易错汇总2015-2016年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试卷和答案
浙江省杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若角的终边经过点，则 α()()3,0P a a ≠A ． B ．C ．D ．sin 0α>sin 0α<cos 0α>cos 0α<【答案】C【解析】根据三角函数定义可得判断符号即可.sin α=cos α=【详解】解：由三角函数的定义可知，，sin αcos 0α=>故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点，则； α(,)P x y sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠（2）角终边任意一点，则. α(,)P x y sin tan (0)yx xααα===≠2．“a ＞b 2”是”的（ ） b >A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若，而不能推出，0,1a b ==-b >201a b=<=b >2a b >当，当 ，所以当时，有2a b >0b ≥b >0b <b b >->2a b >，b >所以“a ＞b 2”是”的充分不必要条件， b >故选：A3．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） 16cm 2rad A ． B ． C ． D ．212cm 214cm 216cm 218cm 【答案】C【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案. R 2216R R +=4R =【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得； R 2216R R +=4R =扇形的面积.2124162S =⨯⨯=故选：C4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．B ．C ．D ．0.5v t =()20.51v t =-0.5log v t =2log v t =【答案】D【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D 最能反映之间的函数关系. 2log v t =,t v 故选：D.5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ） ()f x R (2)()f x f x +=-(2022)f =A ． B ．0 C ．1 D ．20222022-【答案】B【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案. (0)0f =【详解】因为，所以， (2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以的周期为4，()f x 函数是定义在上的奇函数，所以， ()f x R (0)0f =所以，(2)(0)0f f =-=.(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==故选：B. 6．函数的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（ ）()ay x b x c =--A ．，，B ．，， a<00b >0c =0a >0b >0c =C ．，，D ．，，a<00b =0c >a<00b =0c =【答案】A【分析】分、两种情况讨论即可. 0,0b c =>0,0b c >=【详解】函数的定义域为()ay x b x c =--{},x x b x c ≠≠①当时，， 0,0b c =>ay x x c=-当时，与同号，当时，与同号， ()0,x c ∈y a (),x c ∈+∞y a 与图中信息矛盾； ②当时，，0,0b c >=()ay x b x =-由图可得，当时，，所以， ()x b ∈+∞,0y <a<0然后可验证当，时，图中信息都满足， 0,0b c >=a<0故选：A7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 3log 2a =11log 5b =lg 4c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c<a<b c b a <<a c b <<【答案】B【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=因为，所以，即，2=233=23332log 2log 33<=23<a因为，即，，4=2310=232lg 4lg103<=23c <因为， 3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>所以，即， a c >c<a<b 故选：B【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．已知函数，若关于的方程（）有三个不()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩x ()()202f x a f x ++=+a R ∈相等的实数根,且，则的值为（ ）123,,x x x 123x x x <<()()()()()()2123222f x f x f x +++A ． B ．C ．D ．42()22a +2a +【答案】A【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实()f x t =()()202f x a f x ++=+a R ∈数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由123,,x x x ()22220t a t a ++++=10t <205t <<，利用韦达定理求解.()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222tt =++【详解】因为函数图像如下： ()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩令，则有两个不等的实数根，，()f x t =()22220t a t a ++++=10t <205t <<由韦达定理知：, 122t t a +=--1222t t a =+则，， ()11f x t =()()232f x f x t ==所以，()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++， ()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++. ()2224244a a =+--+=故选：A二、多选题9．若，则下列不等式恒成立的有（ ） 0,0,2a b a b >>+=A ．B 1ab ≤≤C ．D ．222a b +≥212a b+>【答案】ACD【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，则，故A 正确； 2a b =+≥1ab ≤对于B ，令不成立，故B 错误； 1,1a b ==>≤对于C ，由A 选项得，所以，故C 正确；1ab ≤222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，故D 正确； 312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅= ⎪⎭>⎝故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．已知非零实数a ，b ，若，为定义在上的周期函数，则（ ） ()f x ()g x R A ．函数必为周期函数 B ．函数必为周期函数 ()f ax b +()af x b +C ．函数必为周期函数 D ．函数必为周期函数()()f g x ()()f x g x +【答案】ABC【分析】是周期为的函数，A 正确，是周期为的函数，B 正确，是()f ax b +ma()af x b +m (())f g x 周期为的函数，C 正确，当周期为周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.n ()f x π,()g x【详解】设周期为周期为，，()f x ,()m g x ,0n m ≠0n ≠对选项A ：，故是周期为的函数，正确；()()m f ax b f ax b m f a x b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f ax b +ma 对选项B ：则，所以是周期为的函数，正确； ()()af xb af x m b +=++()af x b +m 对选项C ：，所以是周期为的函数，正确；(())(())f g x f g x n =+(())f g x n 对选项D ： 当周期为周期为1时，若是周期函数，设周期为 ，则()f x π,()g x ()()f x g x +T ，是无理数，所以上式无解，所以此时不是周期函π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠π()()f x g x +数，错误. 故选：ABC11．已知函数为偶函数，点，是图象()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x ()1,1A x -()2,1B x -()f x 上的两点，若的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） 12x x -A ． B ． C ． D ．在上单π2=ωπ2ϕ=()11f =-()f x ()111,1x x -+调递增 【答案】AC【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由，得，即，的最小值为()1f x =-()4sin 11ωϕ+-=-x ()sin 0x ωϕ+=12x x - 2，,即，即，则，故选项A 正确；22T ∴=4T =2π4ω=π2=ω对于B ，为偶函数，，，时，时，故()f x ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k πϕ≤ 0k ∴=π2ϕ=1k =-π2ϕ=-选项B 错误；对于C ，综上或者，()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f ()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x 则，故选项C 正确；()11f =-对于D ，，，，即，即是函数的零()1,1- A x ()2,1B x -14cos 11π2-=-x 10π2cos =x 1x πcos 2y x =点，的区间长度为2，是半个周期，则函数在上不具备单调性，故选项()111,1-+ x x ()111,1x x -+D 错误. 故选：AC.12．设函数若存在，使得()()4,,f x x t g x x=+=-[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，则t 的值可能是（ ）121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4【答案】BCD【分析】根据题意可得，令112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ()，结合对勾函数的性质可得函数的单调性，则4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈()F x ，进而有，结合4()5t F x t +≤≤+(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在使得*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 成立，112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 令，， 4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 4y x x=+(1,2)(2,4)所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()F x (1,2)(2,4)由，得，(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+4()5t F x t +≤≤+即，*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤所以， (4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-又，4()()5n n t f x g x t +≤-≤+则，即，4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩因为， N ,3n n *∈≥951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得. 64t -≤≤-故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数，则此函数的定义域为________． 3y x αα=-【答案】.()(),00,∞-+∞U 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.13a =-y =【详解】由幂函数，可得，解得，即3y x αα=-31α-=13a =-13y x -==则满足，即幂函数的定义域为. 0x ≠3y x αα=-()(),00,∞-+∞U 故答案为：.()(),00,∞-+∞U 14．已知是第二象限角，，则________． θ()3cos π25θ+=tan θ=【答案】2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得或tan 2θ=，再根据是第二象限角即可得.tan 2θ=-θtan 2θ=-【详解】由诱导公式可得，所以；()3cos π2cos 25θθ+=-=3cos 25θ=-根据二倍角公式可得， 222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++解得或，tan 2θ=tan 2θ=-又因为是第二象限角，所以. θtan 2θ=-故答案为：2-15．