北京市昌平区2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题及答案
2015-2016学年北京市东城区高二上学期期末考试文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年北京市东城区高二上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：126分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。
现有下列四种说法：①前三年该产品产量增长速度越来越快； ②前三年该产品产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品年产量保持不变。
其中说法正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2、过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知抛物线上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．125、若满足，则的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．26、已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若m ⊥，则m ⊥nB ．若m ⊥，m ⊥n ，则n ∥C ．若m ∥⊥n ，则n ⊥D ．若m ∥∥，则m ∥n7、双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．C ．4D ．C． D．9、直线的倾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°10、圆的半径为（）A．1 B． C．2 D．4第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、如图所示，正方体的棱长为1，，M是线段上的动点，过点M作平面的垂线交平面于点N，则点N到点A距离的最小值为__________。
12、设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为________。
2015-2016年北京市西城区高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2015-2016学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1B．若a≤0，则a＞1C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤12．（5分）复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2D．23．（5分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．（5分）抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0D．A1A2﹣B1B2=06．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c （c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3B．4C．D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．（5分）已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2=．11．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则=．12．（5分）已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b=；双曲线渐近线的方程为．13．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是．14．（5分）已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．16．（13分）如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．17．（14分）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18．（13分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．19．（13分）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．2015-2016学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1B．若a≤0，则a＞1C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤1【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．2．（5分）复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2D．2【解答】解：由复数概念知，复数z=1+2i的虚部是2．故选：D．3．（5分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．4．（5分）抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是：p=1．故选：A．5．（5分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0D．A1A2﹣B1B2=0【解答】解：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直⇔A1A2+B1B2=0，故两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B2=0，故选：C．6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C【解答】解：∵如图，连接BD，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．故选：C．7．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c （c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意作图如右，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴|PF1|•|PF2|===2b2，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|•|PF2|=|F1F2|•d，故2b2=2cd，故d=，故选：B．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3B．4C．D．5【解答】解：如图，∵P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，∴问题可转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为l=．∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．10．（5分）已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2=1：4．【解答】解：设球的半径为r，所以大圆面积S1=πr2，表面积S2=4πr2，所以S1：S2=1：4故答案为：1：4．11．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则=﹣1+2i．【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，∴=．故答案为：﹣1+2i．12．（5分）已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b=；双曲线渐近线的方程为．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：，13．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是4．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：14．（5分）已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是①③．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③正确；故正确的结论的序号是：①③，故答案为：①③三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：连结BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．（2分）因为底面ABCD是正方形，AB=2，所以．（3分）在直角三角形PDB中，．（5分）（Ⅱ）解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，（7分）所以．（8分）由（Ⅰ）知，所以AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形．（10分）所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA +2S△PAB+S正方形ABCD（11分）==．（13分）16．（13分）如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，∴圆C的半径，（3分）∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．（5分）（Ⅱ）解：∵直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，∴．（7分）在直角三角形ADC中，．（9分）由点到直线的距离公式，得，（11分）∴，（12分）解得m=±15．（13分）17．（14分）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．