《计数原理》中职数学(基础模块)下册10.1【高教版】
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10.1 计数原理
运用知识 强化练习
邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒， 共有多少种投法？
解 分成三个步骤，每个步骤投一封信，分别均有4种方法．
应用分步计数原理，投法共有
4 4 4 64（种）．
思考:邮政大厅有3个邮筒，现将四封信逐一投入邮筒， 共有多少种投法？
第十章 概率与统计初步
10.1 计数原理
概率的起源
• 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由古尔德从拉丁文翻译出来的。
• 卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如： 《谁，在什么时候，应该赌博？》、
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10.1 计数原理
理论升华 整体建构
说出分类计数原理和分步计数原理的区别？
分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中 的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）．
分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能 完成这件事（一步不到位）．
确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能 否一次完成 ．
10．1 B组（选做）
作业
实践 用分类或者分步计数原理解释 调查 生活中的实例
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10.1 计数原理
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？•我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
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10.1 计数原理
运用知识 强化练习
1. 两个袋子中分别装有10个红色球和6个白色球．从中 取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？
2. 大连市电话号码为八位数字，问电话86674802 (归属8667支局)所在支局 共有多少个电话号码？
难读到老师的表情。认真听讲不单纯是指听老师说的话，把握老师的表情和语调之类的小细节也是很有必要的。说话比平时更用力，或者表情严肃地强调的那个部分几乎百分之百地会出现在考试中。但是如果坐在后面，那种重要的提示就全都错过了。
•
与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。
N 9 8 10 27（种）．
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10.1 计数原理
巩固知识 典型例题
例2 旅游中专1304班有男生26人，女生20人，若要选男、 女生各1人作为学生代表参加学校伙食管理委员会，共有多少 种选法？
解 这件事可以分成两个步骤完成： 第一步：从26名男生中选出1人，有 k1 26 种选法； 第二步：从20名女生中选出1人，有 k2 20 种选法． 由分步计数原理有
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
《为什么亚里斯多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博 呢？》等。
• 然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。这 些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由卡尔达诺提出的 问题。卡尔达诺是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。 问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。
4 17 6 27(种)．
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10.1 计数原理
创设情境 兴趣导入
从唐华、张凤、薛贵3个候选人中，选出2个人分别担 任班长和团支部书记，会有多少种选举结果呢？
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10.1 计数原理
动脑思考 探索新知
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有 k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有 kn 种方法，那么完
N 26 20 520（种）． 即共有520种选法．
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10.1 计数原理
运用知识 强化练习
1．书架上有7本数学书，6本语文书，4本英语书．如果从 书架上任取一本，共有多少种不同取法？
2．旅游中专1401班的同学分为三个小组，甲组有10人，乙组 有11人，丙组有9人．现要选派1人参加学校的技能竞赛活动，有多少种不 同的方法？
N k1 • k2 •L k• n（种）．
上面的计数原理叫做分步计数原理．
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10.1 计数原理
巩固知识 典型例题
例1 三个袋子里分别装有9个红色球2，8个蓝色球和10个 白色球．任取出一个球，共有多少种取法？
解 取出一个球，可能是红色球、蓝色球或白色球． 第一类：取红色球，从9个红色球中任意取出一个，有 k1 9 种方法； 第二类：取蓝色球，从8个蓝色球中任意取出一个，有 k2 8 种方法； 第三类：取白色球，从10个白色球中任意取出一个，有 k3 10 种方法． 由分类计数原理知，不同的取法共有
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
2020/3/2
教学资料精选
16
谢谢欣赏！
2020/3/2
教学资料精选
17
•
2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
成这件事的方法共有
N k1 k2 L kn（种）．
上面的计数原理叫做分类计数原理．
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10.1 计数原理
动脑思考 探索新知
一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有
k1种方法，完成第2个步骤有 k2 种方法，……，完成第n个步骤有 kn
种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成 这件事的方法共有
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创设情境 兴趣导入
由大连去北京可以乘火车，也可乘汽车，还可以乘飞机． 如果一天之内火车有4个班次，汽车有17个班次，飞机有6个 班次，那么，每天由大连去北京有多少种不同的方法？
解决这个问题需要分类进行研究．由大连去北京共有三类方案．第一类 是乘火车，有4种方法；第二类是乘汽车，有17种方法；第三类是乘飞机， 有6种方法．并且，每一种方法都能够完成这件事（从大连到北京）．所以 每天从大连到北京的方法共有
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10.1 计数原理
自我反思 目标检测
双色球一等奖的概率?
