(完整word版)西安电子科技大学信息论与编码理论讲义
信息论与编码-第一章
信息论与编码基础教程第一章
及
常 用
（4）认证性：
术 语
接收者能正确判断所接收的消息的正确性，
验证消息的完整性，而不是伪造和篡改的。
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1.3
第一章 绪 论
4．信息的特征
信
息 论
（1）信息是新知识、新内容；
的 概
（2）信息是能使认识主体对某一事物的未知
念 及
性或不确定性减少的有用知识；
常
用 （3）信息可以产生，也可以消失，同时信息
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第一章 绪 论
1-1 信息、消息、信号的定义是什么?三者的关 系是什么?
1-2 简述一个通信系统包括的各主要功能模块及 其作用。
1-3 写出信息论的定义（狭义信息论、广义信息 论）。
1-4 信息有哪些特征? 1-5 信息有哪些分类? 1-6 信息有哪些性质？
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1.1
信
1961年，香农的“双路通信信道”（Two-
息 论
way Communication Channels）论文开拓了多
发 展
用户信息理论的研究。到20世纪70年代，有关信
简 息论的研究，从点与点间的单用户通信推广发展
史
到多用户系统的研究。
1972年，T Cover发表了有关广播信道的 研究，以后陆续进行了有关多接入信道和广播信 道模型和信道容量的研究。
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1.3
第一章 绪 论
信 3）信号
息 论
定义:
的 概
把消息换成适合信道传输的物理量（如电
念 信号、光信号、声信号、生物信号等），这种
及 常
物理量称为信号。
用
术
语
信号是信息的载体，是物理性的。
精品课课件信息论与编码(全套讲义)
跨学科交叉融合
信息论将与更多学科进行交叉融合，如物理学、 化学、社会学等，共同推动信息科学的发展。
编码技术的发展趋势
高效编码算法
随着计算能力的提升，更高效的编码算法将不断涌现，以提高数据 传输和存储的效率。
智能化编码
借助人工智能和机器学习技术，编码将实现智能化，自适应地调整 编码参数以优化性能。
跨平台兼容性
未来的编码技术将更加注重跨平台兼容性，以适应不同设备和网络环 境的多样性。
信息论与编码的交叉融合
理论与应用相互促进
信息论为编码技术提供理论支持， 而编码技术的发展又反过来推动 信息论的深入研究。
共同应对挑战
精品课课件信息论与编码(全套 讲义)
目
CONTENCT
录
• 信息论基础 • 编码理论 • 信道编码 • 信源编码 • 信息论与编码的应用 • 信息论与编码的发展趋势
01
信息论基础
信息论概述
信息论的研究对象
研究信息的传输、存储、处理和变换规律的科学。
信息论的发展历程
从通信领域起源，逐渐渗透到计算机科学、控制论、 统计学等多个学科。
卷积编码器将输入的信息序列按位输入到一个移位寄存器中，同时根据生成函数将移位寄存 器中的信息与编码器中的冲激响应进行卷积运算，生成输出序列。
卷积码的译码方法
卷积码的译码方法主要有代数译码和概率译码两种。代数译码方法基于最大似然译码准则， 通过寻找与接收序列汉明距离最小的合法码字进行译码。概率译码方法则基于贝叶斯准则， 通过计算每个合法码字的后验概率进行译码。
04
信息论与编码讲义第一讲
三、信息的度量
3.1 自信息量
随机事件 x i
出现概率
P xi
自信息量定义
Ixi logPxi
❖ 随机事件的不确定性
▪ 出现概率小的随机事件所包含的不确定性大， 它的自信息量大。
▪ 出现概率大的随机事件所包含的不确定性小， 它的自信息量小。
▪ 在极限情况下，出现概率为1的确定性事件， 其自信息量为零。
2.4 香农信息论
1948 年 ， 美 国 数 学 家 克 劳特·香农（C.E. Shannon） 发表了一篇著名论文“通信 的数学理论”。
