2020年全国高考数学试题分类汇编4-平面向量-含详细答案

2020年全国高考数学试题分类汇编平面向量一、选择题1. 设a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A. (−53,0)∪(0,+∞) B. (−53,+∞) C. [−53,0)∪(0,+∞)D. (−53,0)2. △ABC 中A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 103. 已知M(3,−2)，N(−5,−1)，且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为( ) A. (−8,1)B. (−1,−32)C. (1,32)D. (8,−1)4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=√5，b ⃗ =(2,4)，则“a ⃗ =(−1,−2)”是“a ⃗ //b ⃗ ”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34B. 14C. −14D. −346. 在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1), AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,k)，则实数k =( ) A. −6 B. 4 C. 2D. 237. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，则下列结论正确的是( )A. |b ⃗ |=1B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b⃗ =1 D. (4a ⃗ +b⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 89. 设a ⃗ ，b ⃗ 是向量，则“|a ⃗ |=|b ⃗ |”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，且c ⃗ ⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°11. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是( )A. 12B. √22 C. √32D. 112. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −3 B. 2 C. 3 D. 413. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 614. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 设点A,B,C 不共线，则“ AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是锐角”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 已知向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，则2a ⃗ −b ⃗ =( )A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)17. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2√3B. √32 C. √33D. √318. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 设a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，则“”是“a ⃗ ⊥b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题20. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，且a ⃗ =(−2,−6)，|b ⃗ |=√10，则a ⃗ ·b ⃗ =______． 21. 已知向量a ⃗ =(−4,3)，b ⃗ =(6,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 22. 设向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(m +1,2m −4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 23. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为45°，k a ⃗ −b⃗ 与a ⃗ 垂直，则k =______． 24. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为______． 25. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=√13，则|b ⃗ |=________．26. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R)，则m −n 的值为______． 27. 设向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m).若a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，则m =______． 28. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，则实数λ=________． 29. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．30. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b ⃗ =0⃗ (λ∈R)，则|λ|= ______ ． 31. 若P(x,y)满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，设A(3,−4)，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为______． 32. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 33. 已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为______．34. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=4，那么b ⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )的值为______．35. 平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c ⃗ =m a ⃗ +b ⃗ (m ∈R)，且c ⃗ 与a ⃗ 的夹角等于c ⃗ 与b ⃗ 的夹角，则m =______． 三、解答题36. 已知平面向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2x +3,−x)(x ∈R)．(1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求x 的值；(2)若a ⃗ //b⃗ ，求|a ⃗ −b ⃗ |．37. 已知点M(−2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W ．(Ⅰ)求W 的方程；(Ⅱ)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．38. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示，考查向量的夹角问题，属于简单题． 由题意，a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )的数量积大于0，且排除同向的情况即可得． 【解答】解：由已知得a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )>0且去掉a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同的情况， a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)=3λ+5>0， 解出λ>−53，当a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同时λ=0， 所以λ>−53且λ≠0， 故选A ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目． 根据平面向量的坐标表示与数量积运算，计算即可． 【解答】解：△ABC 中，A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×3+3×5=9． 故选C ．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两个向量的加减法法则的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．设点P 的坐标为(x,y)，则由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)，解方程求得x 、y 的值，即可求得点P 的坐标． 【解答】解：设点P 的坐标为(x,y)，则由 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)=(−4,12)， ∴x −3=−4，y +2=12． 解得x =−1，y =−32， ∴点P 的坐标为(−1,−32)， 故选B ．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题． 通过向量共线的充要条件利用充分必要条件的定义求解． 【解答】解：由a ⃗ =(−1,−2)，则b ⃗ =−2a ⃗ ， 显然a ⃗ //b ⃗ 成立，故充分性具备．反之，若a ⃗ //b ⃗ ，则b ⃗ =λa ⃗ ，设a ⃗ =(x,y)， 则必有{2=λx,4=λy,所以y =2x ，① 又x 2+y 2=5，② 由①②得{x =1,y =2或{x =−1,y =−2.则a⃗ =(1,2)或a ⃗ =(−1,−2)，故必要性不具备． 因而是充分不必要条件． 故选A ．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x 轴的直线方程，将直线方程代入y 2=2x 求得y 的值，即可求出OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：y 2=2x 的焦点坐标是(12,0)，则过焦点且垂直x 轴的直线是x =12，代入y 2=2x 得y =±1， 所以不妨设M(12,1)，N(12,−1)故OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1)·(12,−1)=14−1=−34． 故选D ．6.【答案】B【解析】解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)； 据题意知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+k −1=0； ∴k =4． 故选：B ．可得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)，而根据题意可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出k ． 考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．7.【答案】D【解析】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴b ⃗ 的方向应该为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向． 