二重积分的变量交换
4二重积分的变量交换
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2()
A
②二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd o
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
常见区域D'的确定
y
(1)D : x2 y 2 2Rx (如图)
r 2 2Rr cos
O R 2R x
D : , 0 r 2R cos
2
2
y
2R
(2)D : x2 y 2 2Ry (如图)
R
r 2 2Rr sin
O
x
D : 0 , 0 r 2Rsin
③二重积分化为二次积分的公式（３）
习惯上：设 x x(u, v), y y(u,v)
(2)求出J (u, v) (x, y) (u, v)
若是设u u(x, y), v v(x, y), 求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
D
例 9 求广义积分 ex2dx .
0
2
D2 S
D1
ex2 y2 dxdy ex2 y2 dxdy ex2 y2 dxdy
D1
S
1 (1 ea2 ) (
a ex2 dx)2
D2
1 (1 e2a2 )
4
0
4
(2) 在 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
21(3)二重积分的极坐标计算方法.
o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;
《数学分析》第二十一章 二重积分 5
o
f ( r ,θ )dθ .
θ = arccos
r a
练习题
一,填空题: 填空题: 1 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 x , 表示为极坐
D
标形式的二次积分, 标形式的二次积分,为_____________________. 2 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 0 ≤ y ≤ 1 x , 0 ≤ x ≤ 1, 表
D
= ∫ dθ ∫
α
β
2 (θ )
1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(2)
区域特征如图
r = (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
例2
计算 ∫∫ e
D
x2 y2
dxdy ,其中 D 是由中心在
原点, 的圆周所围成的闭区域. 原点,半径为a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
D: D: 0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
D 1
sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D
二重积分计算技巧总结
二重积分计算技巧总结二重积分是微积分中的一个重要概念，是对二元函数在特定区域上的面积进行求解，也可以理解为一个函数在一个平面区域上的平均值。
在实际计算中，可以通过一些技巧来简化计算过程，提高计算效率。
本文将总结一些常用的二重积分计算技巧，帮助读者更加灵活地应用二重积分。
1.利用对称性在计算二重积分时，如果被积函数具有对称性，可以通过利用对称性简化计算过程。
常见的对称性有x轴对称、y轴对称、原点对称等。
对称性可以减少计算量，提高计算效率。
2.变量替换变量替换是处理二重积分的常用方法。
通过合适的变量替换，可以将原来的二重积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括极坐标变换、矩形坐标变换等。
极坐标变换是将矩形坐标转化为极坐标的过程，从而转化为极坐标上的二重积分。
极坐标变换的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ其中，r是极径，θ是极角。
矩形坐标变换则是将原来的矩形区域映射为一个更简单的区域，从而简化计算过程。
常见的矩形坐标变换包括矩形到正方形的变换、矩形到单位圆的变换等。
3.积分次序交换对于一些特定的被积函数，可以通过交换积分次序来简化计算过程。
一般来说，交换积分次序需要满足一些条件，比如被积函数在给定的积分区域上连续可微。
