3第三章序列算子与灰色序列生成

定义3.2.3 设X 为系统行为数据系列，D 为作用于X 的算子，X 经过算子D 作用后所得序列记为()()()()d n x d x d x XD ,,2,1⋅⋅⋅=称D 为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。

公理3.2.1（不动点公理） 设X 为系统行为数据系列，D 为序列算子，则D 满足x(n)d =x(n)公理 3.2.2（信息充分利用公理） 系统行为数据序列X 中的每一个数据x (k ),k =1,2,…,n 都应充分的参与算子作用的全过程。

公理3.2.3（解析化、规范化公理） 任意的x (k )d ,(k =1,2,…,n ),皆可由一个统一的x (1), x (2) ,…,x (n )的初等解析式表达。

定义 3.2.4 称上述三个公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶……缓冲算子作用序列称为一阶，二阶，三阶……缓冲序列。

定义3.2.5 设X 为原始数据序列，D 为缓冲算子，当X 分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时：1.若缓冲序列XD 比原始序列X 的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，我们称缓冲算子D 为弱化算子；2.若缓冲序列XD 比原始序列X 的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲算子D 为强化算子。

二、缓冲算子的性质定理3.2.1 设X 为单调增长序列，XD 为其缓冲序列，则有1。

D 为弱化算子〈=〉x(k) ≤x(k)d,k=1,2,…,n;2。

D 为强化算子〈=〉x(k) ≥x(k)d,k=1,2,…,n.即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用下数据萎缩。

定理3.2.2 设X 为单调衰减序列，XD 为其缓冲序列，则有1。

D 为弱化算子〈=〉x(k) ≥x(k)d,k=1,2,…,n; 2。

D 为强化算子〈=〉x(k) ≤x(k)d,k=1,2,…,n .即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用下数据膨胀。

定理3.2.3 设X 为振荡序列，XD 为其缓冲序列，则有1.若D 为弱化算子，则2.若D 为强化算子，则三、实用缓冲算子的构造 定理 3.2.4 设原始数据序列令缓冲算子公理与性质(){}(){}(){}(){}d k x k x d k x k x nk nk nk n k ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≥1111min min max max (){}(){}(){}(){}d k x k x d k x k x nk nk nk n k ≤≤≤≤≤≤≤≤≥≤1111min min max max ()()()()n x x x X ,,2,1⋅⋅⋅=教学内容 提示3.3均值生成算子在搜集数据时，常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺（也称空穴）。

也有一些数据序列虽然数据完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据，给研究工作带来很大困难，这时如果剔除异常数据就会留下空穴。

因此，如何有效地填补空穴，自然成为数据处理过程中首先遇到的问题。

均值生成是常用的构造新数据、填补老序列空穴、生成新序列的方法。

定义3.3.1设序列X = (x(1) , x(2) , …,x(k) ,x(k+1) , …,x(n))，x(k)与x(k+1)为X的一对紧邻值，x(k)称为前值，x(k+1)称为后值，若x(n)为新信息，则对任意k≤n–1，x(k)称为老信息。

定义3.3.2 设序列X在k处有空穴，记为φ（k）,即X = (x(1) , x(2) , …,x(k–1) ,φ（k）,x(k+1) , …,x(n))则称x(k–1)和x(k+1)为Φ（k）的界值，x(k–1)为前界，x(k+1)为后界，当φ（k）由x(k–1)和x(k+1)生成时，称生成值x(k)为[x(k–1)，x(k+1)]的内点。

定义3.3.3设x(k)和x(k–1)为序列X中的一对紧邻值，若有1。

x(k–1)为老信息，x(k)为新信息；2。

x *(k) = αx(k) +（1–α）x(k–1),αЄ[0,1]则称x *(k)为由新信息和老信息在生成系数（权）α下的生成值，当α>0.5时，称x *(k)的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当α<0.5时，称x *(k)的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当α=0.5时，称x *(k)的生成是非偏生成。

定义3.3.4设序列X=(x(1) ,x(2),…, x(k–1),φ(k),x(k+1),…,x(n))为在k处有空穴φ(k)的序列，而x *(k)=0.5x(k–1)+ 0.5x(k+1)为非紧邻均值生成数，用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列。

定义3.3.5 设序列X=(x(1) ,x(2),…, x(n)),若x*(k)=0.5x(k)+ 0.5x(k–1) 则称x *(k)为紧邻均值生成数。

由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。

在GM建模中，常用紧邻信息的均值生成。

它是以原始序列为基础构造新序列的方法。

设X=(x(1) ,x(2),…, x(n))为n元序列，Z是X的紧邻均值生成序列，则Z为n–1元序列：Z=(z(2),z(3),…,z(n))事实上，我们无法由X生成z(1).因为按紧邻均值生成的定义，应有z(1)=0.5x(1)+0.5x(0),但x(0) =φ(0)为空穴，若不作信息扩充，我们只有以下三种选择：1。

