第20讲巧解余数和同余问题
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
小升初数学余数、同余与周期知识点-
2017小升初数学余数、同余与周期知识点小升初数学是小升初综合素质评价考试的重头戏,在试卷中所占分值比重最大。
为了帮助学生们顺利备考,下面为大家分享小升初数学余数同余与周期知识点，供大家参考!余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a(m od m);②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
以上是为大家分享的小升初数学余数同余与周期知识点，希望能够切实的帮助到大家！。
余数与同余解析
六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
小学奥数精讲：余数与同余问题
小学奥数精讲：余数与同余问题小学奥数精讲：余数与同余问题一、问题引入我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被2 整除（除以 2 余 1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。
同理，如果我们以除以3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。
那么除以 n 余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。
二、知识总结1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。
着重掌握除以3、4、8、9、16 的余数求法即可。
①求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0；②求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数；③求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数；④求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数；⑤求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原数同奇同偶，则原数除以6 的余数为a，若该余数不原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3；⑥求除以7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；⑦求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数；⑧求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数；⑨求除以 10 的余数：等于该数的个位数；⑩求除以11 的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和不偶数的数字之和的差除以 11 的余数（b）等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的数之差除以 11 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；求除以13 的余数：等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的数之差除以 13 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；求除以 16 的余数：等于该数的后四位除以 16 的余数;求除以17 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，所得到的数字除以 17 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；求除以 18 的余数：该数的各个数字之和除以 9 得余数 a，若该余数不原数同奇同偶，则原数除以 18 的余数为 a，若该余数不原数一奇一偶，则原数除以 18 的余数为 a+3；求除以19 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，所得数字除以 19 的余数。
(完整版)同余问题知识点讲解
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
余数问题的解题方法
余数问题的解题方法
解题方法：
1. 除法互换律：将被除数和除数互换，得到的结果是余数。
例如：1÷3=0...1，则3÷1=3...0，即余数为零。
2. 同余定理：如果a÷b=c...d（c为商，d为余数），则a-d÷b=c...0，即余数为零。
例如：7÷3=2...1，则7-1÷3=2...0，余数为零。
3. 分解质因数法：将被除数和除数分解质因数，列出所有的可能组合，直到得到能够整除的结果则余数为零。
例如：6÷3=2...0，则2×3=6，余数为零。
4. 模运算：使用模运算，即a mod b=d，其中d为余数。
5. 对于除法不可整除的情况，可以使用乘除法，即a×b=c+d（c大于等于a，d为余数），其中d为余数。
例如：7×3=21，则21-7=14，余数为7。
6. 开平方法：将被除数平方，或者除数平方，直到得到整除的结果则余数为零。
例如：64÷8=8...0，则8×8=64，余数为零。
7. 拆分成多项式：将被除数和除数拆分成多项式，例如
a=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n，b=b_1x_1+b_2x_2+…+b_nx_n，则a÷b=c...d（其中d为余数）。
小学奥数-巧解整除中的同余问题
小学奥数-巧解整除中的同余问题1.整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，b能整除a。
2.a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和除以c的余数。
3.a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积除以c的余数。
4.若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
5所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称做同余问题。
精讲1：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数得商11余32，求甲、乙两数。
分析：解答这样的问题，首先要根据除法的意义，理顺被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。