如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀110m 120m 速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面30min 5min 的高度为________m ．【答案】##37.5752【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据h t ()sin h A t k ωϕ=++条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为， h t ()sin h A t k ωϕ=++因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，110m 120m 所以，解得，12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩55,65A k ==因为每转一圈，所以，， 30min 2π30T ω==15πω=当时，，所以，所以可取，0=t 10h =sin 1ϕ=-π2ϕ=-所以，ππ55sin 65152h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当时，5t =π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．设.若当时，恒有，则的取值范围是____. ,a b ∈R ||1x ≤2|()|1x a b -+≤a b +【答案】[【分析】构造函数，则将题目转化为当时，2()()f x x a =-||1x ≤恒有，分，，，讨论，即可得到结果. 1()1b f x b ---≤≤1a ≤-1a ≥10a -<≤01a <<【详解】设函数，则当时，恒有. 2()()f x x a =-||1x ≤1()1b f x b ---≤≤当时，在上递增，1a ≤-()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =--≤2(1)(1)1f a b -=----≥从而，则，于是，矛盾；22222a a b a a ----≤≤22222a a a a ----≤12a ≥-同理，当，在上递减，1a ≥()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =-≥--2(1)(1)1f a b -=--≤-从而，则，于是，矛盾； 22222a a b a a -+---≤≤22222a a a a -+-≤--12a ≤当，,则， 10a -<≤212b a a --≤≤22110a a a -≥-⇒≤≤10b -≤≤当，，则， 01a <<212b a a ---≤≤22110a a a --≥-⇒≤≤10b -≤≤由此得，的取值范围是.a b +[当且仅当时，时，. 1a =1b =-a b +=0a b ==0a b +=故答案为:[四、解答题 17．已知.sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，(1)求的值;tan α(2)若，求角.()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，β【答案】(1) tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可sin ,cos αα()cos αβ-()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦得解.【详解】（1）解：因为，sin cos 3sin cos αααα+=-所以，解得；tan 13tan 1αα+=-tan 2α=（2）解：因为，，tan 2α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， 22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩解得， sin αα==又，所以，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因()sin αβ-=()cos αβ-==则 ()sin sin βααβ=--==⎡⎤⎣⎦所以.4πβ=18．已知集合，集合，集合{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x AB ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以，23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……又因为，所以，{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，x A B ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；B =∅121m m +>-2m <当时，解得，B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………23m ……综上所述：.3m …19．已知函数，其中常数．()()2sin f x x ω=0ω>(1)若在上单调递增，求的取值范围； ()y f x =π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω(2)令，将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来2ω=()y f x =π6的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象．若在区间12()y g x =()y g x =[],a b 上至少含有30个零点，求的最小值． b a -【答案】(1) 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 43π6 【分析】（1）求条件可得，，由此可求的取值范围， π2πππ,[2π,2π]4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ω（2）由函数图象变换结论求函数的解析式，要使最小，则，研究()y g x =b a -130,a x b x ==的零点进而可以求出结果． 1sin 2t =-【详解】（1）由题设，∴，∴， 2ππ11ππ34122T ω+=≤=1211ω≤304ω<≤当时，，则，，解得，． π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈3034k ω<≤+Z k ∈综上，的取值范围为． ω30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）由题设，将函数的图象向左平移个单位得()2sin 2f x x =()f x π6ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则． 12()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令得， ()0g x =π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，设在区间上的30个零点分别为， π43t x =+()y g x =[],a b 1230,,,x x x 则，在上有30个零点， 113030ππ4,,433t x t x =+=+ 1sin 2t =-ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦要使最小，则，b a -130,a x b x ==因为在每个周期内各有两个函数值为，所以15个周期里面有30个零点， sin y t =12-则最小时，若，则b a -113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，即的最小值为． 30143π6x x -=b a -43π620．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群S S %x 0100x <<体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：x 40（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ x （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．S ()g x ()g x 【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. ()45100x ，∈【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，30100x <<， ()180029040f x x x=+->即，2659000x x -+>解得或，20x <45x >∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ()45100x ∈，（2）当时，030x <≤； ()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-当时，30100x <<； ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭∴； ()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩当时，单调递减；032.5x <<()g x 当时，单调递增；32.5100x <<()g x 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；S 32.5%有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；32.5%当自驾人数为时，人均通勤时间最少．32.5%【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．已知函数，． ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R a ∈(1)若方程，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦(2)设，若对任意，当，时，满足，求实数a 的取0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x []2,1x b b ∈+()()12ln 4f x f x -≤值范围．【答案】(1)． {}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于02(3)(4)10a x a x -+--=即可求解；（2）易知函数为定义域上为减函数，将问题转化成 1()ln()f x a x =+，即对任意成立，再构造()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由得； []1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭2(3)(4)10a x a x -+--=即[(3)1](1)0a x x --+=当时，，经检验，满足题意；3a ==1x -当时，，经检验，满足题意；2a =121x x ==-当且时，， 2a ≠3a ≠12121,1,3x x x x a ==-≠-若是原方程的解，当且仅当，即， 1x 11230a a x +=->32a >若是原方程的解，当且仅当，即，2x 2110a a x +=-+>1a >故当是原方程的解，不是方程的解，则 ，无解， 1x 2x 32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且当是原方程的解，不是方程的解，则，解得 2x 1x 32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的． 31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦综上，的取值范围为． a {}31,2,32⎛⎤ ⎝⎦（2）不妨令，则， 121b x x b ≤≤≤+1211a a x x +>+由于单调递增，单调递减， ln y x =1y a x =+所以函数在,上为减函数；，， ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[b 1]b +()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭因为当，,，满足，1x 2[x b ∈1]b +12|()()|ln4f x f x -≤故只需， 11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即对任意成立， 233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以函数为开口向上的二次函数，且对称轴为 ， 0a >()233(1)1g b ab a b =++-102a a+-<故在上单调递增，当时，有最小值， ()g x 1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦14b =y 33151(1)1164164a a a ++-=-由，得，故的取值范围为． 1510164a -≥415a ≥a 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷和解析答案