(双色球玩法:从33个红球不重复选择6个球,从16个篮球选一个,都选中为一等奖)
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10.1 计数原理
继续探索 活动探究
读书 部分 阅读教材
书面 教材习题10．1 A组（必做）
作业
《计数原理》中职数学基础模块下册10.1ppt课件2【语文版】
每一步得到的只是中间结果，
每类办法都能独立完成
这件事情。
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
各类办法是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是相关联的
再见
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方 法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这 件事共有
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
例题 解析
分类计数原理
例1 书架上层有不同的数学书 10本，中层有不同的语文 书 11 本，下层有不同的英语书 9 本.现从中任取一本书，问 有多少种不同的取法？
有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这
件事共有：N m1 m2 mn 种不同的方法.
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
区别二
区别三
加法原理
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
计数原理教学设计
《计数原理》授课班级：机电1103班 46人授课时间：2012年12月3日一、设计理念：1.1 职高数学教学的困难：进入职校的学生中，大部分是中考分流而来，数学基础参差不齐，学习数学的兴趣、信心、能力等都大不相同，如何在职高数学课堂教学中实施“有效教学”，满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备？1.2有效教学的界定：不同的教学观产生不同的有效教学观，从操作的层面把有效教学界定为：教师在达成教学目标、促进学生发展方面获得成功的教学行为．它包括教的有效性和学的有效性及其交互作用，就是说，有效的教学应能激发学生的兴趣与动机、促进学生的进步与发展，达成教学目标的高效率、优效果、强效益。
如何打造高效课堂，实现有效教学？国家数学新课程标准的实施，为职业高中数学课程改革指明了方向，尤其是其中“大众数学”、“数学的趣味性”和“数学的应用性”这三个教育理念应作为打造高效课堂，实施职高数学“有效教学”的主要基本理念。
二、教材分析:教材选自高等教育出版社中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》基础模块下册，第十章第一节第一课时。
两个计数原理是在大量实践基础上归纳出来的基本规律，它源于生活，融于专业，体现了数学的应用魅力。
计数原理可以帮助学生从简单数数提升到方法提炼，它是加法和乘法运算的推广，也是概率统计初步的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。
三、教学目标:1.知识目标：正确理解分类计数原理和分步计数原理；掌握计数原理基本方法。
2.能力目标：锻炼学生提炼数学信息的能力；提高学生会用计数原理解决一些简单的实际问题的能力。
3.情感目标：通过自主学习、合作学习，培养学生良好的学习品质；通过认识计数原理与生活和专业的内在联系，体会数学的应用美。
四、教学重难点:重点：运用两个计数原理解决实际问题。
难点：两个计数原理的区别。
关键点：正确辨别并准确进行分类分步。
五、学情分析:1.认知水平：已有生活经验使用计数原理，但缺少思维上升。
《计数原理》中职数学基础模块下册10.1ppt课件1【语文版】
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但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
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2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
特征：每类方式中每一种方法都能独立完成这件事
完成哪件事
是否一步到位
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巩固知识 典型例题
例1 三个袋子里分别装有9个红色球，8个蓝色球和10个
白色球．任取出一个球，共有多少种取法？ （每个球都有编号，任意两个同色球都是不同的球） 解 取出一个球，可能是红色球、蓝色球或白色球．
