重积分的变量变换.
数学分析 重积分的变量替换仿射变换
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
3.5.1 仿射变换
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式; 正交变换下体积的变换公式;
因此下面不妨设 b = 0, 考虑线性变换.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在 正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO.
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
这称为伸缩变换.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
高中数学(人教版)二重积分的变量变换课件
t 从 变到 时, 对应于 LD 的正向, 林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q ( x , y ) x , 有
若规定
( D) L x dy x(t ) y(t )dt
D
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt . (6) v u
y
变换
u u x 2, y . v v
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
它把 xy 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩形
[m , n] [ , ].
O
图 21 25
x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
由于
y
1 v2 J (u , v ) 1 v
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
当
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2))时, (1)式可写成
f ( x )dx
(X)
1
故当
X
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
所以 把
下的一般证明, 将在本章§9 中给出. ) 由于 T 是一对一变换, 且
内点变为 D 的内点,
的按段光滑边界曲线 也变换为 D 的按段光滑边界曲线 . LD
L 的参数方程为 u u( t ), v v ( t ) ( t ).
数学分析21.9在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第二十一章 重积分9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 分析：可分四步证明(1)对任意(u 0,v 0)∈int △, 任意ε>0, 存在(u 0,v 0)的邻域G, 当正方形I ⊂G 且(u 0,v 0)∈I 时, μ(T(I))≤⎰⎰Idudv v u J ),(+εμ(I).(2)对任意正方形I ⊂ int △, μ(T(I))≤⎰⎰Idudv v u J ),(.(3)μ(D)≤⎰⎰∆dudv v u J ),(.(4)μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.证：(1)设(u 0,v 0)∈int △, ∀ε>0, 取正数η<|J(u 0,v 0)|满足 (1+η)2|J(u 0,v 0)|<|J(u 0,v 0)|-η+ε.∵|J(u,v)|在点(u 0,v 0)上连续, ∴∃(u 0,v 0)的邻域G 1⊂ int △, 使得 当(u,v)∈G 1时, |J(u,v)|>|J(u 0,v 0)|-η. 