因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088。
解：乙=（1088－32）÷（11+1）=88 甲=1088-88=1000精讲2：求478×296×351除以17的余数。
分析：先求出乘积再求余数，计算量较大，可以根据同余定理“a 与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积除以c的余数”，先分别计算出各因数除以17的余数，再求出余数之积除以17的余数。
解：478÷17=28 (2)296÷17=17 (7)351÷17=20 (11)2×7×11÷17=9 (1)精讲3：有一个大于1的整数，除45、59、101所得的余数相同，求这个数。
分析：根据同余定理“若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除”，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
解：101－45=56 59－45=14 （56,14）=1414的约数有1、2、7、14，所以这个数可能为2、7、14。
余数同余问题
余数同余问题
被除数÷除数=商＋余数，通过这个关系，我们可以总结如下余数问题结论：
①余数一定要小于除数，并且余数的个数和除数的个数相同。
比如除数是8，那么余数就是0~7八个数。
②余同取余、和同加和、差同减差
余同取余：比如一个数除2余1，除3余1，除5也余1。
我们发现每个条件的余数都相同，就可以知道满足这三个条件的最小的数是2、3、5的最小公倍数加1，即31，通项公式为30n+1。
和同加和：比如一个数满足除7余4，除8余3。
我们发现每个条件中除数加上余数的和都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数加11，即67，通项公式为56n+11。
差同减差：比如一个数满足除7余5，除8余6。
我们发现每个条件中商和余数的差都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数减2，即54，通项公式为56n-2。
【例】一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩下4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？
A. 11 B .1
C. 9 D .8
【解析】本题考查余数问题。
根据我们刚刚讲的同余定理，我们发现每次取5个最后剩下4
个，5-4=1；如果每次取4个最后剩3个，4-3=1；如果每次取3个最后剩2个，3-2=1。
明显符合差同减差，直接套用结论最小公倍数做周期，故总数为60n-1，当n=2时，满足总数为119，则每次取12个时119÷12=9...11。
因此，选择A选项。
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第20讲巧解余数和同余问题I 余数巧点睛——方法和技巧（1）被除数=商×除数×余数。
（2）借助约数和倍数的知识。
上面两个性质是解题的关键。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛一、借助“整除”来帮忙【例1】一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。
分析与解根据带余除法和整除意义知，这个两位数一定是310－37=273的约数。
由273=3×7×13知，273的两位数的约数有13，3×7，3×13，7×13，即13，21，39，91。
其中只有39，91除310的余数是37，故所求的两位数是39或91。
答：这样的两位数是39或91。
做一做1 237除以一个两位数所得的余数是6，问：这丙的两位数是多少？【例2】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
那么，被除数、除数、商及余数却是已知的。
可从“位数”角度思考。
分析与解题目中，只有余数8是一个具体的数，被除数、除数及商都是未知数，但它们的位数却是已知的。
可从“位数”角度思考。
因为除数要大于余数，余数是8，而大于8的一位数只有9，所以除数一定是9。
第二步判断商是多少？最小的两位数是10，由于9×10＋8=98，9×11＋9=107，又由于被除数是两位数，所以被除数是98，商是10。
因此，被除数、除数、商及余数之和是98＋9＋10＋8=125做一做2 两数相除，商是498，余数是3。
那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？【例3】两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之各是866。
求这两个数。
分析与解本题应根据带余除法来解。
因被除数=除数×商＋余数。
故被除数＋除数＋商＋余数=除数×商＋余数＋除数＋商＋余数 =除数×（商＋1）＋商＋余数×2 现在，商是22，余数是8，被除数＋除数＋商＋余数=866，所以，866=除数×（22＋1）＋22＋8×2于是有除数=（866－22－8×2）÷（22＋1）=36被除数=除数×商＋余数=36×22＋8=800。
答：被除数为800，除数为36。
做一做3 两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。
问：被除数是多少？B级培优竞赛·更上层楼二、借助“周期”巧解题【例4】伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2，3，…问：数到2 003时，你数在哪个手指上？分析与解大拇指是1，食指是2，中指是3，无名指是4，小指是5；然后往回数，无名指是6，中指是7，食指是8，拇指是9；再往回数。
按照这个规律一直数到2 003的方法是不取的。
要从中以现规律，比如大拇指开始是1，此后每数过8个数就又回到大拇指。
因此，数在大拇指时的数一定是被8除余1的数，这就为我们找到了一条重要线索。
因为2 001=8×250＋1，所以，按分析中找到的规律，可知数到2 001时落在大拇指上，接下去数，2 002在食指，2 003在中指。
答：数到2 003时，2 003这个数在中指处。
做一做4 将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1 000排在哪个字母的下面？A B C D E F G1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 3536 37 38 39 …1化为循环小数，问：小数点后1 999个数字是几？【例5】把7这1 999个数字的总和是几？分析与解解决这个问题最容想到的方法就是列一个大除法算式，在小数点后试除1 999次，但这种方法很繁琐，不可取。
实际上，用1除以7在小数点后多除几位，得1=0.142 857 142 857 142 857…7观察便知其中数字出现的规律：从小数点后第一位起，依次是1，4，2，8，5，7，然后不断地重复出现，即所谓的循环节，周期是6。
