第六章 自相关
第6章 自相关
et
t
图 6.4 et 的分布 如果 et 随着 t 的变化逐次变化并不频繁地改变符号，而是 几个正的 et后面跟着几个负的，则表明随机误差项 ut 存 在正自相关。 29
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特 森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验方
27
et
t
二、对模型检验的影响
按照时间顺序绘制回归残差项 et 的图形。如果 et (t 1, 2, , n ) 随着 t 的变化逐次有规律地变化， et呈现锯齿形或循环形状的变化，就可断言 et存在相关， et 表明存在着自相关；如果 随着 的变化逐次变化并 t ut 不断地改变符号，那么随机误差项 存在负自相关
第六章 自相关
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节 什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（auto correlation），又称序列相关（ serial correlation）是指总体回归模型的随机 误差项之间存在相关关系。即不同观测点上的 误差项彼此相关。
体回归模型(PRF)的随机项为 u1 , u2 ,..., un， 如果自相关形式为
ut = u + vt t -1
2
- 1< < 1
其中 为自相关系数， v 为经典误差项，即 t
E(vt ) 0 , Var(vt ) , Cov(vt , vt+s ) 0 , s 0
误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间存在 正相关 不能判定是否有自相关 误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间 无自相关
六章自相关
Econometrics 2005
18
6.3 自相关的检验
6.3.1 图解法
时间序列图（Time Sequence plot):将残差对时间描点。 如图（a）所示，扰动项的估计值呈循环形，并不频繁 地改变符号，而是相继若干个正的以后跟着几个负的。 表明存在正自相关。
t
t
Econometrics 2005
小于临界值，表示存在序列相关。
Econometrics 2005
28
6.4 自相关的补救1: ( 已知）广义差分法
以双变量回归模型和AR(1)为例。
Yutt
1 2 X t ut1 t
ut
Yt 1 2 X t ut
(1)
Yt1 1 2 X t1 ut1
( 2)
(1) (2) :
Yt Yt1 b0 (1 ) b1( X t X t1) t
差分形式
Yt b0 (1 ) Yt1 b1X t b1X t1 t
a0 b0 (1 )
a1 b1
Yt a0 Yt1 a1 X t a2 X t1 t
a2 b1
往也是正的。于是在不同的样本点之间，随机误差项出现了相关
性，这就产生了序列相关性。
Econometrics 2005
16
再如，以绝对收入假设为理论假设、以时间序列数据
作样本建立居民总消费函数模型：
Ct 0 1 I t t
t=1,2,…,n
消费习惯没有包括在解释变量中，其对消费量的影响被
包含在随机误差项中。如果该项影响构成随机误差项的
类似一阶自相关的定义， 若rs Cov(ut ,uts ) 0, s 2 则称为是高阶自相关。
Econometrics 2005
第六章 自相关性
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
接前页
1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关自相关是计量经济学中一种重要的现象，它指的是一个变量与其自己在过去时间点上的相关性。
自相关在实证研究中十分常见，对经济学家来说，了解和掌握自相关性质是至关重要的。
1. 引言自相关作为计量经济学的一项基础概念，是经济学研究中不可或缺的一个重要方法。
自相关性的存在通常会引起回归结果的偏误，而忽略自相关性可能导致估计不准确的结果。
因此，探讨自相关性的性质和应对方法是计量经济学的重点之一。
2. 自相关的定义和表示自相关是指一个变量与其自身在过去时间点上的相关性。
假设我们有一个时间序列数据集，其中变量yt表示一个时间点上的观测值，t表示时间索引。
自相关系数可以通过计算观测值yt与其在过去某一时间点上的观测值yt-k（k为时间滞后期数）的相关性来得到。
数学上，自相关系数可以用公式表示为：ρ(k) = Cov(yt, yt-k) / (σ(yt) * σ(yt-k))其中，ρ(k)表示第k期的自相关系数，Cov表示协方差，σ表示标准差。
