2020年全国高考数学试题分类汇编4-平面向量-含详细答案

2020年全国高考数学试题分类汇编

平面向量

一、选择题

1. 设a ? =(1,2)，b ? =(1,1)，且a ? 与a ? +λb

? 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A. (?5

3,0)∪(0,+∞) B. (?5

3,+∞) C. [?5

3,0)∪(0,+∞)

D. (?5

3,0)

2. △ABC 中A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)，则AB ????? ·AC

????? =( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

3. 已知M(3,?2)，N(?5,?1)，且MP ?????? =12

MN ?????? ，则P 点的坐标为( ) A. (?8,1)

B. (?1,?3

C. (1,3

D. (8,?1)

4. 已知向量a ? ，b ? 满足|a ? |=√5，b ? =(2,4)，则“a ? =(?1,?2)”是“a ? //b ? ”成立的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5. 过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM ??????? ?ON

?????? =( ) A. 3

B. 1

C. ?1

D. ?3

6. 在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，AB

????? =(3,1), AC ????? =(2,k)，则实数k =( ) A. ?6 B. 4 C. 2

D. 2

7. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ? ，b ? 满足AB ????? =2a ? ，AC ????? =2a ? +b ? ，则下列结论正确的是( )

A. |b ? |=1

B. a ? ⊥b ?

C. a ? ?b

? =1 D. (4a ? +b

? )⊥BC ????? 8. 已知向量a ? =(1,m)，b ? =(3,?2)，且(a ? +b ? )⊥b ? ，则m =( )

A. ?8

B. ?6

C. 6

D. 8

9. 设a ? ，b ? 是向量，则“|a ? |=|b ? |”是“|a ? +b ? |=|a ? ?b ? |”的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

10. 若|a ? |=1,|b ? |=2,c ? =a ? +b ? ，且c ? ⊥a ? ，则向量a ? 与b ? 的夹角为( )

A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 150°

11. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，则|AB ????? |的值是( )

A. 1

B. √2

2 C. √32

D. 1

12. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ????? =(2,?2),AD ?????? =(2,1)，则AC ????? ?DB

?????? =( ) A. ?3 B. 2 C. 3 D. 4

13. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ????? |=6，|AD ?????? |=4，若点M 、N 满足BM ?????? =3MC ?????? ，DN ?????? =2NC ?????? ，则AM ?????? ?

??????? =( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 6

14. 设m

??? ，n ? 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ??? =λn ? ”是“m ??? ·n ? <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

15. 设点A,B,C 不共线，则“ AB

????? 与 AC ????? 的夹角是锐角”是“ |AB ????? +AC|??????? >|BC ??????? |”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

16. 已知向量a ? =(2,4)，b ? =(?1,1)，则2a ? ?b ? =( )

A. (5,7)

B. (5,9)

C. (3,7)

D. (3,9)

17. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ????? =√3BD ?????? ，|AD ?????? |=1，则AC ????? ?AD

?????? =( ) A. 2√3

B. √3

2 C. √33

D. √3

18. 设a ? ，b ? 是非零向量，“a ? ?b ? =|a ? ||b ? |”是“a ? //b ? ”的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

19. 设a ? ，b ? 均为单位向量，则“

”是“a ? ⊥b ? ”的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

二、填空题

20. 已知向量a ? 与b ? 的夹角为60°，且a ? =(?2,?6)，|b ? |=√10，则a ? ·b ? =______． 21. 已知向量a ? =(?4,3)，b ? =(6,m)，且a ? ⊥b ? ，则m =______． 22. 设向量a ? =(1,?1)，b ? =(m +1,2m ?4)，若a ? ⊥b ? ，则m =______． 23. 已知单位向量a ? ，b ? 的夹角为45°，k a ? ?b

? 与a ? 垂直，则k =______． 24. 已知平面向量a ? ，b ? ，|a ? |=1，|b ? |=2，a ? ?b ? =1，则向量a ? ，b ? 的夹角为______． 25. 已知向量a ? 与b ? 的夹角为120°，|a ? |=3，|a ? +b ? |=√13，则|b ? |=________．