完成什么事？
解 这件事可以分成两个步骤完成：
男、女生各一人
第一步：从26名男生中选出1人，有 k1 26 种选法；
第二步：从20名男生中选出1人，有 k2 20 种选法．
能否一步完成？
由分步计数原理有
N 26 20 520（种）．
否
即共有520种选法．
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练习
有不同颜色的上衣5件，裤子3条
1 从中选一样送给某人，共有
5+3=8 种不同的选法 --------------------
2 从中选一件上衣和一条裤子
5*3=15 送给某人，共有 --------------------
种
不同的选法
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10.1 计数原理
语文版中职数学基础模块下册10.1《计数原理》word教案.pdf
【课题】10．1 计数原理
【教学目标】
知识目标：掌握分类计数原理和分步计数原理． 能力目标：培养学生的观察、分析能力．
情感目标：让学生在数学学习中感悟生活，在轻松的氛围中获得知识。
【教学重点】掌握分类计数原理和分步计数原理． 【教学难点】区别与运用分类计数原理和分步计数原理． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】1课时． 【教学过程】
n k +（种）上面的计数原理叫做分类计数原理
1
分类计数原理有些教科书上写作加法原则．
2本章中，袋子中的球除了颜色不同外，外形、重量等完全相同。
每个球都有编号，任意两个同色球都是不同的球。
k•（种）
n
分步计数原理
板书设计：
计数原理
一、n
k +（种）各类办法间相互独立
总结：一步到位，分类计数，类类相加 n k •（种）各类办法间相互依存
总结：分步完成，步步相乘
总结：分类和分步的区别：看是否能一步完成，能就是分类，需多步就是分步计数 【教学反思】
007
遥望远方，思绪蔓延。
妹妹，你在哪里啊？你在哪里？你可听到远方姐姐的呼唤！望断天涯，路漫漫，既已相遇，何忍分离。
中职数学基础模块下册《计数原理》word说课稿
计数原理说课稿尊敬各位专家，老师们大家好！今天我要说课的内容是《计数原理》。
我将从以下六个方面说课。
一、教材分析：1 教材地位和作用：本节是人教版基础模块下册第十章第一节。
两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律，它来源于生活服务于生活，体现了数学的魅力。
另一方面，两个计数原理也是学生学习第十章第二节概率初步的基础，因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。
2教学目标计数原理共安排两课时，这是第一课时。
根据新课程标准，本节教材的地位和作用，以及学生的认知规律和实际情况，制定了如下教学目标。
知识与技能：通过实例归纳出分类计数原理和分步计数原理，能根据具体问题的特征选择恰当的原理解决一些简单的实际问题。
过程与方法：由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，学生体验到发现数学，运用数学的过程。
情感态度与价值观：体会知识来源生活，并为生活服务的道理，以此激发学生学习数学的兴趣。
体现数学实际应用和理论相结合的统一美。
3教学重点与难点根据对本节教材地位作用的认识，以及教学目标的确定，我确定了本节课的重点和难点。
重点：分类加法原理与分步乘法计数原理概念的推导及简单应用。
难点：正确运用分类加法原理与分步乘法计数原理。
二、学情分析：在目前学生如果遇到与计数有关问题，基本采用列举法，在初中概率学中也学过树状图，也可解决这种问题。
但当这个数很大时，列举法就很难实施。
另一方面，学生数学基础相对欠缺，学习兴趣不浓。
三、教法与学法分析：1 教学方法结合本节教材及学生的认知情况，本节课我采用了问题式、引导探究式为主的教学方法。
2 学法指导根据教材内容以及学情分析本节课主要教给学生“用眼看，用脑想，用手画，动口说，善提炼，勤专研”的问题式自主式学习方法。
3 教学辅助手段：为了提高课堂效率，，节省板书时间，充分利用多媒体教学。
四、教学环节：我设计了六个环节，依次计划用时7分钟，8分钟，7分钟，9分钟，,10分钟，, 2分钟共用时43分钟，留2分钟给学生消化课堂内容。
高教版中职数学(基础模块)下册10.1《计数原理》word教案
第三类选吃一个汤菜有2种选择.
所以选吃一样菜共有N=5+3+2=10种选择.
弄清做这件事实一步做完还是分布完成.
南通工贸技师学院
教学内容、方法和过程
附记
【举一反三】
某班共有4个小组，其中第一小组8人，第二小组9人，第三小组6人，第四小组7人，现要求该班选派一人参加某项活动，共有多少种不同的选法？
分析：思考电灯发光是一步可以完成还是需要分步完成.