3. 自相关性的性质自相关性具有以下几个性质：3.1 一阶自相关性一阶自相关性是指变量值yt与前一期的观测值yt-1之间的相关性。
一阶自相关系数ρ(1)通常用来检验时间序列数据是否存在自相关性。
若ρ(1)大于零且显著，则表明存在正的一阶自相关性；若ρ(1)小于零且显著，则表明存在负的一阶自相关性。
3.2 高阶自相关性除了一阶自相关性，时间序列数据还可能存在高阶自相关性。
高阶自相关性是指变量值yt与过去第k期的观测值yt-k之间的相关性。
通过计算不同滞后期的自相关系数ρ(k)，可以了解数据在不同时间跨度上的自相关性情况。
3.3 异方差自相关性异方差自相关性是指时间序列数据中的方差不仅与自身相关，还与过去观测值的相关性有关。
异方差自相关性可能导致在回归分析中的标准误差失效，从而产生无效的回归结果。
因此，在处理存在异方差自相关性的数据时要采取合适的修正方法。
4. 自相关性的检验方法在实证研究中，经济学家通常使用多种方法来检验数据中的自相关性，常用的方法包括：4.1 Durbin-Watson检验Durbin-Watson检验是一种常用的检验自相关性的方法，其基本思想是通过检验误差项的相关性来判断自相关是否存在。
第六章 自相关
第六章 自相关§6.1 自相关一. 概念：经典假定4 cov(,)0,()i j u u i j =≠，不被满足，称i u 存在自相关或序列相关。
自 相关主要存在于时间序列中。
自相关又分为正自相关和负自相关，其主要表现是： 正自相关：当某个0t u >时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有大于零的倾向； 当某个0t u <时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有小于零的倾向。
负自项关：相邻两项的符号有相反的倾向。
在时间序列中，t u 的符号信息对以后各期都有一定的影响，即跨期的扰动项序列相关（经济数据中居多）。
所以在实际工作中，以正自相关较为常见。
二. 产生自相关的原因：1. 许多经济变量是时间序列，此时不能认为u 无自相关；2. 非重要因素归入随机误差项，而这些因素又有自相关的情况；3. 一些重大偶然事件对经济的冲击，往往要延续一段时间；4. 模型本身设置的不正确。
三. 自相关强度的度量------自相关系数1. 自相关的阶：一阶自相关：t u 只与1t u -（之前一期）有关，1()t t u f u -=； 二阶自相关：t u 与12,t t u u --（之前两期）有关，12(,)t t t u f u u --= s 阶自相关：t u 与之前s 期有关，12(,,,)t t t t s u f u u u ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅一般情况下，以研究一阶自相关为主。
因为相邻两期的影响最强且一阶的形式也比较简单。
这时通常假定是一阶线性自相关。
2. 自相关系数：若假定是一阶线性自相关，则自相关形式为1t t t u u v ρ-=+且11ρ-<<ρ是常数，可称为（一阶）自相关系数；t v 是一个新的随机项且满足所有经典假定，即 2~(0,)t v v N σ ()0t t E v v '= ()t t '≠()0s t E u v = ()t s >这样自相关形式就是一个不含常数项的线性模型，ρ就是回归参数，可用OLS 法估计ρ：12212nt t t nt t u uuρ-∧=-==∑∑1nt t u u-≈∑ （当n 很大时，22122n nt t t t u u-==≈∑∑）这完全符合相关系数的计算表达，所以称ρ为自相关系数是合理的。
第六章 自相关
不能判定是否有自相关
d L DW dU
dU DW 4 - dU
4 - dU DW 4 - d L
误差项 u1, u2 ,..., un 间 无自相关
不能判定是否有自相关 误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 负相关
16
一、一阶自回归形式的性质
一元线性回归模型:
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关
ut = ut -1 + vt
其中，ut为现期随机误差， ut -1 为t-1期随机误差。 是经典误差项，满足零均值假定 E(vt ) = 0 和同方差假定 Var(vt ) = v 、无自相关假定 E(vt vs ) 0 (t s) 。
Cov ut , us 0t s
Cov ut , ut 1 0
自相关
一阶自相关
ut ut 1 t 为一阶自相关系数
一阶线性自相关
6
二、自相关产生的原因 自 相 关 产 生 的 原 因
经济系统的惯性
经济活动的滞后效应 数据处理造成的相关
2,400 2,000 1,600 1,200
EOLS