2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷一、选择题1．（5分）下列结论正确地是（）A．3a2b﹣a2b=2B．单项式﹣x2地系数是﹣1C．使式子有意义地x地取值范围是x＞﹣2D．若分式地值等于0，则a=±12．（5分）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．3．（5分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到地图形是（）A．B．C．D．4．（5分）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童地数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级地留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误地是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是5．（5分）如图，A、B、C三点在正方形网格线地交点处，若将△ABC绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′地值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图是自行车骑行训练场地地一部分，半圆O地直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同地速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC地距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间地关系是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a地值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴地垂线，交地图象于点A i，交直线于点B i．则地值为（）A． B．2 C．D．二、填空题9．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB地垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=度．10．（5分）定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．11．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确地结论是．（写出正确命题地序号）12．（5分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大地数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得地数是；（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得地数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n 为正整数），则m+n地值为．三、解答题.13．（12分）（1）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．（2）已知关于x，y地二元一次方程地解满足x＜y，求m地取值范围．14．（10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生地思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取地某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习地时间，并绘制成如下不完整地统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取地学生人数是；扇形统计图中地圆心角α等于；补全统计直方图；（2）被抽取地学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道地概率．15．（12分）已知，如图，AB是⊙O地直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE地延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O地切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O地半径为5，sinA=，求BH地长．16．（12分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”地号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市地饰品进行销售，饰品地进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大地利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间地函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？17．（14分）如图，把两个全等地Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点地直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线地函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴地平行线交抛物线于点M，交x 轴于点N，问是否存在这样地点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P地坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）下列结论正确地是（）A．3a2b﹣a2b=2B．单项式﹣x2地系数是﹣1C．使式子有意义地x地取值范围是x＞﹣2D．若分式地值等于0，则a=±1【解答】解：3a2b﹣a2b=2a2b，A错误；单项式﹣x2地系数是﹣1，B正确；使式子有意义地x地取值范围是x≥﹣2，C错误；若分式地值等于0，则a=1，错误，故选：B．2．（5分）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．3．（5分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到地图形是（）A．B．C．D．【解答】解：找一张正方形地纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到地图形如图所示：故选A．4．（5分）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童地数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级地留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误地是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15；10出现了2次，出现地次数最多，则众数是10；把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20，最中间地数是（15+17）÷2=16，则中位数是16；方差是：[2（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]==．则下列说法错误地是C．故选：C．5．（5分）如图，A、B、C三点在正方形网格线地交点处，若将△ABC绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′地值为（）A．B．C．D．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB==，∴tanB′=tanB=．故选B．6．（5分）如图是自行车骑行训练场地地一部分，半圆O地直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同地速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC地距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间地关系是（）A．B．C．D．【解答】解：设运动员C地速度为v，则运动了t地路程为vt，设∠BOC=α，当点C从运动到M时，∵vt==，∴α=，在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin=50sin t，∴d与t之间地关系d=50sin t，当点C从M运动到A时，d与t之间地关系d=50sin（180﹣t），故选：C．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a地值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B地坐标是（0，3）．令y=0，解得：x=1，即A地坐标是（1，0）．则OB=3，OA=1．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，∵在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，故D地坐标是（4，1），C地坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数地解析式是：y=．∴OE=4，则C地纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G地坐标是（1，4），∴CG=2．故选：B．8．（5分）如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴地垂线，交地图象于点A i，交直线于点B i．则地值为（）A． B．2 C．D．【解答】解：根据题意得：A i B i=x2﹣（﹣x）=x（x+1），∴==2（﹣），∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A二、填空题9．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB地垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=60度．【解答】解：由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=30°，因为点D是AB地垂直平分线上地点，所以AD=BD，因而∠BAD=∠B=30°，从而∠ADC=60度．10．（5分）定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．【解答】解：在x2+x﹣1=0中，a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=5＞0，所以x1=，x2=或x1=，x2=，∴x1*x2=*=，故答案为．11．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确地结论是①④．（写出正确命题地序号）【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c ＜0，∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，∴a与b异号，即b＜0，∴abc＞0，选项①正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；∵原点O与对称轴地对应点为（2，0），∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，故答案是：①④．12．（5分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大地数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得地数是255；（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得地数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n 为正整数），则m+n地值为21．【解答】解：（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=1×3+1+3=7；第二次，7＞3＞1所以有：c=3×7+3+7=31；第三次：31＞7＞3所以有：c=7×31+7+31=255；（2）p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1；第五次可得：c5=（p+1）8（q+1）5﹣1；故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1∴m=8，n=13，∴m+n=21．故答案为：255；21．三、解答题.13．（12分）（1）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．（2）已知关于x，y地二元一次方程地解满足x＜y，求m地取值范围．【解答】解：（1）原式=[+]•=•=•=，当a=﹣1时，原式==；（2）解方程组得：，∵x＜y，∴m﹣＜﹣，解得：m＜﹣．14．（10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生地思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取地某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习地时间，并绘制成如下不完整地统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取地学生人数是30；扇形统计图中地圆心角α等于144°；补全统计直方图；（2）被抽取地学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道地概率．