（2分）又EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，（3分）所以QB∥平面AEC．（4分）（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．（6分）又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．（7分）．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．（8分）所以AE⊥平面QDC．（9分）所以平面QDC⊥平面AEC．（10分）（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，（12分）所以．（14分）18．（13分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，（2分）所以，解得p=1，（4分）所以抛物线的方程为y2=2x．（5分）（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．（7分）所以x1x2=4．（8分）由，，两式相乘，得，（9分）注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4．（10分）所以直线OM与直线ON的斜率之积为，（12分）即OM⊥ON．（13分）19．（13分）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．（2分）在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，（4分）所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．（6分）解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．（7分）因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．（9分）假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A 1E⊥平面BCD．（2）（11分）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．（13分）20．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，（1分）且，（3分）解得a2=4．（4分）所以，椭圆C的方程是．（5分）（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．（6分）将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．（8分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①（9分）因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0．②（10分）因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④（11分）将①代入④，整理得5m2﹣2m﹣3=0．（13分）解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．（14分）证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．（6分）将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．（8分）解得x=0，或．（9分）设P（x1，y1），所以，，所以．（10分）以替换点P坐标中的k，可得．（11分）从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．（13分）在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ 恒过定点．（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
北京市昌平区高二数学上学期期末考试试题 文(1)
北京市昌平区2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知命题 :p x ∀∈R ，1≤x ，那么命题p ⌝为A ．x ∀∈R ，1≥xB ．∈∃x R ，1>xC ．x ∀∈R ，1-≥xD ．∈∃x R ，1->x2.直线2x + y -1=0关于y 轴对称的直线方程是A ． x -2y +1=0B ．x -2y -1=0C ．2x -y -1=0D ．2x -y +1=0 3. 设()f x '是x x x f -=331)(的导函数，则(1)f '-等于 A ．-2 B ．0 C ．2 D ．34-4. 已知椭圆1162522=+y x ，21,F F 是椭圆的两个焦点，点P 是椭圆上任意一点，若4||1=PF ,则=||2PFA ．4B ．5C ．6D ．8 5.方程为01=--aax y 的直线可能是A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件C ABD7. 已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形， 俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于A．3 B .334 C. 338 D. 388. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A . 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββα⊂α⊂//,//,//,,则n m n m C ．若β⊥α⊂β⊥αm m 则,, D. 若αα⊄β⊥β⊥α//,,,,m n m 则9. 若函数x x y -=2的图象在点)2,2(M 处的切线l 被圆)0(:222>=+r r y x C 所截得的弦长是5102 ,则=r A. 22B. 1C. 2D. 210. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足a PC PA 21=+的点P 的个数为A. 3个B.4个C.5 个D.6个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，则|AB|=_________. 12.如果直线012=--y x 和1+=kx y 互相垂直，则实数k 的值为_____________. 13.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的顶点都在球面上，则1AC 的长是_________，球的表面积是___________.俯视图侧视图正视图14. 双曲线14:22=-y x C 的离心率为______，其渐近线方程是_________________. 15.函数()e xf x x =⋅的单调递减区间为______________，其最小值是_____________. 16.若曲线0),(=y x F 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线0),(=y x F 的“自公切线”．下列方程：① 122=-y x ；②||22x x y -=；③x x y cos sin +=；④221||y x -=+ 对应的曲线中不存在“自公切线”的有_____________三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分14分)已知两点)1,1(-A ，)3,1(--B . （I ） 求过A 、B 两点的直线方程； (II ） 求线段AB 的垂直平分线l 的直线方程；（III ）若圆C 经过A 、B 两点且圆心在直线10x y -+=上，求圆C 的方程.18. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,AB AD =F BD AC PC PA =⋂=,，点E 是PC 的中点.(Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面⊥ADF 平面PBD .19. (本小题满分14分)FEPDCBA已知函数3)(23--+=x ax x x f 在1-=x 时取得极值． （I ）求)(x f 的解析式； （II ）求()f x 在区间]1,2[-上的最大值．20．(本小题满分14分)如图，已知平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB ADC //,900=∠，a CD AB a AF AD 22,====. （Ⅰ）求证：//AF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCE ； （Ⅲ）求四棱锥C ABEF -的体积.21.(本小题满分14分)已知平面上的动点Q 到定点(0,1)F 的距离与它到定直线3y =的距离相等. （I ）求动点Q 的轨迹1C 的方程；（II ）过点F 作直线1l 交22:4C x y =于,B A 两点(B 在第一象限).若B 2,F AF =求直线1l 的方程；（III ）在满足（II ）的条件下，试问在曲线1C 上是否存在一点M ，过点M 作曲线1C 的切线2l 交抛物线2C 于,D E 两点，使得EF DF ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
2015-2016学年度第一学期期末测试(数学)
