《1.3勾股定理的应用》导学案
1.3勾股定理的应用导学案
1.3勾股定理的应用学习目标1、学会观察图形，探索图形之间的关系，会将立体图形的问题转化为平面图形的问题，培养空间观念2、能用勾股定理及直角三角形的判定方法解决最短路径和其他实际问题3、进一步体会数形结合的思想以及转化的数学思想在实际生活中的应用。
学习工具：四个大小相等的直角三角形纸板 自主学习1，圆柱的侧面展开图是 ， 2，在连接两点的线中， 最短3、若a ，b 和c 分别是直角三角形的两直角边和斜边，则有 。
4、若三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，则此三角形为 。
合作探究认真阅读P22蚂蚁吃食问题，依照课本（1）、（2）、(3)提示去做，然后思考： （1）哪条路线最短？（2）怎样将圆柱转化为长方形？在右图画出蚂蚁爬的路线， 最短路线用红线标出。
（3）确定最短路线的依据是什么？ （4）用勾股定理求最短路程（温馨提示：构建直角三角形） 练习如图所示，长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有蚂蚁从点A 出发，沿长方体表面到达C 处，问蚂蚁爬行的最短距离是多少cm ？此问题是将立体的线路问题 为平面的线路问题，再利用所学数学知识解决问题 3、某会展开会期间准备在高BC=5米、长AC=13米，宽2米的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米20元，则铺完这个地毯至少需要 元钱。
2、 做一做李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于 底边AB ，但他随身只带了卷尺，李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？NMBCD A 如图：是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm,高为16cm ，现有一根 长为22cm 的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少为什么 cm 。
当堂检测1、如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．2、一个长方体形的盒子的长、宽、高分别为8cm ，8cm ，12cm ，一只蚂蚁想从盒底A 点爬到盒顶B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？最短行程是多少？3、在我国古代数学著作《九章算术》中记有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？4、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？拓展延伸正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2， N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值为 。
1.3勾股定理的应用(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或高度，却无法直接测量的情况？”比如，我们想测量学校旗杆的高度，却无法直接到达顶部。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理在解决实际问题中的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试通过生活实例导入勾股定理的应用，希望让学生感受到数学与生活的紧密联系。从学生的反应来看，这个话题确实引起了他们的兴趣，但在讲解过程中，我意识到有些学生对定理的理解还不够深入，需要我在教学中更加细致地引导。
在理论介绍环节，我尽力用简洁明了的语言解释勾股定理的概念，并通过案例让学生看到定理在解决问题中的具体应用。然而，我也发现有些学生在转换实际问题时，还是不太会灵活运用勾股定理。这让我认识到，在今后的教学中，需要加强学生对定理应用场景的识别和问题转化能力的培养。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，他们积极参与，热烈讨论。但从成果展示来看，部分小组在解决问题时还是存在一定的困难，尤其是在单位换算和实际操作中。这说明我在教学中还要加强对这些方面的讲解和练习。
学生小组讨论环节，大家围绕勾股定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我在一旁观察，适时引导，发现学生在互相交流中碰撞出了不少思维的火花。但也有一些学生在讨论中显得较为被动，可能是因为他们对定理的理解还不够自信。为此，我计划在后续的教学中，多关注这些学生，鼓励他们大胆表达自己的想法。
-在实际问题中，能够准确地识别出直角三角形，并将问题简化为勾股定理的应用；
-掌握在勾股定理应用中的单位换算，如长度单位、角度单位等，确保计算准确无误。
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案1
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案1一. 教材分析《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章第三节的内容。
本节课主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生探索直角三角形边长之间的关系，从而引入勾股定理。
学生通过探究、发现、归纳，掌握勾股定理，并能运用其解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已具备一定的数学基础，掌握了三角形的性质、勾股定理等知识。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解勾股定理的由来，掌握勾股定理的内容。
2.学会运用勾股定理解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作、探究、创新能力，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.掌握勾股定理的内容。
2.学会运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入毕达哥拉斯的故事，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.探究教学法：学生进行小组讨论，引导学生发现、归纳勾股定理。
3.案例教学法：列举实际问题，让学生运用勾股定理解决，提高学生运用知识的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示勾股定理的发现过程、实际应用等。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于课堂练习。
3.板书设计：设计简洁清晰的板书，便于学生理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示毕达哥拉斯的故事，引导学生思考：为什么会有勾股定理的发现？激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的内容，让学生了解勾股定理的由来。
通过举例，让学生初步感受勾股定理的应用。
3.操练（15分钟）分组讨论：让学生运用勾股定理解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）总结勾股定理的解题步骤，让学生明确解题思路。
北师大数学八年级上册导学案：1.3勾股定理的应用
学案
年级：八年级科目：数学章节：1.3勾股定理的应用第1课时编写人：
一、学习目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容学法指导
第一环节：情境引入
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B
处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，
你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第二环节：合作探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条
路线最短呢？
（2）将圆柱的侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？
A
B
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
第三环节：做一做
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，
BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
例：如图，是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。
已知滑梯高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。
八年级上册数学1.3勾股定理的应用(导学案)
1.3 勾股定理的应用学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。
预习案课前导学：一、自主预习（感知）1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3;B. 7,24,25;C. 6,8,10;D. 9,12,15 2.若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时 ，这三条线段才能组成直角三角形。
3.圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。
4.圆的周长公式是 。
5.在一个圆柱石凳上，恰好一只在A 处的蚂蚁想吃到B 处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自己做一个圆柱进行思考探索。