【解答】解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°，答：本次抽取地学生人数是30人；扇形统计图中地圆心角α等于144°；故答案为：30，144°；补全统计图如图所示：（2）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取地跑道，横排为小花抽取地跑道，记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，∴．15．（12分）已知，如图，AB是⊙O地直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE地延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O地切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O地半径为5，sinA=，求BH地长．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O地切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O地直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O地半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．16．（12分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”地号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市地饰品进行销售，饰品地进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大地利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间地函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【解答】解：（1）由题意可得：y=；（2）由题意可得：w=，化简得：w=，即w=，由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125，x=5时，W=6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，将w=6000带入﹣20≤x＜0时对应地抛物线方程，即6000=﹣20（x+）2+6125，解得：x1=﹣5，将w=6000带入0≤x≤30时对应地抛物线方程，即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，解得x 2=0，x3=10，综上可得，﹣5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．17．（14分）如图，把两个全等地Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点地直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线地函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴地平行线交抛物线于点M，交x 轴于点N，问是否存在这样地点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P地坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P地横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P地坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C地直线为y AC=﹣x+3，可设点A′地横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q地坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高地比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，=，∴当a=时，S四边形RKTQ最大∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R地坐标为R（2a ﹣2，a﹣1）S 四边形RKTQ =S △QOT ﹣S △ROK =•OT•QT ﹣•OK•RH=a•a ﹣（1+a ﹣）•（a ﹣1）=a 2+a ﹣=（a ﹣）2+由于＜0，∴当a=时，S 四边形RKTQ 最大=，∴在线段AC 上存在点A′（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan ∠O′A′B′=tan ∠OAB=， ∴KT=A′T•tan ∠O′A′B′=（﹣a +3）•=a +，∴OK=OT ﹣KT=a ﹣（a +）=a ﹣，过点R 作RH ⊥x 轴于H ， ∵cot ∠OAB=tan ∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan ∠OAB=tan ∠ROH===，∴2RH=OK +KH=a ﹣+RH ， ∴RH=a ﹣1，OH=2（a ﹣1）， ∴点R 坐标R （2a ﹣2，a ﹣1）S 四边形RKTQ =S △A′KT ﹣S △A′RQ =•KT•A′T ﹣A′Q•（x Q ﹣x R ）=••（3﹣a ）﹣•（3﹣a ）•（﹣a +2）=a 2+a ﹣=（a ﹣）2+由于＜0，∴当a=时，S 四边形RKTQ 最大=，∴在线段AC 上存在点A′（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为． 方法二： （1）略．（2）∵C （2，1），∴l OC ：y=x ， 设P （t ，），M （t ，），∵四边形ABPM 为等腰梯形， ∴AM=BP 且AM 不平行BP ， ∴（t ﹣1）2+（2+）2=（t ﹣1）2+（）2，∴2+=（无解）或2+=﹣，t 1=2（舍），t 2=，∴P （，）．（3）∵A （1，2），C （2，1）， ∴l AC ：y=﹣x +3，设A′（t ，3﹣t ），Q （t ，），T （t ，0）， ∵O′A′∥OA ，∴K O′A′=K OA =2， ∴l O′A′：y=2x +3﹣3t ，∵l OC ：y=x ，∴R （2t ﹣2，t ﹣1），K （，0），∵S=S △QOT ﹣S △ROK ==﹣，∴t=时，S 有最大值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷和解析答案
2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷一、选择题1．（5分）下列结论正确地是（）A．3a2b﹣a2b=2B．单项式﹣x2地系数是﹣1C．使式子有意义地x地取值范围是x＞﹣2D．若分式地值等于0，则a=±12．（5分）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．3．（5分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到地图形是（）A．B．C．D．4．（5分）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童地数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级地留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误地是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是5．（5分）如图，A、B、C三点在正方形网格线地交点处，若将△ABC绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′地值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图是自行车骑行训练场地地一部分，半圆O地直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同地速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC地距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间地关系是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a地值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴地垂线，交地图象于点A i，交直线于点B i．则地值为（）A． B．2 C．D．二、填空题9．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB地垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=度．10．（5分）定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．11．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确地结论是．（写出正确命题地序号）12．（5分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大地数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得地数是；（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得地数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n 为正整数），则m+n地值为．三、解答题.13．（12分）（1）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．（2）已知关于x，y地二元一次方程地解满足x＜y，求m地取值范围．14．（10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生地思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取地某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习地时间，并绘制成如下不完整地统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取地学生人数是；扇形统计图中地圆心角α等于；补全统计直方图；（2）被抽取地学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道地概率．15．（12分）已知，如图，AB是⊙O地直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE地延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O地切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O地半径为5，sinA=，求BH地长．16．（12分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”地号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市地饰品进行销售，饰品地进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大地利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间地函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？17．（14分）如图，把两个全等地Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点地直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线地函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴地平行线交抛物线于点M，交x 轴于点N，问是否存在这样地点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P地坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）下列结论正确地是（）A．3a2b﹣a2b=2B．单项式﹣x2地系数是﹣1C．使式子有意义地x地取值范围是x＞﹣2D．若分式地值等于0，则a=±1【解答】解：3a2b﹣a2b=2a2b，A错误；单项式﹣x2地系数是﹣1，B正确；使式子有意义地x地取值范围是x≥﹣2，C错误；若分式地值等于0，则a=1，错误，故选：B．2．（5分）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．3．（5分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到地图形是（）A．B．C．D．【解答】解：找一张正方形地纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到地图形如图所示：故选A．4．（5分）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童地数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级地留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误地是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15；10出现了2次，出现地次数最多，则众数是10；把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20，最中间地数是（15+17）÷2=16，则中位数是16；方差是：[2（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]==．