由于1 999÷6=333…1，说明循环333次后，下一个数字是第1 999年数字，而每个循环的下一个数（同时也就是每个循环的第一个数字）在本题中就是1，所以，所求的数字是1。
不难看出，这1 999个数字是1，这1 999个数字的总和是8 992。
3化成小数后，小数点的右边第1 991位上的做一做5 问：55数字是多少？这1 991个数字的和是多少？【例6】某数除发11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？分析与解因为某数加3是11的倍数，也是13的倍数，所以[11，13]－3=140是满足除以11余8，除以13余10的最小自然数。
140再加上[11，13]=143的倍数，这些自然数是140，283，426，569，712，855，998，1 141，…其中，998是除以17余12的最小自然数。
答：这个数的最小值是998。
做一做6 一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。
求这个自然数能取得的最小值。
C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军三、综合远用，发散思考【例7】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和为25，那么这三个余数中最小的数是多少？分析与解由于涉及三个除式的余数之和，所以应从三个带余除式着手解决本题。
设这个自然数（除数）为m，用m去除63，90，130，商分别为q1，q2，q3，余数分别为r1，r2，r3，就有63=mq1＋r1,90=mq2＋r2,130=mq3＋r3因为r1＋r2＋r3=25，所以，r1，r2，r3中最大的一个一定大于25÷3=8.3，即最大的余数≥9，从而除数＞9。
把这三个式子加起来，得283=m（q1＋q2＋q3）＋r1＋r2＋r3所以258=2×3×43，除数m大于9而小于63，因此m=43。
这时63=43×1＋20，90=43×2＋4，130=43×3＋1。
所以，63，90，130被43除的余数分别为20，4，1。
小结本题由于除数、商与余数都不知道，所以先用带余除式写出它们的关系，然后再根据条件来解。
在解的过程中先对除数的大小作了估计，得出除数必须大于9且小于63，这样就保证了答案是唯一的。
做一做7 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？巧练习——温故知新（二十）（I）A级冲刺名校·基础点睛1．填空：（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数。
（2）被2，3，5除都余1，且不等于1的最小整数是。
（3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列列余，排成五列不足2人，排成七列不足4个，则共有民兵有人。
（4）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么上体育课的同学最少有名。
（5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。
田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有人。
（6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少1人；开小组会时，每7个一组多6人，那么到会的代表有人。
（7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是。
（8）被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是。
2.1～100中的哪个自然数被3和5除余1,且能被7整除?3.一个自然数既能被3整除又能被5整除,同时它被7除的余数是4.试求这样的自然数中的最小数。
4．有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。
问：这个数除以12余数是几？5．一个自然数被5，6，7除时余数都是1，且在10 000以内，问：这样的数共有多少个？B级培优竞赛·更上层楼6．除107后，余数为2的两位数有哪些？7．四们数8□98能同时被17和19整除，那么这个四位数所有质因数的和是多少？8．有一串数1，2，4，7，11，16，22，29，…这串数的组成规律是第2个数比第1个数多1，第3个数比第2个数多2，第4个数比第32上数多3，以此类推。
那么这串数左起第1 992个数除以5的余数是多少？9所得的余数是多少？10．某自然数被247除余63，被248除也余63。
问：这个自然数被26除的余数是多少？C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军11．1，2，3，…，29，30这30个自然数中，最多能取出多少个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数这种都不是7的倍数？12．一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a[见短除式（1）]；又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a 的2倍[见短除式（2）]。
求这个自然数。
8 所求自然数 ……余1 17 所求自然数 ……余4 8 第一次商 ……余……余1 7 13．在1 995，1 998，2 000，2 003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组，这样的数组共有 组。
14．将12345678910111213…依次写到第1 997个数字，组成一个1 997位数，那么此数除发9的余数是 。
巧总结本节我的收获是：不足之处有：Ⅱ同余巧点睛——方法和技巧性质1：如果整数a，b对于模n同余，地么它们的差（a－b）或（b－a）一定能被n整除。
性质2：若a≡b（mod n）, c≡d（mod n）,则（a＋c）≡（b＋d）（mod n）。
性质3：若a≡b（mod n）, c≡d（mod n）,则a×c≡b×d（mod n）。
性质4：若a≡b（mod n）,m为大于1的自然数，则a m≡b m（mod n）。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛一、运用同余的性质解题【例1】乘积17×354×409×672除以13的余数是多少？分析与解 17，354，409，672除以13的余数分别为4，3，6，9，由性质3知，所求余数等于（4×3×6×9）除以13的余数，等于11。
做一做1 求723 588＋5 770和723 588×5 770除以11的余数。
二、转化成“整除”问题【例2】73，216，227被某个数b除的余数相同，那么，108被这个数b除的余数是多少？分析与解必须先求出除数b。
因为b除73，216，227的余数相同，由题意知，b除73，216，227的余数两两的差就为零。
因而，b就能（同时）整除这些差。