2015～2016学年度第一学期期末测试七 年 级 数 学本卷分值 100分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．34-的相反数是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．单项式225x y-的系数和次数分别是A ．－2，2B ．2-，3C ．25-，2D ．25-，33．在下面的四幅图案中，通过平移图案（1）得到的是图案4．下列各组中的两项，不是．．同类项的是 A ．22x y 与23x y - B ．3x 与3xC ．232ab c -与32c b aD ．1与－18 5．若关于x 的方程710x a +-=解是1x =-，则a 的值等于A ．8B ．－8C ．6D ．－6 6．从三个不同方向看一个几何体，得到的三视图 如图所示，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．球7．已知有理数a ，b 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确．．．的是 A ．ab＜0 B ．a －b ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．ab ＜0b 0a（1） A B C D（第6题）（第7题）8． 如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列说法中错误．．的是 A ．∠1与∠2是邻补角 B ．∠1与∠3是对顶角C ．∠3与∠4是内错角D ．∠2与∠4是同位角 9． 如图，点D 在直线AE 上，量得∠CDE=∠A=∠C ，有以下三个结论：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③∠B=∠CDA ．则正确的结论是A ．①②③B ．①②C ．①D ．②③ 10．王力骑自行车从A 地到B 地，陈平骑自行车从B 地到A 地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km ，到中午12时，两人又相距36 km ．求A 、B 两地间的路程．可设A 、B 两地间的路程为x km ，则下列所列方程中：①363624x x -+=；②36363622x -+=；③36362x -=⨯； ④3636x -=；其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．用科学记数法表示9600000为 ▲ ．12．点A 、B 在同一条数轴上，其中点A 表示的数为－1，若点B 与点A 之间距离为3，则点B 表示的数为 ▲ ． 13．已知2a b -的值是2015，则124a b -+的值等于 ▲ ．14．若23(2)0x y -++=，则16xy = ▲ ．15．飞机的无风航速为a 千米／小时，风速为20千米／小时．则飞机逆风飞行4小时的行程是 ▲ 千米．16．某服装店以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件 盈利25%，另一件亏损25%，若盈利记为正，亏损记为负，则该店卖这两件衣服总的盈亏金额是 ▲ 元．17．如图，把小河里的水引到田地A 处就作AB ⊥l ，垂足 为B ，沿AB 挖水沟，这条水沟最短的理由是 ▲ ． 18. 如图，将三角板与两组对边分别平行的直尺贴在一起， 使三角板的顶点C （AC ⊥BC ）落在直尺的一边上，若∠1=24°，则∠2等于 ▲ 度． 19．如图，平面内有公共端点的6条射线OA 、OB 、OC 、 OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在 射线上写上数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字 “2016”应在射线 ▲ 上．20．已知线段AB =12㎝，若M 是AB 的三等分点，N 是AM 的中点，则线段BN 的长度为 ▲ ㎝．三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文ac1 234 A B C DE（第8题） （第9题）（第17题）（第18题）（第19题）字说明、证明过程或演算步骤） 21．（每小题4分，共16分）计算：（1） (20)(3)(5)(7)-++---+；（2） 111()(12)462+-⨯-；（3） 322(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦；（4） 471127326631440-+⨯-⨯÷．22．（每小题3分，共6分）（1）如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4㎝，求线段CD的长度．（2）如图，货船A 在灯塔O 的北偏东53°35′的方向上，客船B 在灯塔O 的南偏东28°12′的方向上．求∠AOB 的度数．23．（每小题4分，共8分）先化简，再求值：（1）求22113333a abc c a c +--+的值，其中1,2,36abc =-==-；（2）求2211312()()2323x x y x y --+-+的值，其中22,3x y =-=．24．（每小题4分，共8分）解方程： （1）72(33)20x x +-=； （2）121224x x+--=+．25．（本小题6分）如图，AD ∥BC ，∠1=60°，∠B =∠C ，DF 为∠ADC 的平分线． （1）求∠ADC 的度数；（2）试说明DF ∥AB ． 解：（1）根据题意完成填空（括号内填写理由）： ∵AD ∥BC （已知）∴∠B =∠1（ ） 又∵∠B =∠C （已知） ∴ =∠1=60°C D （第22题（2）） A O B 西 东 北南 （第22题（1））又∵AD ∥BC （已知）∴∠ADC +∠C =180°（ ） ∴∠ADC = ．（2）请你完成第2题的解答过程：26．（本小题4分）列方程解应用题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 27．（本小题6分）如图：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ． （1）如图1，若∠E ＝78°，则∠BFD = °；（2）如图2，若∠ABM ＝14∠ABF ，∠CDM ＝14∠CDF ，则∠M 和∠E 之间的数量关系为 ；（3）如图2，∠ABM ＝1n ∠MBF ，∠CDM ＝1n∠MDF ，设∠M ＝m °，直接用含有n ，m 的代数式表示出∠E ＝ °．28．（本小题6分）如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°． （1）求∠AOC 的度数；（2）在旋转的过程中，当射线OM ，ON 重合时，求 t 的值； （3）在旋转的过程中，当∠COM 与∠BON 互余时，求 t 的值．BE DFACBE DFA CM 图1图2CMNB（第27题）。
【真题】2015-2016年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2015-2016学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{﹣2，2}C．{2}D．{0}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．D．3．（5分）已知两点O（0，0），A（﹣2，0），以线段OA为直径的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x+1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=1 D．（x+1）2+y2=1 4．（5分）在△ABC中，，则b=（）A．19 B．7 C． D．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．3 C．D．6．（5分）已知函数f （x）的部分对应值如表所示．数列{a n}满足a1=1，且对任意n∈N*，点（a n，a n）都在函数f（x）的图象上，则a2016的值为（）+1A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A．B．C．D．8．（5分）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：下列叙述一定正确的是（）A．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）在的展开式中常数项是；中间项是．10．（5分）双曲线的渐近线方程为；某抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张．要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为．（用数字作答）13．（5分）如图，在矩形ABCD中，，若，则m=；n=．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数f（x）=sin（π﹣x）cosx﹣cos2x（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间．16．（13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=CD，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．（I）求证：MB∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=2ln（x+1）．（Ⅰ）若函数f（x）在点P（x0，f （x0））处的切线方程为y=2x，求切点P的坐标；（Ⅱ）求证：当x∈[0，e﹣1]时，f（x）≥x2﹣2x；（其中e=2.71828…）（Ⅲ）确定非负实数a的取值范围，使得∀x≥0，f（x）≥a（2x﹣x2）成立．19．（13分）已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．20．（14分）对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．若集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E 2={1，2}，P2=．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B，求n的最大值．2015-2016学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{﹣2，2}C．{2}D．{0}【解答】解：由B中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即B={x|x＞1或x＜﹣1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣2，2}，故选：B．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：A.，x增大时，y增大，该函数在（0，+∞）上为增函数，即该选项正确；B．反比例函数在（0，+∞）上为减函数；C．指数函数在（0，+∞）上为减函数；D．对数函数在（0，+∞）上为减函数．故选：A．3．（5分）已知两点O（0，0），A（﹣2，0），以线段OA为直径的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x+1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=1 D．