现代控制理论知识点复习
现代控制理论复习要点
现代控制理论复习要点第二章控制系统的状态空间描述小结一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述）1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。
2、模型形式（状态空间表达式）：① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式；③ 系统方框图；④ 状态变量图。
3.方法（途径）：①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式；②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）→实现问题（求）状态空间表达式（现代控制：内部描述）a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式；方块图→无零点惯性环节有零点惯性环节二阶振荡环节状态变量图→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式))a b 无零点实现：能控标准型、能观标准型直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点二、状态变量的线性变换1、系统状态空间表达式的非唯一性2、系统的不变性① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性；② 传递函数矩阵不变性；③ 系统的能控性与能观性不变性。
3、状态空间表达式→约旦标准型三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述）1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+= ＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I AC I A BD I A四、组合系统1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵第三章状态方程的解小结一、求状态方程的解1、对象：线性系统① 连续时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）② 离散时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）2、解的形式如线性时变连续时间系统非齐次（对象）状态方程的解为：000()(,)()(,)()()t t x t t t x t t B u d ττττ=Φ+Φ?3、求解的关键求解状态方程的关键是求出状态转移矩阵0(,)t t Φ（重点和难点）；① 掌握状态转移矩阵的1）定义；2)基本性质；3)如何求；② 注意状态转移矩阵与矩阵指数的区别与相同点；③ 线性定常（时不变）连续时间系统状态转移矩阵（矩阵指数）的求法。
现代控制理论基础复习重点
现代控制理论基础复习重点
《现代控制理论基础》复习重点
第一章：
1.由微分方程、传递函数、简易RLC无源网络、简易结构图模型建
立状态空间描述模型；
2.特征多项式、特征方程、特征向量、非线性变换的计算；
3.由状态空间描述计算传递函数矩阵。
第二章：
1.状态转移矩阵计算；
2.零输入解的计算；
3.零状态解的计算；
4.线性定常系统的离散化。
第三章：
1.能控性判别计算及按能控性结构分解；
2.能观测性判别计算及按能观测性结构分解；
3.实现及最小实现的计算。
第四章：
1.李雅普诺夫第一法的应用；
2.李雅普诺夫第二法的在线性系统中的应用（连续、离散）；
3.李雅普诺夫第二法的在非线性系统中的应用。
第五章：
1.线性反馈基本结构；
2.极点配置算法的应用。
现代控制理论总复习
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
现代控制复习重点
复习重点
第一章控制系统的状态空间描述
1 控制系统状态空间表达式
2 由系统的物理模型建立状态空间表达式
3 由系统的微分方程建立状态空间表达式
4 离散时间系统的状态空间表达式
第二章线性控制系统的分析
1 线性定常系统的运动分析
2 状态转移矩阵
3 线性定常非齐次状态方程的解
4 线性离散时间系统的运动分析
5 线性连续时间系统的离散化
第三章线性控制系统能控性和能观测性
1 线性连续系统的能控性及判据
2 线性连续系统的能观测性及判据
3 对偶原理概念
4 线性系统的能控标准型和能观测标准型
5 线性定常离散系统能控性与能观测性判据
6 线性系统的能控性结构分解和能观测性结构分解
7 传递函数矩阵的（能控、能观测、最小）实现
第四章控制系统的稳定性分析
1 李亚普诺夫稳定性定义
2 李亚普诺夫稳定性基本定理
3 线性系统李亚普诺夫稳定性分析
4 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析
第五章线性定常系统综合
1 状态反馈和输出反馈
2 闭环系统的极点配置
3 状态观测器的实现
i。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论基础知识资料
最优估计理论的内容
参数估计法；（最小方差、最小二乘法） 状态估计法（卡尔曼滤波）
§ 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异
庞特里亚金 L.S.Pontryagin
4. 罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens） 和麦克法仑（G.J.MacFarlane）研究了用于计算机辅助设计的 现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变 量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关 系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。
赫尔维茨（Hurwitz）
3.由于两次世界大战中军事 工业需要控制系统具有准确 跟踪与补偿能力，1932年奈 奎斯特（H.Nyquist）提出 了复数域内研究系统的频率 响应法，为具有高质量动态 品质和静态准确度的军用控 制系统提供了急需的分析工 具。
奈奎斯特
4.1948年伊文思（W.R.Ewans）提出了用图解方式研 究系统的根轨迹法。
1.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态空间法； 在1957年提出了基于动态规划的最优控制理论。
2.1959年匈牙利数学家卡尔曼（Kalman） 和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年 在控制系统的研究中成功地应用了状态 空间法，并提出了可控性和可观测性的 新概念。
卡尔曼
3. 1961年庞特里亚金（俄国人）提出 了极小（大）值原理。
现代控制理论基础
Modern Control Theory
绪论
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展 § 1.2 现代控制理论的内容 § 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异 § 1.4 现代控制理论的应用
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展
同学们，我们都知道：控制理论作为一门科 学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方 方面面。
现代控制理论 复习第一章
约旦形实现：A中有约旦块
D(s) (s 1 )k (s 2 )...( s n )
n c1k ci c11 c12 N ( s) W ( s) ... k k 1 D(s) ( s i ) ( s i ) ( s i ) i k 1 ( s i )
1 1 1 0 x1 0 x x 1 u x 0 1 0 2 2 3 0 0 3 1 x x3 x1 y [2 1 0.5] x 2 x3
线性定常系统
状态方程 输出方程
例1-1可写成
1 0 x k x 2 m 1 x 0 b 1 1 u x2 m m
Ax bu x y Cx du
x y 1 0 1 x2
令
x1 y x2 y ... xn y ( n 1)
1 x2 x 2 x3 x .... n 1 xn x n an 1 xn an 2 xn 1 ... a1 x2 a0 x1 b0u x
1 0 1 0 0 x1 0 x x 0 x 0 0 1 0 2 2 u xn 1 0 0 0 1 xn 1 0 1 n a0 a1 a2 an 1 x xn y (b0 0 0 0) x
对角形实现：A为对角形
D(s) (s 1 )(s 2 )...( s n ) ci N ( s) n W ( s) D( s) i 1 ( s i )
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
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现代控制理论知识点复习第一章 控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式 n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。
注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。
b 模拟结构图的等效。
如前馈点等效移到综合反馈点之前。
c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。
5．状态矢量的线性变换。
也说明了状态空间表达的非唯一性。
不改变系统的特征值。
特征多项式的系数也是系统的不变量。
特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。