解：图（1）电灯发光，只要其中的一个电键闭合即可，做完这件事只需一步，故用分类计数原理，共有N=2+3=5种方法.
图（2）电灯发光，分两步完成，第一步先闭合电键组A中的一个电键，第二部闭合电键组B中的一个电键，故用分步计数原理，共有N=2×3=6种方法.
二、课堂活动
【例1】学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤菜.若你只吃一样菜，你有多少种选择？
分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、做这件事可以分成几类？4、每类中分别有几种不同的方法？5、完成这件事共有多少种不同的方法.
解：选吃一样菜共可分成吃素菜、荤菜、汤菜三类：
第一类选吃一个素菜有5种选择；
【举一反三】
某农户有3种西瓜种子，5种香瓜种子，2中丝瓜种子.
（1）现任取一种瓜种试种，共有多少种不同的方法？
（2）现各取一种瓜种试种，共有多少种不同的方法？
是分步计数原理还是分类计数原理关键看做这件事是一步可以做完还是分步才能做完.
南通工贸技师学院
教学内容、方法和过程
附记
三、课堂检测
１．书架上层放有４本不同的数学书，中层放有５本不同的物理书，下层放有６本不同的英语书，从中任取一本书的不同取法的种数是（ ）
【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】 11
【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】用样本估计总体【教学目标】知识目标：(1)了解用样本的频率分布估计总体．(2)掌握用样本均值、方差和标准差估计总体的均值、方差和标准差．能力目标：培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观．【教学重点】计算样本均值、样本方差及样本标准差．【教学难点】列频率分布表，绘频率分布直方图．【教学设计】均值、方差和标准差是用来反映随机变量的统计规律的某些层面的数字指标即数字特征．用样本的数字特征去估计总体的数字特征是统计的重要思想方法．在教学中要向学生指出为什么要从总体中抽取样本．通过例题的教学，让学生体会用样本估计总体的思想．在教学中应向学生指出用样本估计总体的具体方法是：通过随机抽样，计算样本频率；利用样本频率估计总体概率．样本的容量越大，对总体的估计也就越精确．在制作一组数据的频率分布表时，决定组距与组数是关键，在一般情况下，数据越多，分组的组数也就越多．频率分布表和频率分布直方图是频率分布的两种不同的表示形式，前者准确，后者直观，两者放在一起，使我们对一组数据的频率分布情况了解得更清晰．均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度．方差和标准差在比较两组数据波动大小时，这两个量是等价的．标准差的优点是其度量单位与原数据的度量单位一致，有时比较方便．例2从选拔射击选手出发，巩固了均值的概念，使学生容易掌握均值的计算方法和明白均值的实际意义．特别应向学生强调说明均值的作用．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图10－4频率分布直方图的横轴表示数据分组情况，以组距为单位；纵轴表示频率与组距之比．因此，某一组距的频率数值上等于对应矩形的面积． 【想一想】各小矩形的面积之和应该等于1．为什么呢？【新知识】图10－4显示，日产量为344~346件的天数最多，其频率等于该矩形的面积，即31333.03111.0≈=⨯． 根据样本的数据，可以推测，去年的生产这种零件情况：去年约有31的天数日产量为344~346件．频率分布直方图可以直观地反映样本数据的分布情况．由此可以推断和估计总体中某事件发生的概率．样本选择得恰当，这种估计是比较可信的．如上所述，用样本的频率分布估计总体的步骤为： (1) 选择恰当的抽样方法得到样本数据；(2) 计算数据最大值和最小值、确定组距和组数，确定分点并列出频率分布表；(3) 绘制频率分布直方图；(4) 观察频率分布表与频率分布直方图，根据样本的频率分布，估计总体中某事件发生的概率．【软件链接】利用与教材配套的软件（也可以使用其他软件），可以方便的绘制样本数据的频率分布直方图，如图10－5所示．图10−5*运用知识强化练习)n x +均值反映出名学生，一次数学测验的成绩分别为： n x ，，，那么)n x +(n x+-+-(6377.73)+-(8677.73)班的考试成绩比B班的波动小，因此班同学的学习成绩更稳定，总体看比B班的成绩好．x(+-n③ 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键4 ，最后依次按键4 、 =，显示样本标准差为：s =8. 6． （4）在显示样本标准差的基础上，依次按键：2x 、 ＝ ，显示样本方差为：3.732s ．【软件链接】(1) 依次输入数据(如图10－6)．图10－6（2）如图10－7所示，求样本均值时，在数据空白单元格(如C6)内输入“样本均值”，在“样本均值”右侧空单元格(如D6)内输入“=AVERAGE （A1：A10）”，按回车键；求样本方差时，在数据空白单元格(如C7)内输入“样本方差”，在“样本方差”右侧空单元格(如D7)内输入“=VAR （A1：A10）”，按回车键；求样本标准差时，在数据空白单元格(如C8)内输入“样本标准差”，在“样本标准差”右侧空单元格(如D8)内输入“=SQRT （D7）”，按回车键．图10－7【教师教学后记】。
计数原理教学设计(定稿)
《计数原理》（教学设计）《计数原理》教学设计基于物联网的智慧教室，它包括了活动的连体课桌椅、平板电脑、灵活切换的双屏投影设备；超星学习通平台、APP；任务驱动视频、微课视频；可操作的Storyline课后作业资源包。
智慧教室学习通平台+APP 课中微课视频课后微课视频任务驱动视频StoryLine作业资源包7.教法学法教法：运用了创设情境和问题引导教学法，秉承着以学生为主体、教师为主导、项目为主线的原则，并充分运用信息化手段辅助。
学法：采用了任务驱动法、合作学习法和归纳学习法，最大限度地发挥学生主体地位。
8.教学流程1.教师在“学习通”平台上创建班级，邀请学生加入，并发布通知，内容为：下周，全班同学将去A市地铁公司下属的地铁站见习，由老师带领学生统一出发。
路线如下：由于需要制定计划，现请同学们查询整个出行过程共有几种不同的方法。
2.根据学生讨论中存在的困惑，提出以下两个问题：（1）调查由本市到A市火车站有几种出行方式（自驾除外）？每种出行方式有几个班次？（2）调查由某酒店到A市地铁公司有几种不同的出行方式？根据课前任务导入：昨晚我已将任务发到学习通上，请同学们帮忙查询出行方式。
接下来我在学习通平台上抽一位同学，来分享一下他的查询结果。
那么，我们一共有几种不同的方法呢？引出分类计数原理的概念：一般地，完成一件事有，有n类方式。
第1类有k1种方法，第2类有k2种方法，⋯，第n类有k n种方法，那么完成这件事的方法共有N=k1+k2+⋯+k n（种），这个计数原理叫做分类计数原理，又叫做加法原理。
