自变量的函数。
例如，二元函数f(x,y)可以表示为：f(x,y) = x^2 + y^2其中x和y为自变量，f(x,y)是因变量。
在这个函数中，我们可以通过给定x和y的值来计算出f(x,y)的值。
二、偏导数在多元函数微积分中，我们可以通过偏微分来计算多元函数的变化情况。
偏导数可以理解为多元函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它在x处的偏导数：∂f/∂x = 2x这个结果的意义是，在x这个自变量上，当y不变时，f(x,y)在x处的变化率是2x。
同样地，我们可以计算出f在y处的偏导数：∂f/∂y = 2y三、梯度梯度是多元函数微积分中的另一个重要概念，它是一个向量，由多个偏导数组成。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它的梯度：∇f = <2x, 2y>这个梯度的意义是，在（x,y）处，f(x,y)在x方向上的变化率是2x，在y方向上的变化率是2y。
梯度的模表示函数变化率的大小，方向表示函数变化率的方向。
四、方向导数方向导数是多元函数在某一方向上的变化率。
我们通常使用单位向量来描述方向。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，在点（1,1）处，我们可以计算出它在（1,1）处沿着向量<1,1>的方向导数：Df(1,1)<1,1> = ∇f(1,1)·<1,1> = 2(1)+2(1) = 4这个结果的意义是，在（1,1）处，f(x,y)沿着向量<1,1>的方向变化率是4。
多元函数与多元微积分
多元函数与多元微积分多元函数是数学分析的一个重要分支，它描述了多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元微积分则研究多元函数的导数、积分和微分方程等问题。
本文将介绍多元函数的定义、连续性和偏导数，以及多元微积分的应用。
一、多元函数的定义与连续性多元函数可以定义为具有多个自变量和一个因变量的数学函数。
例如，一个具有两个自变量x和y的多元函数可以表示为f(x, y)。
多元函数的定义域即为自变量所在的数学空间。
对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
多元函数在某一点连续，意味着当自变量在该点附近发生微小改变时，函数值也会发生微小变化。
连续性可用极限来描述，即函数在某一点的极限存在且与函数在该点的取值相等。
二、多元函数的偏导数偏导数是多元函数的导数在某一点上对各个自变量的偏导数。
对于一个具有n个自变量的多元函数f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其偏导数可表示为∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ。
偏导数描述了在其他自变量保持不变的情况下，函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x, y)，∂f/∂x表示当y保持不变时，函数f在x方向上的变化率。
三、多元微积分的应用多元微积分在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 曲面的切平面与法线：在多元微积分中，通过偏导数可以求得曲面在某一点上的切平面与法线。
这在计算机图形学、机械设计等领域中具有重要意义。
2. 二重积分与三重积分：多元函数的积分可以用于计算平面区域的面积、质心以及立体体积等问题。
例如，在物理学中，可以通过二重积分计算平面物体的质心坐标。
3. 最优化问题：多元微积分可以帮助解决最优化问题，即寻找多元函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
这在经济学中的优化模型、工程中的最佳设计等问题中有应用。
4. 微分方程：多元微分方程是描述自然界和工程问题中的多变量关系的数学模型。
通过多元微分方程的求解，可以得到解析解或数值解，并找到问题的解释。
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y
2.若x0 y0 1或x0 y0 4,
2
2
2
2
则点 P为E的边界点 ,
3. E的边界
O
2 2 2 2
1 2 x
E x , y x0 y0 1或x0 y0 4 .
12:54:04
即U ( P0 , δ) P PP0 δ
( x , y ) ( x x 0 ) ( y y0 ) δ
2 2
2
11
P0
上述邻域 U(P0 , δ) 去掉中心P0 后，称为P0 的 去心
邻域, 记为 U ( P0 , δ) . 简记为 U ( P0 ) .
12:53:58
若有一个映 1.定义 设D为R 2中的一个非空点集， 射f ，使得对于D中每一个有序实数对 ( x , y ), 都有惟 一确定的实数z与之对应，则称映射f 为定义在D上的
二元函数，记为 f ：D→R ，( x , y ) z , ( x , y ) D, z称为因变 又记为 z f ( x , y ), 其中 x , y称为自变量， 记为 D( f ), 量，( x , y )的变化范围D称为函数的定义域，
12:54:05
17
7.2 多元函数的基本概念
三、 多元函数的概念
例1 矩形面积 S 与长 x，宽 y 之间关系为 其中长 x 和宽 y 是两个独立的变量, 在它们变化范围 内, 当x, y 的值取定后, 矩形面积 S 有惟一确定值对应. 著名 Cobb Douglas 的生产 例2 在西方经济学中，
2
z
如右图，为球面.
D {( x , y ) x 2 y 2 a 2 }.
o
2 2 2 z a x y 单值分支:
y
z a x y .
2 2 2
12:54:12
x
27
三. 多元函数的概念 4. 多元函数的定义
设有n维空间内的点集D, 如果对于每一个点 P ( x1 , , xn ) D, 变量u按照一定法则总有确定 的值和它对应 , 则称u为x1 , , xn的n元函数.记为 u f ( x1 , x2 , , xn ) 一元函数: y f ( x ), 一个自变量.
例 区域
E { ( x , y ) 0 x 1 , x y 1 } 为有界闭区域.
(7)有界与无界区域： 对于区域 E , 如果存在正数 M , 使一切点
例 区域 E { ( x , y ) x y 0 } 为无界开区域.
y
(1 , 1)
y
O
12:54:05
x
15
O
x
n元有序数组
n
( x1 , x2 , L , xn )
其中，数 x i称为该点的第i个坐标.