所以a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2×cos120°=−1，4a ⃗ ⋅b ⃗ =4×1×2×cos120°=−4，b ⃗ 2=4，所以4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=0，即(4a⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，即(4a ⃗ +b ⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(4a ⃗ +b ⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 故选：D ．由题意，知道a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据已知三角形为等边三角形解之．本题考查了向量的数量积公式的运用及向量的模；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．求出向量a⃗+b⃗ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(3,−2)，∴a⃗+b⃗ =(4,m−2)，又∵(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗+b⃗ )·b⃗ =12−2(m−2)=0，解得m=8．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的知识点是充分条件，必要条件的判断，涉及向量的数量积与模的概念，属于基础题．根据|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |⇔a⃗·b⃗ =0，从而可以判断“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．【解答】解：因为|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，所以|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，则a⃗2+b⃗ 2+2a⃗·b⃗ =a⃗2+b⃗ 2−2a⃗·b⃗ ，即a⃗·b⃗ =0，由|a⃗|=|b⃗ |⇏a⃗·b⃗ =0，a⃗·b⃗ =0⇏|a⃗|=|b⃗ |，故“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量垂直的条件，是基础题．根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．【解答】解：若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， 设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， ∵c ⃗ ⊥a ⃗ ，c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，则|a ⃗ |2+|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cosθ=0， ∴cosθ=−|a ⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=−12，又0°≤θ≤180°，∴θ=120°． 故选C ．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．属于基础题． 根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模． 【解答】解：∵A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，=√2−2cos600=1． 故选D ．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题． 利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可． 【解答】在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3)， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×0+(−1)(−3)=3． 故选：C ．13.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示． 根据图形得出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的数量积求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9 故选：C ．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0.而非零向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，但m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立．则答案可得． 【解答】解：m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ， 则向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0． 反之不成立，非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，而m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立． ∴m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的充分不必要条件． 故选A ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．“AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，由此能求出结果． 【解答】解：点A ，B ，C 不共线，若“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0， |AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”， 若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角， ∴“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”， ∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件． 故选C ．16.【答案】A【解析】解：由a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，得： 2a ⃗ −b ⃗ =2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)． 故选：A ．直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．17.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及向量加法法则的运用，属于中档题．由向量的加法结合AD ⊥AB 可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此可求解． 【解答】解：由题意可得，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√3， 故选D ．18.【答案】A【解析】【分析】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义，属于中档题．由a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |便可得到a ⃗ ,b ⃗ 夹角为0，从而得到a ⃗ //b ⃗ ，而a ⃗ //b ⃗ 并不能得到a ⃗ 夹角为0，从而得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项． 【解答】解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |时，cos <a ⃗ ,b ⃗ >=1； ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=0； ∴a ⃗ //b ⃗ ；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分条件； (2)a ⃗ //b ⃗ 时，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为0或π； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，或−|a ⃗ ||b ⃗ |； 即a ⃗ //b ⃗ 得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”不是“a ⃗ //b ⃗ ”的必要条件；∴总上可得“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分不必要条件． 故选：A ．19.【答案】C【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量垂直的判断，属于中档题． 根据题意，分别验证充分条件、必要条件即可． 【解答】解：若“|a ⃗ −3b ⃗ |=|3a ⃗ +b ⃗ |”， 则|a ⃗ |2+9|b ⃗ |2−6a ⃗ ·b ⃗ =9|a ⃗|2+|b ⃗ |2+6a ⃗ ·b ⃗ ，又∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，即|a⃗ |=|b ⃗ |=1，∴a⃗·b⃗ =0，即a⃗⊥b⃗ ，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的充分条件；若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗·b⃗ =0，a⃗，b⃗ 均为单位向量，即|a⃗|=|b⃗ |=1，∵|a⃗−3b⃗ |2=|a⃗|2+9|b⃗ |2−6a⃗·b⃗ =1+9×1−6×0=10，|3a⃗+b⃗ |2=9|a⃗|2+|b⃗ |2+6a⃗·b⃗ =9×1+1+6×0=10，∴|a⃗−3b⃗ |2=|3a⃗+b⃗ |2，则|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的必要条件；综上，则“”是“a⃗⊥b⃗ ”的充要条件，故选C．20.【答案】10【解析】【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出即可．【解答】解：∵a⃗=(−2,−6)，∴|a⃗|=√(−2)2+(−6)2=2√10，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >．故答案为10．21.【答案】8【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．a⃗⊥b⃗ 则a⃗⋅b⃗ =0，代入a⃗，b⃗ ，解方程即可．【解答】解：由向量a⃗=(−4,3)，b⃗ =(6,m)，且a⃗⊥b⃗ ，得a⃗⋅b⃗ =−24+3m=0，∴m=8．故答案为8．22.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =m+1−(2m−4)=−m+5=0，则m=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．23.【答案】√22【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 为单位向量，且a⃗，b⃗ 的夹角为45°，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos45°=1×1×√22=√22，又k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，∴(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ =0，即k−√22=0，则k=√22．故答案为：√22．由已知求得a⃗⋅b⃗ ，再由k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，可得(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，展开即可求得k值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．24.