26. 已知向量a ? =(2,1)，b ? =(1,?2)，若m a ? +n b ? =(9,?8)(m,n ∈R)，则m ?n 的值为______． 27. 设向量a ? =(1,0)，b ? =(?1,m).若a ? ⊥(m a ? ?b ? )，则m =______． 28. 设向量a ? ，b ? 不平行，向量λa ? +b ? 与a ? +2b ? 平行，则实数λ=________． 29. 已知向量a ? =(1,√3)，b ? =(√3,1)，则a ? 与b ? 夹角的大小为______．

30. 已知向量a ? ，b ? 满足|a ? |=1，b ? =(2,1)，且λa ? +b ? =0

? (λ∈R)，则|λ|= ______ ． 31. 若P(x,y)满足约束条件{x ?y ≥0

x +y ?2≤0y ≥0，设A(3,?4)，则OP

????? 在OA ????? 方向上投影的最小值为______． 32. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE

????? ?BD ?????? =______． 33. 已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22

=1，x 1x 2+y 1y 2=1

2，则

11√2

22√2

的最大值

为______．

34. 已知向量a ? 与b ? 的夹角为120°，且|a ? |=|b ? |=4，那么b ? ?(2a ? +b ? )的值为______．

35. 平面向量a ? =(1,2)，b ? =(4,2)，c ? =m a ? +b ? (m ∈R)，且c ? 与a ? 的夹角等于c ? 与b ? 的夹角，则m =______．三、解答题

36. 已知平面向量a ? =(1,x)，b ? =(2x +3,?x)(x ∈R)．

(1)若a ? ⊥b ? ，求x 的值；(2)若a ? //b

? ，求|a ? ?b ? |．

37. 已知点M(?2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|?|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W ．

(Ⅰ)求W 的方程；

(Ⅱ)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA

????? ?OB ?????? 的最小值．

38. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA

交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；

(Ⅱ)设O 为原点，QM ??????? =λQO ?????? ，QN ?????? =μQO ?????? ，求证：1

λ+1

为定值．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查向量的夹角问题，属于简单题．由题意，a ? 与(a ? +λb ? )的数量积大于0，且排除同向的情况即可得．【解答】

解：由已知得a ? ·(a ? +λb ? )>0且去掉a ? 与(a ? +λb ? )方向相同的情况， a ? +λb ? =(1+λ,2+λ)，a ? ·(a ? +λb ? )=1+λ+2(2+λ)=3λ+5>0，解出λ>?5

3，

当a ? 与(a ? +λb ? )方向相同时λ=0，所以λ>?53且λ≠0，故选A ．

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目．根据平面向量的坐标表示与数量积运算，计算即可．【解答】

解：△ABC 中，A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)， ∴AB

????? =(?2,3)，AC ????? =(3,5)，则AB ????? ?AC ????? =?2×3+3×5=9．故选C ．

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查两个向量的加减法法则的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．

设点P 的坐标为(x,y)，则由MP ?????? =1

2MN ??????? 可得(x ?3,y +2)=12

(?8,1)，解方程求得x 、y 的值，即可求得点P 的坐标．【解答】

解：设点P 的坐标为(x,y)，

则由 MP ?????? =1

2MN ??????? 可得(x ?3,y +2)=1

2(?8,1)=(?4,1

2)， ∴x ?3=?4，y +2=1

2．解得x =?1，y =?3

2， ∴点P 的坐标为(?1,?32)，故选B ．

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．通过向量共线的充要条件利用充分必要条件的定义求解．【解答】解：由a ? =(?1,?2)，则b ? =?2a ? ，显然a ? //b ? 成立，故充分性具备．

反之，若a ? //b ? ，则b ? =λa ? ，设a ? =(x,y)，则必有{2=λx,

4=λy,所以y =2x ，① 又x 2+y 2=5，② 由①②得{x =1,y =2或{x =?1,y =?2.

则a

? =(1,2)或a ? =(?1,?2)，故必要性不具备．因而是充分不必要条件．故选A ．

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．

先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x 轴的直线方程，将直线方程代入y 2=2x 求得y 的值，即可求出OM

??????? ?

