第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程

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工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理

工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理

fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中,其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中,电能又转换为别的 形式的能量。
20
2.电动势
下图是一个典型的导电回路, 蓝色部分为导 电媒质,黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外,还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex , D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质,介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略, 可以认为电荷在面上运动,形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动, 形成面电流密度 K , 定义 K v 。 如图所示, db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1.局外场
要维持导电媒质中的恒定电流,就必须有恒定 的电场强度。 (作用:克服运动中的阻力) 在电场的作用下,正自由电荷沿电场强度方向 运动, 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体, 主要是自由电子沿电场相反方向运动。

恒定电场

恒定电场

S
R1 r

R1
电导
G I h ln R2 U R1
3.4.2 多电极系统的部分电导
三个及以上良导体电极组成的系统,任意两个电极之间的
电流不仅要受到它们自身间电压的影响,还要受到其他电极 间电压的影响。电压与电流的关系,不能再仅用一个电导来 表示,需要引入部分电导的概念。
第三章恒定电场
分界面可近似地看作等位面。
例3-3 铁1=5×106S/m,土壤2=102S/m,已知铁中电流J1
与法线的夹角1=895950,求土壤中电流J2与法线夹角。
解:根据
tan1 tan 2

1 2

5 10 6 10 2
5 10 8
当1=895950时,可得 2=8
第三章恒定电场
12
3.2.4 载流导体与理想介质
载流导体外的理想介质中,没有电流 J2=0 ,存在电场E2
D2 = 0
E2 = 0
22 = 0
由分界面衔接条件 J1n=J2n=0。 可知,载流导线内电流和场强 只有切线分量
J1 = Jt E1= E1t = J1t / 1
也就是说,无论导线如何弯曲,电流线和电力线同样弯曲。

6.091020 (C
/ m)2
第三章恒定电场
11
3.2.3 从良导体进入不良导体
设两种导电媒质的电导率12
tan1 1 tan 2 2
J1
1900
J2
20
可见,只要 190,tan1∞,
12
则 tan 20,20 。
电流从良导体进入不良导体时可看为与分界面垂直,
第三章恒定电场
20

3-恒定电场

3-恒定电场

γ2
=
γ1 γ1
+
I’
γ2 γ2
镜像法
γ1 −γ 2 I′ = I γ1 +γ 2
2γ 2 I ′′ = I γ1 +γ 2
实验——用恒定电场实验模拟静电场 用恒定电场实验模拟静电场
模拟法就是应用一种具有中等导电率的媒质代替静电场所 在空间的介质或真空; 在空间的介质或真空;另外一种具有高导电率的导体制成电极 使其形状与形成静电场的导体电极相同。 使其形状与形成静电场的导体电极相同。在模拟电极上加上与 原静电场中电极上电位成比例的电位, 原静电场中电极上电位成比例的电位,于是在导电媒质中形成 恒定电流场。 恒定电流场。 v v 完全相同。 这个恒定电场的 E 与静电场中的 E 完全相同。电位分布也 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。
第3章 恒定电场 章
导体内电场如何求解? 导体内电场如何求解? 1. 2. 3. 4.
恒定电场的特点
导体电位差? 导体电位差?
电荷处于动态平衡状态。 电荷处于动态平衡状态。 导体内电场不为零,表面不是等位面。 导体内电场不为零,表面不是等位面。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动——转化为热能。 转化为热能。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动 转化为热能 对导电媒质以外而言场相对稳定----与静电场相似 相似, 对导电媒质以外而言场相对稳定 与静电场相似,可用静电场 方法求解。 方法求解。 恒定电场周围还有恒定磁场,二者互不激发,均可分别讨论。 恒定电场周围还有恒定磁场,二者互不激发,均可分别讨论。
J 2n

第三章 恒定电场

第三章  恒定电场

能转为电能的装置称为电源。
3.2.2 电源电动势 (Source EMF)
图2.2.1 恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量,与外电路无关。
局外场强
fe Ee q
f e -局外力
返 回 上 页 下 页
第 三 章
恒定电场
总场强
E Ec Ee
J ( Ec Ee )
电源电动势
三种电流:
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义:单位时间内通过某一横截面的电量。
dq I dt
A
返 回 上 页 下 页
第 三 章
恒定电场
3.1.2 电流密度(Current Density)
1. 电流面密度 J 体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 电流
J dS 0
S
E dl 0
l
J 0
E 0
构成方程
J E
返 回 上 页 下 页
结论: 恒定电场是无源无旋场。
第 三 章
恒定电场
3.3.2 分界面的衔接条件(Boundary Conditions) 由
E dl 0
l
J dS 0
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明: 对 J E 两边取面积分
左边 J dS I
S
S U U GU 右边 S E dS S dS l l 返 回 上 页 所以 U RI
下 页
第 三 章
恒定电场
3.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule’s Law) 导体有电流时,必伴随功率损耗,其功率体密度为