800 400 0 -400 -800 -1,200 -1,200
结论： 一阶正自相关
-800 -400 0 400 800 EOLS(-1)
30
再来看看另一幅图
结论： 无一阶自相关
残差的散点图
31
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S. Watson (沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检 验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有 一阶自回归形式的自相关问题。
第六章 自相关(序列相关)
可以证明： 1－ 2 － 1 C＝ 0 2 1－ 0
2
0 0 1 0 0 － 0 0 0 － 1 0
1－ 2 Cy 以 1－ C左乘原模型，并定义y 1－ 2 CX， 1－ 2 C X
则变换后的扰动项 满足球型扰动项的假设， 故高斯－马尔可夫定理成立（因为这种变换是 GLS的一个特例）
1－ 2 － 1－ 2 Cy＝ 0 y 0
0 0 y1 1 0 0 y2 － 0 0 yn 0 － 1 0
第六章 自相关（序列相关）
一、自相关的后果 违反球型扰动项假定的另一情形是自相关。若存在 i j使得E i j X 0，即扰动项的协方差阵Var X 的非主对角线元素不全为0，则称存在“自相关” （autocorrelation）或“序列相关”（serial correlation）
其中， Var u t ，而1＝ ，
2 u 2
1 2 故一阶自相关系数 ＝ 2 ＝ 0
由课件第三章p21， 2＝ ， ， n-1＝ ，故
2 2 n-1 2
1 2 Var X ＝ n-1
1
1－ 2 y1＝ 1－ 2 1＋ 1－ 2 2 x12＋＋ 1－ 2 k x1k＋1 y 2－ y1＝1－ 1＋ 2 x 22－ x12 ＋＋ k x 2k－ x1k ＋ 2 y n－ y n-1＝1－ 1＋ 2 x n 2－ x n-1， ＋＋ k x nk－ x n-1，k 2 ＋ 2
因此辅助回归的解释变量e t-1， ，e t-p必与扰动项相 关，导致不一致的估计。这就是所谓的随机解释变 量问题，后面会介绍。若引入解释变量x t1， ，x tk 将使BG检验更加稳健 由于使用了滞后残差值e t-p，损失了p个样本值，故
第06章 自相关(讲稿)
第6章自相关1. 自相关定义1）非自相关由第2节知回归模型的假定条件之一是，Cov(u i,u j )=E(u i u j) =0, (i, j∈T, i ≠ j),(1.1)即误差项u t的取值在时间上是相互无关的。
称误差项u t非自相关。
2）自相关如果Cov (u i ,u j ) ≠ 0, (i ≠ j)则称误差项u t存在自相关。
自相关又称序列相关。
原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。
这里主要是指回归模型中随机误差项u t 与其滞后项的相关关系。
自相关也是相关关系的一种。
2．自相关类型1）自相关按滞后阶数可分为两类。
(1)一阶自回归形式当误差项u t只与其滞后一期值有关时，即u t = f (u t - 1),称u t具有一阶自回归形式。
(2) 高阶自回归形式当误差项u t的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其前若干期的值都有关系时，即u t = f (u t – 1, u t – 2 , … ), 则称u t 具有高阶自回归形式。
2）按函数形式分为线性自相关和非线性自相关 （1）线性自相关 f 为线性函数形式 （2）非线性自相关 f 为非线性函数形式 3．一阶线性自相关通常假定误差项的自相关是线性的。
因计量经济模型中自相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即 u t =1a u t -1 + v t (1.2)其中1a 是自回归系数，v t 是随机误差项。
v t 满足通常假设E(v t ) = 0, t = 1, 2 …, T, Var(v t ) = σv 2, t = 1, 2 …, T,Cov(v i , v j ) = 0, i ≠ j, i, j = 1, 2 …, T, Cov(u t-1, v t ) = 0, t = 1, 2 …, T,依据普通最小二乘法公式，模型（1.2）中 1 的估计公式是，1ˆa= ∑∑=-=-Tt t Tt t tuuu 22121 (1ˆβ=∑∑---2)())((x x x x y y t t t ) (1.3)其中T 是样本容量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Econometrics 胡亚南
本章主要讨论:
什么是自相关 自相关的后果 自相关的检验 自相关的补救