ON ?????? ．【解答】

解：y 2=2x 的焦点坐标是(1

2,0)，

则过焦点且垂直x 轴的直线是x =1

2，代入y 2=2x 得y =±1，所以不妨设M(1

2,1)，N(1

2,?1)

故OM ??????? ·ON ?????? =(12,1)·(12,?1)=14?1=?34．故选D ．

6.【答案】B

【解析】解：BC ????? =AC ????? ?AB ????? =(?1,k ?1)；据题意知，AB ????? ⊥BC ????? ； ∴AB ????? ?BC ????? =?3+k ?1=0； ∴k =4．故选：B ．

可得出BC ????? =(?1,k ?1)，而根据题意可知AB ????? ⊥BC ????? ，从而得出AB ????? ?BC ????? =0，进行数量积的坐标运算即可求出k ．考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．

7.【答案】D

【解析】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ? ，b ? 满足AB ????? =2a ? ，AC ????? =2a ? +b ? ，又AC ????? =AB ????? +BC ????? ，∴b ? 的方向应该为BC ????? 的方向．所以a ? =1

AB ????? ，b ? =BC ????? ，所以|b ? |=2，a ? ?b ? =1×2×cos120°=?1，

4a ? ?b ? =4×1×2×cos120°=?4，b ? 2=4，所以4a ? ?b ? +b ? 2

=0，即(4a

? +b ? )?b ? =0，即(4a ? +b ? )?BC ????? =0，所以(4a ? +b ? )⊥BC ????? ；故选：D ．

由题意，知道a ? =1

2AB ????? ，b ? =BC ????? ，根据已知三角形为等边三角形解之．

本题考查了向量的数量积公式的运用及向量的模；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．

求出向量a?+b? 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．

【解答】

解：∵向量a?=(1,m)，b? =(3,?2)，

∴a?+b? =(4,m?2)，

又∵(a?+b? )⊥b? ，

∴(a?+b? )·b? =12?2(m?2)=0，

解得m=8．

故选D．

9.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查的知识点是充分条件，必要条件的判断，涉及向量的数量积与模的概念，属于基础题．

根据|a?+b? |=|a??b? |?a?·b? =0，从而可以判断“|a?|=|b? |”是“|a?+b? |=|a??b? |”的既不充分也不必要条件．

【解答】

解：因为|a?+b? |=|a??b? |，

所以|a?+b? |2=|a??b? |2，

则a?2+b? 2+2a?·b? =a?2+b? 2?2a?·b? ，

即a?·b? =0，

由|a?|=|b? |?a?·b? =0，

a?·b? =0?|a?|=|b? |，

故“|a?|=|b? |”是“|a?+b? |=|a??b? |”的既不充分也不必要条件．

故选D．

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查向量的夹角，向量垂直的条件，是基础题．

根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．

【解答】

解：若|a ? |=1,|b ? |=2,c ? =a ? +b ? ，设向量a ? 与b ? 的夹角为θ， ∵c ? ⊥a ? ，c ? =a ? +b ? ， ∴(a ? +b ? )?a ? =0，

则|a ? |2+|a ? |?|b ? |cosθ=0， ∴cosθ=?|a ? |2

a ? ||b

? |=?1

，

又0°≤θ≤180°，∴θ=120°．故选C ．

11.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．属于基础题．根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．【解答】

解：∵A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，

=√2?2cos600=1．故选D ．

12.【答案】C

【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ????? =(2,?2),AD ?????? =(2,1)， AC ????? =AB ????? +AD ?????? =(4,?1)，DB ?????? =AB ????? ?AD ?????? =(0,?3)，则AC ????? ?DB ?????? =4×0+(?1)(?3)=3．故选：C ．

13.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．根据图形得出AM ?????? =AB ????? +34BC ????? =AB ????? +34

AD ?????? ，

AN ?????? =AD ?????? +23DC ????? =AD ?????? +23

AB ????? ，AM ?????? ?NM ??????? =AM ?????? ·(AM ?????? ?AN ?????? )=AM ?????? 2?AM ?????? ?AN ?????? ，结合向量的数量积求解即可．【解答】

解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ?????? =3MC ?????? ，DN ?????? =2NC

?????? ，

∴根据图形可得：AM ??????