工程电磁场第三章恒定电场

工程电磁场第三章恒定电场

第三章 恒定电场3.0 概述1 本章的主要内容(1) 导电媒质中的电流; (2) 电源电动势与局外电场;(3) 恒定电场的基本方程,分界面上的街接条件; (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟; (5) 接地电阻和跨步电压2 恒定电场的知识结构图 (见PPT)3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场一、导电媒质中的恒定电场恒定电场:由分布不随时间变化,但做恒定流动的电荷所产生的电场。

两种情况:1.导电媒质中的恒定电场2.通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。

电场的性质只由净电荷密度的分布决定,而与电荷是否运动无关。

对恒定电流场和静电场,它们的场源电荷的密度都是不变的,所以,这两种场具有相同的性质,都满足相同的场源关系。

如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等,满足相同的边界条件,并且在相同的电位函数定义下,且有相同的电位方程。

如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密度ρ,那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。

只要利用Eγδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。

二、 局外场强与电动势局外场强(局外力设想为一等效场强) q FE e e =电动势 l d qF C l d E C e e⋅=⋅=⎰⎰+-+-11ε局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。

e 与电荷数量即电流无关。

3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式1.电流密度失量(电流面密度矢量)I dtdq t q t ==∆∆→∆0lim电流强度 A 标量 对面而言 通量dS dIS I S =∆∆=→∆0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数δ~某点(面元)单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S⋅=⎰δ电流场——电流线描述电流线密度矢量n e dl dI K = A/m2.欧姆定律的微分形式导电媒质中,由物理学知,每点的电流密度矢量 Eγδ=γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。

第三章恒定电场

第三章恒定电场

2) 横定电场产生的原理
电解溶液中存在着一种局外电场,将正电荷从 负极板推向正极板。
两极板间还存在库仑电场,是有两极板上的电 荷激发的。
当局外电场大于库仑电场,局外电场将从负 极板推移正电荷至正极板。
若局外电场等于库仑电场,则保持平衡 。
图3-1a 蓄电池内的电场
本讲稿第三页,共四十三页
导电媒质中的恒定电场
解: 设介质内半径为R的单位长度的柱面上,流过的电流为I0
J1
I0
2R
R1 R R2
E1
I0
21R
R1 R R2
J2
I0
2R
R2 R R3
E2
I0
22R
R2 R R3

U0
R3EdRI0 2lnR R121lnR R23
R1
2
12
I0
2
212U0
lnR2 R1
1
lnR3 R2
趋於表面分布,可用电流线密度表示。
本讲稿第六页,共四十三页
3.2.3 欧姆定律的微分形式
取一电流管 IJS
电流管压降 UEl
电阻定义
R l U
S I
J E
J与E之关系
J(Eq E0)
恒定电流场与恒定电场相互依存。电流密度与电场E方向一致。 电路理论中的欧姆定律由它积分而得,即 U=RI
本讲稿第七页,共四十三页
表明 1 导体表面是一条电流线。
E 2n 0
E 1n
J 1n 1
0
D2n D1n 2E 2n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有恒定(动态平衡
下的)面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零,导体非等位体,导体表面非等位面。

恒定电流的电场

恒定电流的电场


在各向同性的导电媒质中,电流密度矢量和电场强度的方向相同,都是 正电荷运动的方向,上式可写成矢量形式 这就是欧姆定律的微分形式。 但要注意,面电流密度。 最后必须指出,运流电流不服从欧姆定律。 设在空间一点,电荷的运动 速度是v(米/秒),该点的电荷密度是ρ(库/米3),过该点取一垂直于电 荷运动方向的面积元ds,并沿电荷运动的方向取长度元dl,则体积元dv =dsdl内的电量dq= ρ dsdl ,这些电荷在dt=dl/v的时间内全部流过ds, 由电流强度的定义

说明在分界面上电流密度的法向分量是连续的。
E的边界条件

将 应用于图中的矩形闭合路径上得

说明分界面上电场强度的切向分量是连 续的。
电场方向的关系
3—5 恒定电场与静电场的比较

通过前面几节的讨论,我们发现导电媒 质中的恒定电场(电源外)与电介质中的静 电场(体电荷密度为0的区域)在许多方面 有相似之处。为了清楚起见,列表比较 如下。

有时电荷在一很薄的导体片上流动,称为面电流,如 图 所示。这时,与电流方向垂直的横截面积s近似为零, 面积元Δ s变为线元Δ l。为了描述面电流在横截面上 的分布,取面电流密度Js的定义为