Econometrics
2
第一节 什么是自相关
自相关的概念 自相关产生的原因 自相关的表现形式
自相关的概念
自相关的概念
自相关，又称序列相关，是指总体回归模型的随机误差项ui之 间存在相关关系
第二节 自相关的后果
一阶自回归形式的性质 自相关对参数估计的影响 自相关对模型检验的影响 自相关对模型检验的影响
一阶自回归形式的性质
一阶自回归的性质
对于 可以证明：
ut ut1 vt
ut (ut2 vt1) vt
2 (ut3 vt2 ) vt1 vt
3 (ut4
供给对价格的反应要滞后一段时间，它表示某种商品的供给量受前一期价格
因为供给需要经过一定的时间才能 影响而表现出来的某种规律性，即呈蛛
实现。如果时期t的价格 Pt 低于上 网状收敛或发散于供需的均衡点。
一期的价格 Pt-1 ，农民就会减少时
期t 1 的生产量。如此则形成蛛网
St 1 2Pt1 ut
而夸大 2 的显著性，使得 t 检验失效， 同理，F 检验也将失效
自相关对模型预测的影响
自相关对模型预测的影响
模型预测的精度决定于：◆抽样误差◆ui 的方差 2
◆抽样误差来自于对
ˆ
的估计，存在自相关时，OLS估计的
j
Var(ˆj ) 变得不
可靠，会影响抽样误差。
◆在自相关情形下，用 ˆ 2 ei2 / n k 对 2 的估计也会不可靠。
n
ut ut 1
ˆ
t2 n
u2 t 1
t2
n
ut ut 1
t2
n
n
ut2
u2 t 1
t2 t2
在样本容量大时有
ut2
u2 t 1
（回归系数公式） （相关系数公式）
自相关的表现形式
ut 的二阶自回归形式，可记为 AR(2)
ut 1ut1 2ut2 vt
ut 的K阶自回归形式，可记为 AR(k) ut 1ut1 2ut2 kutk vt
E(vt ) 0
Var
(vt
)
2 v
cov(vt , vs ) 0
Yt Yt1 (1 1) 2 ( X t X t1) (ut ut1)
Yt*
1*
2
X
* t
vt
广义差分法
注意：
●前提条件是已知自相关系数 ρ ●广义差分后只有n-1个观测值,为避免观测值损失，Y和X的第一个观测值可
现象，此时的供给模型为:
自相关产生的原因
（5）模型设定偏误 如果模型中省略了某些重要的解释变量或者模型函数形式不正确，都
会产生系统误差，这种误差存在于随机误差项中，从而带来了自相关。
自相关产生的原因
自相关关系主要存在时间序列数据中，但是在横截面数中也可能出现 自相关，通常称为空间自相关
自相关的表现形式
k xt xtk
k 1
xt2
]
自相关对模型估计的影响
E( ei2) 2[(n 2) (2
X t X t1
X
2 t
2 2
Xt Xt2
X
2 t
2 n1
XtX
X
2 t
n
)]
自相关对模型检验的影响
自相关对模型检验的影响
可能过低估计参数真实方差和标准误差则可能过高估计 t ˆ2 SE(ˆ2) ，
检验
v(1) t
的自相关性，若还有自相关，用
et(1)第二次估计
1*
1* (
et(1)
e (1) t 1
)
(
e(1) 2 t 1
)
3）用 1* 作一阶差分回归
原假设:
H0 : 0
建立 DW 统计量（也称d统计量)：
H1 : 0
n
(et et1 )2
d 2 n
et2 1
关键是设法确定D的分布
DW检验法
可以证明:
n
(et et1)2
d 2 n
et2
et2
e2 t 1
2
et2
et et 1
1
大样本时:
e2 t 1
et2
d 2(1
期。 由此带来变量的自相关性。 居民可支配收入 人的消费观念
自相关产生的原因
（3）数据处理造成的相关 因为某些原因对数据进行了修整和内插处理，在这样的数据序列中就会
有自相关。 将月度数据调整为季度数据 对缺失的历史资料
自相关产生的原因
（4）蛛网现象
许多农产品的供给呈现为蛛网现象，蛛网现象是微观经济学中的一个概念。
et et 1 et2
)
2(1
ˆ )
可见，对ρ=0的检验等价于对 d=2 的检验
ˆ utut1 etet1
ut2
et2
DW检验法
德宾—沃森DW检验的假定条件 解释变量X非随机 模型包括截距项（不是通过原点的回归）
解释变量中不含滞后被解释变量，如 Yt1
u i的自相关是一阶自回归形式，即
影响预测精度的两个因素都可能因自相关的存在而加大不确定性，使预测的 置信区间不可靠，从而降低预测的精度。
第三节 自相关的检验
图示检验法 DW检验法 Breusch-Godfrey检验（LM检验）
图示检验法
图示检验法
绘制et-1 和 e t的散点图 按时间顺序绘制残差项 et 的图形
图示检验法
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
问题的提出: DW检验应用广泛且方便，但有一定局限： 1.只适用于一阶自相关的检验，高阶自相关怎么检验? 2.有一些限制条件，如无滞后被解释变量等.