【答案】π3【解析】解：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，平面向量a⃗，b⃗ ，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，可得1×2×cosθ=1，可得cosθ=12，所以θ=π3．故答案为：π3．直接利用向量的数量积列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．25.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积，属于基础的计算题，|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°即得9+|b ⃗|2−3|b ⃗ |=13，即可解得|b ⃗ |， 【解答】解：因为|a ⃗ +b ⃗ |=√13， 所以|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°， 所以9+|b ⃗ |2−3|b ⃗ |=13， 解得|b ⃗ |=4， 故答案为4．26.【答案】−3【解析】解：向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8) 可得{2m +n =9m −2n =−8，解得m =2，n =5，∴m −n =−3． 故答案为：−3．直接利用向量的坐标运算，求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．27.【答案】−1【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力． 利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可． 【解答】解：向量a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m)． m a ⃗ −b ⃗ =(m +1,−m)． ∵a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，∴m+1=0，解得m=−1．故答案为−1．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．利用向量平行的条件直接求解即可．【解答】解：∵向量a⃗，b⃗ 不平行，向量λa⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，∴λa⃗+b⃗ =t(a⃗+2b⃗ )=t a⃗+2t b⃗ ，∴{λ=t1=2t，解得实数λ=12．故答案为12．29.【答案】π6【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角公式，属于基础题．根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案，【解答】解：∵向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(√3,1)，∴a⃗与b⃗ 夹角θ满足，cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2√32×2=√32，又∵θ∈[0,π]，∴θ=π6，故答案为π6．30.【答案】√5【解析】解：设a⃗=(x,y)．∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(2,1)，且λa⃗+b⃗ =0⃗(λ∈R)，∴λa ⃗ +b ⃗ =λ(x,y)+(2,1)=(λx +2,λy +1)， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2=5． 解得|λ|=√5． 故答案为：√5．设a ⃗ =(x,y).由于向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b⃗ =0⃗ (λ∈R)，可得{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，解出即可． 本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．31.【答案】−15【解析】 【分析】本题考查线性规划中的最值问题，向量的投影，属于中档题．根据题意，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，数形结合，进行求解即可． 【解答】解：∵P(x,y)，A(3,−4)， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，设z =3x −4y ，得y =34x −z4，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线y =34x −z4，由图象可知，当直线y =34x −z4经过点B(1,1)时，直线y =34x −z4的截距最大，此时z 取得最小值， 所以z min =3−4=−1，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为−15． 故答案为−15．32.【答案】2【解析】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+0−0−12×4=2，故答案为2．根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．33.【答案】√2+√3【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，由此可求最大值． 【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)， 由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=12， 即有∠AOB =60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线l:x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，设AB 中点为M ，则距离d 1与d 2之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心到线段AB中点M的距离d=√32，圆心到直线l的距离d′=√2=√22，∴M到直线l的距离的最大值为d+d′=√32+√22，即11√222√2的最大值为√2+√3，故答案为：√2+√3．34.【答案】0【解析】解：由题意知b⃗ ⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．由向量数量积公式进行计算即可．本题考查向量数量积运算公式．35.【答案】2【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(4,2)，c⃗=m a⃗+b⃗ (m∈R)，∴c⃗=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2)．∴c⃗⋅a⃗=m+4+2(2m+2)=5m+8，c⃗⋅b⃗ =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20．|a⃗|=√5，|b⃗ |=√42+22=2√5．∵c⃗与a⃗的夹角等于c⃗与b⃗ 的夹角，∴c⃗ ⋅a⃗|c⃗ | |a⃗ |=c⃗ ⋅b⃗|c⃗ | |b⃗|，∴√5=2√5，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．36.【答案】解：(1)由a⃗⊥b⃗ 得，2x+3−x2=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；(2)由a⃗//b⃗ ，则2x2+3x+x=0，即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．当x=0时，a⃗=(1,0),b⃗ =(3,0)，∴a⃗−b⃗ =(−2,0)，此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)， 则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b⃗ |=√22+(−4)2=2√5．【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件． (1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．37.【答案】解：(Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x 22−y 22=1(x >0)(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ， 代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得：(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则{ Δ=4k 2b 2−4(1−k 2)⋅(−b 2−2)>0x 1+x 2=2kb1−k 2>0x 1x 2=b 2+2k 2−1>0, 解得|k|>1又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b) =(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2 =2k 2+2k 2−1=2+4k 2−1>2 综上可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2．【解析】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． (Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0.依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 38.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2，由题意，直线l 的斜率存在且不为0， 设过点(0,1)的直线l 的方程为y =kx +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立方程组可得{y 2=4xy =kx +1，消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0， ∴Δ=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0， 解得k <1，且k ≠0， 则x 1+x 2=−2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点(1,−2)，即k ≠−3，故直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−3)∪(−3,0)∪(0,1)； (Ⅱ)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )， 则QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y M −1)，QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)， 因为QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M −1=−λ， 故λ=1−y M ，同理μ=1−y N ，直线PA 的方程为y −2=2−y11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42+y 1(x −1)，令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，第21页，共21页 因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2) =8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2k k +1)1−4−2k k +1=4−2×4−2k k 2−4−2k k =2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于难题． (Ⅰ)根据题意，利用直线与抛物线的位置关系进行求解即可；(Ⅱ)求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，带入韦达定理化简即可．。