则下列说法错误地是C．故选：C．5．（5分）如图，A、B、C三点在正方形网格线地交点处，若将△ABC绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′地值为（）A．B．C．D．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB==，∴tanB′=tanB=．故选B．6．（5分）如图是自行车骑行训练场地地一部分，半圆O地直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同地速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC地距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间地关系是（）A．B．C．D．【解答】解：设运动员C地速度为v，则运动了t地路程为vt，设∠BOC=α，当点C从运动到M时，∵vt==，∴α=，在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin=50sin t，∴d与t之间地关系d=50sin t，当点C从M运动到A时，d与t之间地关系d=50sin（180﹣t），故选：C．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a地值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B地坐标是（0，3）．令y=0，解得：x=1，即A地坐标是（1，0）．则OB=3，OA=1．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，∵在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，故D地坐标是（4，1），C地坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数地解析式是：y=．∴OE=4，则C地纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G地坐标是（1，4），∴CG=2．故选：B．8．（5分）如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴地垂线，交地图象于点A i，交直线于点B i．则地值为（）A． B．2 C．D．【解答】解：根据题意得：A i B i=x2﹣（﹣x）=x（x+1），∴==2（﹣），∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A二、填空题9．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB地垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=60度．【解答】解：由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=30°，因为点D是AB地垂直平分线上地点，所以AD=BD，因而∠BAD=∠B=30°，从而∠ADC=60度．10．（5分）定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．【解答】解：在x2+x﹣1=0中，a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=5＞0，所以x1=，x2=或x1=，x2=，∴x1*x2=*=，故答案为．11．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确地结论是①④．（写出正确命题地序号）【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c ＜0，∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，∴a与b异号，即b＜0，∴abc＞0，选项①正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；∵原点O与对称轴地对应点为（2，0），∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，故答案是：①④．12．（5分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大地数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得地数是255；（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得地数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n 为正整数），则m+n地值为21．【解答】解：（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=1×3+1+3=7；第二次，7＞3＞1所以有：c=3×7+3+7=31；第三次：31＞7＞3所以有：c=7×31+7+31=255；（2）p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1；第五次可得：c5=（p+1）8（q+1）5﹣1；故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1∴m=8，n=13，∴m+n=21．故答案为：255；21．三、解答题.13．（12分）（1）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．（2）已知关于x，y地二元一次方程地解满足x＜y，求m地取值范围．【解答】解：（1）原式=[+]•=•=•=，当a=﹣1时，原式==；（2）解方程组得：，∵x＜y，∴m﹣＜﹣，解得：m＜﹣．14．（10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生地思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取地某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习地时间，并绘制成如下不完整地统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取地学生人数是30；扇形统计图中地圆心角α等于144°；补全统计直方图；（2）被抽取地学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道地概率．【解答】解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°，答：本次抽取地学生人数是30人；扇形统计图中地圆心角α等于144°；故答案为：30，144°；补全统计图如图所示：（2）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取地跑道，横排为小花抽取地跑道，小红小花123451（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）2（1，2）（3，2）（4，2）（5，2）3（1，3）（2，3）（4，3）（5，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（5，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，∴．15．（12分）已知，如图，AB是⊙O地直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE地延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O地切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O地半径为5，sinA=，求BH地长．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O地切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O地直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O地半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．16．（12分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”地号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市地饰品进行销售，饰品地进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大地利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间地函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【解答】解：（1）由题意可得：y=；（2）由题意可得：w=，化简得：w=，即w=，由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125，x=5时，W=6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，将w=6000带入﹣20≤x＜0时对应地抛物线方程，即6000=﹣20（x+）2+6125，解得：x1=﹣5，将w=6000带入0≤x≤30时对应地抛物线方程，即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，解得x2=0，x3=10，综上可得，﹣5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．17．（14分）如图，把两个全等地Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点地直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线地函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴地平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样地点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P地坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P地横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P地坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C地直线为y AC=﹣x+3，可设点A′地横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q地坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高地比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，=，∴当a=时，S四边形RKTQ最大∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R地坐标为R（2a ﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，=，∴当a=时，S四边形RKTQ最大∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵cot∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，=，∴当a=时，S四边形RKTQ最大∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．方法二：（1）略．（2）∵C（2，1），∴l OC：y=x，设P（t，），M（t，），∵四边形ABPM为等腰梯形，∴AM=BP且AM不平行BP，∴（t﹣1）2+（2+）2=（t﹣1）2+（）2，∴2+=（无解）或2+=﹣，t1=2（舍），t2=，∴P（，）．（3）∵A（1，2），C（2，1），∴l AC：y=﹣x+3，设A′（t，3﹣t），Q（t，），T（t，0），∵O′A′∥OA，∴K O′A′=K OA=2，∴l：y=2x+3﹣3t，∵l OC：y=x，∴R（2t﹣2，t﹣1），K（，0），∵S=S△QOT ﹣S△ROK==﹣，∴t=时，S有最大值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
【精品】2015年浙江省杭州市重点中学联考高一上学期期末数学试卷