特点：各个方法相互独立，一步到位，用加法。
13minDAY 2：学生由某酒店到A市地铁公司。
经调查，线路如下：那么，从酒店到地铁公司总共有几种不同的出行方式呢？我请同学分享一下昨晚的查询结果。
教师：放映PPT，选学生分享昨晚的查询结果，并将答案填入幻灯片中。
学生：回答问题并思考总共有多少种不同方案。
让学生呈现昨晚的调查结果，是对课前任务的一种反馈，同时，由学生来汇报可增加真实感。
101《计数原理》教学反思
10.1 《计数原理》教学反思本节课是高教版基础模块下册第10章概率与统计初步10.1计数原理，“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决.这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终.学生在初中学过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”.所以这节课我主要是教会学生归纳、总结出加法原理，类比得到乘法原理.知识内容由浅入深、螺旋上升.整节课围绕着“什么事——怎么做——怎么算”这条主线来突破教学难点.而在教学设计上又有不同的侧重点，因为加法计数原理计算比较容易掌握，所以我把侧重点放在“怎么做上”.而在乘法计数原理教学中，因为有了理解加法原理的基础，所以我把侧重点放在“怎么算”上.用例题的变式推广到一般情况和简单的综合运用，最后让学生准确运用两个原理.现将我在这节课备课过程中的一些尝试和课后反思进行总结.一、情境引入的尝试和反思1.情境引入的尝试自我认为很贴近学生生活的情境引入，在不断的修改和反思中，发现了其中的不足.我设计第一个问题的初衷是让学生初步了解分类加法计数原理，即完成一件事，可以分为两类.但在第一个问题中并没有体现这点，因为教室从一楼到二楼只有一种方式到达，也就是步行楼梯，只不过是有多少处楼梯的问题，并没有体现出完成一件事情，可以有两类不同的途径.而我设计第二个问题的初衷是使学生初步了解分步乘法计数原理，即完成一件事情，需要两个步骤.但在第二个问题中，从一楼到五楼需要的是4个步骤，显然不能帮助学生很好地突破概念学习难点.2.情境引入的修改情境引入是数学教学的重要环节，引用的例子应是学生熟悉的、急着去解决的实际问题案例，最好是利用课本的例子.因此我以“学生到阶梯教室上课，不好找位置”作为切入点.解决的最好办法就是给座位编号.接着提出两个问题.问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2：用前6个大写英文字母和1到9九个阿拉伯数字，以A1、A2、B1、B2……的方式给教室座位编号，总共能编出多少种不同的号码？这两个问题实际上都是一些计数问题，都是计算完成一件事共有多少种不同的方法数.我们今天将要学习的分类计数原理和分步计数原理就是为了解决这类问题的.计算完成一件事共有多少种不同方法，我们应该怎样做呢？(启发学生思考)这就好比我要你去完成一件事，你首先想到的是什么？(什么事)然后想到的又是什么呢？(怎样做)在分析的过程中我们才知道怎样完成这件事，然后才是计算完成它的所有方法数(怎么算).今天，我们的学习将从这三方面去展开.(板书：1.什么事；2.怎么做；3.怎么算)这样设计的目的是紧紧围绕两个计数原理的定义展开，简单直接，明暗线分明、主线突出.3.情境引入的反思情境引入紧绕学习内容，目的性很强，但并不是十分贴切学生生活，只是从学生找位置有点手忙脚乱来要求学生给座位编号.如果是在教室上课，就不存在学生找不到位置的问题，而学生给座位编号的方式会有很多种.问题1、2的设计显得牵强，因为一个班学生人数50人，但对于问题1而言，最多可编号36个，显然问题1在设计上还可以更好.二、类比教学的尝试和反思1.类比教学的尝试类比教学在本节课教学上特别突出，我认为这节课有两个地方要用类比思想.一是由加法原理的两类方式类比到n类方式和乘法原理两个步骤类比到n个步骤；二是从加法原理类比到乘法原理.因此我在教学上设计了以下两道题目.题目1：书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书.从书架的第一层或第二层上任取1本书，有多少种不同的取法？题目2：书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书.第三层放有3本英语书，从书架的第一层或第二层或第三层上任取1本书，有多少种不同的取法？在这两道题目的基础上，推广到n类方式，然后再类比学习乘法原理及其推广，学生比较容易接受.2.类比教学的修改我在磨课过程发现，虽然类比教学设计上不错，但出现时间不够，内容安排重复、啰嗦的不足.因此我进行了修改，先学习分类加法计数原理，再类比学习分步乘法计数原理，最后通过一道课本例题“书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书.第三层放有3本英语书，(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的每层各取1本书，有多少种不同的取法？”将两个原理进行推广.3.类比教学的反思课后与一些教师进行交流时，他们提到类比教学对解决这两个原理起到了很好的作用，但也限制了学生思维的发展，相当于是学生模仿分类加法计数原理定义来套出分步乘法计数原理，这样没有真正引导学生探究出定义并理解乘法原理.如何真正将类比教学和学生思维充分发展结合是下一步教学改进的重点.三、例题选择的尝试和反思1.例题选择的尝试例题的选择是一节课内容的提升，在学习了两个计数原理定义后，我安排了这道课本例题：书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书，(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的每层各取1本书，有多少种不同的取法？这道例题起到了巩固知识的作用，而且难度不大，学生很好掌握.2.例题选择的修改这道例题安排上没什么问题，但是没有体现出学生是否真正掌握知识点并从例题中提升能力，所以我把这例题删掉，改为让学生结合生活实际情况，举出加法、乘法计数原理的例子.这样更贴近学生生活，更能发展学生的思维，更能体现学生对知识的掌握情况.最后再把这道例题进行改编，将加法、乘法计数原理结合运用，先分类再分步，这样学生能力就能得到真正的提升.3.例题选择的反思让学生举出生活中加法、乘法计数原理的例子，学生不可避免地举出一些不符合要求的例子，教师该怎么样来把控？如何引导？该不该解析一些根本就不着边际的例子？值得我认真思考.以上是我对这节课教学的一些想法，仅供各位同行参考与借鉴.。
中职高考数学一轮复习讲练测专题10-1 计数原理(讲)(含详解)