该论文给出了信息传输 问题的一系列重要结果，建 立了比较系统的信息理论— —香农信息论。
信息论奠基人——香农
“通信的基本问题就是在一 点重新准确地或近似地再 现另一点所选择的消息”。 这是香农在他的惊世之著 《通信的数学理论》中的 一句铭言。正是沿着这一 思路,他应用数理统计的方 法来研究通信系统，从而 创立了影响深远的信息论。
❖ 若给定x条件下y的条件自信息量为I(y|x)，则它 在XY集合上的概率加权平均值H(Y|X)定义为：
H Y|X P xyIy|x X Y
❖ H(Y|X)为条件熵，也可直接定义为：
H Y |X P x y lo g P y|x
X Y
共熵
❖ 共熵（又称联合熵）是联合空间XY上的每个元素 对xy的自信息量的概率加权平均值，定义为：
计分方式
期终考试占60％ 专题报告占20％；个人报告占20％ 小论文占20%
二、信息概念、信息论
2.1 信息 信息、消息、信号 信息是抽象、复杂的概念，它包含在消息之中，
是通信系统中传递的对象。
2.2 信息定义 信息就是事物运动的状态和方式，就是关于事
信息论与讲义编码8
定义 8.1 域是一些元素的集合，在这些元素中定义了
加法和乘法两种运算，且满足如下11条性质： （1）对加法它是一个交换群
（满足5条性质：封闭性、结合律、交换律、存在幺 元、存在逆元）；
（2）对乘法它也是一个交换群 （满足5条性质：封闭性、结合律、交换律、存在幺
元、存在逆元（除去0元素））； （3）对加法、乘法满足分配律：
的其他所有非零元素都可写成α的方幂 ,2, ,q1e。
以本原元为根的即约多项式称为本原多项式。
【例8.7】 基域GF (2)={0,1}，扩展域G F ( 2 m ) ，生成多项p(x)x3x21 ，
α是p(x)的根，即 p () 3 2 1 0 3 2 1
G F ( 2 m ) 是所有阶次小于3的多项式集合，共有8个元素：
8.1 有限域及其结构
8.1.1 域的定义
1．多项式
几个有关概念： （1）多项式：f( x ) f0 f 1 x f2 x 2 fn x n； （2）系数： fi∈K（集合） i=1, 2, …,n； （3）首一多项式：若多项式最高幂次项的系数 fn = 1，称该多项式为首一多项式； （4）多项式f (x)的阶次n记为f (x) = n； （5）多项式因式分解：将多项式分解为若干个 因式相乘，这种分解是唯一的； （6）即约多项式：阶大于0且在给定集合K上除 了常数和本身的乘积外，不能被其他多项式除尽 的多项式。
2．有关多项式的一些运算
（1）多项式带余除法
若p (x)不能整除a(x)，商Q (x)，余r(x)，记为：
a(x)= Q (x) p (x) +r (x)
r(x) < p (x)
（2）多项式模d(x)运算的剩余类集合
多项式a(x)被p(x)所除，余数记为r (x)，称为a(x)的模p(x)运算， R p ( x ) [a ( x就)]称为对多项式a(x)进行模p(x)运算的剩余类集合。
信息论与编码第三版资料讲解
自信息量：事件ai发生所含有的信息量
I (ai )
f [P(ai )] logr
2
第三页，共248页。
第1章
绪论
第四页，共248页。
1.1 信息(xìnxī)的概念
4
第五页，共248页。
几个(jǐ ɡè)常见概 念
情报：是人们对于某个特定对象所见、所闻、所理 解而产生的知识。
知识：一种具有普遍和概括性质的高层次的信息 ， 以实践为基础，通过抽象思维(sīwéi)，对客观事物 规律性的概括。
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第二十六页，共248页。
2.2 离散(lísàn)信源的信息熵
基本的离散信源： 输出(shūchū)单符号消息，且这些消息间两两互不相
容。用一维随机变量X来描述信源的输出(shūchū)，其 数学模型可抽象为:
X P( x)
a1
P(a1
)
a2 P(a2 )
a3 P(a3 )
... ...