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4.00分）设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜2} 2．（4.00分）cos（﹣2040°）=（）A．B．C．D．3．（4.00分）若sinα=﹣，cosα=，则下列各点在角α终边上的是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）4．（4.00分）函数f（x）=x+sinx，x∈R（）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数5．（4.00分）已知a=（），b=log6，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（4.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分函数图象如图所示，为了得到函数f（x）的图象，只需将g（x）=sin（ωx）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度7．（4.00分）已知函数f（x）=，则y=f[f（x）]﹣4的零点为（）A．B．C．D．8．（4.00分）函数f（x）=log 2|2x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．9．（4.00分）已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论，其中所有正确的结论的序号是（）①直线x=3是函数g（x）的一条对称轴；②函数f（x）的值域为[0，]；③若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[，]；④对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④10．（4.00分）若函数f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（）A．16 B．14 C．15 D．18二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4.00分）求值：+（﹣）0++=．12．（4.00分）函数f（x）=lg（x+2）+的定义域为_．13．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．14．（4.00分）已知α是第二象限角，sinα=，则cos（π﹣α）=．15．（4.00分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．16．（4.00分）函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是．17．（4.00分）若任意的实数a≤﹣1，恒有a•2b﹣b﹣3a≥0成立，则实数b的取值范围为．三、解答题：共4大题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18．（12.00分）已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若ϕ⊊B⊊A，求实数a，b的值．19．（12.00分）（1）已知tanθ=2，求的值；（2）已知﹣＜x＜，sinx+cosx=，求tanx的值．20．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（wx+）（A＞0，w＞0）的最小正周期为π，且x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，（1）求A的值；（2）求函数f（x）在[﹣π，0]上的单调递增区间．21．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1．（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求实数λ的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈[﹣2，0]上的最大值．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4.00分）设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜2}【解答】解：∵M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}N={x|1＜x＜3}∵阴影部分表示集合（C u N）∩M，∴阴影部分表示的集合是（1，2）．故选：C．2．（4.00分）cos（﹣2040°）=（）A．B．C．D．【解答】解：原式=cos2040°=cos（6×360°﹣120°）=cos120°=﹣，故选：B．3．（4.00分）若sinα=﹣，cosα=，则下列各点在角α终边上的是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【解答】解：由题意得sinα=﹣，cosα=，因为sinα=，cosα=，所以r=5k，x=3k，y=﹣4k，（k＞0）所以在角α终边上的点是（3k，﹣4k），当k=1时，此点的坐标是（3，﹣4），故选：B．4．（4.00分）函数f（x）=x+sinx，x∈R（）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数【解答】解：函数f（x）=x+sinx的定义域为R，f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），则f（x）为奇函数．故选：A．5．（4.00分）已知a=（），b=log6，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜a=（）=，b=log6＜0，c=＞=，∴c＞a＞b．故选：B．6．（4.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分函数图象如图所示，为了得到函数f（x）的图象，只需将g（x）=sin（ωx）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，×=，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位可得f（x）的图象，故选：C．7．（4.00分）已知函数f（x）=，则y=f[f（x）]﹣4的零点为（）A．B．C．D．【解答】解：y=f[f（x）]﹣4的零点即方程f[f（x）]﹣4=0的根，故3f（x）+1=4；解得，f（x）=1；当x∈[﹣2，0]时，sin（﹣πx）=1，故x=﹣；故选：D．8．（4.00分）函数f（x）=log2|2x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）=log2（2x﹣1），由于y=log2t为增函数，t=2x﹣1为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，当x＜0时，f（x）=log2（1﹣2x），由于y=log2t为增函数，t=1﹣2x为减函数，故函数f（x）在（﹣∞，0））为减函数，且t=1﹣2x为的值域为（0，1）故f（x）＜0，故选：A．9．（4.00分）已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论，其中所有正确的结论的序号是（）①直线x=3是函数g（x）的一条对称轴；②函数f（x）的值域为[0，]；③若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[，]；④对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【解答】解：对于①，g（x）=asin（x+）﹣2a+2=﹣acos x﹣2a+2，由g（3）=﹣acosπ﹣2a+2=2﹣a，取得最大值，故①对；对于②，当0时，f（x）=﹣x∈[0，]；当≤1时，f（x）=═2[（x+2）+]﹣8而＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（，3]，双钩型函数h（z）=2（z+）﹣8在z∈（，3]上单调递增，∴h（）=﹣8=，h（z）max=h（3）=，∴当x∈（，1）时，f（x）的值域为（，]；∴函数f（x）的值域为[0，]，故②对；对于③，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则0≤2﹣3a≤或0≤2﹣a≤，解得≤a≤或≤a≤，由于＜，∴[，]∪[，]=[，]．故③对；对于④，g（x）=asin（x+）﹣2a+2=﹣acos x﹣2a+2（a＞0），∵0≤x≤1，∴0≤x≤，∵y=cosx在[0，]上单调递减，∴y=﹣cosx在[0，]上单调递增，又a＞0，∴g（x）=﹣acos x﹣2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函数，由g（x）=﹣acos x﹣2a+2（a＞0）知，当0≤x≤1时，0≤x≤，≤cos x≤1，又a＞0，∴﹣a≤﹣acos x≤﹣，∴2﹣3a≤﹣acos x﹣2a+2≤2﹣a．不妨令a=10，g（x）∈（﹣28，﹣23），而f（x）的值域为[0，]，显然f（x）≠g（x），故④错．故选：B．10．（4.00分）若函数f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（）A．16 B．14 C．15 D．18【解答】解：∵f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的图象关于直线x=2对称，∴f（1）=f（3），f（﹣1）=f（5），即，解得m=﹣8，m=15，即f（x）=（x2﹣8x+15）（1﹣x2）=x4+8x3﹣14x2﹣8x+15，则f′（x）=﹣4x3+24x2﹣28x﹣8=﹣4（x﹣2）（x2﹣4x﹣1），由f′（x）=0，解得x=2或x=2+或x=2﹣，由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+或x＜2﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得2﹣＜x＜2或x＞2+，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2+或2﹣时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值则f（2+）=16，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4.00分）求值：+（﹣）0++=﹣6．【解答】解：原式=﹣8+1+lg2+lg5=﹣7+1=﹣6．12．（4.00分）函数f（x）=lg（x+2）+的定义域为_（﹣2，1] ．【解答】解：由，解得：﹣2＜x≤1．∴函数f（x）=lg（x+2）+的定义域为（﹣2，1]．故答案为：（﹣2，1]．13．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π14．（4.00分）已知α是第二象限角，sinα=，则cos（π﹣α）=．【解答】解：∵α是第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，则原式=﹣cosα=．故答案为：．15．（4.00分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x ＞} ．【解答】解：依题意：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，直接构造函数f（x）=x2，问题转化为解不等式（x﹣1）2＜x2，解之得：，所以不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．另解：依题意：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，由于f（x﹣1）＜f（x），即所以不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为；故答案为：{x|x＞}．16．（4.00分）函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是．【解答】解：由题意知，y=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1，设t=cosx，则函数y=﹣t2+2t+1=﹣（t﹣1）2+2，令﹣（t﹣1）2+2=﹣，解得t=﹣或t=，∵cosx≤1，∴t=﹣，即cosx=﹣，x=+2kπ或﹣+2kπ（k∈Z），在坐标系中画出函数y=cosx的图象：由图和x∈[﹣，θ]知，θ∈时，函数的最小值为﹣，故答案为：．17．（4.00分）若任意的实数a≤﹣1，恒有a•2b﹣b﹣3a≥0成立，则实数b的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：设f（a）=a（2b﹣3）﹣b，由于任意的实数a≤﹣1，恒有a•2b﹣b﹣3a≥0成立，则2b﹣3＜0，且f（﹣1）≥0恒成立，则有b＜log23，且3﹣b﹣2b≥0，由b+2b≤3，又g（x）=x+2x在R上递增，且g（1）=3，则g（b）≤g（1），解得b≤1．又b＜log23，则有b≤1．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题：共4大题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18．（12.00分）已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若ϕ⊊B⊊A，求实数a，b的值．【解答】解：（1）A={3，5}；若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，则：B={2，3}；∴；∴a=5，b=﹣6；（2）若∅⊊B⊊A，则：B={3}，或B={5}；∴，或；∴，或．19．（12.00分）（1）已知tanθ=2，求的值；（2）已知﹣＜x＜，sinx+cosx=，求tanx的值．【解答】解：（1）∵tanθ=2，∴原式===﹣1；（2）∵sinx+cosx=，∴（sinx+cosx）2=，即2sinxcosx=﹣＜0，∵﹣＜x＜，∴sinx＜0，cosx＞0，∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∴sinx﹣cosx=﹣，∴sinx=﹣，cosx=，∴tanx=﹣．20．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（wx+）（A＞0，w＞0）的最小正周期为π，且x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，（1）求A的值；（2）求函数f（x）在[﹣π，0]上的单调递增区间．【解答】解：（1）由T=π=，∴w=2，∴f（x）=Asin（2x+），∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f max（x）=A=4…（7分）（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+），∵﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，又∵x∈[﹣π，0]，故f（x）的增区间是…（12分）（其他方法请酌情给分）21．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1．（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求实数λ的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈[﹣2，0]上的最大值．【解答】解：（1）∵x2﹣1≥λ（x+1），x∈R恒成立，∴x2﹣λx﹣λ﹣1≥0，x∈R恒成立，∴△=λ2+4λ+4≤0，∴λ=﹣2…（5分）（2）∵①当﹣2≤x ≤﹣1时，，（ⅰ）当λ≤﹣3时，h max =h （﹣1）=0；（ⅱ）当λ＞﹣3时，h max =h （﹣2）=λ+3； ②当﹣1＜x ≤0时，，（ⅰ）当λ≤﹣2时，h （x ）＜h （﹣1）=0；（ⅱ）当λ≥0时，h max =h （0）=λ+1； （ⅲ）当﹣2＜λ＜0时，h max =+λ+1，综上：①当λ≤﹣3时，h max =0；②当λ＞﹣3时，h max =λ+3．…（9分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