专题10.1 计数原理【考纲要求】1. 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题．2.了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题．3．了解组合数的性质．【考向预测】1. 计数原理的应用2. 排列数的应用3. 组合数的应用【知识清单】1. 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋m n__种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·m n__种不同的方法．重要结论分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2.排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A m n__表示．(3)排列数公式：A m n＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝__1__．3.组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C m n__表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，这里规定Cn＝__1__．(4)组合数的性质：①C m n＝__C n－mn __；②C m n＋1＝__C m n__＋__C m－1n__．重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．【考点分类剖析】考点一计数原理例1．6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为()A．70B．60C．50D．40例2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为__ __．(用数字作答)例3(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有__ __种不同的报名方法．【变式探究】1.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__ __种(用数字作答)．2.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有()A．320种B．360种C．370种D．390种考点二两个计数原理的综合应用例1．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有()A．512B．192C．240D．108例2．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有()A．48种B．72种C．96种D．108种【变式探究】1.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24种B．48种C．72种D．96种2.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个()A．10B．11C．12D．13考点三排列问题——自主练透例1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__ __(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__ __(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__ __(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__ __(5)全体排成一排，男生互不相邻；__ __(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__ __(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__ _(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__ _【变式探究】1. 某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__ __种不同的调度方法．(用数字填写答案)2.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()A．36种B．48种C．56种D．72种考点四组合问题——师生共研例1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．49C．56D．28例2.福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有()A．15种B．18种C．20种D．22种【变式探究】我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为()A．30B．60C．90D．120考点五排列、组合的综合应用例1.(1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__ __种．(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A．16B．24C．8D．12例2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96例3.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__ __②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__ __③平均分成三份，每份2本；__ __④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__ _；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__ __⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__ __⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．_ __【变式探究】1. 某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有__ __种．2.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A．36种B．42种C．48种D．60种3.为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有__ __种．专题10.1 计数原理【考纲要求】1. 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题．2.