定义映射 L 1⎩⎨⎧-+-+=-+-+=))(,())(,(),(),(ˆ))(,())(,(),(),(ˆ0000000000000000v v v u y u u v u y v u y v u yv v v u x u u v u x v u x v u xv u v u ，即L(u,v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000),(),(),(),(ˆ),(ˆv v u u v u J v u y v u x v u y v u xT ，其中 J T (u 0,v 0)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛),(),(),(),(00000000v u y v u y v u x v u x v u v u . ∵x(u,v), y(u,v)在(u 0,v 0)处可微, 所以|x(u,v)-xˆ(u,v)|=|x(u,v)-x(u 0,v 0)-x u (u 0,v 0)(u-u 0)-x v (u 0,v 0)(v-v 0)|=o (ρ)(ρ→0);|y(u,v)-yˆ(u,v)|=|y(u,v)-y(u 0,v 0)-y u (u 0,y 0)(u-u 0)-y v (u 0,v 0)(v-v 0)|=o (ρ)(ρ→0), 其中设(J T (u 0,v 0))-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a , 令M=|a|+|b|+|c|+|d|. ∃(u 0,v 0)的邻域G ⊂G 1, 使得当(u,v)∈G 时, |x(u,v)-xˆ(u,v)|<M22ηρ, |y(u,v)-yˆ(u,v)|<M22ηρ.任取正方形I ⊂int △, 满足(u 0,v 0)∈I, 并设I 的边长为β, 任取(x(u,v),y(u,v))∈T(I), 其中(u,v)∈I.设(u 1,v 1)∈L -1(x(u,v),y(u,v)), 即xˆ(u 1,v 1)=x(u,v), y ˆ(u 1,v 1)=y(u,v), ∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v v u u v u J v u y v u y v u x v u x T 11001111),(),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ, ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ)),((1111111110011v u y v u y v u x v u x d c b a v u y v u y v u x v u x v u J v v u u T .∈I, (u 0,v 0)∈I, 从而β, 于是|u 1-u|=|a(),(ˆ),(ˆ11v u x v u x-)+b(),(ˆ),(ˆ11v u y v u y -)| =|a(),(ˆ),(v u xv u x -)+b(),(ˆ),(v u y v u y -)| ≤|a||),(ˆ),(v u xv u x -|+|b||),(ˆ),(v u y v u y -| ≤|a|M22ηρ+|b|M22ηρ≤|a|M2ηβ+|b|M2ηβ≤2ηβ. 同理|v 1-v|≤2ηβ. 设I 1是与I 同中心的正方形，边长为(1+η)β, 从而(u 1,v 1)∈I 1, 于是 T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))=L(u 1,v 1)∈L(I 1), 即有T(I)⊂L(I 1). 设I 1的两邻边向量为l 1,l 2, 由于L 是仿射变换, L(I 1)是邻边向量为L(l 1), L(l 2)的平行四边形，于是 μ(L(I 1))=|L(l 1)×L(l 2)|=|J(u 0,v 0)||l 1×l 2|=|J(u 0,v 0)|μ(I 1). 因此 μ(T(I))≤μ(L(I 1))=|J(u 0,v 0)|μ(I 1)=|J(u 0,v 0)|(1+η)2μ(I).另一方面，⎰⎰Idudv v u J ),(≥(|J(u 0,v 0)|-η)μ(I), 因此μ(T(I))≤|J(u 0,v 0)|(1+η)2μ(I)≤(|J(u 0,v 0)|-η+ε)μ(I)≤⎰⎰Idudv v u J ),(+εμ(I).(2)若有正方形I ⊂int △, 使μ(T(I))-⎰⎰Idudv v u J ),(=δ>0, 则将I 等分为4个小正方形，其中必有一个(记为I 1), 使μ(T(I 1))-⎰⎰1),(I dudv v u J ≥4δ. 再将I 1等分为4个小正方形, 中必有I 2, 使μ(T(I 2))-⎰⎰2),(I dudv v u J ≥24δ. 依此进行可得正方形序列I 1⊃I 2⊃…, 使 μ(T(I n ))-⎰⎰nI dudv v u J ),(≥n 4δ….由闭域套定理知存在(u 0,v 0)∈ ∞=1n n I ⊂int △.