消息：用文字、符号、语音、图像等能够被人们感 觉器官所感知的形式，把客观物质运动和主观思维 (sīwéi)活动的状态表达出来。
5
第六页，共248页。
香农信息(xìnxī)的度量
（1）样本空间 某事物各种可能出现的不同状态。
（2）概率测度 对每一个(yī ɡè)可能选择的消息指定一个(yī ɡè) 概率。
1924年奈奎斯特(Nyquist)的 “影响电报速率因素 的确定” 。
1928年哈特莱(Hartley) 的“信息传输” 一文研究 了通信系统传输信息的能力，并给出了信息度量 方法。
16
第十七页，共248页。
1946年柯切尔尼柯夫的学位论文“起伏噪声下的潜在抗干扰 理论”，根据最小错误概率准则和最小均方误差准则研究了 离散和连续信道(xìn dào)的最佳接收问题。
信息论与编码理论第一章
1.2 信息论研究的中心问题和发 展
Shannon信息论的基本任务
1948年shannon发表了“通信的数学理论” 奠定了信息论理论基础 基本任务是设计有效而可靠的通信系统
信息论的研究内容
狭义信息论（经典信息论）
研究信息测度，信道容量以及信源和信道编码理论
一般信息论
研究信息传输和处理问题，除经典信息论外还包括噪 声理论，信号滤波和预测，统计检测和估值理论，调 制理论，信息处理理论和保密理论
几乎无错地经由Gaussian信道传信 对于非白Gassian信道，Shannon的注水定理和多载波调制(MCM) CDMA、MCM(COFDM)、TCM、BCM、各种均衡、对消技术、
以及信息存储编码调制技术
信息论几个方面的主要进展
Ⅰ．信源编码与数据压缩 Ⅱ．信道编码与差错控制技术 Ⅲ．多用户信息论与网络通信 Ⅳ．多媒体与信息论 Ⅴ．信息论与密码学和数据安全 Ⅵ．信息论与概率统计 Ⅶ．信息论与经济学 Ⅷ．信息论与计算复杂性 Ⅸ．信息论与系统、控制、信号检测和处理 Ⅹ．量子信息论 Ⅺ．Shannon的其它重要贡献 参见课程网站:信息论进展50年
2．简化模型。理论的作用是浓缩知识之树， “简 单模型胜于繁琐的现象罗列”， “简单化才能显 现出事物的本质，它表现了人的洞察力”。 好的性能量度和复杂性的量度（信息量、熵、 信道容量、商品等），常会引导出优秀的理论结 果和令人满意的实际应用。
1.3 Shannon信息论的局限性
如果实际信源或信道符合所采用的概率模 型描述，这种方法是有效的，否则只能是 近似的，甚至根本无效。
信道 编码器
信道编码 器
调制器
信 道
干扰源
信源 译码器
信道 译码器
信息论与编码第二讲
n维n重空间R
k维n重 码空间C
G
n-k维n重
对偶空间D
H
图3-1 码空间与映射
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c是G空间的一个码字，那么由正交性得到：
c HT= 0
0代表零阵，它是[1×n]×[n×(n-k)]=1×(n-k)矢量。
上式可以用来检验一个n重矢量是否为码字：若等式成立，该 n重是码字，否则不是码字。
m G =C
张成码空间的三个基，
本身也是码字。
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信息空间到码空间的线性映射
信息组(m2 m1 m0 )
000
001 010
011 100
101
110 111
码字(c5 c4 c3 c2 c1c0 )
000000
001011 010110
011101 100111
2.3译码平均错误概率
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2.4 译码规则
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2.4.1 最大后验概率译码准则
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例题
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第22页，此课件共84页哦
2.4.2 极大似然译码准则
式中，E(RS)为正实函数，称为误差指数，它与RS、C的关系 如下图所示。图中，C1、C2为信道容量，且C1＞C2。
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2.2 信道编码基本思想
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《信息论》讲义204教研室2005年11月主要内容：第一章绪论第二章离散信源及其信息测度第三章离散信道及其信道容量第四章无失真信源编码第五章有噪信道编码第一章 绪论信息论——人们在长期通信工程的实践中，由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
奠基人——香农1948年发表了著名的论文——《通信的数学理论》，为信息论奠定了理论基础。
1.1 信息的概念人类离不开信息，信息的接收、传递、处理和利用时时刻刻都在发生。
如：“结绳记事”、“烽火告警”，信息的重要性是不言而喻的。
什么是信息？——信息论中最基本、最重要的概念。