（x+1）2+y2=1【解答】解：根据题意，线段OA是圆的直径，且O（0，0），A（﹣2，0），则圆心的坐标为（﹣1，0），|OA|==2，则圆的半径为|OA|=1；故圆的方程为（x+1）2+y2=1；故选：D．4．（5分）在△ABC中，，则b=（）A．19 B．7 C． D．【解答】解：根据题意，△ABC中，，则b2=a2+c2﹣2accosB=9+4﹣6=7，即b=；故选：D．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．3 C．D．【解答】解：作出三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD．由三视图可知PA⊥平面ABC，AB=AD=1，CD=PA=2，∴BC=3，PD==．AC==，AB=．BC ⊥PD．∴S ABC==，S△ABP==，S△ACP==，S△==．BCP∴三棱锥P﹣ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大．故选：C．6．（5分）已知函数f （x）的部分对应值如表所示．数列{a n}满足a1=1，且对）都在函数f（x）的图象上，则a2016的值为（）任意n∈N*，点（a n，a n+1x1234f（x）3124A．1 B．2 C．3 D．4=f（a n），a1=1．【解答】解：a n+1∴a2=f（1）=3，a3=f（a2）=f（3）=2，a4=f（a3）=f（2）=1，…，=a n．∴a n+3∴a2016=a672×3=a3=2．故选：B．7．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A．B．C．D．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kx﹣y+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=，故选：A．8．（5分）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：下列叙述一定正确的是（）A．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【解答】解：根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）在的展开式中常数项是T5=60；中间项是T4=﹣160x3．【解答】解：的展开式的通项=（﹣1）r26﹣r x12﹣3rr C6令12﹣3r=0得r=4∴展开式的常数项为T5=4C64=60令r=3得展开式的中间项为T4=﹣8C63x3=﹣160x3故答案为60，﹣160x310．（5分）双曲线的渐近线方程为y=±x；某抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为y2=20x．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由于双曲线的右焦点为（5，0），设此抛物线的标准方程为y2=2px，则=5，p=10，故抛物线的方程为y2=20x，故答案为：．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1012．（5分）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张．要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为18．（用数字作答）【解答】解：先将票分为符合条件的3份，由题意，3人分4张票，且每人至少一张，至多两张，则2人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4这4个数用2个板子隔开，在3个空位插2个板子，共有C32=3种情况，再对应到3个人，有A33=6种情况，则共有3×6=18种情况．故答案为1813．（5分）如图，在矩形ABCD中，，若，则m=；n=﹣1．【解答】解：设=，=，∵在矩形ABCD中，，∴==，∵=m+n，∴m=，n=﹣1．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数f（x）=sin（π﹣x）cosx﹣cos2x（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：（I）==所以 最小正周期．…..（7分）（II ） 由，得．…（11分）所以函数f （x）的单调递减区间是．…（13分）16．（13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）． 健步走步数（千卡） 16171819消耗能量（卡路里）400 440 480 520（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列．【解答】（本小题满分13分）解：（I ）小王这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．…..（4分）（II ）X 的各种取值可能为800，840，880，920．，，，，X的分布列为：X800840880920P…..（13分）17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=CD，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．（I）求证：MB∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．因为M为中点，所以．因为，所以AB∥HM且AB=HM．所以四边形ABMH为平行四边形，所以BM∥AH．因为BM⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，所以BM∥平面PAD．…..（4分）解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO．因为PA=PD，所以PO⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．取BC中点K，连结OK，则OK∥AB．以O为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则，．平面BCD的法向量，设平面PBC的法向量，由，得令x=1，则．．由图可知，二面角P﹣BC﹣D是锐二面角，所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值为．…..（9分）（Ⅲ）在线段PB上是不存在点N，使得DN⊥平面PBC．设点N（x，y，z），且，则，所以．则所以，．若DN⊥平面PBC，则，即，此方程无解，所以在线段g（x）上不存在点N，使得DN⊥平面PBC．…..（14分）18．（13分）已知函数f（x）=2ln（x+1）．（Ⅰ）若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=2x，求切点P的坐标；（Ⅱ）求证：当x∈[0，e﹣1]时，f（x）≥x2﹣2x；（其中e=2.71828…）（Ⅲ）确定非负实数a的取值范围，使得∀x≥0，f（x）≥a（2x﹣x2）成立．【解答】（Ⅰ）解：定义域为（﹣1，+∞），．由题意，f'（x0）=2，所以x0=0，f（0）=0，即切点P的坐标为（0，0）．…（3分）（Ⅱ）证明：当x∈[0，e﹣1]时，f（x）≥x2﹣2x，可转化为当x∈[0，e﹣1]时，f（x）﹣x2+2x≥0恒成立．设g（x）=f（x）﹣x2+2x，所以原问题转化为当x∈[0，e﹣1]时，g（x）min≥0恒成立．所以．令g'（x）=0，则（舍），．所以g（x），．变化如下：．因为g（0）=f（0）﹣0=0，g（e﹣1）=2﹣（e﹣1）2+2（e﹣1）=2+（e﹣1）（3﹣e）＞0，所以g（x）min=0．当x∈[0，e﹣1]时，f（x）≥x2﹣2x成立．…..（8分）（Ⅲ）解：∀x≥0，f（x）≥a（2x﹣x2），可转化为当x≥0时，f（x）﹣a（2x﹣x2）≥0恒成立．设h（x）=f（x）﹣a（2x﹣x2），所以．（1）当a=0时，对于任意的x≥0，，所以h（x）在[0，+∞）上为增函数，所以h（x）min=h（0）=0，所以命题成立．当a＞0时，令h'（x）=0，则ax2+1﹣a=0，（2）当1﹣a≥0，即0＜a≤1时，对于任意的x≥0，h'（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上为增函数，所以h（x）min=h（0）=0，所以命题成立．（3）当1﹣a＜0，即a＞1时，则（舍），．所以h（x），h'（x）变化如下：x0（0，x2）x2（x2，+∞）h'（x）﹣0+h（x）↘极小值↗因为h（x）min=h（x2）＜h（0）=0，所以，当x≥0时，命题不成立．综上，非负实数a的取值范围为[0，1]．…..（13分）19．（13分）已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．【解答】解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．…..（5分）（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M）．将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，．故，．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．则．由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1﹣k．则，则（4k2+1）（8k﹣3）=0．则．满足△＞0．所以直线l的方程为时，四边形OAPB为平行四边形．综上所述：直线l的方程为或x=1．…..（13分）20．（14分）对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．若集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2=．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B，求n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．…..（6分）证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..（10分）解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆P n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．若n=14，当b=1时，，取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使．当b=9时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使．集合中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠的两实根为12,x x，且12x x≤．令2()f x ax bx c=++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：2bxa=-③判别式：∆④端点函数值符号．①k＜x1≤x2⇔②x1≤x2＜k⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
