数学(理)卷·2018届山西省太原五中高二3月阶段性测试(2017.03)(导数)

太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高 二 数 学（理）出题人、校对人：王文杰、李廷秀、闫晓婷（2017. 3）一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案） 1.曲线1+=x xe y 在点)1,1(处切线的斜率等于（ ） A ．e 2B ．22e C ．2D ．12.函数23()(1)2f x x =-+的极值点是（ ）A . 1=x B.1-=x 或1=x 或0=x C.0=x D.1-=x 或1=x3.已知函数)(x f 的导数为()f x '，且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x '=++，则(2)f '的值等于（ ）A.2-B.2C.94-D. 944.函数sin cos ,(,)y x x x x ππ=+∈-的单调递增区间是（ ） A.(,)2ππ--和(0,)2π B.(,0)2π-和(0,)2πC.(,)2ππ--和(,)2ππD. (,0)2π-和(,)2ππ 5.函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A.有最大值0，无最小值B.有最大值0，最小值323- C.最小值323-，无最大值 D.既无最大值，也无最小值 6.若函数(),()f x g x 满足11()()0f x g x dx -=⎰，则称(),()f x g x 为区间[1,1]-的一组正交函数．给出三组函数：11(1)()sin,()cos ;22f x xg x x == (2)()1,()1;f x x g x x =+=-2(3)(),().f x x g x x ==其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.设()f x '是函数)(x f 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8. 定积分1)x dx ⎰等于（ ）A.24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 9. 直线y m =分别与曲线2(1),ln y x y x x =+=+交于点,A B ，则AB 的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．3D ．3210. 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e二、填空题（每小题4分，共20分） 11.定积分1(2)x x e dx +=⎰.12.已知函数32()3f x x x =-的图象如图所示，求图中阴影部分的面积 .13.若函数324y x ax =-+在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 . 14.已知函数ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = .15.已知函数()f x 满足(0)1f =-其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论正确的是 . （1）11)1(->k k f ；（2）11)11(->-k k f ；（3）12)11(--<-k k k f ；（4）)11()1(-<k f k f三、解答题（每小题10分，共40分） 16. 已知函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线y a =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．17. 求抛物线243y x x =-+-及其在点(1,0)A 和点(3,0)B 处的切线所围成图形的面积．18. 设2()(3)xf x e ax =+，其中a 是实数； （1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）若()f x 为区间[1,2]上的单调函数，求a 的取值范围．19. 已知函数()ln xf x e a x a =--，其中常数0a >，若()f x 有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<．2017/3月考答案BCCABCDADD10.解：由1a <，易知存在整数00000,:(21).x st ex x ax a =-<-设()(21),(),x g x e x h x ax a =-=-则()(21),x g x e x '=+可得()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，若存在唯一整数000,:()0,x st f x =<还须满足(0)(0)(1)(1)h g h g >⎧⎨-≤-⎩即132a a e <⎧⎪⎨-≤-⎪⎩∴ 312a e ≤< .故选D .11. e 12. 27413. 3a ≥[解析] 232y x ax '=-，由题意知2320x ax -<在区间(0,2)内恒成立，即32a x >在区间(0,2)上恒成立，∴3a ≥ 14.8解析：由ln y x x =+得11y x'=+，所以曲线ln y x x =+在(1，1)处的切线的斜率k ＝2，故切线方程为21y x =-，∵21y x =-与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，联立，消去y 得220ax ax ++=则0a ≠且24(2)0,8.a a a ∆=-=∴=15.(1)(2)(4)16. 已知函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线y a =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>><<<,当， (2)分∴)(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=有极小值x f x (4)分（2）由（1）得55a -<<+17. 求抛物线243y x x =-+-及其在点(1,0)A 和点(3,0)B 处的切线所围成图形的面积． [解析] 如图所示，因为1324,2,2x x y x y y =='''=-+==-，两切线方程为2(1),2(3)y x y x =-=--．由2(1)2(3)y x y x =-⎧⎨=--⎩，得2x =.所以23221223221232232312[2(1)(43)][2(3)(43)](21)(69)112()(39)333S x x x dx x x x dxx x dx x x dxx x x x x x =---+-+----+-=-++-+=-++-+=⎰⎰⎰⎰18. 设2()(3)xf x e ax =+，其中a 是实数；（1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）若()f x 为区间[1,2]上的单调函数，求a 的取值范围．(1）当1a =-时，有2()(3)xf x e x =-+，2'()(23)(3)(1)xxf x e x x e x x =--+=-+-，令'()0f x >，即(3)(1)0xe x x -+->，∴(3)(1)0x x +-<，即31x -<<， ∴()f x 在(3,1)-上递增，(,3)-∞和(1,)+∞上递减， ∴当3x =-时，()f x 有极小值3(3)6f e --=-， 当1x =时，()f x 有极大值(1)2f e =． （2）要使()f x 在区间[]1,2上单调，则2'()(23)0xf x e ax ax =++≥或2'()(23)0xf x e ax ax =++≤恒成立， 即2230ax ax ++≥或2230ax ax ++≤在区间[]1,2上恒成立，max 23()2a x x -≥+38=-或min 23()12a x x -≤=-+． 综上，()f x 在[]1,2上单调，则1a ≤-或38a ≥-．19. 已知函数()l n xf x e a xa =--，其中常数0a >，若()f x 有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<． 【分析】若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证()110f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭且()()10f f a <， 即只需判断()()1,1,f f f a a ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，可先由()f x 存在两个零点判断出的取值范围为a e > ，从而()10f e a =-<，只需将()1,f f a a ⎛⎫⎪⎝⎭视为关于的函数，再利用函数性质证明均大于零即可．【解析】由()ln 0xf x e a x a =--=得1ln 1x e a x x e ⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭，令()()()'21ln 1,.ln 1ln 1x x e x e x x x x x ϕϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∴=++ 设()1ln 1g x x x =+-，可得()g x 为增函数且()10g =，110,,1x e e ⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()'00g x x ϕ<⇒<，()1,x ∈+∞时，()()'00g x x ϕ>⇒>，()x ϕ∴在110,,,1e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在()1,+∞单调递增，∴在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()min 1x e ϕϕ==，()f x 有两个零点，a e ∴>，()10f e a ∴=-<，()ln a f a e a a a =--，()'ln 2a f a e a ∴=--，()''1110a a e f a e e e a e e=->->->，()'f a ∴在(),e +∞单调递增， ()()()2330,e f a f e e e f a ''∴>=->->∴在(),e +∞单调递增，()()()22220.e f a f e e e e e e e ∴>=->-=->而()10f <，()()10f f a ∴<，()21,x a ∴∃∈，使得()20f x =即21x a <<． 另一方面：()11111ln ln ln 1a a a f e a a e a a a e a a a a ⎛⎫=--=+-=+- ⎪⎝⎭，a e >ln 10a ∴->，10f a ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，而()10f <，()110f f a ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，11,1x a ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =即111x a<<． 综上所述：1211x x a a<<<<．。