面电流密度的方向仍然是正电荷运动的方向。为区别 起见,J又称为体电流密度。
3—2欧姆定律

实验证明,导体的温度不变时,通过一段导体的电流强度和导体 两端的电压成正比,这就是欧姆定律
第三章恒定电流的电场


电荷在电场作用下的宏观定向运动就形成电流。不随时间变化的电流称为 恒定电流(直流)。随时间变化的电流称为时变电流(交流).如果在一个导 体回路中有恒定电流,回路中必然有一个推动电荷流动的恒定电场.这 是静电场以外的又一种不随时间变化的电场。这个恒定电场是由电源产 生的。我们知道,在静电场中,导体内部的电场强度等于零,但通有恒 定电流的导体内部的电场强度却不等于零。因此,有关导体在静电场中 的一些结论,例如电力线必须与导体表面垂直,导体表面是一个等位面 等概念,在恒定电流的电场中是否仍然成立,就需要重新研究。 导体表面上的恒定电荷分布在导体周围的电介质中也要产生一个恒定的 电场,达与静电场没有什么区别。 本章主要研究导体中恒定电场的基本性质,同时,还要由此推导出直流 电路理论中的一些基本定律,如欧姆定律,焦耳定律,基尔霍夫电流定 律和电压定律等。 当导体中有恒定电流时,导体内外还有磁场,这将在第四章中讨论。

电磁场-恒定电场

电磁场-恒定电场

由静电比拟的对偶关系
ε − σ , c0 − G0 , q − I
可以推得相同边界情况下的恒定电场的解。故原问题的解为:
2π U 0 (σ 1 + σ 2 ), b−a U ab ˆ, E = 2 0 r r (b − a ) 2π ab G0 = (σ 1 + σ 2 ) b−a 同上节例题2计算的结果相同。 I0 =
代入上式

⎧ C 1 ln a + C 2 = U ⎨ ⎩ C 1 ln b + C 2 = 0
U ⎧ ⎪ C 1= a ln ⎪ ⎪ b ⎨ ⎪ C = − U ln b a ⎪ 2 ln ⎪ b ⎩
解得