北京市昌平区2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试卷_Word版含答案
N M D 1C 1B 1A 1D C BA昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D)()()p q ⌝∨⌝ （4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B)必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD === a b c 则MN =(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>(A) y =( B) 2y x =±( C) 12y x =± ( D) 2y x =±A 1俯视图侧（左）视图正（主）视图（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A)2+( B)2+( C)4+( D)4+（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足12MF MF +=uuu r uuu u r则12MF F ∆的面积为(A)(B) (C) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅= ，则1BC 与BM的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C) 60︒ ( D) 75︒第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ．P D 1C 1B 1A 1D C BAOD 1C 1B 1A 1D CBA (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11BC A P与所成角的大小为____________， 11BC AP ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为求a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，AC BD O = ，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)NM DCBA P已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面A B C D 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交P BP C ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点， ①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R （12） 6（13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2. (2)分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ………7分 所以过点(3,M 的圆C的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C到直线l的距离为11d =. ……10分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O即11d ==. …………12分 所以34a =-. (14)分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O = ，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. (1)分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . (2)分因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. (4)分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. (5)分因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. (6)分因为1111AA AC A = ，所以1111B D ACC A ⊥平面. (7)分因为1111B D AB D ⊂平面， (8)分所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. (9)分(III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯=所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分 （Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以A M ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. (2)分因为,BC PBC PBC ADNM MN ⊂= 平面平面平面，所以//MN BC . ……4分（II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =， 所以P ⊥. ……5分因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PA AB A = ，所以DA PAB ⊥平面. 所以P ⊥. ……7分因为AM DA A = ，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面， 所以P ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面， 所以A D 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n因为(2,1,2)PC =- ，(0,2,2)PD =-,所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,6BP BP BP ⋅〈〉===n n n . 所以二面角P DN A--的余弦值为……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=， 所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC=………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+.所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-.又因为126x x +=，所以5m =，所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+. 由24y xy kx m ⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分所以12221224216160kmx x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分 因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+.所以(3,3)M k m +. ………8分所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k --=--. ………9分令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分（III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-. ………11分又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <. …12分即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k 的取值范围为( . ………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<. 所以213k >. 即21113k >. 所以2103k <<. …12分因为12x x ≠，则10k ≠.…13分 所以1k的取值范围为( . ………14分。
昌平区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题及答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）2016.1
考生须知：
1． 2． 3． 本试卷共 6 页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答，第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹 的签字笔作答， 作图时可以使用 2B 铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答， 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分. 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要 折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记. 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.