视x(0)为灰数，不赋予确切数值；均值生成算子的讲解2。

赋零或任意赋值； 3。

赋予一个与x(1)有关的值。

其中2。

没有任何科学依据，而且2。

中赋零和1。

，3。

都已不是等权均值生成的范畴。

3.4序列的光滑性处处可导是光滑连续函数的特性，而序列是由离散的单个点构成的，根本无导数可言（通常意义下），因此不能用导数研究序列的光滑性。

我们从另外的角度去研究光滑连续函数的特性。

若某序列具有与光滑连续函数大致相近的特征，便认为此序列是光滑的。

设X(t)为一条单调递增连续曲线，如图3.4.1所示。

将所考虑的时区中置入n+1个分点：t 1<t 2<…<t k <t k+1<…<t n+1.记Δt k = t k+1–t k ，k=1,2, …,n .相应的得到X(t)的n 个分段，在第k 段[x(t k ),x(t k+1)], k=1,2, …,n 内任取一点，记为x(k)，可得内点序列X=(x(1),x(2), …,x(n))再将所有小分段的下边界点取出，可得下边界点序列X 0=(x(t 1),x(t 2), …, x(t n ))如果X(t)为光滑连续函数，则当时区分割得足够细密时，应有1。

任意两个内点序列充分接近; 2。

任意内点序列与下边界点序列充分接近; 综上所述，可得光滑连续函数的序列化定义。

定义3.4.1 设[a,b]为一时区，将[a,b]分成n 个小时区Δt k ，k=1,2, …,n .若划分方式满足1 Δt k =[t k , t k+1];2 Δt k =[a,b]；3 当i ≠j 时，Δt i ∩Δt j =φ。

则称Δt k （k=1,2, …,n ）为[a,b]的一种划分。

定义3.4.2 设X(t)是定义在[a,b]上的连续函数，在[a,b]中插入分点a = t 1<t 2<…<t k <t k+1<…<t n+1 = b得到[a,b]的一个划分：Δt k =[t k ，t k+1]，k=1,2, …,n.我们同时用Δt k 表示[t k ，t k+1]的长度，Δt k = t k+1–t k ，k=1,2, …,n.在[t k ，t k+1]中任取一点得x(k)，从而有序列X=(x(1),x(2), …,x(n))记X 0=(x(t 1),x(t 2), …, x(t n ))序列的光滑性讲解教学内容提示3.6累加生成算子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。

通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。

比如对于一个家庭的支出，若按日计算，可能没有什么明显的规律，若按月计算，支出的规律性就可能体现出来，它大体与月工资收入成某种关系；一种农作物的单粒重，一般说没有什么规律，人们常用千粒重作为农作物品种的评估标准；一个生产重型机械设备的厂家，由于产品生产周期长，其产量、产值若按天计算，就没有规律，若按年计算，则规律显著。

累减生成是在获取增量信息时常用的生成，累减生成对累加生成起还原作用。

累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子。

定义3.6.1 设X (0)为原始序列X (0)= (x (0)(1), x (0)(2),…, x (0)(n)),D为序列算子X (0)D =( x (0)(1)d, x (0)(2)d,…, x (0)(n)d),其中()()()()nk i x d k xki ,,2,1;100⋅⋅⋅==∑=则称D为X (0)的一次累加生成算子，记为1-AGO(Accumulating GenerationOperator).称r阶算子D r 为X (0)的r次累加生成算子，记为r- AGO,习惯上，我们记()()()()()()()()()()()()()()()()()()n x x x X D X n x x x X D X r r r r r ,,2,1,,2,1011110⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==()()()()nk i x k xki r r ⋅⋅⋅==∑=−,2,1;11定义3.6.2 设X (0)为原始序列X (0)= (x (0)(1), x (0)(2),…, x (0)(n)) ,D为序列算子X (0)D =( x (0)(1)d, x (0)(2)d,…, x (0)(n)d),其中()()()()()()n k k x k x d k x ,,2;1000⋅⋅⋅=−−=则称D 为X (0)的一次累减生成算子。

r 阶算子D r称为X (0)的r 次累减生成算子。

习惯上，我们记()()()()()()()()()()()()()n x x x X D X r r r r r 00000,,2,1αααα⋅⋅⋅==其中()()()()()()()()()n k k x k x k xr r r ,,2,1;101010⋅⋅⋅=−−=−−ααα定理3.6.1 累减算子是累加算子的逆算子，即()()()0X X r r =α例3.6.1 设某灰数按年统计的数据序列为()()()()()()()()n x x x X 0000,,2,1⋅⋅⋅= 若按年分月统计，则第k年的数据序列为()()()()()()()()()k x k x k x k X ,12,,,2,,10000⋅⋅⋅= 级比生成算子与例题的讲解若按年分月逐日统计，则第k年第j 月的数据序列为()()()()()()()()()k j x k j x k j x k j X ,,30,,,,2,,,1,0000⋅⋅⋅= 若按年分月逐日划时统计，则第k年第j月第i日的数据序列为()()()()()()()()()k j i x k j i x k j i x k j i X ,,,24,,,,,2,,,,1,,0000⋅⋅⋅=其中()()()24,,2,1,,,0⋅⋅⋅=h k j i h x 为第k年第j月第i日第h时的数据。