信息与“消息”、“情报”、“知识”、“情况”等的区别：“情报”——人们对于某个特定对象所见、所闻、所理解而产生的知识。
是一类特定的信息。
“知识”——人们根据某种目的，从自然界收集得来的数据中，整理、概括、提取得到的有价值的、人们所需的信息。
是一种具有普遍和概括性质的高层次的信息。
“消息”——以文字、符号、数据、语言、音符、图片、图像等能够被人们感觉器官所感知的形式，表达客观物质运动和主观思维活动的状态。
消息包含信息，是信息的载体。
二者既有区别又有联系。
“信号”——消息的运载工具。
香农从研究通信系统传输的实质出发，对信息作了科学的定义，并进行了定性和定量的描述。
收信者：收到消息前，发送者发送的消息——1、描述的是何种事物运动状态的具体消息；2、描述的是这种消息还是那种消息；3、若存在干扰，所得消息是否正确与可靠。
存在“不知”、“不确定”或“疑问”收到消息后，知道消息的具体内容，原先的“不知”、“不确定”或“疑问”消除或部分消除了。
消息传递过程——从不知到知的过程；从知之甚少到知之甚多的过程；从不确定到部分确定或全部确定的过程。
通信过程——消除不确定性的过程。
不确定性的消除，就获得了信息。
若原先不确定性全部消除了，就获得了全部的消息；若消除了部分不确定性，就获得了部分信息；若原先不确定性没有任何消除，就没有获得任何消息。
信息——事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。
通信的结果——消除或部分消除不确定性而获得信息。
信息如何测度？信息量与不确定性消除的程度有关。
消除了多少不确定性，就获得了多少信息量。
不确定性——随机性——概率论与随机过程。
样本空间——所有可能选择的消息的集合。
概率空间——样本空间和它的概率测度。
],[P X⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(,),(,,,),(,)(2211q q a P a P a a a P a x P X)(i a P ——先验概率，选择符号i a 作为消息的概率。
定义：自信息——)(1log)(i i a P a I = 若信道存在干扰，假设接收到的消息是j b ，j b 可能与i a 相同，也可能与i a 有差异。
)|(j i b a P ——后验概率定义：互信息——)|(1log )(1log);(j i i j i b a P a P b a I -= 1.2 信息论研究对象、目的和内容1、 研究对象（1） 信源——产生消息和消息序列的源 （2） 编码器——消息变换成信号信源编码——对信源输出的消息进行适当的变换和处理，目的为了提高信息传输的效率。
信道编码——为了提高信息传输的可靠性而对消息进行的变换和处理。
还包括换能、调制、发射等。
（3） 信道——载荷消息的信号的传输媒介。
（4） 译码器——信道输出的编码信号（迭加有干扰）进行反变换。
信源译码器和信道译码器 （5） 信宿——消息传送的对象。
将上述模型中编（译）码器分成信源编（译）码、信道编（译）码和加密（解密）编（译）码三个子部分。
2、 研究目的要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的可靠性、有效性、保密性和认证性，使达图1.3 信息传输系统模型可靠性高——要使信源发出的消息经过信道传输以后，尽可能准确地、不失真地再现在接收端。
有效性高——经济效益好，即用尽可能短的时间的尽可能少的设备来传送一定数量的信息。
保密性——隐蔽和保护通信系统中传送的消息，使它只能被受权接收者获取，而不能被未受权者接收和理解。
认证性——接收者能正确判断所接收的消息的正确性，验证消息的完整性，而不是伪造的和被窜改的。
3、研究内容三种理解：（1）狭义信息论（经典信息论）研究信息的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。
香农基本理论（2）一般信息论香农理论、噪声理论、信号滤波和预测、统计检测与估计理论、调制理论、信息处理理论以及保密理论等。
（3）广义信息论第二章 离散信源及其信息测度 2.1 信源的数学模型及分类根据信源输出消息的不同的随机性质分类。
一、随机变量X 描述信源输出的消息 1、离散信源信源输出的消息数是有限的或可数的，每次只输出一个消息。
数学模型——离散型的概率空间⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(,),(,,,),(,)(2211q q a P a P a a a P a x P X （1)(1=∑=q i i a P ：完备集条件）2、连续信源信源输出的消息数是无限的或不可数的，每次只输出一个消息。
数学模型——连续型的概率空间 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(),()(x p b a x p X 或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(x p R （1)(=⎰b a dx x p 或1)(=⎰Rx p ：完备集条件） 二、随机序列X 描述信源输出的消息根据X 的平稳性与否，分平稳信源与非平稳信源。