PN PB
（18） （本小题满分 13 分） 已知函数 f x 2 ln x 1 . （Ⅰ）若函数 f x 在点 P x0 ，f x0 处的切线方程为 y 2 x ，求切点 P 的坐标； （Ⅱ）求证：当 x [0, e 1] 时， f x x 2 2x ； （其中 e 2.71828 ） （Ⅲ）确定非负实数 ．．．．a 的取值范围，使得 x 0, f x a 2 x x
第Ⅱ卷（非选择题
共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9）在 (2 x （ 10）双曲线 C :
2
1 6 ) 的展开式中，常数项是 x
（用数字作答）.
x2 y2 1的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲 9 16
（13）如图，在矩形 ABCD 中， DP 3PC ，若 PB mAB nAD, 则 m ______;
北京市昌平区2015-2016学年高二上学期期末质量抽测物理试题
昌平区2015～2016学年第一学期高二年级期末质量抽测物理试卷第一部分选择题（共46分）一．单项选择题。
本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得3分，选错或不答的得0分。
1.下列物理量中，属于矢量的是A．电场强度B．电动势C．电压 D．磁通量2.有两个阻值均为R的电阻串联后的总电阻为R串，并联后的总电阻为R并，下列结论正确的是A．R串=，R并=2R B．R串=2R，R并=C．R串= ，R并=R D．R串=R，R并=3.真空中两个点电荷相距r时，静电力为F；如果保持它们的电荷量不变，而将距离增大为2r时，则静电力将变为A．2F B．F C．D．4.如图1所示，B为匀强磁场，I为通电直导线，F为磁场对通电直导线的作用力，其中正确的是5.下列关于电源电动势的说法，正确的是A．电动势随外电路电阻的增大而增大B．电源两极间的电压就是电动势C．电动势是描述电源把其他形式能转化为电能本领的物理量D．电动势是矢量，有大小也有方向6.一带正电的点电荷只受电场力作用，从电场中的A点由静止释放，沿电场线运动到B点，它运动的v－t图像如图2所示。
则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是图3中的7.如图4所示电路中，电源电动势为E，内电阻为r，当滑动变阻器的滑片P向a端滑动的过程，电压表和电流表的示数变化情况为A．电压表示数增大，电流表示数减小B．电压表示数减小，电流表示数增大C．电压表和电流表示数都增大D．电压表和电流表示数都减小8.某电容式话筒的原理示意图如图5所示，E为电源，R为电阻，薄片P和Q为两金属极板。
对着话筒说话，P振动而Q可视为不动，其简化电路图如图6所示。
在P、Q间距增大的过程中A．P、Q构成的电容器的电容增大B．P、Q构成的电容器的电容减小C．P上电荷量保持不变D．P上电荷量增大9.处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动。
将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值A．与粒子电荷量成正比B．与粒子速率成正比C．与粒子质量成正比D．与磁感应强度成正比10.如图7所示，多用电表是由一个小量程的电流表与若干元件组成，当转动选择旋钮S时，可实现不同的功能。
北京市东城区2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题解析(解析版)
北京市东城区2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1.圆014222=++-+y x y x 的半径为（ ） A. 1B.2C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：由圆的方程可知半径为2r ==考点：圆的方程2.直线0133=+-y x 的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】A 【解析】试题分析：由直线方程可知直线斜率为tan 6k πθθ===，倾斜角为30° 考点：直线方程与倾斜角3.过点（1，0）且与直线=--22y x 0平行的直线方程为（ ） A. 012=--y x B. 012=+-y x C. 022=-+y xD. 012=-+y x【答案】A 【解析】试题分析：已知直线斜率为12k =，所以所求直线为()1012y x -=-，即012=--y x 考点：直线方程4.双曲线8222=-y x 的实轴长为（ ） A. 2B. 22C. 4D. 24【答案】C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为2221422448x y a a a -=∴=∴=∴=，实轴长4考点：双曲线性质5.已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m ⊥αα⊂n ,，则m ⊥n B. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C. 若m ∥m ,α⊥n ，则n ⊥α D. 若m ∥n ,α∥α，则m ∥n【答案】A 【解析】试题分析：A 中由线面垂直的性质可知结论正确；B 中可能线面平行或线面相交或线在面内；C 中可能线面平行或线面相交或线在面内；D 中两直线可能相交，平行或异面 考点：空间线面平行垂直的判定与性质6.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-,01,0x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（ ）A. 0B. 1C.23 D. 2【答案】D 【解析】试题分析：由约束条件可知可行域为直线0,1,0x y x y x -=+==围成的三角形及其内部，顶点为()()110,0,0,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，当y x z 2+=过点()0,1时取得最大值2 考点：线性规划问题7.已知抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为（ ） A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线方程可知准线为2x =-，由P 到y 轴的距离是4可得到准线的距离为6，结合定义可知到该抛物线焦点的距离为6考点：抛物线方程及性质8.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为矩形，边长为2,1，棱锥的高为3，所以其体积为11213233V Sh ==⨯⨯⨯=考点：三视图及棱锥体积9.过点)1,3(--P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A. ]33,0( B. ]3,0( C. ]33,0[ D. ]3,0[【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得点P )1,3(--在圆122=+y x 的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 (1y k x+=+，即10kx y -+-=．即22311k k -+≤+，解得0≤k ，故直线l 的倾斜角的取值范围是]3,0[π考点：直线与圆的位置关系10.甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。
北京市昌平区2015-2016学年高二上学期期末考试数学文试题