了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题．3．了解组合数的性质．【考向预测】1. 计数原理的应用2. 排列数的应用3. 组合数的应用【知识清单】1. 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋m n__种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·m n__种不同的方法．重要结论分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2.排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A m n__表示．(3)排列数公式：A m n＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝__1__．3.组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C m n__表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，这里规定Cn＝__1__．(4)组合数的性质：①C m n＝__C n－mn __；②C m n＋1＝__C m n__＋__C m－1n__．重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．【考点分类剖析】考点一计数原理例1．6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为(C) A．70B．60C．50D．40[解析]C46＋C36＋C26＝50或C46·A22＋C36＝50．故选C．例2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为__12__．(用数字作答)[解析]由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A，有6种；第二类，甲单独在A，则两人在B有C23＝3种或两人在C有C23＝3种，共有6种，共12种．例3(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B)A．24B．18C．12D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有__120__种不同的报名方法．[解析](1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．【变式探究】1.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__36__种(用数字作答)．2.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有(B)A．320种B．360种C．370种D．390种[解析] 1.第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．2.第一步安排周五2名，有C26＝15(种)方法；第二步安排周一至周四，有A44＝24(种)方法，故不同的安排方法共有15×24＝360种，故选B．考点二两个计数原理的综合应用例1．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( D )A ．512B ．192C ．240D ．108[解析] 能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类，第一类，末位为0时，其它三位从剩下的数中任意排3个即可，有A 35＝ 60个，第二类，末位为5时，首位不能排0，则首位只能从1,2,3,4选1个，第二位和第三位从剩下的4个数中任选2个即可，有A 14·A 24＝ 48个，根据分类计数原理得可以组成60＋48 ＝108个不同的能被5整除的四位数，故选D ．例2．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有( B )A ．48种B ．72种C ．96种D ．108种[解析]如图四棱柱P －ABCD ，涂P 有4种方法⇒涂A 有3种方法⇒涂B 有2种方法⇒涂C ⎩⎪⎨⎪⎧ C 与A 同色有1种方法C 与A 不同色有1种方法⇒涂D ⎩⎪⎨⎪⎧有2种方法有1种方法，则不同的涂法共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种，故选B ． 【变式探究】1.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( C )A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种2.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个(B)A．10B．11C．12D．13考点三排列问题——自主练透例1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_600__(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__576__(5)全体排成一排，男生互不相邻；__1_440__(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__720__(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__ [解析](1)从7个人中选5个人来排，是排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种．解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A26种方法，中间5个位置由余下5人进行全排列，有A55种方法，共有A26×A55＝3 600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1 440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A35种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法．故共有A22·A35·A33＝720种．(7)消序法：A772！＝2 520．(8)间接法：A77－2A67＋A55＝3 720．位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．甲在右端的排法有A66(种)排法，甲不在右端的排法有5×5A55(种)排法，∴共有A66＋25A55＝3 720(种)．