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
基本思想：基于所分析模型的普通最小二乘估计的残差对解释变量和 一定数量滞后残差的辅助回归，如果滞后残差足以解释当前残差的变 异，就拒绝误差自相关的原假设。
vt3 )
v2 t2
vt 1
vt
一般关系： 期望
ut ut1 vt kvtk k 0
E(ut ) k E(vtk ) 0 k 0
一阶自回归的性质
方差
2 u
Var(ut
)
Var(
kvtk )
2kVar(vtk )
t0
t0
2 v
(1
2
4
)
2 v
1 2
协方差
k 1时
类推可得
可用剩余 e 替代 u 去估计
et et1 vt
* etet1
e2 t 1
迭代的方法步骤：
e 1）用OLS估计原模型，计算回归剩余 t ，并估计 *
* ( et et1 ) ( et12 )
2）用 *作一阶差分回归
Yt
*Yt 1
1(1
*)
2 ( X t
*
X
t
1
)
v(1) t
用如下普莱斯－温斯腾变换得第一个观测值
Y1* Y1 1 2
X
* 1
X1
1 2
●模型已成为变换了的新变量之间的回归
自相关系数的ρ确定
自相关系数ρ的确定
思想: 通常ρ未知，为用模型变换处理自相关，必须设法找到ρ的估计值
自相关系数ρ的确定
简单的方法： 用DW统计量估计ρ
已知
d 2(1 ˆ )
Cov(ut
, ut1)
(
2 v
2
2 v
4 2 v
)
1
2 v
2
k 2时
Cov(ut
, ut2
)
E (ut ut 2
)
2
2 v
1 2
Cov(ut
, utk
)
E (ut ut k
)
k
2 v
1
2
自相关对参数估计的影响
自相关对模型估计的影响
1. 参数的OLS估计式仍然是无偏的 2. 用OLS估计的参数的方差不再具有最小方差
44
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
用OLS估计模型： Yi 1 2 X2i 3X3i k Xki ui ， 得到残差 ei 作辅助回归：et 1 2 X 2t 3 X3t k X kt 1et1 2et2 pet p vt 计算可决系数 R2，构造统计量TR2 2( p) 给定显著性水平，找临界值，判断
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
与DW检验不同，BG检验有一些特点： BG检验不只限于一阶自相关，还适合于高阶自相关的检验； 适合检验模型的解释变量中滞后被解释变量 Yt-1、Yt-2 如的情况
BG检验的滞后长度p不能先验确定
第四节 自相关的补救
广义差分法 自相关系数的 ρ 确定
自相关的概念
假定．随机误差项无自相关：ui在不同观测点之间是不相关的
Cov(ui ,u j ) E(uiu j )=0 (i j)
如果该假定不满足，就称 ui 和 uj 存在自相关
Cov(ui ,u j ) E(uiu j ) 0 (i j)
自相关的概念
自相关的程度可以用自相关系数去表示
自相关的表现形式
如果Cov(ut ,ut1) 0 称 ut 序列存在一阶自相关
如果 ut的自相关形式为: ut ut1 vt
其中 vt 满足OLS基本假定:
E(vt ) 0
Var
(vt
)
2 v
C ov(vt , vs ) 0