浙江省杭州市余杭区2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题 含答案
2015学年第一学期期末教学质量检测高一数学试题卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，则UCA =A 。
∅ B. {1,3，5｝ C 。
{1,3,6,7} D.{1,3,5,7}2. 当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a =与log ay x =的图象是3．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．2log y x = B ．1y x x=- C ．3y x =- D ．x y tan =4. 把函数sin 3y x =的图像向右平移4π个长度单位，所得曲线的对应函数式 A 。
)433sin(π-=x y B 。
)43sin(π+=x yC.)43sin(π-=x y D 。
)433sin(π+=x y5。
若3cos θ=5(0)2πθ-<<,则cos()6πθ-的值是A ．10433± B ．10334± C ．10433- D ．10433+ 6．函数||()5x f x =的值域是 A.]1,(-∞B. ),1[+∞ C 。
]1,0( D 。
),0(+∞7. 函数230()30151x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 已知()f x 是R 上的增函数，对实数,a b ,若0a b +>，则有A 。
()()()()f a f b f a f b +>-+- B.()()()()f a f b f a f b +<-+- C 。
()()()()f a f b f a f b ->--- D 。
()()()()f a f b f a f b -<-+-9．若log2log 20ab <<，则a ,b 满足的关系是A ．1a b <<B ．1b a <<C ．01a b <<<D ．01b a <<<10．函数sin tan y x x =+，[,]44x ππ∈-的值域是 A。
2015-2016年浙江省杭州二中高一(上)数学期末试卷与答案
2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的集合B的个数为（）A．8 B．4 C．3 D．12．（3.00分）设函数，则其零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）3．（3.00分）已知0为坐标原点，向量=（1，3），=（3，﹣1）且，则点P的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（，﹣） C．（，）D．（﹣2，4）4．（3.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．5．（3.00分）已知函数f（x）=log sin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣4，4]6．（3.00分）k∈Z时，的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．与α取值有关7．（3.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤18．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．a＜C．a＞D．＜a＜9．（3.00分）已知函数y=f（x）的图象是由y=sin2x向右平移得到，则下列结论正确的是（）A．f（0）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（0）＜f（4） C．f（0）＜f（4）＜f （2）D．f（4）＜f（2）＜f（0）10．（3.00分）若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0 B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4.00分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=．12．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．13．（4.00分）已知0＜x＜，sinx﹣cosx=．若tanx+可表示成的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=．14．（4.00分）下列命题：（1）y=|cos（2x+）|最小正周期为π；（2）函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣，）上有3个零点；（4）若∥，，则其中错误的是．15．（4.00分）在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y，（其中x+y=1），函数f （λ）=|﹣λ|的最小值为，则||的最小值为．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}（1）分别求A∩B，A∪B（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知点A（x 1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．19．（10.00分）设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ（1）求+的值；（2）求λ•μ的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的集合B的个数为（）A．8 B．4 C．3 D．1【解答】解：集合A={a，b}，若A∪B={a，b，c}，∴集合B={c}，或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}，共4个，故选：B．2．（3.00分）设函数，则其零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）f（2）=（1﹣2）×（8﹣1）=﹣7＜0，∴其零点所在区间为（1，2）．故选：B．3．（3.00分）已知0为坐标原点，向量=（1，3），=（3，﹣1）且，则点P的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（，﹣） C．（，）D．（﹣2，4）【解答】解：设点P（x，y），根据题意得；=（x﹣1，y﹣3），=（3﹣x，﹣1﹣y）；∵=2，∴，解得x=，y=；∴P（，）．故选：C．4．（3.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选：B．5．（3.00分）已知函数f（x）=log sin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣4，4]【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，∵sin1∈（0，1），∴函数y=log sin1t是关于t的减函数，结合题意，得t=x2﹣ax+3a是区间[2，+∞）上的增函数，又∵在[2，+∞）上t＞0总成立∴，解之得﹣4＜a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．故选：D．6．（3.00分）k∈Z时，的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．与α取值有关【解答】解：当k为奇数时，=．当k为偶数时，=．故选：A．7．（3.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1【解答】解：由题意曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的图象关于直线y=a的对称又截直线y=2及y=﹣1所得的弦长相等所以，两条直线y=2及y=﹣1关于y=a对称a==又弦长相等且不为0故振幅A大于=A＞故有a=，A＞故选：A．8．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．a＜C．a＞D．＜a＜【解答】解：当a=1时，f（x）=x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数；当a≠1时，要使函数f（x）=（x﹣1）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数，则有，即，解得．故选：D．9．（3.00分）已知函数y=f（x）的图象是由y=sin2x向右平移得到，则下列结论正确的是（）A．f（0）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（0）＜f（4） C．f（0）＜f（4）＜f （2）D．f（4）＜f（2）＜f（0）【解答】解：把y=sin2x向右平移得到y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故f（0）=﹣，f（2）=sin（4﹣），f（4）=sin（8﹣），故f（0）＜f（2）＜f（4），故选：A．10．（3.00分）若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵4β3+sinβcosβ+λ=0，∴（﹣2β）3﹣2sinβcosβ﹣2λ=0，即（﹣2β）3+sin（﹣2β ）﹣2λ=0．再由（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，可得（α﹣）3 +sin（α﹣）﹣2λ=0．故﹣2β和α﹣是方程x3+sinx﹣2λ=0 的两个实数解．再由α∈[0，π]，β∈[﹣，]，所以﹣α 和2β的范围都是[﹣，]，由于函数x3+sinx 在[﹣，]上单调递增，故方程x3+sinx﹣2λ=0在[﹣，]上只有一个解，所以，﹣α=2β，所以+β=，所以cos（+β）=．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4.00分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=0．【解答】解：∵幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），∴k=1，2=k，解得k=1，α=﹣1．∴k+α=0．故答案为：0．12．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π13．（4.00分）已知0＜x＜，sinx﹣cosx=．若tanx+可表示成的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=50．【解答】解：∵已知0＜x＜，sinx﹣cosx=，∴1﹣2sinxcosx=，即sinxcosx=．若tanx+=+===，（a，b，c为正整数），∴a=32，b=16，c=2，则a+b+c=50，故答案为：50．14．（4.00分）下列命题：（1）y=|cos（2x+）|最小正周期为π；（2）函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣，）上有3个零点；（4）若∥，，则其中错误的是（1）（3）（4）．【解答】解：（1）函数y=cos（2x+）最小正周期为π，则y=|cos（2x+）|最小正周期为；则（1）错误，（2）由=，得x=kπ，即函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z 正确，则（2）正确；（3）由f（x）=tanx﹣sinx=0得，tanx=sinx，则sinx=0或cosx=1，则在（﹣，）内，x=0，此时函数只有1个零点；则（3）错误，（4）若∥，，则错误，当=时，结论不成立，则（4）错误，故错误的是（1）（3）（4），故答案为：（1）（3）（4）15．（4.00分）在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y，（其中x+y=1），函数f（λ）=|﹣λ|的最小值为，则||的最小值为．【解答】解：锐角△ABC中，AC=BC=2，且函数f（λ ）的最小值为；∴函数f（λ）==2≥，即4λ2﹣8λcos∠ACB+1≥0恒成立；当且仅当λ=﹣=cos∠ACB时等号成立，代入函数f（λ）中得到cos∠ACB=，∴∠ACB=；∴||==2=2=2=2≥2×=，当且仅当x==y时，取得最小值，∴||的最小值为；故答案为：．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为[，）．【解答】解：∵f（x）=x+，x∈[0，）为单调递增，f（x）=3x2在[，1]上单调递增，则由存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）得，x1∈[0，），x2∈[，1]，即x1+=3，则≤x1＜，则x1•f（x2）=x1•（x1+），则•（+）≤x1•（x1+）＜•1，即≤x1•（x1+）＜，故答案为：[，）．