12:53:56 8
一、n维空间 R
n
n维空间中两点间的距离：
PQ ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2
其中，点为 P( x1 , x2 ,, xn ) 和 Q( y1 , y2 ,, yn )
7.2 多元函数的基本概念
12:53:55
1
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空间解析几何
空间直角坐标系
椭球面 旋转抛物面 圆锥面
12:54:06
20
三. 多元函数的概念 2.二元函数的定义域 (自然定义域)
当用某个解析式表达二元函数时，凡是使解析式 有意义的自变量所组成的平面点集为该二元函数的 定义域，二元函数的定义域通常为平面区域. 例1 求函数 z 1 x 2 y 2 的定义域 D , 并作出 D y 的示意图. 解 要使函数有意义须满足
注：当n=1,2,3时，上式即是数轴、平面及空间 两点间的距离 .
12:53:56
9
7.2 多元函数的基本概念
二、平面区域
一元函数的定义域是在数轴上讨论，一 般是一个区间（开区间、闭区间、半开半闭 区间）。 但是对于二元函数而言，由于自变 量多了一个，它的定义域很自然地要扩充到 平面上进行讨论，二元函数z=f (x,y)的定义域 在几何上表示一个平面区域。
2、区域 (region)
注：n维空间中邻域、区域等概念
n U ( P , d ) P | PP | d , P R 邻域： 0 0
内点、边界点、区域等概念也可定义．
12:54:05
16
7.2 多元函数的基本概念
三、 多元函数的概念 导言：多元函数是多元函数微积分学研究 的对象.同一元函数类似对于多元函数也有极 限、连续等基本概念. 这些内容作为一元函数 在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容 类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注 意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般 与特殊之间辩证关系.
例2 二元函数 z 1 x 2 y 2 表示以原点为中心 ,
半径为１的球面（称为 单位球面）在 xOy 上方的部 分 , 即上半球面．( D : x y 1)
2 2
z
y
x
12:54:12 26
3.二元函数的几何图形
例3
z sin xy
图形如右图.
例4
x y z a
2 2 2
x 2 2 例5 设f ( x y, ) x y , 求f ( x , y ). y
一元函数 y = f (x) 表示 x y平面上的一条曲线 3.二元函数的几何图形
设函数 z = f (x, y) 的定义域为D. 确定空间一点 M ( x , y , z ),当(x, y) 取遍 D上的一切点时, 得到空间点集 对于任意取定的 点 P ( x , y ) D, 对应的函数值为 z f ( x , y ). 这样, 就
1 x2 y2 0 , 即 x2 y2 1,
所以函数的定义域为
x
D { ( x , y ) x 2 y 2 1 } . 有界闭区域
12:54:08 21
2.二元函数的定义域
例2 求函数 z ln( y x ) 解
xy x y 1
2 2
的定义域 D .
z
M ( x, y, z )
{( x , y, z ) z f ( x , y ), ( x , y ) D}
这个点集称为二元函数的图形.
该几何图形通常是一张曲面. 而定义域 D 正是这曲面在Oxy
D
( x, y)
y
x
25
平面上的投影.
12:54:11
3.二元函数的几何图形
( D : R) 例1 二元函数 z 1 x y 表示平面．
实数z的取值范围称为值域， 记为 f ( D).
yห้องสมุดไป่ตู้
( x, y)
z
x f
D
12:54:06
z
19
三. 多元函数的概念 确定函数的两要素：定义域D( f )、对应法则f 函数的表示法：（1）二元显函数 z=f(x,y) （2）二元隐函数 F(x,y,z)=0 类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2时，n元函数统称为多元函数．
S= x y (x>0, y>0)
L 0, K 0 函数为 Q cK L ， 这里c , α , β 为常数， 分别表示投入的劳动力数量和资本数量，Q表示产量， Q是一个依赖于K和L的变化而变化的量． 当K, L的 值取定后, Q就 有惟一确定的值相对应.
α β
12:54:05 18
三. 多元函数的概念
球 面
二次曲面
曲面
平 面
双曲抛物面
柱 面
一般方程
12:53:55
7.2 多元函数的基本概念
12:53:55
4
7.2
多元函数的基本概念
一、 多元函数的基本概念
二、 多元函数的极限
三、 多元函数的连续性
返回
12:53:55
5
7.2 多元函数的基本概念
目的要求
1.了解平面区域、点的邻域、开区域与闭区 域等概念 2.理解多元函数的概念，会求二元函数的定 义域 3. 了解二元函数的极限与连续性的概念以及 有界闭区域上连续函数的性质
重点
1.二元函数的概念 2.二元函数的连续性的概念
12:53:55 6
7.2 多元函数的基本概念
在一元函数的微积分中，所讨论的对象都是 一元函数y=f(x)，即函数只依赖于一个自变量。 但在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素， 反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的 情形。 在数学上，这种由多个因素才能确定的变量， 就是多元函数。
12:53:56
7
7.2 多元函数的基本概念
一、n维空间 R
n
一 般地，设n为一个取定的正整数， n维空间： n元有序实数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的 全体所构成的集合.
n 表示为： R x1 , x2 ,, xn xi R, i 1,2,, n
n维空间 R 中的点：
12:53:56 10
二、平面区域
（一）平面区域 1、邻域 (neighborhood)
设P0 ( x0 , y0 )是xOy平面上的一定点 , d 为一正数，
则以 P0为圆心 , d 为半径的圆的内部 (不包含圆周)， 称为点 P0 的d 邻域, 记为 U(P0 , δ), 简记为 U( P0 ) .