于是∀ε>0, ∃(u 0,v 0)的开邻域G ⊂int △满足(1)中结论, 又当n 充分大时， I n ⊂G, ∴nI u 4)(ε=εμ(I n )≥μ(T(I n ))-⎰⎰nI dudv v u J ),(≥n4δ, 即εμ(I)≥δ>0, 令ε→0, 即有0≥δ>0, 矛盾！ ∴对任意正方形I ⊂ int △, μ(T(I))≤⎰⎰Idudv v u J ),(.(3)用平行于坐标轴的直线将uv 平面分割成大小相等的闭正方形， 假定与int △交集不空的正方形为{ I 1, I 2,…, I n }, 其中 完全在int △内的正方形为{ I 1’, I 2’,…, I s ’}, 不完全在int △内的正方形为{ I 1”, I 2”,…, I t ”}.作△的分割T △={I i ∩△|i=1,2,…,n}和D 的分割T D ={T(I i ∩△)|i=1,2,…,n}. 由于T 在△上的一致连续性，当∆T →0时, D T →0. 又∂△⊂ ti i I 1)(=∆''及∂D ⊂ ti i I 1)(=∆''. 定义△上函数φ(u,v)=⎩⎨⎧∆∂∈∆∈),(0int ),(1v u ，v u ，.∵φ(u,v)仅在零面积集∂△上不连续, ∴ φ(u,v)在△上可积.又∑=→∆∆ni i i T I 1)(lim μω=0, 其中ωi 为φ(u,v)在I i ∩△上的振幅, ∵I i ”不完全在int △内, 且至少有一个内点, ωi ”=1.而I i ’完全在int △内, ωi ’=0. ∴∑=→∆''∆t i i T I 10)(lim μ=∑=→∆∆ni i i T I 1)(lim μω=0. 同理可证∑=→∆''ti i T I T D1))((lim μ=0. 设|J(u,v)|在△上的上确界为M, 则当∆T →0时, 0≤⎰⎰∆dudv v u J ),(-∑⎰⎰='s i I i dudv v u J 1),(=∑⎰⎰=∆''ti I i dudv v u J 1),( ≤∑=∆''ti iI M 1)( μ→0.于是有μ(D)=∑=→'si i T I T D10))((lim μ≤∑⎰⎰='→si I T i Ddudv v u J 10),(lim =⎰⎰∆dudv v u J ),(. (4)记J 0(x,y)=),(),(y x v u ∂∂, 以T -1代替T, I i ’代替D, T(I i ’)代替△代入上式，并 由积分中值定理, 存在(u i ’,v i ’)∈I i ’, 使得μ(I i ’)=μ(T -1(T(I i ’))) ≤⎰⎰')(0),(i I T dxdy y x J=|J 0(x(u i ’,v i ’),y(u i ’,v i ’))|μ(T(I i ’)), i=1,2,…,s.由|J(u,v)|在△上可积及|J(u,v)||J 0(x(u i ’,v i ’),y(u i ’,v i ’))|=1知⎰⎰∆dudv v u J ),(=∑=→'''∆si iiiT I v u J 1)(|),(|lim μ≤∑=→''∆si i i T v u J 10|),(|lim |J 0(x(u i ’,v i ’),y(u i ’,v i ’))|μ(T(I i ’))=∑=→'∆si i T I T 1))((lim μ=μ(D). 综合(3)可得μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.。
重积分的变量变换及其在积分计算中的应用
Jiaojiao Wang, Guangfeng Chen*, Xintong Wang Mathematics Department of School of Information Engineering, Xi’an University, Xi’an Shaanxi
f
x1
(ξ1
,
ξ2
,,
ξ
n
)
,
x2
(ξ1
,
ξ2
,
,
ξn
)
,
,
xn
(ξ1
,
ξ
2
,,
ξn
)
J dξ1dξ2 dξn
V1
DOI: 10.12677/aam.2020.95086
729
应用数学进展
王娇娇 等
上式为一般的 n 重积分的变量变换公式[1]，实际中常常遇到的是 n = 2 时二重积分以及 n = 3 时三重 积分的计算与应用，文献[2] [3] [4] [5] [6]对常见的换元积分法做了讨论及推广，下面着重探讨两种特殊 区域的二重积分和三重积分的变量变换公式。
∂x1 ∂x1
∂x1
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξn
=J ∂∂= ((ξx11,,ξx22 ,, ,,ξxnn ))
∂x2 ∂ξ1
∂x2 ∂ξ2
∂x2 ∂ξn ≠ 0.