WORD 格式专业资料整理所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (, e)和(3e,) .,, 2分令 f '(x)0 ，得 e x 3e ,所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( e,3e) .,,3 分所以当 xe 时，函数f ( x)的极大值为f (e) 5 e 3 1；3当 x 3e 时，函数 f ( x) 的极小值为3f (3e) 9e .,, 5 分1( Ⅱ) 由函数f ( x) 在区间0,3 上单调递增，可得函数 f '( x) 0 对任意x 0,3 恒成立，即：x 22ex m 0 .所以 m x 2 2ex .,, 6 分 设 h( x)x 2 2ex, x 0,3 .,,7 分因为函数 h(x) 在区间 0,e 上是增函数，在区间 e,3 上是减函数，所以h(x)h(e) e 2.,, 8 分 因此 m e 2 .,,9 分( Ⅲ) 因为对任意x 1，x 2R ，假设g( x 1 )f '(x 2 ) 恒成立，所以只要 g ( x)〔 xR 〕的最大值小于f ' (x) 的最小值即可 〔x R 〕.,, 10分由 g( x)ln x得 g '( x) 1 ln x ( x 0) ,xx 2令 g '( x) 0 ,得 0 x e ,所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 (0, e) .令 g '( x) 0,得x e ,所以函数 g ( x) 的单调递减区间为 ( e, ) .因此 g(x)1 ,, 11分g(e).e由f '(x)x 2 2ex m,( x 0),://100/?source=eduwkWORD格式所以函数 f ( x) 的单调递增区间为(, e)和(3e,) .,, 2分令 f '(x)0 ，得 e x3e,所以函数 f ( x) 的单调递减区间为(e,3e) .,, 3 分所以当 x e 时，函数f ( x)的极大值为f (e) 5 e31；3当x 3e时，函数 f ( x)的极小值为3f (3e)9e.,, 5 分1( Ⅱ) 由函数f ( x) 在区间0,3 上单调递增，可得函数 f '( x)0 对任意x0,3 恒成立，即：x22ex m 0 .所以 m x22ex .,, 6 分设 h( x)x22ex, x0,3 .,,7 分因为函数h(x) 在区间0,e 上是增函数，在区间e,3 上是减函数，所以h(x)h(e) e2.,,8 分因此m e2.,,9 分( Ⅲ) 因为对任意x1，x2R ，假设g( x1 ) f '(x2 ) 恒成立，所以只要 g ( x)〔 x R〕的最大值小于 f ' (x) 的最小值即可〔x R 〕.,, 10分由 g( x)ln x得 g '( x) 1 ln x( x 0) , x x2令 g '( x)0 ,得 0 x e ,所以函数g ( x) 的单调递增区间为(0, e) .令g '( x) 0,得x e,所以函数 g ( x) 的单调递减区间为( e, ) .因此 g(x)1,, 11分g(e).e由f '(x)x22ex m,( x 0),://100/?source=eduwk。
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昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)(1) 如果一个命题的逆命题是真命题，那么以下结论正确的是（A ）该命题的否命题必是真命题 （B ）该命题的否命题必是假命题 （C ）该命题的原命题必是假命题 （D ）该命题的逆否命题必是真命题 (2) 经过点(2,3)A 和点(4,7)B 的直线方程是（A ）270x y +-= （B ）210x y -+= （C ） 210x y --=（D ）240x y -+= (3) 设点(,)P x y ，则“31x y =-=且”是“点P 在直线:40l x y -+=上”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (4) 若函数()sin cos f x x x =+，则'()2f π的值为（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1- （5）已知直线,,a b c 和平面α，给出下列两个命题： 命题p ：若//,//a b αα，则//a b ； 命题q ： 若//,//a b b c ，则//a c .那么下列判断正确的是俯视图侧（左）视图正（主）视图（A ）p 为真命题 （B ）q 为假命题 （C ）()p q ⌝∧为真命题 （D ）()p q ⌝∨为假命题 (6)过抛物线28y x =的焦点且倾斜角为45︒直线l ，交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为(A)8 ( B )16 (C) 24 ( D) 32 (7)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ (B)2(C)4+ (D) 4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y x my m +--+=作切线，当切线长最短时，m 的值为 （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2(9)已知点12,F F 是椭圆22:14x C y+=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足12MF MF +=uuu r uuu u r，则12MF F ∆的面积为C ) 1 (D) 2 (10) 函数)(x f 的图象如图所示，则下列结论正确的是(A) 0'()'(1)(1)()f a f a f a f a <<+<+- (B ) 0'(1)(1)()'()f a f a f a f a <+<+-< (C) 0'(1)'()(1)()f a f a f a f a <+<<+- (D) 0(1)()'()'(1)f a f a f a f a <+-<<+第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （11）若命题21:,04p x x x ∀∈-+≤R ，则:p ⌝ ． （12）若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ . (13) 已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为______ ，表面积为______ . （14）已知抛物线28y x =，P 是抛物线上一点，过点P 向其准线作垂线，垂足为点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(15) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围为___________．（16）已知函数2()ln (1)f x x x x =+-，且0x 是函数()f x 的极值点.给出以下几个结论： ①010x e <<；②011x e<<；③00()0f x x +<；④00()0f x x +> 其中结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)设函数321()13f x x mx =++的导函数为()f x '，且(1)3f '-=. （Ⅰ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.（18）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=.NM DBA P(I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．(19) (本小题满分14分)如图，在四棱锥P A B C D -中，P A A B C D ⊥底面，底面A B C D 为直角梯形，//,90A D B C B A D ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ） 求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥； ②求四棱锥P ADNM -的体积.(20) (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆C 交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），当AM AN =时，求直线MN 的方程．(21) (本小题满分14分)已知函数321()1(R)3f x x ex mx m =-++∈，ln ()x g x x=。
