人教新课标版数学高二-2014版数学必修五练习1-1正弦定理与余弦定理

习题课 正弦定理与余弦定理

双基达标

(限时20分钟)

1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是

( )．

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C

2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是

( )．

A ．锐角

B ．钝角

C ．直角

D ．60°

解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ＝

b 2＋

c 2

－bc 2bc

＝

????b －c 22＋3c 2

4

2bc

＞0，∴0°＜A ＜90°.

答案 A

3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )．

A.21

B.106

C.69

D.154

解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a

2.

在△ABM 中，

AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a

2×4·cos ∠AMB ①

在△ACM 中，

AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a

2·cos ∠AMB ②

①＋②得：72＋62＝42＋42＋1

2

a 2，

∴a ＝106. 答案 B

4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．

解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，

∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π

6.

答案 π

6

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．

解析 由sin B ＋cos B ＝2sin ????B ＋π

4＝2得 sin ????B ＋π4＝1，∴B ＝π

4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得

sin A ＝a sin B

b ＝

2sin π

4

2

＝12

， ∴A ＝π6或56

π.

∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π

6.

答案 π6

6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12

.

cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －1

2，

即cos A cos C －12＝－1

2，

cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，

所以A ＝90°，或A ＝30°.

综合提高 (限时25分钟)

7．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为

( )．

A.43 B ．8－4 3 C ．1

D.23

解析 由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，故方程①化为2ab (1＋cos C )＝4. ∴ab ＝

2

1＋cos C

.

又∵C ＝60°，∴ab ＝4

3.

答案 A

8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是

( )．

A.????0，π6

B.????

π6，π C.???

?0，π3

D.????π3，π

解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝

a 2R ，sin B ＝

b 2R ，sin C ＝c

2R

(其中R 为△ABC 外接圆的半径)，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0＜A ≤π

3.

答案 C

9．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c

cos

C 2，则△ABC 的形状是________．

解析 ∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2，∴sin A 2＝sin B 2＝sin C

2，

又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＋B 2＋C 2＝π2.

∴A 2＝B 2＝C 2，∴A ＝B ＝C ＝π3

.

答案 等边三角形

10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C

tan B 的

值是________．

解析 由b a ＋a

b ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .

化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C

tan B 切化弦，

得sin C cos C ·????cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )

sin A sin B

＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B . 根据正、余定理得sin 2C

cos C sin A sin B

＝

c 2

ab ·

a 2＋

b 2－

c 22ab

＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 2

32c 2－c 2

＝4. 答案 4

11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝????cos 3A 2

，sin 3A

2，n ＝????cos A 2

，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.

(1)求角A 的大小；

(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →

|，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m·n ＝3， 即1＋1＋2????cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A

2＝3， ∴2＋2cos A ＝3.

∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π

3

.

(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →

|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ????2π3－B ＝3×32， 即

32sin B ＋12cos B ＝3

2

， ∴sin ????B ＋π6＝32

.

∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π

6，

∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π

2.

当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.

故△ABC 是直角三角形．

12．(创新拓展)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求

1tan A ＋1tan C

的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．

解 (1)由cos B ＝3

4，

得sin B ＝

1－????342＝74.

由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C

sin C

＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B

＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝47

7

. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，

由cos B ＝3

4，可得ca ＝2，

即b 2＝2.

由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9， ∴a ＋c ＝3.