∂xn ∂xn
∂xn
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξn
则
n个
I = ∫∫ f ( x1, x2 ,, xn ) dx1dx2 dxn
重积分基础概念
重积分基础概念在数学中，积分是一个非常重要的概念，它是微积分中的一个核心内容。
而在积分的概念中，重积分是其中的一种特殊情况。
本文将为您介绍重积分的基础概念。
1. 一重积分的定义一重积分是对一维空间中的函数在给定区间上的积分运算。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的积分可以表示为：∫[a,b] f(x) dx其中∫表示积分运算，f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
2. 重积分的定义重积分是对多维空间中的函数在给定区域上的积分运算。
设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则D上f(x,y)的积分可以表示为：∬D f(x,y) dσ其中∬表示重积分运算，f(x,y)为被积函数，dσ表示面积元素。
3. 重积分的几何意义重积分的几何意义是计算多维区域上的体积或者质量。
对于函数f(x,y)，它在区域D上的积分结果表示了函数f(x,y)在该区域上的平均值乘以区域D的面积。
4. 重积分的计算方法对于重积分的计算，可以使用多种方法，包括直接计算和变量替换等。
直接计算是将区域D划分成小的子区域，然后计算每个子区域的面积乘以函数值的和。
变量替换是将原来的积分区域通过变换映射到更易计算的区域上。
5. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性和积分中值定理等。
线性性表示对于任意实数k，两个函数f(x,y)和g(x,y)的线性组合的积分等于它们分别积分后再求和。
保号性表示对于函数f(x,y)，如果f(x,y)在区域D上总是非负的，则D上f(x,y)的积分也非负。
积分中值定理表示在区域D上，存在一点(x0, y0)，使得f(x0,y0)等于D上f(x,y)的平均值。
在实际问题中，重积分在物理学、经济学、工程学等领域中有广泛的应用。
通过对重积分的理解和运用，可以更好地解决实际问题，并推动科学的发展和进步。
总结起来，重积分是对多维空间中函数在给定区域上的积分运算。
它有着重要的几何意义和计算方法。
重积分的变换
推论 若 ｘ ，ｙ ，ｚ…空间中的一个闭若尔当可测区域 Ｒ 由一 １－１ 的变换映射到 ｕ ， ｖ， ｗ…空间的一个区域 Ｒ ′
上，其雅可比 d ( x , y , z L ) 处处不为零，则有变换公式 d(u, v, wL)
关 键 词：重积分；变量变换；坐标变换
中图分类号 ：Ｏ１７２．２ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１００８－２６１１（２００５）０４－００３７－０３
１ 引出公式
重积分最终都是化为多次单积分来计算。而事实 上，有的重积分虽然可以化为单积分，但要明确计算 出重积分一般来说会有很大困难。为了计算二重积分 和三重积分，利用极坐标、柱面坐标、球面坐标等，引 进新的变量进行坐标变换，用新变量来计算重积分， 达到简化积分与计算积分的目的。但是，有很多的重 积分，被积函数并不一定是用初等函数表达的，甚至 有高于三重的多重积分，用上述的坐标变换就显得远远 不够，因此，我们需要在积分号下引进新变量代替旧 变量来计算重积分的一般表达式。
形如 ｘ＝ｘ ，ｙ＝ Φ（ｖ，ｘ）以及 ｖ＝ｖ，ｘ＝ ψ（ｕ，ｖ）的两个本原 变 换 时①， 实 际 已 经 建 立 了 变 换 公 式 。
当 Ｄ ≠ ０ 时，就能把闭区域 Ｒ 分为有限个区域，在 每个区域上这种分解是可行的，如果必须的话，可以 改变一下 ｕ 和 ｖ 的位置，而这并不影响到积分值。
为了计算二重积分线确定了许多网格我们把那些位于重积分利用极坐标柱面坐标球面坐标等引作子区域进新的变量进行坐标变换用新变量来计算重积分如果这种网格不是曲线围成的而是由u积分被积函数并不一定是用初等函数表达的甚至应的顶点构成的平行四边形则这个网格的面积应是有高于三重的多重积分用上述的坐标变换就显得远远hkd不够因此我们需要在积分号下引进新变量代替旧变量来计算重积分的一般表达式
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分知识讲解
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u, v)
h
o(
)
x4 x1 同理得 y2 y1
x(u,v k)
y u
(u,
)r
d
O
r
0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D : 1(r) 2(r), r1 r r2,
f (r cos , r sin )r d r d r r1
D
O
r1 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
x y
xy e x y dxdy
e
u v
1
dudv
1
1
dv
u v
e v du
D
D
2
20
v
1 2
u
1 0
(ve
v
)
|vv
dv
1 2
1 v(e - e1 )dv
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。
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o
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r dr.
r 2( )
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r ( )
D： ,
D
其中正号及负号分别由 t 从 变 到时，是对
应于 LD 的正向或是负方向所决定．由（6）及
（7）得到
D =
L
xu,
v
y u
du
y v
dv
= 令
Pu,
L
v
xu, v xu,
v
y du u
y
u
xu,v y dv
v
Qu, v xu,
v
y v
在平面 uv 上对上式应用格林公式，得到
D
vdv
1
sin
1.