学习案知识点拨： 二、课堂探究 活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).活动二：一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、 12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到顶的B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是 . 活动三：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗12cm8cm8cmBABB课内训练：如图所示，有一高4㎝，底面直径为6㎝的圆锥。
现有一只蚂蚁在圆锥的顶A ，它想吃到圆锥底部B 点处的食物，需爬行的最短路程是多少？反馈案基础训练：1、在△ABC 中, ∠C=90°，c=25, b=15,则a= .2、三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是 ．3、甲、乙两位探险者到沙漠探险，某日早晨8：00甲先出发他以6千米每小时的速度向正东行走，1小时后乙出发，以5千米每小时的速度向正北行走，上午10:00甲、乙二人相距多远？拓展延伸：1、如图，直线l 上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，11，则b 的面积为 。
勾股定理与方程 学历案(导学案)
A B C D1.3勾股定理的应用——勾股定理与方程学习目标：通过自主学习、合作交流会利用勾股定理构建方程解决实际问题1.如图，旗杆AB 高17m ，在离旗杆顶端1m 的D 处系一条绳索，绳索长20m ，将绳索拉直，绳索的另一端恰好到地面上的C 处，则A 、C 之间的距离是 。
2.如图，强大的台风使得一根大树折断倒下，大树顶部落在离大树底部4 m 若大树总长度为8 m ，求大树是离地面多高处折断的？设AC 为x 米，则AB 为 米，可列方程为 。
例 1.小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端处的绳子垂到地面后还多1米，当他把绳子拉直后并使下端刚好接触地面，发现绳子的下端离旗杆下端3米。
你能帮小刚想求出旗杆的高度吗？练习：1.如图，有一个直角三角形纸片ABC ，AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合.则CD= cm 。
2.如图，在长方形ABCD 中，AB=8 cm ，BC=10 cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠后点D 恰好落在BC 边上的点F，求CE的长度例2.为了推广城市绿色出行，昆都仑区交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB=3km，CA=2km，DB=1.6km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少米处，才能使它到两广场的距离相等．练习：在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．课堂小结：挑战自我：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B 出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．。
初中数学北师大版八年级上册《13勾股定理的应用》教学设计
北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用教学设计师：1. 勾股定理的内容是什么？如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.2. 勾股定理的逆定理是什么？a2+b2=c2三角形是直角三角形3.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；AB＝13米.提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．合作探究蚂蚁爬行的最短（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？师：想一想为什么线段AB是最短的路线？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？已知圆柱的高是12，∴AA'=12；底面周长是18，∴A'B=9；∴AB2=AA'2+A'B2=144+81=225，∴AB=15答：爬行的最短路程是15cm。
【总结提高】求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．生：两点之间，线段最短【解】设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x－1）m,在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2，解得x=5.故滑道AC的长度为5m.1.如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的表面从一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是( D )。
A．2 B．3 C．4 D．52.已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是__5KM______；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的____正北____方向．3.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险。
北师大版八年级上册 1.3 勾股定理的应用 学案设计(无答案)
第2讲勾股定理的应用【教学目标】知识目标：熟练使用勾股定理进行相关计算，会利用勾股定理计算路程的最短距离问题。
重难点：勾股定理的运用思维目标：数形结合思想、方程思想、转化思想。
【知识梳理】1．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．2．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．3.常见立体图形的平面展开图。
圆柱侧面展开图为长方形【典例讲解】类型一、圆柱中的最短路径问题：圆柱侧面展开图为长方形，最短路径及长方形的对角线。
例1.为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸。
练习1.如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm例2. 如图，长方体的长EF为15cm，宽AE为10cm，高AD为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距高是多少?练习2.如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．【当堂检测】1．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米2．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．3. 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm’，则斜边长为（）A.80mB.30mC.90 mD.120 m4. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12.上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤135. 轮船在大海中航行，它从点A出发，向正北方向航行20km.遇到冰山后折向正东方向航行15km，则此时轮船与点A的距离为 km.6. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为55 dm,10 dm和6dm.A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的蜜糖，则蚂蚁从点A出发，沿若台阶面爬到点B，最短路线 dm。
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《1.3勾股定理的应用》导学案
【学习目标】
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题。
2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力。
【重点】勾股定理的应用是现实生活中的“线路最短”问题，重点是将曲面或多面转化为平面，并注意立方体的展开图的不同方法。
.
【难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
预习案
一、预习自学
1、下列各组数中，不是勾股数的是（）
A、5,3,4
B、12,13,5
C、8,17,15
D、8,12,15
2、如果线段a、b、c能组成直角三角形，那么它们的比可能是（）
A、1:2:4
B、5:12:13
C、3:4:7
D、1:3:5
有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从
A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，A
B
你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?你知道这是为什么吗？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
探究案
如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角
1
C处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当
1
445
AB BC CC
===
，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点1B 到最短路径的距离．
（4）若5,4,31===CC BC AB 时，你能求蚂蚁爬过的最短路径的长吗？
巩固练习
提高练习 （1）、有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？
（2）、如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B ？
课堂小结：
学习反思：。