=AB ????? +34BC ????? =AB ????? +3

4AD ?????? ， AN

?????? =AD ?????? +23

DC ????? =AD ?????? +23

AB ????? ，又NM ??????? =AM ?????? ?AN

?????? ， ∴AM ?????? ?NM ??????? =AM ?????? ·(AM ?????? ?AN ?????? )=AM ?????? 2

?AM ?????? ?AN

?????? ，又AM ?????? 2

=AB ????? 2

2AB ????? ?AD ?????? +916AD ?????? 2

， AM ?????? ?AN ?????? =23AB ????? 2

4AD ?????? 2

+32

AB ????? ?AD ?????? ， |AB ????? |=6，|AD

?????? |=4， ∴AM ?????? ?NM ??????? =13AB ????? 2?316

?????? 2

=12?3=9 故选：C ．

14.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．

m ??? ，n ? 为非零向量，存在负数λ，使得m ??? =λn ? ，则向量m ??? ，n ? 共线且方向相反，可得m ??? ·n ? <0.而非零向量m ??? ，n ? 的夹角为钝角，满足m ??? ·n ? <0，但m ??? =λn ? 不成立．则答案可得．【解答】

解：m

??? ，n ? 为非零向量，存在负数λ，使得m ??? =λn ? ，则向量m

??? ，n ? 共线且方向相反，可得m ??? ·n ? <0．反之不成立，非零向量m

??? ，n ? 的夹角为钝角，满足m ??? ·n ? <0，而m ??? =λn ? 不成立． ∴m ??? ，n ? 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ??? =λn ? ”是m ??? ·n ? <0”的充分不必要条件．故选A ．

15.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

“AB

????? 与AC ????? 的夹角为锐角”?“|AB ????? +AC ????? |>|BC ????? |”，“|AB ????? +AC ????? |>|BC ????? |”?“AB ????? 与AC ????? 的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解答】

解：点A ，B ，C 不共线，

若“AB ????? 与AC ????? 的夹角为锐角”，则AB ????? ·AC

????? >0， |AB

????? +AC ????? |2=|AB ????? ?AC ????? |2+4AB ????? ·AC ????? =|BC ????? |2+4AB ????? ·AC ????? >|BC ????? |2，

∴“AB ????? 与AC ????? 的夹角为锐角”?“|AB ????? +AC ????? |>|BC ????? |”，若|AB ????? +AC ????? |>|BC ????? |，则|AB ????? +AC ????? |2>|AC ????? ?AB ????? |2，化简得AB ????? ·AC ????? >0，即AB ????? 与AC ????? 的夹角为锐角， ∴“|AB ????? +AC ????? |>|BC ????? |”?“AB ????? 与AC

????? 的夹角为锐角”， ∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB ????? 与AC ????? 的夹角为锐角”是“|AB ????? +AC ????? |>|BC ????? |”的充分必要条件．故选C ．

16.【答案】A

【解析】解：由a ? =(2,4)，b ? =(?1,1)，得： 2a ? ?b ? =2(2,4)?(?1,1)=(4,8)?(?1,1)=(5,7)．故选：A ．

直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．

本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．

17.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查平面向量的数量积以及向量加法法则的运用，属于中档题．

由向量的加法结合AD ⊥AB 可得AC ????? ?AD ?????? =(AB ????? +BC ????? )·AD ?????? =BC ????? ·AD ?????? =√3BD ?????? ·AD ?????? =√3(BA ????? +AD ?????? )·AD ?????? ，由此可求解．【解答】

解：由题意可得，AD ⊥AB ，BC ????? =√3BD ?????? ，|AD ?????? |=1，则AC ????? ?AD ?????? =(AB ????? +BC ????? )·AD

?????? =AB ????? ·AD ?????? +BC ????? ·AD

??????

=BC ????? ·AD ?????? =√3BD ?????? ·AD ?????? =√3(BA ????? +AD ?????? )·AD

?????? =√3AD ?????? 2

=√3，故选D ．

18.【答案】A

【解析】【分析】

考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义，属于中档题．

由a ? ?b ? =|a ? ||b ? |便可得到a ? ,b ? 夹角为0，从而得到a ? //b ? ，而a ? //b ? 并不能得到a ? 夹角为0，从而得不到a ? ?b ? =|a ? ||b ? |，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】

解：(1)a ? ?b ? =|a ? ||b ? |cos ； ∴a ? ?b ? =|a ? ||b ? |时，cos =1； ∴=0； ∴a ? //b ? ；

∴“a ? ?b ? =|a ? ||b ? |”是“a ? //b ? ”的充分条件； (2)a ? //b ? 时，a ? ,b ? 的夹角为0或π； ∴a ? ?b ? =|a ? ||b ? |，或?|a ? ||b ? |；即a ? //b ? 得不到a ? ?b ? =|a ? ||b ? |；