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}（1）分别求A∩B，A∪B（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]．由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）．∴A∩B=[1，2）．A∪B=（0，3]．（2）由C⊆A，当C为空集时，a≤1．当C为非空集合时，可得1＜a≤3．综上所述：a的取值范围是a≤3．18．（12.00分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）角φ的终边经过点P（1，﹣），tanφ=﹣，∵﹣＜φ＜0，∴φ=﹣．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得T=，即=，∴ω=3．∴f（x）=2sin（3x﹣）…（4分）（2）∵x∈（，），∴3x﹣∈（0，π），∴0＜sin（3x﹣）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）．作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．∵t=时，y=﹣；t=0时，y=0；t=2时，y=10．∴当﹣m=﹣或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．∴m的取值范围是：m=或﹣10＜m≤0．…（12分）19．（10.00分）设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ（1）求+的值；（2）求λ•μ的取值范围．【解答】解：（1）连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，则，．又，，∴=，=（）+．∵P，G，Q三点共线，故存在实数t，使=t，即（）+=．∴，两式相除消去t得1﹣3λ=﹣，即．（2）∵1﹣3λ=﹣，∴，∵λ，μ∈（0，1），∴，解得．∴．∴λμ==．∴当时，λμ取得最小值，当或2时，λμ取得最大值．∴λμ的取值范围是[，）．20．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数y=f（x）为偶函数可知，对任何x都有f（﹣x）=f（x），得：（﹣x）2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|，即|x+a|=|x﹣a|对任何x恒成立，平方得：4ax=0对任何x恒成立，而x不恒为0，则a=0；（Ⅱ）将不等式f（x﹣1）≤2f（x），化为（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，（1）当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为x2+4x+1﹣2a≥0，对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+4x+1﹣2a 在（0，a]为单调递增，只需g（x）min=g（0）=1﹣2a≥0，得0＜a≤；（2）当a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x2﹣4x+1+6a≥0，对a＜x≤a+1上恒成立，由（1）可知0＜a≤，则h（x）=x2﹣4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，只需h（x）min=h（a+1）=a2+4a﹣2≥0 得：a≤﹣﹣2或a≥﹣2，即：﹣2≤a≤；（3）当x＞a+1时，将不等式（*）可化为x2+2a﹣3≥0对x＞a+1恒成立则t（x）=x2+2a﹣3 在（a+1，+∞）为单调递增，由（2）可知﹣2≤a≤都满足要求．综上：实数 的取值范围为：﹣2≤a ≤．。
杭州学军中学数学高一上期末知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．(0分)[ID ：12112]已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞3．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.96．(0分)[ID ：12054]已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ） A ．1B ．-1C ．-3D ．37．(0分)[ID ：12051]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}8．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．(0分)[ID ：12062]已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
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A． B． C． D．3
5．（3.00 分）若 0≤α≤2π， sin α＞ cos α，则 α的取值范围是（
）
பைடு நூலகம்
A．（ ， ） B．（ ，π） C．（ ， ） D．（ ， ）
6．（3.00 分）已知函数 f（ x） =Atan（ωｘ+φ）
，y=f（x）的
部分图象如图，则
=（ ） π
A．2+
B． C． D．2﹣
7．（3.00 分）已知 f（x）是偶函数，且 f（x）在 [ 0，+∞）上是增函数，如果 f
（ ax+1）≤ f（x﹣2）在
上恒成立，则实数 a 的取值范围是（
）
A．[ ﹣2，1] B．[ ﹣5，0] C． [ ﹣ 5， 1] 【解答】 解：由题意可得 | ax+1| ≤| x﹣ 2| 对
D．[ ﹣2，0] 恒成立，得 x﹣2≤ax+1
≤ 2﹣ x 对
恒成立，
从而
且
对
恒成立，
∴ a≥﹣ 2 且 a≤0，
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即 a∈[ ﹣2，0] ， 故选： D．
8．（3.00 分）已知函数 f（ x） =ax3+bsinx+4（ a， b∈ R），f （lg（log210）） =5，则 f（lg（lg2）） =（ ） A．﹣ 5 B．﹣ 1 C．3 D．4 【解答】 解：∵ lg（ log210）+lg（lg2）=lg1=0， ∴ lg（log210）与 lg（lg2）互为相反数 则设 lg（log210）=m，那么 lg（lg2）=﹣m 令 f（ x）=g（x）+4，即 g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故 g（﹣ m）= ﹣ g（ m）， ∴ f（m） =g（m） +4=5， g（m）=1 ∴ f（﹣ m）=g（﹣ m）+4=﹣g（m） +4=3． 故选： C．
9．（3.00 分）已知函数 f（x）=sin（ 2x+φ），其中 φ为实数，若 f（x）≤ | f（ ）
| 对 x∈R 恒成立，且 f（ ）＞ f（π），则 f（x）的单调递增区间是（
）
A．[ kπ﹣ ， kπ+ ] （k∈Z） B． [ kπ，kπ+ ] （ k∈Z）
C．[ kπ+ ，kπ+ ] （k∈Z） D． [ kπ﹣ ，kπ] （ k∈Z）
） = ，所以 ω＝ =2，
函数的解析式为： f（x）=Atan（2x+φ）， 因为函数过（ ，0），可得： 0=Atan（
+φ），
又 | φ| ＜ ，
所以解得： φ＝ ，
又图象经过（ 0，1），可得： 1=Atan ， 所以： A=1， 所以： f（x）=tan（ 2x+ ），
则 f（ ） =tan（ + ） =tan = ． 故选： B．
| 对 x∈R 恒成立，且 f（ ）＞ f（π），则 f（x）的单调递增区间是（
）
A．[ kπ﹣ ， kπ+ ] （k∈Z） B． [ kπ，kπ+ ] （ k∈Z）
C．[ kπ+ ，kπ+ ] （k∈Z） D． [ kπ﹣ ，kπ] （ k∈Z） 10．（ 3.00 分）已知函数 f （x）是定义在 R 上的奇函数， f（x+2）=f（ x），当 x∈ （ 0， 1] 时， f（x）=1﹣ 2| x﹣ | ，则函数 g（x）=f[ f（ x） ] ﹣ x 在区间 [ ﹣ 2，
7．（3.00 分）已知 f（ x）是偶函数，且 f （x）在 [ 0， +∞）上是增函数，如果 f
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（ ax+1）≤ f（x﹣2）在
上恒成立，则实数 a 的取值范围是（
）
A．[ ﹣2，1] B．[ ﹣5，0] C． [ ﹣ 5， 1] D．[ ﹣2，0] 8．（3.00 分）已知函数 f（ x） =ax3+bsinx+4（ a， b∈ R），f （lg（log210）） =5，则 f（lg（lg2）） =（ ） A．﹣ 5 B．﹣ 1 C．3 D．4 9．（3.00 分）已知函数 f（x）=sin（ 2x+φ），其中 φ为实数，若 f（x）≤ | f（ ）
2] 内不同的零点个数是（
）
A．5 B．6 C．7 D．9
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．（4.00 分）已知奇函数 f（x）当 x＞0 时的解析式为 f（x）=
，则 f（﹣ 1）
=
．
12．（ 4.00 分）函数 f（ x）=sin2x+cos2x 的最小正周期为
．
13．（ 4.00 分）已知 f（x）=log2x，x∈ [ ，4] ，则函数 y=[ f（ ）] ×f（2x）的
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．（4.00 分）已知奇函数 f（x）当 x＞0 时的解析式为 f（x）=
，则 f（﹣ 1）
=﹣ ．
【解答】 解：奇函数 f（x）当 x＞0 时的解析式为 f （x）=
，则 f（﹣ 1）=
﹣ f（1）=﹣ ．
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故答案为：﹣ ．
取值范围是
．
三、解答题（每小题 8 分，共 50 分）
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16．（ 8.00 分）已知 tan α =．2 （ 1）求 tan（α+ ）的值； （ 2）求
的值．
17．（ 8.00 分）已知函数 f（x）对任意的 a， b∈ R，都有 f（a+b） =f（a）+f（b） ﹣ 1，且当 x＞0 时， f（ x）＞ 1 （ 1）判断并证明 f （x）的单调性； （ 2）若 f （4）=3，解不等式 f （3m2﹣m﹣ 2）＜ 2． 18．（ 10.00 分）函数 f（ x）=6cos2 + sin ω﹣ｘ3（ω＞0）在一个周期内的图
12．（ 4.00 分）函数 f（ x）=sin2x+cos2x 的最小正周期为 π ．
【解答】 解： f（x） =sin2x+cos2x=
+cos2x= cos2x+ ，
∵ ω=2，∴ f （x）最小正周期 T= =π．
故答案为： π
13．（ 4.00 分）已知 f（x）=log2x，x∈ [ ，4] ，则函数 y=[ f（ ）] ×f（2x）的
∵ 0≤ α≤ 2π， ∴﹣ ≤α﹣ ≤ ，
∵ 2sin（α﹣ ）＞ 0，
∴ 0＜ α﹣ ＜ π，
∴ ＜ α＜ ． 故选： C．
6．（3.00 分）已知函数 f（ x） =Atan（ωｘ+φ）
部分图象如图，则
=（ ） π
，y=f（x）的
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A．2+
B． C． D．2﹣
【解答】 解：由题意可知 T=2×（
【解答】 解：若
对 x∈R 恒成立，
则 f（ ）等于函数的最大值或最小值
即 2× +φ=kπ+ ， k∈ Z
则 φ=kπ+ ，k∈Z
又
即 sin φ＜ 0 令 k=﹣1，此时 φ＝
，满足条件
令 2x
∈ [ 2kπ﹣
， 2kπ+ ] ，k∈Z
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解得 x∈ 故选： C．
10．（ 3.00 分）已知函数 f （x）是定义在 R 上的奇函数， f（x+2）=f（ x），当 x∈ （ 0， 1] 时， f（x）=1﹣ 2| x﹣ | ，则函数 g（x）=f[ f（ x） ] ﹣ x 在区间 [ ﹣ 2，
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2015-2016 学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3.00 分）设全集 U={ 1，2，3，4，5，6} ， A={ 1， 2} ，B={ 2，3，4} ，则 A ∩（ ?UB）=（ ） A．{ 1，2，5，6} B． { 1} C．{ 2} D．{ 1， 2， 3， 4} 2．（3.00 分）把函数 y=cos（x+ ）的图象向右平移 φ个单位，所得的图象正
2．（3.00 分）把函数 y=cos（x+ ）的图象向右平移 φ个单位，所得的图象正
好关于 y 轴对称，则 φ的最小正值为（
）
A． B． C． D．
【解答】 解：把函数 y=cos（ x+ ）的图象向右平移 φ个单位，
所得的图象对应的函数解析式为 y=cos（x﹣φ+ ），
再根据所得函数的图象正好关于 y 轴对称，可得﹣ φ+ =kπ，k∈z．
2] 内不同的零点个数是（
）
A．5 B．6 C．7 D．9
【解答】 解：函数 f （x）是定义在 R 上的奇函数，
且 f（ x+2）=f（x），
即有函数 f（ x）关于原点对称，周期为 2，
当 x∈（ 0，1] 时， f（ x） =1﹣2| x﹣ | ，
即有当 x∈[ ﹣1，0）时， f（ x） =﹣1+2| x+ | ， 由图象的平移可得在区间 [ ﹣ 2， 2] 内的函数 f（x）的图象， 进而得到 y=f（f（ x））的图象， 作出 y= x 的图象，由图象观察，可得它们有 5 个交点， 故零点个数为 5． 故选： A．
值域是
．
14．（ 4.00 分）已知 f（ x）=sin
（ω＞0）， f（ ）=f（ ），且 f （x）
在区间
上有最小值，无最大值，则 ω＝
．
15．（4.00 分）已知函数 f（x）满足 f（x﹣1）=﹣f（﹣ x+1），且当 x≤0 时， f（x） =x3，若对任意的 x∈[ t，t +2] ，不等式 f （x+t ）≥ 2 f（x）恒成立，则实数 t 的