1、离散平稳信源信源输出的随机序列),,,(21N X X X X =中),,2,1(N i X i =为取值离散的离散型随机变量，X 的各维概率分布都与时间起点无关（任意两个不同时刻X 的各维概率分布都相同）。
2、连续平稳信源信源输出的随机序列),,,(21N X X X X =中),,2,1(N i X i =为取值连续的连续性随机变量，X 的各维概率密度函数都与时间起点无关（任意两个不同时刻X 的各维概率密度函数都相同）。
3、离散无记忆信源（离散平稳信源）信源输出的随机序列),,,(21N X X X X =中),,2,1(N i X i =统计独立，i X 取值于同一概率空间X 。
∏====qi i iN i i i k kaP a a a P x P 121)()()( α4、离散无记忆信源X 的N 次扩展信源由离散无记忆信源输出N 长的随机序列构成的信源。
⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(,),(,,,),(,)(2211Nq N q i N P P P P X ααααααα )(21iN i i i a a a =α),2,1,,,(21q i i i N =满足∏====qi i iN i i i k kaP a a a P x P 121)()()( α∑∏∑=====Nk kN q i qi i q i iaP P 1111)()(α5、有记忆信源信源输出的随机序列),,,(21N X X X X =中),,2,1(N i X i =之间有依赖关系。
6、马尔可夫信源信源输出的随机序列),,,(21N X X X X =中),,2,1(N i X i =之间有依赖关系。
但记忆长度有限。
若记忆长度为m+1，则称为m 阶马尔可夫信源。
（信源每次发出的符号只与前m 个符号有关，与更前面的符号无关。
） )|()|(32112132112m i i i i i i i m i i i i i i i x x x x x x x P x x x x x x x x P ----++----++= ),,2,1(N i = 若上述条件概率与时间起点i 无关，该信源称为时齐马尔可夫信源。
三、随机过程)(t x 描述信源输出的消息随机波形信源信源输出的消息是时间（或空间）上和取值上都是连续的函数。
转换关系：随机波形信源→取样→连续平稳信源 连续信源→分层（量化）→离散信源2.2 离散信源的信息熵离散信源——输出是单个符号的消息，且这些消息是两两互不相容的。
可用一维随机变量来描述。
⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(,),(,,,),(,)(2211q q a P a P a a a P a x P X （1)(1=∑=q i i a P ：完备集条件）2.2.1 自信息获得信息量的大小与不确定性消除的多少有关。
例2.1 （P20）收到某消息获得的信息量（即收到某消息后获得关于某基本事件发生的信息量） =不确定性减少的量=（收到此消息前关于某事件发生的不确定性）-（收到此消息后关于某事件发生的不确定性） 无噪声时，收到某消息获得的信息量=收到此消息前关于某事件发生的不确定性 =信源输出的某消息中所含有的信息量事件发生的不确定性与事件发生的概率有关。
（事件发生概率越小，不确定性就大；事件发生概率越大，不确定就越小。
） 某事件发生所含有的信息量：)]([)(i i a P f a I =——自信息量函数)]([i a P f 满足：（1）)]([i a P f 应是先验概率)(i a P 的单调递减函数，即当)()(2211a P a P >时，][][21P f P f < （2）当1)(=i a P ，0][=i P f （3）当0)(=i a P ，∞=][i P f（4）统计独立信源的信息量等于它们分别的信息量之和。
可得：)(1log )(i i a P a I = 例2.2 （P22）设离散信源X ，其概率空间为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(,),(,,,),(,)(2211q q a P a P a a a P a x P X 如果知道事件i a 已经发生，则该事件所含有的信息量称为自信息，定义为)(1log)(i i a P a I = )(i a I 含义：1）、当事件i a 发生以前，表示事件i a 发生的不确定性；2）、当事件i a 发生以后，表示事件i a 所含有的信息量。
)(1log )(2i i a P a I =（比特）；)(1ln )(i i a P a I =（奈特）；)(1lg )(i i a P a I =（哈特）。
1奈特=1.44比特，1哈特=3.32比特。
2.2.2 信息熵自信息)(i a I ——随机变量平均自信息量——自信息的数学期望)(log )(])(1[log )(1i qi i i a P a P a P E X H ∑=-==——熵（信息熵）)(log )()(1i r qi i r a P a P E X H ∑=-== (r 进制单位/符号)信息熵的含义：1、 表示信源输出后，每个消息（符号）所提供的平均信息量。
2、 表示信源输出前，信源的平均不确定性。