需要注意的是，交换积分次序可能会改变积分的范围，因此在交换积分次序时需要注意积分区域的变化。
4.多次积分的简化二重积分常常需要进行多次积分，这时可以使用多次积分的简化方式来提高计算效率。
常见的多次积分简化方式包括积分区域分割、积分区域的对称性利用、积分范围的变量替换等。
通过适当地选择简化方式，可以大大减少计算量，提高计算效率。
5.划分区域的选择在计算二重积分时，划分区域的选择对于计算结果具有一定的影响。
对于一些特定的区域，可以选择合适的划分方式来简化计算过程。
常见的划分区域的选择方式包括将区域分为两个相互重叠的子区域、将区域分为若干个均匀分布的子区域等。
通过合适的划分方式，可以简化计算过程，提高计算效率。
§4 二重积分的变量交换
§4 二重积分的变量交换在二重积分中，变量交换是一种常见的操作方法。
它通过交换自变量和因变量的顺序来改变被积函数的表达式，从而可以使积分更容易进行或更加简洁。
一、变量交换的基本概念在二重积分中，变量交换指的是将积分区域中自变量和因变量的顺序进行交换，同时改变积分区域的形状，即将原来在 $xOy$ 平面上的区域变成在 $yOx$ 平面上的区域，并维持面积不变。
就积分意义而言，变量交换不改变积分的结果。
具体来说，设被积函数为 $f(x,y)$，积分区域为 $D$，其在 $xOy$ 平面上的投影为$\mathcal{D}$。
若令 $u=y,v=x$，则变量交换后的积分区域为 $D'$，在 $uOv$ 平面上的投影为 $\mathcal{D}'$，其面积为原先积分区域面积的倒数。
被积函数也相应地变为$f(v,u)$。
则可得变量交换后的二重积分为：$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\iint\limits_{D'}f(v,u)dudv$$二、变量交换的条件和方法变量交换不是所有情况下都可以进行的，需要满足特定的条件才能进行。
根据积分区域的类型和被积函数的性质，有以下几种情况。
1. 镜面对称性若被积函数 $f(x,y)$ 关于某条直线 $L$ 对称，且积分区域 $D$ 也关于同一直线$L$ 对称，则可以采用镜面对称的方法进行变量交换。
具体来说，可以在积分区域$D$ 上作镜面对称的区域 $D'$，使得 $D$ 和 $D'$ 的交集恰好为 $L$，且在 $D'$ 中的积分限与 $D$ 相同。
则可得变量交换的式子：2. 极坐标变换若积分区域 $D$ 在极坐标下是简单区域，且被积函数 $f(x,y)$ 在极坐标下具有简单的表达式，则可以采用极坐标变换的方法进行变量交换。
具体来说，可以设极坐标变换为 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，则有：3. 三角函数变换其中，$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 是雅可比矩阵的行列式，并满足：$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partialx}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}$$4. 其他变换对于一些较为特殊的积分区域和被积函数，也可以采用其他的变换方式进行变量交换。
二重积分交换积分次序的条件
二重积分交换积分次序的条件
双重积分交换积分次序，是非常重要的数学知识。
它不仅用于解决许多变量积分的问题，而且还用于解决其他积分的问题。
那么，双重积分交换积分次序的条件是什么呢？
首先，我们需要考虑双重积分的函数，也就是被积函数。
它是一个双变量函数，可以用
f(x,y)表示，其中x和y分别表示变量。
其次，双重积分可以表示为：
∫∫f(x,y)dxdy or ∫∫f(x,y)dydx
我们可以根据双重积分的函数判断它的积分次序，即是以x为积分还是以y为积分。
根据Leibniz法则，只要函数满足一定的条件，就可以交换积分次序。
双重积分交换积分次序的具体条件有以下几点：
1.双重积分中的函数要满足二阶偏导系数continuous；
2.双重积分被积面积不能有边界上的突变；
3.双重积分积分区域不能为一个半闭合区域。
以上是双重积分交换积分次序的条件，理解这些条件非常重要，可以帮助我们解决许多双重积分的问题。
所以，我们在使用双重积分的时候，应该充分了解双重积分交换积分次序的条件，以便解决许多双重积分的问题。
二重积分 交换积分次序
二重积分交换积分次序交换积分次序是在二重积分中常见的操作，它可以改变积分的次序，从而简化计算过程。
本文将简单介绍二重积分的概念，然后详细阐述交换积分次序的方法和应用。