状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。
a 互异根时，各特征矢量按列排。
b 有重根时，设3阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。
系统的并联实现：特征根互异；有重根。
方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。
6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s WD B A sI C s W ++-=-1)()( r m ⨯的矩阵函数［ij W ］ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。
状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。
子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。
方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。
第二章 控制系统状态空间表达式的解一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x=&）的解：0)(x e t x At = 二．矩阵指数函数——状态转移矩阵1．At e t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。
5个基本性质。
2．At e 的计算：a 定义；b 变换为约旦标准型 AT T J 1)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L e At 记忆常用的拉氏变换对2222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1)(1;1)(ωωωωωδ+↔+↔+↔↔+↔↔↔↔-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t at n n at d 应用凯莱-哈密顿定理三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x +=&）的解：τττφφd Bu t x t t x t )()()0()()(0⎰-+=。
可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。
求解步骤：先求At e t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。
特殊激励下的解。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性一．能控性及能观性定义（线性连续定常）二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换 Bu Ax x +=& Bu T ATz T z11--+=→& 1．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能控性充要条件：BT 1-没有全为0的行。
变换矩阵T 的求法。
2．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的B T 1-中最后一行元素没有全为0的。
②B T 1-中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。
变换矩阵T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能控。
但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、B T 1-。
判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别Bu Ax x +=& 能控的充要条件是 能控性判别矩阵),,,(12B A B A AB B M n -=Λ的秩为n 。
在单输入系统中，M 是一个n n ⨯的方阵；而多输入系统，M 是一个nr n ⨯的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =三．线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换 Cx y Ax x ==& →TCzy ATz T z ==-1& １．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能观性充要条件：TC 中没有全为0的列。
变换矩阵T 的求法。
２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。
②对应于互异特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为０的。
变换矩阵T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能观。
但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、TC 。
判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别能观性的充要条件是 能观性判别矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1n CA CA C N M 的秩为n 。
在单输入系统中，N 是一个n n ⨯的方阵；而多输入系统，N 是一个n nm ⨯的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =六．能控性与能观性的对偶原理１．若T A A 12=，T C B 12=，T B C 12=，则),,(1111C B A ∑与),,(2222C B A ∑对偶。
对偶系统的传递函数阵是互为转置的。
且他们的特征方程式是相同的。
２．1∑与2∑对偶，则1∑能控性等价于2∑能观性，1∑能观性等价于2∑能控性。
七．能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。
１． 能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性。
②计算特征多项式0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。
③求变换矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111n c A p A p p T M ，111],,][1,,0,0[--=B A Ab b p n ΛΛ。
④求11-c T ，计算⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-10011M b T b c ，1c cT c =，也可以验证是否有111c c AT T A -=。
２． 能观标准Ⅱ型①判别系统的能观性。
②计算特征多项式0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。
③求变换矩阵[]11112,,,T A AT T T n o -=Λ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--100111M M n cA cA c T 。
④求02T ，计算b T b 102-=，[]10002Λ==cT c ，也可以验证是否有212o o AT T A -=。
３． 如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。
0122111012211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=---------ΛΛββββ 能控标准Ⅰ型：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-1210100001000010n a a a a A ΛΛM ΛMM ΛΛ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000M b ][110-=n c βββΛ 能观标准Ⅱ型：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-1210100010001000n a a a a A ΛM ΛMM M ΛΛΛ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1210n n b ββββM ]100[Λ=c八．线性系统的结构分解1．按能控性分解（状态不完全能控，即n n rankM <=1），通过非奇异变换xR x c ˆ=完成。
()n n c R R R R R ΛΛ121=，前1n 个列矢量是M 中1n 个线性无关的列，其他列矢量保证cR 非奇异的条件下是任意的。
2．按能观性分解（状态不完全能观，即n n rankN <=1），通过非奇异变换xR x o ˆ=完成。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''=-n n o R R R R R M M1211，前1n 个行矢量是N 中1n 个线性无关的行，其他行矢量保证1-o R 非奇异的条件下是任意的。
3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。
步骤：①首先按能控性分解（c x 能控状态，c x 不能控状态）。
②对不能控子系统按能观性分解（oc x 不能控能观状态，o c x 不能控不能观状态）。
③将能控子系统按能观性分解（co x 能控能观状态，o c x 能控不能观状态）。
④综合各步变换结果，写出最后的表达式。
另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。