U U U U b ϕ= ln r − ln b = (ln b − ln r) = ln a a b b r ln ln ln ln b b a a
25 2014‐10‐23
可推得电容器内极板的电量、电容器内部的场强和电容器的电 容分别为:
q= 2π U 0 (ε1 + ε 2 )ab b−a U ab ˆ E= 2 0 r r (b − a )
(ε1 + ε 2) q 2π ab = U0 b−a
ε1 ε2
C=
图2-8 填充两种介质 的同心球壳
σ1 σ2
图2‐5 填充两种导电媒质的同心 球壳
17 2014‐10‐23
同理:在r = b处,ϕ 2 |r =b = 故:
C C + D = 0,有D = − , b b 1 1 ϕ2 = C ( − ) r b
在导电媒质分界面上, ϕ = ϕ ,有A = C , 故 1 2
1 1 ϕ = ϕ1 = ϕ2 = A( − ) r b A ∂ϕ ˆ 2 =r r ∂r b b A b-a U0 = ∫ Er dr =∫ 2 dr = A a a r ab abU0 由此可得:A = b-a ˆ E = E1 = E2 = −∇ϕ = −r
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一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律:
在孤立系统中,总电荷量保持不变。
即:电荷既不能产生,也不能被消灭,它只能 从一个物体转移到另一个物体,或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
(3-3)
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
:运动电荷的体密度
即:
J d
S
dV (3-19)
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述,
又称电流连续性方程(的积分形式)。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
(3-29)
:导电媒质的介电常数,
:导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中,由于、是坐标变量的函数 (只要/不是处处为常数),体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中,由于、处处为常数,( ) 0 故=0,体积电荷为0,即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前,当电流刚进入导体时,
即也是保守场(无旋的)。
所以,在电源以外,恒定电场满足:
E d l 0 (3-24)
C
E 0
(3-25)
21
因此,恒定电场也可以用电位梯度表示:
E (3-26)
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
推导:
J E (欧姆定律的微分形式)
J
(EE)对于E均匀媒质,(为3-常26量)
电荷守恒定律 此闭合曲面单位时间减少的电荷 dq'。
即闭合曲面单位时间内电荷的增量为 dq。
亦即: dq dq'
dt dt
6
设(在有电荷流动的导体内任一)
闭合曲面S内的电流体密度为 J,
闭合曲面S内的电流为I,
n
S dS
J
dq' dq dq
则:
dq dq' dt dt
I dq dq' I ' dt dt
8
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
dq内 0
J dS 0
dq内 0
J dS 0
dt
S
dt
S
S
dq内 0 dt
J线
电流线:
发出于正电荷减少的地方,
终止于正电荷增加的地方。
9
2、微分形式
积分形式
微分形式
J
d
S
dV(3-19)
S
t V
AdV A dS 高斯散度定理
V
S
对于良导体,这个过渡过程是非常短暂的。
30
t 0
J 0
(3-23)
15
★恒定电流的条件
积分形式 微分形式
SJ d S 0
J 0
(3-22) (3-23)
任意时刻: 流进任意封闭面的电量,与 流出该封闭面的电量相等。
16
恒定电流条件
dq =0 dt
★稳恒电流的电路必须是闭合的。
J dS 0 ★导体表面电流密度矢量无法向分量。 S
根据电荷守恒,在有电流分布的空 间做一闭合曲面,单位时间内穿入、 穿出该曲面的电量等于曲面内电量 变化率的负值。
5
在有电荷流动的导体内
任取一闭合曲面S,
设单位时间dt内通则通过dS的电流I为: I d q dt
(3-1)
根据
单位时间向外流出的电荷dq应等于
即:
V V
Jd
V
J
t
V dV
dV 0
t
10
V
J
t
dV
0
要使该积分对任意体积都成立,
只有被积函数为0,即
J
0
t
(3-21)
(电流连续性方程的微分形式)
11
3、物理意义 如果闭合曲面S内有正电荷积累起来, 则流入S面内的电荷量多于流出的电荷量; 反之,如果S面内的正电荷减少, 则流出的电荷量多于流入的电荷量。
j
1
s1
s2 2
S
s3
若节点处无电荷积累
J d
S
d
q
j
3
dV 0
S
d t t V
即: I1 I2 I3
19
稳恒电流是连续的, 其电流线总是闭合曲线。
20
由以上分析可知: 尽管电流是电荷运动形成的,
但由于电荷的分布不随时间改变,
因而由分布电荷产生的库仑场 必定同 静电场具有相同的性质,
12
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
13
二、恒定电场的基本方程
★恒定电流:不随时间变化的电流。 ★恒定电场:维持恒定电流的电场。
14
即: 0
J
d
t S
dV
S
t V
(3-19)
J dS 0
S
0
(3-22)
J 0
(3-21)
当导体中任意闭合曲面满足上式时,闭合曲 面内没有电荷被积累起来,此时通过导体截 面的电流是恒定的——恒定电流的条件。
17
电流线连续地穿过 闭合曲面包围的体 积,稳恒电流的电 流线不可能在任何 地方中断,永远是 连续的曲线。
j1 s1 S
j s2 2
s3 j
3
18
j
dq dt
( j2s2
j3s3 j1s1)
J 0
24
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
25
三、导电媒质内的体积电荷
恒定电场中不均匀的导电媒质内有可能积累电荷,
其体积密度为:
D (E)
[ ( J )] (J )
恒定电场
J
(
)
J
0
(
)
J
(3-29)
即便是均匀导体,其体积电荷也不为0。
根据电流连续性方程,

J
(E)
(
D)
t
D
D
(
)
t
0 均匀媒质
28
t
t
积分得: ln t C
tC
e
e
t
eC
t
t
0e 0e
0 eC,是的初始值(t 0)
29
对大多数金属导体,=0,
第三章 恒定电场
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
电流密度 欧姆定律和焦耳定律 恒定电场的基本方程 分界面上的边界条件 恒定电场与静电场的比拟 接地电阻
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
2
§3-3 恒定电场的基本方程
() 2
0
J 0 (3-23)
即: 2 0
(3-27)
23
静电场的基本方程: 恒定电场的基本方程:




Edl 0 C DdS
S
q
E d l 0(电源外) C J dS 0
S

分 形 式
E
或(0 E
D

E
或0(E(电 源外))
纯金属的电阻率 :10-8W .m
电导率 1 :108W-1 .m-1
驰豫时间
0
8.85 1012 108
~ 1019 (s)
例如铜的=10-19s。
这说明电流一进入导体,便迅速向导体表面扩散, 直至在导体表面积聚的电荷分布使电场和电流进入 稳恒状态,于是边界上的电荷分布不再变化,导体
进入恒定电场状态,其内部 =0。
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