二重积分是对二元函数在一个有限区域上的积分，可以理解为在平面上对该函数所围成的区域进行求面积的操作。
它可以看作是两个积分的嵌套，第一个积分是对函数在某一固定y值上的积分，第二个积分是对y的范围进行积分。
通常表示为∬f(x,y)dxdy。
在实际应用中，有时候交换积分次序可以简化计算过程。
交换积分次序的方法是通过改变积分的顺序来实现的，即将原来内积分的变量作为外积分的变量。
这种方法需要满足一定的条件，即被积函数在积分区域上是可积的。
当交换积分次序后的积分区域可以简化计算时，这个方法就非常有用。
下面通过一个具体的例子来说明交换积分次序的方法和应用。
假设有一个函数f(x,y)=xy，在区域D上进行积分，其中D是一个矩形区域，其边界由直线x=0，x=1，y=0和y=2所确定。
现在我们要计算∬f(x,y)dxdy。
我们可以按照原来的次序进行积分，即先对x进行积分，再对y进行积分。
内积分的范围是从0到1，外积分的范围是从0到2。
这样我们可以得到：∬f(x,y)dxdy = ∫[0,2]∫[0,1]xydxdy接下来，我们尝试交换积分次序。
交换后的次序是先对y进行积分，再对x进行积分。
内积分的范围是从0到2，外积分的范围是从0到1。
这样我们可以得到：∬f(x,y)dxdy = ∫[0,1]∫[0,2]xydydx通过交换积分次序，我们可以发现在计算过程中被积函数xy的积分部分变得更简单。
在这个例子中，两种次序得到的结果是相同的，但在其他情况下，交换积分次序可能会导致结果的变化。
在实际应用中，交换积分次序可以简化计算过程，特别是当被积函数在新的次序下更容易积分时。
此外，交换积分次序还可以用于证明一些数学定理，解决一些复杂的问题。
交换积分次序是二重积分中常见的操作，可以简化计算过程。
交换二重积分的计算方法
交换二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念之一，它是对二元函数在一个有限区域内的积分。
在实际问题中，我们经常需要对二元函数在一个区域内进行积分，以求得其面积、质心、重心、转动惯量等物理量。
而交换二重积分则是计算二重积分时的一个重要方法，本文将详细介绍交换二重积分的计算方法。
一、二重积分的定义在平面直角坐标系上，设有一个由有限个矩形区域组成的封闭区域D，其中第i个矩形的左下角坐标为(xi-1,yi-1)，右上角坐标为(xi,yi)，矩形面积为ΔSi，则称D为一个简单区域。
若有一个连续函数f(x,y)，则在D上的二重积分定义为：Df(x,y)dxdy=limΔS→0∑i=1nΔSif(xi*,yi*)其中，ΔS表示区域D中第i个矩形的面积，(xi*,yi*)表示该矩形的任意一点。
二、二重积分的计算方法对于简单区域D上的连续函数f(x,y)，我们可以采用以下两种方法来计算其二重积分：1.累次积分法累次积分法是将二重积分转化为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。
具体而言，设D的边界为y=g1(x)和y=g2(x)，则有：Df(x,y)dxdy=∫ab(∫g1(x)g2(x)f(x,y)dy)dx其中，a和b分别为D在x轴上的投影区间的端点。
2.极坐标变换法极坐标变换法是将二重积分转化为极坐标系下的积分，即先将x和y用极坐标表示，再对极角和极径进行积分。
具体而言，设D 在极坐标系下的极角范围为θ1到θ2，极径范围为r1到r2，则有：Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2(∫r1r2f(rcosθ,rsinθ)rdr)dθ其中，r=√(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)。
三、交换二重积分的计算方法在实际问题中，我们有时需要对简单区域D上的函数进行二重积分，但是由于函数表达式较为复杂或积分区域较难处理，使得计算二重积分变得十分困难。
此时，我们可以通过交换二重积分的顺序来简化计算过程。
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(3)在变换下确定u,v的范围△;
把变换代入D的边界曲线中，求出的边界曲线
作图 (4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一：引入变量替换后，化为累次积分 例1：P242习题3（2）
原式 f (u cos4 v, u sin 4 v)4u sin 3 v cos3 vdudv . : 0 u a ,0 v 2
2 2
dx .