(Ⅰ)若23m e =-，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若函数()f x 在区间[]0,3上单调递增，求实数m 的取值范围； (Ⅲ)对任意1x ，2R x +∈，若12()'()g x f x <恒成立，求实数m 的取值范围.昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （文科） 2016.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）21,04x x x ∃∈-+>R （12）2-或1 （13）4；24π（14）5；(2,4) （15） （16）②④三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）（本小题满分14分） 解：（I ）由321()13f x x mx =++得2'()2f x x mx =+. …………1分 因为(1)3f '-=，即123m -=. …………2分 所以1m =- .…………3分所以321()13f x x x =-+，2'()2f x x x =-. 因为1(1)3f =，'(1)1f =-. …………5分所以函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)3y x -=--，即3340x y +-=.…7分（Ⅱ）因为2'()2(2)f x x x x x =-=-, …………8分令'()0f x >，得02x x <>或. …………9分 所以函数()f x 的单调递增区间为(,0)(2,)-∞+∞和. …………11分 令'()0f x <，得02x <<. …………12分所以函数()f x 的单调递减区间为(0,2). …………14分（18）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2. …2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切.……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB的长为所以点C 到直线l的距离为11d ==. ……10分因为11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分（19）（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分（II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =,所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥. 因为PA ABCD ⊥底面, 所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面.所以PB DA ⊥. ……7分 因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面.因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②由①可知PB ADNM ⊥平面，所以MP 为四棱锥P ADNM -的高. ……10分 因为22PA AD AB BC ====，,M N 分别为,PB PC 的中点，所以MP =12MN =. ……11分所以11=+222ADNM S ⨯梯形（） ……12分所以115336P ADNM ADNM V S MP -=⋅==梯形. 所以四棱锥P ADNM -的体积为56. ……14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===2a =. ……3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）①若过点3(0,)5B 的直线斜率不存在，,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件．……5分②若过点3(0,)5B 的直线斜率存在，设直线MN 的方程为35y kx =+. ……6分由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y .则122122245(14)6425(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩. ……8分 设MN 的中点为P ，则22123(,)5(14)5(14)k P k k -++.……9分如果=AM AN ，那么AP MN ⊥.……10分若0k =，则3(0,)5P ，显然满足AP MN ⊥，此时直线MN 的方程为35y =； ……11分若0k ≠，则2208112AP k k k k+=-=-，解得k = ……12分 所以直线MN的方程为35y =+530y -+=530y +-=． 综上所述：直线MN 的方程为35y =530y -+=530y +-=． ……14分（21）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当23m e =-时，由函数3221()313f x x ex e x =--+， 得22'()23(3)()f x x ex e x e x e =--=-+. ……1分 令'()0f x >，得3x e x e <->或,所以函数()f x 的单调递增区间为(,)(3,)e e -∞-+∞和. ……2分 令'()0f x <，得3e x e -<<,所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)e e -. ……3分 所以当x e =-时，函数()f x 的极大值为35()13f e e -=+； 当3x e =时，函数()f x 的极小值为3(3)91f e e =-+. ……5分 (Ⅱ)由函数()f x 在区间[]0,3上单调递增，可得函数'()0f x ≥对任意[]0,3x ∈恒成立，即：220x ex m -+≥.所以22m x ex ≥-+. ……6分 设[]2()2,0,3h x x ex x =-+∈. ……7分因为函数()h x 在区间[]0,e 上是增函数，在区间[],3e 上是减函数，所以2()()h x h e e ≤=. ……8分 因此2m e ≥. ……9分 (Ⅲ)因为对任意1x ，2x +∈R ，若12()'()g x f x <恒成立，所以只要()g x （x +∈R ）的最大值小于'()f x 的最小值即可（x +∈R ）. ……10分 由ln ()x g x x =得21ln '()(0)xg x x x -=>, 令'()0g x >,得0x e <<,所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)e . 令'()0g x <,得x e >,所以函数()g x 的单调递减区间为(,)e +∞. 因此1()()g x g e e≤=. ……11分 由2'()2,(0)f x x ex m x =-+>,得到'()f x 在(0,)e 上是减函数，在(,)e +∞上是增函数.因此2'()'()f x f e e m ≥=-+. ……12分即：21e m e<-+. ……13分 因此21m e e>+. ……14分。