20
2
二、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
r ri ri r ri
o
i i
i D
i A
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
x, y u, v
0，
= f xu,v, yu,v Ju,vdudv
D
定理21.13 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u, v), y(u, v) 在 D 上具有一阶连续偏导数； (2) 在 D 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0;
定理 21．13 设 f x, y在有界闭区域 D 上可积，
变换T ：x xu,v，y yu, v 将 uv 平面上由按段
光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平
面上的闭区域 D ，函数 x xu, v，y yu,v 在 内
分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J u, v =
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
y 0 u v;
x y 2 v 2.
x y2
D
o
x
v
v2
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
阶连续偏导数且它们的函数行列式
J
(x, y) (u, v)
0 ， u,v
，
则区域的面积
D=
J
u, vdudv
证 现给出 y yu,v 在 内分别具有二阶连
续偏导数时的证明.
由于变换T 是一对一的，且 J u,v 0，因而T
把 的内点变为 D 的内点，所以 的按段
光滑边界曲线 L 变换到 D 时，其边界曲线 LD
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
例 2 求抛物线 y 2 mx ， y 2 nx 和直线 y x ，
y x 所围成区域 D 的面积 D 0 m n,0 ．
解 D 的面积 D = dxdy
作变换
x u , y uD
v2
v
J u,v =
也是按段光滑曲线，设曲线 L 的参数方程为
u = ut， v = vt t
由于 L 按段光滑，所以 ut ， vt 在, 上
至多除去有限个第一类间断点外，在其他点
上都是连续的．因为 LD T L ，所以 LD 的参
数方程为:
x xt xut,vt,
y t yut,vt, t
=
Q u
P v
dudv
由于函数 y yu,v具有二阶连续偏听偏信导数，即有
2 y 2 y
uv vu
因此
Q P u v
= J u,v
于是 D = Ju,vdudv
又因为 D总是非负的，而 J u,v在 上不为零且连
续，故其函数值 在上不变号，所以
D = J u, vdudv
u v4
=
D = dxdy =
nD u
dv du m v4
=
u v4
n
dudv
m2 3 6 3 3
3
例3
计算
I
D
cos(
x x
y )dxdy. y
其中
D由
x
y
1,
x 0 及 y 0 所围成．
y
解 令 u x y, v x y,
则 x uv, y vu.
§4 重积分的变量变换
一、 二重积分的变量变换公式 二、利用极坐标系计算二重积分
一 二重积分的变量变换公式
引理 设变换T ：x xu, v，y yu,v 将 uv
平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区
域 ，一对一地映成 xy 平面上的闭区域 D ，
函数 x xu,v， y yu,v 在 内分别具有一
2
2
D D, 即 x 0 u v;
y 0 u v;
x y 1 v 1.
x y1
D
o
x
v
v 1
u v D u v
o
u
1
J
(x, y) (u, v )
2 1
2
1
2 1
1, 2
2
故 I cos u J dudv
D
v
1
1
dv
vu cos du
20
v
v
1
1
2sin
1
若规定 t 从 变 到时，对应于 LD 的正向，
则根据格林公式，取 Px, y 0,Qx, y x ，有
D = xdy xtytdt
LD
=
xut
,
vt
uy
u t
y v
vt
dt
（6）
另一方面，在uv 平面上
=
L
xu, v
xut,
y u
vt
du
y u
y v
dv
ut y
v
vt
dt
（7）
(u, v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f (x, y)dxdy f [x(u,v), y(u,v)] J (u,v) dudv.
D
D
y x
例1 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
r 1( )
,
D：
1( ) r 2( ).
f ( x, y)dxdy
D
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 2( )
A
区域特征如图
,
D：
1( ) r 2( ).
r 1( ) DD