【变式探究】1.某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__72__种不同的调度方法．(用数字填写答案)2.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为(D)A．36种B．48种C．56种D．72种[解析](1)C24C24A22＝72．或C24·A442＝72(2)①领导和队长站在两端，有A22＝2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有A22A33＝12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有A22A22A23＝24种安排方法，则中间5人有12＋24＝36种安排方法，则有2×36＝72种不同的安排方法；故选D．考点四组合问题——师生共研例1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(B)A．85B．49C．56D．28[解析]∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有C12·C27＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有C22·C17＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)．例2.福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有(D)A．15种B．18种C．20种D．22种[解析]先从两个不同的地点选出一地点分配A，B两人，有C12＝2(种)情况，再将剩余4人分入两地有三种情况，4人都去A，B外的另一地点，有1种情况；有3人去A，B外的另一地点，有C34＝4(种)情况；有2人去A，B外的另一地点，有C24＝6(种)情况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D．【变式探究】我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(D)A．30B．60C．90D．120[解析](1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有C35＝10种．(2)有两种情况，①一艘航母配2艘驱逐舰和1艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和2艘核潜艇，②一艘航母配2艘驱逐舰和2艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和1艘核潜艇，C12·(C25C13＋C25C23)＝120，故选D．考点五排列、组合的综合应用例1.(1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__120__种．(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)A．16B．24C．8D．12[解析](1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有A44×A22＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A33×A22＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共A22×A23＋A23×A22×A22＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．(2)根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．例2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(D)A．48B．72C．90D．96[解析]由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有C13·A34＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．例3.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__90__ ⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__ [解析](1)①C 16C 25C 33＝60；②C 16C 25C 33A 33＝360；③C 26C 24C 22A 33＝15；④C 26C 24C 22＝90；⑤C 26＝15；⑥C 46A 33＝90； ⑦C 16C 15C 44＝30．【变式探究】1.某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有__16__种． 2.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B ) A ．36种 B ．42种 C ．48种D ．60种3.为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有__150__种．[解析] (1)先排男生甲有C 14种方法，再排男生乙有C 12种方法，最后排两女生有A 22种方法，故共有C 14C 12A 22＝16种方法．另解(间接法)：农场主人在中间共有A 44＝24种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共有2A 22·A 22＝8种站法，故所求站法共有24－8＝16种．(2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论： ①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有A 44＝24种不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有3A 33＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B ． (3)5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则有两种情况，①将5名专家分成三组，一组3人，另两组都是1人，有C 35＝10种方法，再将3组分到3个医院，共有10·A 33＝60种不同的分配方案，②将5名专家分成三组，一组1人，另两组都是2人，有C 15·C 24A 22＝15种方法，再将3组分到3个医院，共有15·A 33＝90种不同的分配方案，根据分类加法计算原理可得一共有60＋90＝150种不同的分配方案．。