2
D1
x2 y2
e
D1
x y
dxdy e
S
x y
2
dxdy e
D2
dxdy
a 1 1 a 2 2a 2 x2 2 (1 e ) ( e dx) (1 e ) 0 4 4
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分
例2
y
1
D
x y 1
u v
v v 1
o
uv
o
1 x
u
例3
y
O
x
二、用极坐标计算二重积分
1.变换
变换T : x r cos , y r sin
O y r
.P(x,y)
x
其中r为极径，为OP与x轴正向的夹角 0 r ,0 2
r 1 ( )
r 2 ( )
,
1 ( ) r 2 ( ).
D
o
D
f ( r cos , r sin )rdrd
d
2 ( ) 1 ( )
A
f ( r cos , r sin )rdr .
②二重积分化为二次积分的公式（２）
③二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
0 2,
0 r ( ).
r ( )
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
0
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
极坐标系下区域的面积
D : 0 r 1, arcsin r
2
O
x
练习：P242习题1（1）
例 5 写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}.
x2 y2 1
rdrd .
D
常见区域D'的确定
y
2
(3) D : x y R
2 2
(如图)
R O R x
r R
2
2
D : 0 2 , 0 r R
题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分
例4：P242习题1（2）
D : 0
y
1
2
, 0 r sin
( x, y ) (2)求出J (u, v) (u, v)
若是设u u( x, y), v v( x, y),求J有两种办法
(i)先求出x x(u, v), y y(u, v)，再求J (u, v) 1 (ii )先求出 , 再求J＝ (u, v) ( x, y ) ( x, y )
f ( x, y)dxdy f [ x(u, v), y(u, v)] J (u, v) dudv.
D
x,y的范围
u,v的范围
要加绝对值
3.利用一般变量替换求二重积分 步骤： ⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;
习惯上：设 x(u, v), y y(u, v) x
§4 二重积分的变量交换
教学内容：1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换 教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换， （广义）极坐标变换） 教学难点：变量变换后积分限的确定
一、二重积分的变量交换公式
1.引理：
2.二重积分的变量替换公式：
定理21.13 设 f ( x, y ) 在 xoy 平面上的有界闭区域 D 上可积，变换T : x x(u , v), y y (u , v)将 uov 平面上由按段光滑封闭 曲线所围成的闭区域 一一 地映成 xoy 平面上的闭区域 D，且满足 (1) x(u , v), y (u , v) 在 上具有一阶连续偏导数 ； ( x, y ) (2) 在 上雅可比式 J (u , v) 0; (u , v) 则有
ri ri i ,
o
r ri ri
i i
i
D
r ri
i
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin ) r drd .
D D
————二重积分化为二次积分的公式
3.D'的确定 把极坐标代入边界得出D'的边界 ①二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图
2 2
r 2 2Rr cos D : , 0 r 2 R cos 2 2 (2) D : x y 2Ry (如图)
2 2
O
R
2R
x
y 2R
r 2Rr sin
2
R
O x
D : 0 , 0 r 2R sin
此时J (r, ) r
2.适用范围 (1)D为圆域或圆域的一部分；
(2)被积函数含 x y 形式。
2 2
3.变换公式
1 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i 2 2 1 ( 2ri ri )ri i 2 ri ( ri ri ) ri i 2
x y 1
例6
例7Leabharlann D : 0 2 0 r R cos
,
例8
计算 e
D
x2 y2
dxdy ，其中 D 是由中心
a 在原点，半径为 的圆周所围成的闭区域.
e
D
x2 y2
dxdy (1 e
x2
a2
)
2
D2
S
例9
求广义积分 0 e
区域特征如图
r ( )
,
0 r ( ).
D
o
D
f ( r cos , r sin )rdrd
( )
A
d
0
f ( r cos , r sin )rdr .
常见区域D'的确定
y
(1) D : x y 2Rx (如图)